2025年中考数学压轴题专练：几何探究题（含解析）

2025年中考数学压轴题专练：几何探究题

1.综合与实践：在菱形ABC。中，/3=60。，作=AM,AN分别交BC,CD于

点M,N.

图①图②图③

(1)【动手操作】如图①，若M是边3C的中点，根据题意在图①中画出/M4N,则=

________度；

(2)【问题探究】如图②，当M为边3C上任意一点时，求证：AM=AN；

(3)【拓展延伸】如图③，在菱形ABCD中，AB=4,点尸，N分别在边3C,上，在菱

形内部作NB4N=N3,连接AP,若4尸=旧，求线段ON的长.

2.综合与探究：已知在等腰VABC中,。是边BC上任意一点(不与点8,C重合).

(1)【动手操作】

如图①，若N54C=90。，在AD的右侧作等腰直角VADE,使上94£=90。，AD=AE,连

接CE,根据题意画出图形，则NACE的度数为度；

(2)【问题探究】

如图②，若AB=3C=6,47=4,在4。的右侧作等腰丫仞石，使">=。£,ZABC=ZADE,

连接CE,探究线段3。与CE之间的数量关系，并说明理由；

(3)【拓展延伸】

在(2)的条件下，若。是射线上任意一点，CD=3,求CE的长.

3.探究与证明

已知四边形ABC。中，M,N分别是AB,AD边上的点，DM与CN交于点、Q.

【图形认知】

(1)如图1,若四边形ABC。是正方形，且DMLOV于点。，求证：DM=CN；

【探究证明】

(2)如图2,若四边形ABCZ)是矩形，且_LC7V,求证：石『=’方；

【拓展运用】

(3)如图3,将矩形ABCD沿EF折叠，使得点。落在A8边上的点G处，点C落在点尸处,

EF=±叵，求三角形。EG的面积.

得到四边形£FPG,若4?=2,BC=3,

3

图1图2图3

4.某数学兴趣小组开展矩形的折叠实验探究，折叠矩形ABCD的一边AQ,使点。落在点尸

处，折痕为AE.

(1汝口图1,当点厂恰好在边上时，证明：AABFsAFCE.

⑵将矩形的边AB折叠，使点3落在AF边上的点M处，折痕为AN.

①如图2,当点厂恰好在BC边上时，若AB=1,BC=0,连接EN,试判断△?1£、的形状,

并说明理由.

②如图3,当点/在矩形内部时，若A3=8,8C=12.点£是CD的中点，求KV的长

5.综合与实践：已知矩形ABC。和矩形A£FG,点E在BC边上，矩形AEFG在BC边上方,

^—=—=k,连接AC,CF.

BCEF

F

图1图2

RF

⑴【特例发现】如图1,当左=1时，求k的值；(提示：在边上取一点使5M=5后,

CF

连接)

(2)【类比探究】如图2,当上力1时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立,

请给出新的结论，并证明你的结论；

(3)【拓展应用】如图3,当％时，连接。G,若生=：，且DG=8,求。尸的长.

2CE3

6.如图1,在Rt^ABC中，ZA=90°,AB=AC,点。、E分别在边A3、AC上，AD=AE,

连接DC,点〃、P、N分别为DE、DC、BC的中点.

图1图2

(1)观察猜想：图1中，线段与PN的数量关系是_，位置关系是二

⑵探究证明:把VADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接比)，CE,判断力MN

的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸：把VADE绕点A在平面内自由旋转，若A£>=2,AB=4,直接写出ArMN面

积的最大值.

7.在数学兴趣小组活动中，小明同学对几何动点问题进行了探究：

问题背景：在RtaABC中，ZACB=90°,ZABC=60°,3c=6.点Z）为AB边上一动点，

连接CD,点、E为CD边上一动点，连接BE,以BE为边,在BE右侧作等边ABEF,连接CF.

DD

图1图3

（D如图1,当=时，求证：4BDEgABCF；

（2）如图2,当点。运动到的四等分点（靠近点B）时，点。停止运动，此时点E从点C

运动到点。，试判断点E从点C运动到点。的过程中线段C/和所的数量关系，并说明理

由；

（3）如图3,点。从A8的四等分点（靠近点3）出发，向终点A运动，同时，点E从点。出

发，向终点C运动，运动过程中，始终保持/BEC=90。，求出CF的最小值.

8.已知四边形ABCZ）是矩形，E是4B边上的一点，连接OE,CE,点尸是EC上一动点（不

与区C重合），连接尸3,过点P作尸尸，尸3,交DC于点F.

------RI-------NB4——A―R

图⑴图⑵图⑶

【问题感知】

(1)如图(1),当AO=3,EC=OC=5时，则AE=

【探究发现】

（2）在（1）的条件下，如图（2）当点尸运动到EC的中点时，求尸尸的长.

【拓展提升】

（3）如图（3）当ZBCE=45。时，探究线段CEBC,CP之间的数量关系，并说明理由.

9.如图，48是。。的一条弦，的直径于点E,连接AC,BO,延长80交AC

于点R交。。于点G,连接AG.

（1）求证：AAGFsACOF；

⑵若劣弧AB对应的圆心角的度数为120°,求ZACD的度数；

（3）若tan/C4£=2,探究线段AE,OE之间的数量关系，并说明理由.

10.综合与实践

(1)【操作发现】如图①，将正方形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点2落在正方形内

部的点M处，折痕为AE,再将纸片沿过点A的直线折叠，使AQ与40重合，折痕为AF,

则/EAF的度数为一；

(2)【拓展探究】如图②，在(1)的条件下，继续将正方形纸片沿所折叠，点C的对应点

恰好落在折痕AE上的点N处，若AB=3,求线段DF的长；

(3)【迁移应用】如图③，在矩形ABC。中，点E,尸分别在边8C,C。上，将矩形AB8沿

AE,AF折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A,M,G恰好在同一直线上，若

点尸为C£＞的三等分点，AB=3,4)=5,请求出线段8E的长.

11.【操作】如图，在矩形纸片A2CD中，点E,点/分别是边A。，BC边上的动点，连接

BE,DF.将矩形纸片A3。分别沿直线8E,折叠；点A的对应点为点河，点C的对

应点为点N.

图②图③

(1)若点/与点M重合，DN与EF交于点.G,如图①，求证:DG=GM.

【探究】

(2汝口图②，当点M,N落在对角线8。上时，AB=4,AD=6,则肱V=.

(3)如图③，当点N落在对角线AC上时，EM与DN交于点、P,BM与FN交于点、Q,

连接尸2,若AB=4,AD=6,PQ=

12.在等腰Rt/XABC中，?B90?,AB=BC,D,£分别为AB,2c边上的动点且满足

(2)如图2,AC上有一点f满足ZEDF=45。时，试探究OE与的数量关系，并说明理由;

(3)如图3,连接CD,AE交于点O,当AE+CD取最小值时，直接写出白丝的值.

13.【问题探究】

课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：

如图1,在矩形ABCD中，点E,尸分别是边DC,BC上的点，连接AE,DF,且尸

DF

于点G,若AB=6,BC=8,求一的值.

AE

图1图2图3

(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由.

【初步运用】

AD3

(2)如图2,在VABC中，ABAC=90°,—=~,点。为AC的中点，连接8。，过点A作

AC4

AF

人£，瓦)于点石，交5c于点尸，求演；的值.

BD

【灵活运用】

4R3

(3)如图3,在四边形ABCD中，ZBAD=90°,—=—,AB=BC,AD=CD,点、E,F

AD4

CF

分别在边AB,AD上，且DE-LCr,垂足为G,则---=_.

14.综合与实践

问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片ABCO.如图1,把矩形

ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形纸片AB'C'Z)',点8,C,。的对应点为9、C、)；如

图2.连接AC、BD,当C'在AD的延长线上时，延长C3',交2C于点E,试判断四边形

图1图2图3图4

数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；

深入探究：（2）老师将如图1中的矩形A5CD纸片绕点A逆时针方向再次旋转，并让同学

们提出新的问题.

①“奋进小组”提出问题:如图3,当点笈落在AD上时,连接CC,取CC'的中点连接AM、

AC,试猜想AM、AB,3C三条线段的数量关系，并加以证明，请你解答此问题；

②“团结小组’'提出问题：如图4,当点"落在8。上时，连接DZ7,DD交EC于点、F.若

CD=3,AD=4,求的长.请你思考此问题，直接写出结果.

15.已知点E是边长为2的正方形A5CD内部一个动点,始终保持/A£»=90。.

【深入探究】(2)如图，连接CE并延长交边AD于点当点M是AO的中点时，求二二

的值；

DE....

【延伸探究】(3)如图，连接8E并延长交边CD于点G.当。G取得最大值时，求益的值.

16.综合探究

如图，在矩形A8CD中，AB=5,BC=8,点E是射线BC上的动点，连接AE,将5K沿

AE折叠，点8落在点F处，连接CT,DF.

⑴当点E是BC的中点时，求证：AE\\CF.

(2)^AF=DF,求8E的长；

(3)当/AZ小的度数最大时，求△山邛的面积.

17.如图，将矩形ABC。绕点C旋转，得到矩形所CG.已知

图1图2图3

⑴如图1,若顺时针旋转90。，当〃=2时，求出ABAE的数量关系；

(2)如图2,当"=抬"且点G落在直线AC上时，试探究线段AB,AE的数量关系，并写出证

明过程；

⑶如图3,若点尸落在AD上，BG与CF,CD分别交于点。，P,当O,D,E三点线时，

直接写出”的值.

18.如图,在菱形ABCD中，ZB=60°,点E为边8C上一点,将.CDE沿DE翻折得到^c'DE，

连接AC'并延长交。E于点尸，交BC于点G.

(1)设NAT>C'=2(z,探究NAKD的大小是否为定值，请说明理由;

(2)在OF上截取=连接求证：DH=C'F；

Arr5

⑶若会=g,BE=5,求菱形的边长.

FG4

19.【问题探究】

(1)如图①，点P是等边VABC内一点，PA=1,PB=6PC=2,则/APB的度数为

【类比迁移】

(2)如图②，若点P是正方形ABCD内一点，PA=1,PBf，ZAPB=135°,求尸C的

长；

【拓展应用】

(3)如图③，某公园有一块矩形水池ABC。，AB=600米，AD=800米，为方便观赏游玩，

工作人员计划在水池内P，。两点处增加亭台，连接AP,8P,CP,DP,AQ,OQ,PQ,且

SAPAD=2SAPBC,怎样选择点尸和点。的位置，可以使4。+。。+尸。最小？并求出

AQ+OQ+P0的最小值.

图①

20.(1)问题发现

如图1,在AACB和AOCE中，NACB=NOCE=90。，CA=CB,CD=CE,连接AD、DE,

则AD、BE的数量关系是------，AD,BE所在直线相交所成夹角的度数为.

（2）类比探究

如图2,在AACB和AOCE中，ZACB=ZDCE=90°,NC4B=NCDE=30。，连接AD,DE,

请判断AO,BE的数量关系及A。，BE所在直线相交所成夹角的度数，并说明理由.

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将AOCE绕点C在平面内旋转.若CE=1,CB=2,请直接写出当直线OE

经过点B时BE的长.

21.【探究发现】

（1）如图1,在正方形中，E是。C边上一点（不与端点重合），尸为CB延长线上

一点，S.ZJ3AD=ZEAF,连接EF,点“在线段所上，且/AHF=NADC,连接

求证：AFAB^^EAD；

【类比迁移】

（2）如图2,在矩形A2CD中，E是。C边上一点（不与端点重合），P为CB延长线上一

点，kZBAD=ZEAF,连接砂，点H在线段所上，且NA7iF=NADC,连接。求

证：AFABS^EAD；

【拓展提高】

（3）如图3,在菱形ABC。中，E是DC边上一点（不与端点重合），尸为CB延长线上一

点，^.ZBAD=ZEAF,连接砂，点H在线段所上，且NA7iF=NADC,连接若

AD=6,ADC^60°,EHEF^28,求3F的长.

图1图2图3

22.【问题情境】如图，在VA5c中，ZACB=90°,AC=kBC,CD是AB边上的高，点E是

08上一点，连接CE,过点A作AFLCE于歹，交CD于点G.

【特例猜想】如图1，当人=1时，直接写出DG与DE之间的数量关系为:

【问题探究】如图2,当上片1时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若

不成立，请指出此时。G与OE的数量关系，并说明理由;

3

【类比运用】如图3,连接。/，若左=:，AC^AE,DF=6,求DG的长.

图1图2图3

23.【问题情境】

综合与实践课上，老师发给每位同学一张正方形纸片ABC。.在老师的引导下，同学们在边

BC上取中点E,取CD边上任意一点尸(不与C,。重合)，连接跖，将△CEF沿所折叠,

点C的对应点为G.然后将纸片展平，连接尸G并延长交所在的直线于点N,连接

EN,EG.探究点厂在位置改变过程中出现的特殊数量关系或位置关系.

图1图2图3

【探究与证明】

(1)如图1,小亮发现：NF硒=90。.请证明小亮发现的结论.

(2)如图2、图3,小莹发现：连接CG并延长交AB所在的直线于点7/,交EF于点M,

线段EN与C”之间存在特殊关系.请写出小莹发现的特殊关系，并从图2、图3中选择一

种情况进行证明.

【应用拓展】

(3)在图2、图3的基础上，小博士进一步思考发现：将EG所在直线与所在直线的交

点记为尸，若给出和BC的长，则可以求出CE的长.

《2025年中考数学压轴题专练：几何探究题》参考答案

1.（1）图见解析，30°

（2）见解析

（3）1或3

【分析】（1）根据题意作图，由菱形的性质可得VA5C是等边三角形，根据等腰三角形的性

质可得4"_L8C,由直角三角形的性质即可求解；

（2）如解图，连接AC,由四边形ABCD是菱形，可得VA2C和△ADC都是等边三角形，

再证△54〃丝△CRV（ASA）即可求解；

（3）根据题意作图如解图，过点A作AHLBC于点连接AC,可得VABC是等边三角

形，由勾股定理可得AH=2«,在Rt~4月"中，明=而，AH=2y/3,由勾股定理可得

期=1,同理可得m=1,分类讨论：当点P在点H的左侧（片的位置）时，

CP=CH+HPx=2+\=3.当点P在点H的右侧（鸟的位置）时，CP=CH-HP2=2-\=\.

再由（2）知AA4P丝AC4N（ASA）,可得线段DN的长为1或3,由此即可求解.

【详解】（1）解：作NM4N如解图，

:四边形是菱形，

AB=BC,

如图所示，连接AC,—3=60。,

；.VABC是等边三角形,

Zfi4c=60°,

:点M是BC中点，

/.AMLBC,即ZAWB=90°,

・•・ZBAM=30°,

故答案为：30；

（2）证明：如解图，连接AC,

。•・四边形ABC。是菱形,且4=60。，

:.AB=AD=BC=CD,ZB=ZD=60°,

/.△ABC和AADC都是等边三角形，

:.AB=AC,AB=ZACN=ZBAC=60°,

:.ZBAM+ZMAC=60°,

・・・NM4N=60。，

:.ZMAC^ZCAN=60°,

/.ZBAM=ZCAN,

••.△a4M也4C47V(ASA),

:.AM=AN.

（3）解：根据题意作图如解图，过点A作AHL3C于点”，连接AC,

四边形A3CD是菱形，且NB=60。，AB=4,

,\BC=CD=AB=4,

「.△ABC是等边三角形，

\BH=CH=-BC=2,

2

AH=y/AB2-BH2=A/42-22=2垂)，

在RtAA《"中，A^=713,AH=2A/3,

222

HPV=^AP；-AH=7(713)-(2T3)=1,同理可得"g=1,

当点尸在点H的左侧（［的位置）时，CP=CH+班=2+1=3；

当点尸在点H的右侧（鸟的位置）时，CP=CH-HP2=2-1=1.

，CP=1或3；

由（2）知△547~CW（ASA）,

:.BP=CN,

:.DN=CP,

.,•线段rw的长为1或3.

【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，

勾股定理的综合运用，掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性

质，分类讨论思想是解题的关键.

2.（1）图见解析；45

Q12BD=3CE；理由见解析

（3）CE的长为2或6

【分析】（1）利用SAS证明据此求解即可；

（2）先证明NEW=NC4E,再证明A4BCszviD石得喂=喂，然后再证明△AB。,

ACAE

据此求解即可；

（3）先证明N&ID=NC4E,再证明得黑=当，从而当=当，然后再

ACAEACAE

证明△AB。可证结论成立.

【详解】（1）解：画出图形如图.

・・・VABC和VADE都是等腰直角三角形，

AAB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=9009ZABC=ZACB=ZADE=45°9

：.ABAC-ADAC=ZDAE-ZDAC,

即N8W=NC4E,

AABD^AACE(SAS),

JZABC=ZACE=45°f

故答案为：45；

(2)解:成立,

理由：；AB=BC,

,・ABAC=ZACB=|x(180°-ZABC),

:AD=DE,

\ZDAE=ZDEA=-x(180°-ZADE),

2

:ZABC=ZADE,

\NBAC=NDAE,

\ZBAD=ZCAEf

ABBC

：ZABC=ZADE,

AD~DE

\AABCSAADE,

.ABAD

*AC-AE?

•・AABD'ACE,

,BDAB6_3

*CE-AC-4-2

•・2BD=3CE；

(3)解：当点。在线段BC上时，如图,

由(2)知，AABD-△ACE,

.ABBD

^AC~CEf

.66-3

••一=~~,

4CE

：.CE=2；

当点。在线段5c的延长线上时，如图,

E

综上可知，CE的长为2或6.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性

质等知识，证明是解(1)的关键，证明是解(2)(3)的关

键.

3.(1)见解析(2)见解析(3)1

6

【分析】⑴根据正方形的性质，证明丝ADCV(ASA)即可得证；

(2)根据矩形的性质，证明AWQ-ADNC,即可得证;

(3)折叠可知：EFA.DG,由(2)可得：一=—,求出DG的长，勾股定理求出AG

DGAD

的长，设DE=GE=x,在Rt&4GE中，利用勾股定理求出工的值，再利用面积公式进行求

解即可.

【详解】(1)解：•・•四边形ABC。是正方形，

:.AD=CD,ZBAD=ZADC=90°,

・；DM1CN,

ZDQN=900=ZADC,

ZADM+ZMDC=90°=ZMDC+ZDCN,

.\ZADM=ZDCN,

在A4DM和△OC7V中，

ZADM=NDCN

<AD=CD,

ADAM=ZCDN

「.△ADM/△QC/V(ASA),

.-.DM=CN；

(2)证明：•.,四边形A3CD是矩形，

:.ZA=ZNDC=90。,

♦;CM1DN,

ZDQN=9Q°,

:.ZADM+ZCND=90°,ZADM+ZAMD=90°f

:"CND=ZAMD,

\-ZA=ZCDN,

:△AMD^ANC,

DMAD

,~CN~~CD；

(3)由折叠可知：EFYDG,

HFAR2*\/10_

由(2)可知，—=—，即刀一—2,解得OG=M，

DCJAD-----=一

DG3

二.在Rt^WG中，由勾股定理得AG=JOG?-AD?=],

由折叠的性质可得，DE=GE,

设：DE—GE—x,贝!JAE=AD—DE=3—九,

・•・在RJAGE中，由勾股定理得AG2+AE2=G^2,

.,.12+(3-X)2=X2,解得x=g,

/.DE=~,

3

-'-^ADEG=JX1=g-

【点睛】本题考查正方形的性质，矩形与折叠，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判

定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等和相似，是解题的关

键.

4.⑴见解析

(2)①为等腰直角三角形，理由见解析；②4点

【分析】(1)由题意可得NAFE=/£>=90。，推出NEFC=ZE4B即可求证；

(2)①由题意可得△加是等腰直角三角形，进一步得△「小?是等腰直角三角形；证

VABN四VNCE即可求证；②延长AF交BC于点H,连接EH,可证VEFH丝VECH；设

4

FH=CH=x,则3H=12_x,AH=12+x,根据342+犯2=钻2解得：x^--设

32

MN=BN=y,H]NH=BC-BN-CH=}-y,根据MTV?+M"?=NH?解得：V=4；据

此即可求解.

【详解】(1)证明：由题意可得：ZAFE=ZD=90°

：.ZAFB+ZEFC=ZAFB+ZFAB=90°

：.ZEFC=ZFAB

'：ZABF=ZECF=90°

：.AABFsAFCE

(2)解:①"EN为等腰直角三角形，理由如下：

由题意得：AF=AD=BC=s/2

BF=ylAF2-AB2=1=AB

.•.△钻尸是等腰直角三角形

:AABFsAFCE

•1•△八光是等腰直角三角形

CF=BC-BF=y/2-l=CE

由(1)得：ZMFN=ZCEF=45°

•.・ZAMN=ZABN=90°

：.ZNMF=90°

・•・AM"是等腰直角三角形

MN=MF=AF-AM=AF-AB=y/2-l

BN=MN=42-1=CE

：.CN=BC-BN=1=AB

：.NABN^/NCE

：.AN=EN

9：ZNAM+ZEAF=-/BAD=45°

2

・•・"EN为等腰直角三角形

②延长"交BC于点H,连接£”，如图所示:

由题意得：AM=AB=DC=8fCE=DE=EF=4fAF=AD=BC=12

：.FM=AF-AM=4

•・•ZEFH=ZECH=90°

：.VEFH^VECH

设FH=CH=x,则3"=12—%,AH=12+x

BH2+AB1=AH2

：.(12-X)2+82=(12+X)2

4

解得:x=-；

416

・・・MH=AH-AM=12+——8=——

33

32

设MN=BN=y,虾NH=BC-BN-CH=b-y

丁MN2+MH2=NH2

解得：y=4；

FN=4iMN=4也

【点睛】本题考查了几何综合问题，涉及了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与

性质、勾股定理等知识点，掌握相关几何结论是解题关键.

BEk

(2)不成立，新结论为方=/场，证明见解析

⑶5

【分析】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三

角形和相似三角形是解答本题的关键

(1)在边上取一点使=连接EM,则=根据SAS证明

△⑷WE四△ECF即可；

(2)(1)中结论不成立,在AB边上取一点M,使BM=k-BE,连接EM,则ME=y/k2+\BE，

证明即可得出绪论；

(3)过F作切_LCD于H,证明△MEsA4£)G和"GDs△GFH,求出m=4,斯=3,

再运用勾股定理求出。厂

【详解】(1)解：如图1,在边上取一点M,使BM=BE,连接贝=

AAB=BC,AE=EF,

BM=BE,

：.AB-BM=BC-BE,即4W=CE,

VZMAE+ZAEB=90°,ZAEB+ZCEF=180°-ZAEF=90°,

ZMAE=/CEF,

：.AAME/AECF(SAS),

CF=ME=y[2BE，

.BEBE也

CF~42BE-2,

BEk_BE左、

(2)解：(1)中的结论不成立，新结论为彳=-

Jk2+lCFk2+l

理由：如图2,在42边上取一点使=左BE,连接上"，贝=JF+IBE，

G

:」

BEC

图2

VZ1+ZA£B=9O°,ZAEB+N2=180。—ZAEF二90°,

AZ1=Z2,

..ABAE

,——=——=k7,

BCEF

.AMAB—BMk(BC-BE)_卜

••EC-BC-BE-BC-BE-'

.AEAM

"EF~EC"

：.AAME^AECF,

.MEAEyjk2+[BE,

••——=,即---------=k,

CFEFCF

BE_k

ACF=7FT7'

(3)解:如图3,过尸作M_LCD于H,

G

一

BEC

图3

VZl+ZEAZ)=90o,NE4D+N2=90。，

・Z1=Z2,

Ar

•矩形ABCD和矩形AEFG,—=—=k,

BCEF

AB=k,AD,AE=k-AG,AE=FG,AG=EF,

ABAE,1AG_1

----=k=—

ADAG2GF

Z\ABEs^ADG,

ABBE1BE

---,即an一二——

而DG28

BE=4,

,•殷_2

*CE~39

：.BC=10,

AB=k-BC=5,

VZAGD+ZDGF=90°,ZAGD+Z2=90°,

：.Z2=ZDG,

：.AAGD^AGFH,

AGAD篝即2二瑞8

~GFGHFH

：.GH=5,FH=4,

：.DH=DG-GH=3,

DF=^DH2+FH2=V32+42=5•

6.(1)PM=PN,PMLPN

(2)#MN是等腰直角三角形

(3)l

【分析】(1)根据三角形中位线定理得PN〃3D,PN=；BD,PM//CE,PM=gcE,

从而得出PM=PN,PMLPN■

(2)首先利用SAS证明△ABD=△&(?£,得ZABD=ZACE,BD=CE,再由(1)同理说

明结论成立；

(3)先判断出最大时，APAW的面积最大，进而求出AN,AM,即可得出MN最大

=AM+AN,最后用面积公式即可得出结论.

【详解】(1)解：•••点P,N是BC,C。的中点，

:.PN\\BD,PN=；BD,

•.•点P,M是CD,DE的中点，

:.PM\\CE,PM=gcE,

■.■AB=AC,AD^AE,

BD=CE,

:.PM=PN,

•.-PN\\BDf

:.ZDPN=ZADCf

vPM||CE,

:.ZDPM=ZDCA,

•/ABAC=90°,

/.ZAZ）C+ZACD=90°,

.•.ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCA+ZADC=90。，

/.PM工PN,

故答案为：PM=PN,PMLPN•

（2）解：△PMN是等腰直角三角形.

理由如下：由旋转知，ZBAD=/CAE,

\AB=AC,AD=AE,

.•.△ABZ）^AACE（SAS）,

,\ZABD=ZACEfBD=CE,

利用三角形的中位线得，PN；BD,PM；CE,

22

:.PM=PN,

二.△尸脑V是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM//CE,

:.ZDPM=ADCE,

同（1）的方法得，PN//BD,

:.ZPNC=ZDBCf

ZDPN=ZDCB+/PNC=/DCB+/DBC,

/.ZMPN=ZDPM+NDPN=ZDCE+ZDCB+Z.DBC=ZBCE+ZDBC

=ZACB+ZACE+ZDBC=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC,

■.■ABAC=90°,

ZACB+ZABC=90°,

：.ZMPN=90°,

.•.△PMN是等腰直角三角形；

(3)解：如图，同(2)的方法得，APMN是等腰直角三角形，连接⑷V,AM,

•?MN<AM+AN,

...当点AM,N三点共线时，MN最大,

最大时，APAW的面积最大,

.1•MV最大=AM+A7V,

在VADE中，AD=AE=2,ZDAE=90。,

...由勾股定理得：DE=>J2AD=2A/2，

:点〃为DE中点,

.-.AM=-DE=y(2,

2

在Rt^ABC中，AB=AC=4,同上可求AN=2后,

MN最大=2>/2+72=3A/2,

同上可得：MN=41PM-

PM=—MN,

2

SgMN藏大=|™2=1=5x(3回2=|.

【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的

判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系和旋转的性质等知识，证明APMN是

等腰直角三角形是解题的关键.

7.(1)证明见解析

Q)BF=CF,理由见解析

(3)373-3

【分析】(1)证明BE=BF且NDBE=NCBF,从而证明三角形全等；

(2)过点尸作GF，3C,垂足为点G,取AB中点耳，连接，由四等分点证明DH=BD,

再根据三线合一得到CD，进而证明ABDE丝ABGW,最后可得GF是BC的垂直平分

线，根据垂直平分线的性质得到族=CF；

(3)以BC为边作等边三角形BCM,连接M/，证明ABCE丝ABMF,则可得点歹在以8M

为直径的圆弧上运动，起点为BC的中点N,终点为点连接OC,交圆弧于点尸，此时

C尸取得最小值，即可求出答案.

【详解】(1)证明：•.•△3EF是等边三角形，

:.BE=BF,NEBF=60°,

•.•ZABC=60。，

ZABC-NCBE=ZEBF-ZCBE,即NDBE=ZCBF,

又•；BD=BC,

:.ABDE^BCF(SAS).

(2)BF=CF,理由如下：

过点尸作GFLBC,垂足为点G,取48中点连接CH,

ZACB=90°,ZABC=6f)°,

HD

：.BC=-AB,

2

•・,点H是AB的中点，

：.BC=AH=BH,

・・・ZABC=60°,

.•.△3C”是等边三角形，

:.CH=BC,

・・,点H是45中点，点。是AB四等分点，

:.DH=BD,

•.­CH=BC,

S.CD^BH,

由(1)得/EBD=/FBG,

X•/ZEDB=ZFGB=90°,BE=BF,

:.ABDE均BGF(AAS),

:.BD=BG,

•.•CD±BH,ZABC=60°,

.•.N5CD=30。，

:.BC=2BD,

:.BD=BG=GC,

・.・GF±BC,

.•.G尸是BC的垂直平分线，

:.BF=CF.

(3)以5c为边作等边三角形3cM,连接W,

:.ZCBE=ZMBFf

:ABCE%BMF(SAS),

.\ZBEC=ZBFM=90°f即当点。和点£运动过程中，始终保持/班70=90。,

则点尸在以期为直径的圆弧上运动，起点为5c的中点N,终点为点M,

由三角形三边关系可知CF+OF2c0,则CBNCO—OF,

连接OC,交圆弧于点歹，此时CR取得最小值，

•.•△3CM是等边三角形，点。是EW中点，BC=6,

:.OC±BM,03=3,

OC=yjBC2-OB2=373，

:.CF=OC-OF=343-3,

则C尸的最小值为-3.

【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,垂直平分线的性质，

隐圆，本题的关键在于构造全等三角形，发现隐圆从而解决最小值问题.

8.（1）1；（2）PF=^--（3）BC+CF=yj2PC>理由见解析.

O

【分析】（1）由矩形的性质得3c=AD=3,AB=DC=5,ZASC=90°,即可由勾股定理

得BEAECJBC?=4,再根据线段和差的关系即可求解；

（2）作尸钻于点延长交DC于点N,由直角三角形的性质可得

尸2="尸=尸。=1£。=9,由M为防的中点可得=进而得到是AEBC的

222

13

中位线，即得尸MJg=匕又可得四边形MVCB是矩形，得到MN=3C=3,即可得

22

PN=MN-PM=~,最后证明得至ij丝£="，据此即可求解；

2PNPF

（3）过点尸作尸H_LDC于作PGLBC于G,由角平分线的性质可得PH=PG,即可

得四边形尸HCG是正方形，得到ZHPG=90。,CH=CG,进而可证明四△PHF（ASA）,

即得HF=8G,得至“BC+CF=CG+BG+CF=CG+HF+CF=CG+CH=2CG,再在

□△PCG中，由勾股定理得0PC=2CG，即可得到BC+CT=0PC.

【详解】解：（1）:四边形ABCD是矩形，

BC=AD=3,AB=OC=5,ZABC=90°,

,/EC=5,

BE=1EC，-BC，=&2—3?=4，

AE=AB-BE=5-4=1,

故答案为：1;

(2)作于点延长MP交。。于点N,

・・•四边形ABCD是矩形.

AZABC=90°,AB//CD,

又・・・。为£C的中点，

・•・PB=EP=PC=-EC=-

22f

*.*PMLAB,

：.ZPMB=90°f

为师的中点，

・・・BM=-BE=2,

2

・•・PM是△ESC的中位线，

13

・・・PM=—BC=—,

22

又・.・AB〃C。，ZBMP=90°,

:•/PNC=90。,

・・・四边形MNCB是矩形，

:.MN=BC=3,

33

・・・PN=MN—PM=3——=-,

22

•・•PF±PB,

：.ZBPF=90°f

：.Z1+Z2=180°-ZBPF=90°,

N3+N2=90。，

・•・Z1=Z3,

:./XPMBsAFNP,

,BMBP

,•再一而'

.2_2.5

*f5-PF

（3）BC+CF=4^PC，理由如下：

过点。作尸于"，作PGL3C于G,

：.ZPHC=ZPGC=9Q0,

・・•四边形ABCD是矩形，

：.ZBCD=90°,

・.•ZBCE=45。,

・•・CE平分/DCB,

：.PH=PG,

四边形尸HCG是正方形，

：.ZHPG=9Q°fCH=CG,

又•・•PF±PB,

：.NBPF=9。。,

・•・Zl+ZFPG=Z2+ZFPG=90°,

Z1=Z2,

△PGB^APHF(ASA),

：.HF=BG,

・•・BC+CF=CG+BG+CF=CG+HF+CF=CG+CH=2CG,

在Rt^PCG中，ZBCE=45°,PG=CG,

由勾股定理得：尸C=J5CG,

:•叵PC=2CG，

BC+CF=4^PC.

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线的性

质，余角性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，正方形的判定和性质，全等三

角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键.

9.⑴见解析

(2)30°

3

(3)OE=：AE,见解析

【分析】(1)根据垂直和直径所对的圆周角为直角可得=判定G4〃CD,贝U

ZGAF=ZOCF,结合=即可判定相似；

(2)由题意得NAO3=120。，结合垂径定理得AO=80,则NAOD=4QD=60。，由圆周角

定理得ZACD=-ZAOD；

2

CF

(3)设=则一=2,即C石=2%,求得OE=2x—r,在RtZ\AO石中，由勾股定理求得

AE

533

r=-x,^OE=-x=-AE.

444

【详解】(1)证明：：ABLCD,

/.ZAEC=90°,

,：3G为。。的直径，

ZGAB=90°,

：.ZAEC=NG4B=90。，

GA//CD,

：.Z.GAF=Z.OCF,

XV/GFA=/OFC,

：.AAGFs"OF；

(2)解：连接。4,如图，

c

对应的圆心角的度数为120。,

ZAOB=120°,

'：OD1AB,

•*-AD=BD，

JZAOD=ZBOD=60。,