2025年中考数学压轴题专练：二次函数与圆综合（含答案）

2025年中考数学压轴题专练：二次函数与圆综合

1.已知抛物线了=--2了-3与X轴交于/,3两点（点/在点8左侧），与了轴交于点C.

⑴直接写出B,C三点的坐标；

⑵过4,3两点作。“，交抛物线于点。（点。在对称轴右侧），若/DMB=90°,求点

M的坐标；

_15

⑶如图2,点0是抛物线对称轴上，纵坐标为一了的点，点E是对称轴上抛物线下方的动

点，以点0为圆心，为半径作圆交抛物线于点尸（点尸在对称轴右侧），求证：直线

成7与抛物线有唯一公共点.

2.如图①，经点⑼的直线与经过点A的二次函数广办2+队的图像交于点°（1，-3）,

与了轴交于点5.

1/90

(1)求二次函数的解析式及点8的坐标；

(2)如图②，点P是线段NC下方抛物线上的一个动点，过点尸作x轴的垂线，交线段

/C丁点尸，再过点尸作了轴的垂线交抛物线于点是否存在点尸使△尸斯为等腰直角

三角形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由;

(3)如图③，点。为线段48上的一个动点(不与48重合)，经过4。，°三点的圆与经过

点A且垂直于N2的直线交点G,当AOQG面积取最小值时，求直线上打点的坐标，使

得周长最小.

3.二次函数＞="+云+8的图像与x轴分别交于点/(2,0)、'(4,0),与夕轴交于点

点P是这个函数图像的一个动点.

⑴求这个二次函数的表达式;

(2)如图1,当点P在直线8C下方时，过点/＞作尸垂足为河，求尸河的最大值；

(3)如图2,当点尸在x轴上方时，连接"、PB,直线/是二次函数图像的对称轴，过点

P作PNU,垂足为N,以点N为圆心作圆，尸7与ON相切，切点为工若以尸7的长为

边长的正方形的面积与的面积相等，试说明。N的半径是常量.

4.如图，抛物线夕=--+法+3交x轴负、正半轴于A,B两点，交V轴于点C,连接

AC,tanZOAC=3,的外接圆的圆心为M

s_

⑵在/C段的抛物线上是否存在一点p使iS=Cp-2,若存在请求出点p坐标，若不存在,

说明理由；

(3)圆上是否存在0点，使△4℃与相似？若存在，直接写出点0坐标；若不存在,

说明理由.

5.如图1,抛物线了=*+云+4经过点/(-4,0)、8(1,0),交,轴于点C(0,4),点尸是

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抛物线上一动点.

图2

（1）当点P的坐标为（一2,6）时，求四边形/℃尸的面积;

（2）当NP2N=45。时，求点尸的坐标；

⑶过点4。、C的圆交抛物线于点E、F,如图2.连接/£、”、EF,判断△/斯的

形状，并说明理由.

12,

y=—x+bx+c

6.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2与1轴交于两点，与歹轴

交于C点，且05=OC=4.

JJ

FBF

CC

备用图

(1)求抛物线的解析式;

(2)在第一象限内抛物线上是否存在点使/8CM=15。，如果存在，求M点的坐标，如

果不存在，说明理由；

⑶若。是抛物线第二象限上一动点，过点。作DF'x轴于点尸，过点/、B、。的圆与

DF交于E点、,求的面积.

7.如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4T)的抛物线交y轴于N点，交x轴于8,C两

点(点3在点C的左侧).已知/点坐标为(°，3).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)已知点尸是抛物线上的一个动点，且位于4,C两点之间(不与4,C重合)，连

接/C.当点尸运动到什么位置时，A4。的面积最大？求出此时点P的坐标.

(3)过点8作线段的垂线交抛物线于点。，如果以点C为圆心的圆与直线8。相切，请

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判断抛物线的对称轴/与°C有怎样的位置关系，并给出证明;

8.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线N=-/+bx+c与了轴交于点C,

与x轴交于“(T°)8(3，°)两点，连接8c.点0为线段8C上方抛物线上任意一点，连接

“。交8c于点p,以点P为圆心作圆.

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标.

(2)当点5和点C同时在0P上时.

①直接写出点。与。尸的位置关系.

②求点。的坐标.

PQ

(3)当点。在。尸上，且/尸的值最大时，直接写出连接点A与。尸上各点的所有线段中,

最短线段的长度.

9.如图，二次函数夕=x?-6x+8的图象与x轴分别交于点A,B(点A在点8的左侧),

直线/是对称轴.点尸在函数图象上，其横坐标大于4,连接尸/,PB,过点尸作尸河，/,

垂足为以点"为圆心，作半径为『的圆，尸T与相切，切点为7.

(1)求点A,8的坐标；

⑵四边形/3P河能是一个菱形吗？若能，求出点尸的坐标；若不能，说明理由；

⑶若以PT为边长的正方形的面积与AP/8的面积相等，且。“不经过点"(3,2),求

尸赫的取值范围.

10.如图，在平面直角坐标系中，以点“(2,4)为圆心，以"°的长为半径的圆交x轴于点

A,交＞轴于点C.过点2(-2,2)的直线/与。M相切，且与y轴，直线x=2分别交于

D,E两点，连接N8,AD.

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⑵判断△48。的形状并说明理由；

（3）已知抛物线了="2-4G（。#°）,在x轴上方的抛物线上是否存在点尸，使得以

B,M,P为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出“的值；若不存在，请说明

理由.

11.如图，抛物线的顶点为且经过点BQ，。），以坐标原点。为圆心的圆的半径

备用图

(1)求抛物线的函数解析式.

(2)求证：直线48与0°相切.

(3)己知P为抛物线上一动点，线段PO交0°于点当以M,O,A,C为顶点的四边形

是平行四边形时，求的长.

12.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线'=*+2'+3与x轴交于4B两点(点A在

点3的左侧)，与歹轴交于点°,连接BC.

⑴请你直接写出却C两点的坐标，并求直线的表达式.

(2)如图②，点尸为直线8c上方抛物线上一动点，设点尸的横坐标为优,以点尸为圆心的

圆与直线8c相切，当。尸的半径最大时，求优的值.

⑶设点。是抛物线对称轴上任意一点，点火是抛物线＞=-/+2》+3上任意一点.是否存在

这样的点五，使以反c、R。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点

R的坐标，若不存在，请说明理由.

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12,

y=—x+bx+c.

13.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2与x轴交于42n两点，与y

轴交于C点，且08=℃=2。4.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在点使=如果存在，求点M的坐标，如果不存在,

说明理由；

(3)若点。是抛物线第二象限上一动点，过点。作。尸,X轴于点R过点4瓦。的圆与

DF交于点、E,连接AE，BE,求的面积.

=V52_V52

14.如图，抛物线’42分别交x轴于点4B(点A在点3的左侧),

交了轴于点C.

图1图2图3

⑴求点A和点8的坐标；

⑵以5为圆心，3为半径作圆.

①如图1,连接/C,尸是线段/C上的动点，过点尸作。8的一条切线（点"为切点）

,求线段PW的最小值；

②如图2,点。为抛物线的顶点，点。在圆8上，连接C。，DQ,求2的最大

值.

15.已知二次函数>="2+8+0的图像与x轴交于48两点，其中点A为（T，°）,与V轴

3

⑴求二次函数>=依2+8+。的表达式；

⑵圆°,为A/BC的外接圆，点石是/C延长线上一点，Z8CE的平分线CO交圆。于点

连接40、BD,求ANCD的面积；

⑶在（2）的条件下，了轴上存在点尸，使得以RC1为顶点的三角形与相似，则

P点坐标为.

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y=a(x—3)2H----

16.已知抛物线4过点C(0,4).顶点为与x轴交于/、B两点.如图所

示以为直径作圆，记作。D.

(1)求抛物线解析式.

(2)判断△CDM的形状，并证明你的猜想.

(3)抛物线对称轴上是否存在点尸，若将线段0尸绕点尸顺时针旋转90°,使C点的对应点

C'恰好落在抛物线上？若能，求点尸的坐标；若不能，说明理由.

17.已知抛物线经过户4+6x+c点/(TO)、8(1,0)C(0,3)

(1)求抛物线解析式和直线/C的解析式；

⑵若点p是第四象限抛物线上的一点，若S*/c=10,求点尸的横坐标；

⑶如图2,点M是线段NC上的一个动点(不与4C重合)，经过4M。三点的圆与

过A且垂直于/C的直线交于点N,求当5刎最小时点M的坐标及49最小值.

18.已知：如图，抛物线歹=办2+法+1的图象关于了轴对称，且抛物线过点(2,2),点

尸为抛物线上的动点，以点尸为圆心的。尸与x轴相切，当点尸运动对，。尸始终经过了轴

上的一个定点£.

(1)求抛物线的解析式；

⑵当。尸的半径为7时，。尸与7轴交于〃，N两点，求的长;

⑶求定点E到直线了=履一肱的距离的最大值.

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19.如图1,在平面直角坐标系中，二次函数y=/+6x+c的图象交X轴于/(T，°),B两

点，48=4,C为抛物线顶点.

(1)求6,。的值；

(2)点尸为直线40下方抛物线上一点，过点尸作PQ'x轴，垂足为点°,交力。于点川,

是否存在加=3PM?若存在，求出此时P点坐标；若不存在，请说明理由；

CN+-AN

⑶如图2,以B为圆心，2为半径作圆，N为圆5上任一点，求2的最小值.

y=-^-(x+w)(x-3m)

20.如图，V关于x的二次函数3加'图象的顶点为加，图象交》轴于A、

8两点，交了轴正半轴于点。.以N8为直径作圆，圆心为点0,定点£的坐标为(一二°),

(1)求用加表示的A、B、。三点坐标；

(2)当机为何值时，点M在直线区＞上？判定此时直线即与圆的位置关系;

(3)当，"变化时，用加表示的面积.

21.若抛物线V="2+bx+c交x轴于/(L0)、8(5,0)交y轴于C(0,5)

(1)请求出抛物线的解析式并直接写出"2+法+。＜0的解集.

(2)在抛物线对称轴上有一点P.当三角形4。为直角三角形时请求出P点的坐标.

cMC+-MA

(3)以8为圆心2为半径做圆，上有一点连接MC、请求出2的最小

值.

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22.如图1,已知抛物线了=*+云+。经过点8(-5,0)两点，且与了轴交于点

⑴求6,c的值.

(2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点P,使得△尸8c的面积最大？求出点尸的坐标及

△尸的面积最大值.若不存在，请说明理由.

(3)如图2,点£为线段BC上一个动点(不与5,C重合)，经过2、E、。三点的圆与过点

8且垂直于的直线交于点尸，当AOM面积取得最小值时，求点£坐标.

23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线广/+加+0与x轴交于点/GO),和点8(4,0),

直线/是对称轴.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)在直线/上是否存在点C,使4c8=45。？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说

明理由.

(3)尸为第一象限内抛物线上的一个动点，且在直线/右侧，连接尸工，PB,过点尸作

PM工1,垂足为河，以点M为圆心，作半径为厂的圆，PT与。”相切，切点为葭若

P『=S*且。屈不经过点G，3),求PW长的取值范围.

13)

y——x2—x—4

24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线"42，了与x轴交于4,3两点，与y

轴交于点C.

⑵直接写出△28C的重心点M的坐标；

⑶坐标系中存在点N("，6),且N/N2=45。，请你推导计算出〃的值;

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(4)如图2.若点P在以点。为圆心，0/长为半径作的圆上，连接AP、CP,请你直接写

-CP+BP

出2的最小值.

《2025年中考数学压轴题专练：二次函数与圆综合》参考答案

1（1/（-1,。），5（3,0）jC（0,-3）

⑵0,3）或（IT）

（3）证明见解析

【分析】（1）分别求出当x=0时，V的值；当＞二°时，x的值，由此即可得；

（2）求出圆心初必在48的垂直平分线上，即在直线x=l上，设点"的坐标为"°，加），

分两种情况：①点"在x轴上方和②点"在x轴下方，再通过全等三角形的性质求出点

。的坐标，代入二次函数的解析式求出加的值，由此即可得；

⑶先求出点。的坐标为Qi4［设点尸的坐标为""一2"3）（。＞1）,点£的坐

标为E（L〃）（〃＜-4）,再过点尸作直线QE的垂线，垂足为点〃，连接。尸，在RtAQFH中,

利用勾股定理可得"二一（"一1）一一4,从而可得点E的坐标，利用待定系数法求出直线环的

解析式，然后联立直线跖和抛物线的解析式，由此即可得证.

【详解】（1）解：对于二次函数y=--2x-3,

2

当N=0时，X-2X-3=0,解得X=-1或X=3,

当x=0时，尸-3,

•••抛物线歹二一一级—与工轴交于“潭两点（点A在点8左侧），与了轴交于点C,

,^（-1,0）5（3,0）C（0,-3）

••f，•

（2）解：二次函数-2x-3=（x-l）2-4的对称轴为直线彳=1,

•••过42两点作°河，

二圆心M必在N5的垂直平分线上，即在直线x=l上，

设点”的坐标为"O'"），

①如图，当点M在无轴上方时，则加＞0,

过点M作Wx轴于点N,过点。作OG1MN,交加饮的延长线于点G,

1/90

ZG=Z.MNB—90°,BN=3-\=2,MN=m,ON=1,

,.,ADMG+AMDG=9Q0，

・•・/DMB=90。,

•.•ZDMG+ZBMN=90°，

...ZMDG=/BMN,

在ADMG和丛MBN中,

NG=/MNB=90。

</MDG=ZBMN

DM=MB

.△Z)MG丝△MSN(AAS)

•.•MG=BN=2,DG=MN=m，

•.•ON+DG=l+m,GN=MG+MN=2+m,

.D(l+m,2+m)

将点。。+在2+•代入二次函数k(1)2-4得:(1+…-4=2+q

解得加=3或机=-2<°(不符合题设，舍去)，

.•・"(45),位于对称轴右侧，符合题意，

此时点河的坐标为"(⑶；

②如图，当点M在x轴下方时，则加<0,

过点M作Wx轴于点N,过点。作DHL及W,交M0的延长线于点H,

.../H=NMNB=90°,BN=3-\=2,MN=-mfON=1,

同理可证：ADMHAMBN,

:.MH=BN=2,DH=MN=-mf

,.,ON+DH=\-m,NH=MH+MN=2-m,

,O（1-也一（2-加））即0（1—加，加—2）

将点0（1-加所2）代入二次函数k（1）2-4得:。一加一1）2一4=加-2,

解得加=T或%=2>°（不符合题设，舍去），

.•・0（2厂3）,位于对称轴右侧，符合题意，

,此时点初的坐标为“&T)；

综上，点加的坐标为。3)或(LT).

(3)证明：二次函数y"/一？》/=々-。--4的对称轴为直线工=1,顶点坐标为0,一4),

。卜，-与

则点。的坐标为I4人

设点尸的坐标为""点石的坐标为E(l,〃)(…4),

如图，过点方作直线V的垂线，垂足为点“，连接°厂，

3/90

15("1)2—；

QH=/-2a-3-

22

15

("1)2+("1)2-1-------n

在RtZiQT/中，FH2+QH2=QF\即4

22

15

-----n=("IT+；

整理得:4

QF=QE=--n>0

15z2I

-------n=(a-Al)+—

4V74,

〃=-(Q-1)2-4

设直线EF的解析式为了=区+6G40）,

k+b=-(a-l^-4

将点尸（。，/-2”3）代入得:ka+b=a?—2a—3

k=2(a-l)

2

解得b=—a—3

则直线EF的解析式为夕=2（。-1b一/_3

y=2(a-\ylx―Q2—3(J)

y=一一2%一3②

联立直线EF和抛物线的解析式得:

将②代入①得：2("f_3=x2_2x_3,即/_2姓+/=0,

这个方程的根的判别式为A=G2"）-一4/=°,这个方程有两个相等的实数根,

...直线EF与抛物线有唯一公共点.

【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、勾股定理、三角形全等的判定与性质、

一元二次方程的根的判别式等知识，综合很强，正确分类讨论，熟练掌握二次函数的图象

与性质是解题关键.

2.⑴,二12_41，（0,-4）

J7-V175-3而］

⑵尸CT或〔丁'^-1

⑶打（3,一1）

【分析】⑴直接将点C（『3）代入二次函数”/+为中即可求得a力得解，

同时设直线/C的解析式为片乙+加，代入“（4°）,°（-3）得到加值，即可得点8的坐

标；

⑵设尸6,苏一4%）,则尸3吁4）,式4-私疗-4机），进而得出

PE=\m-（4-m^=\2m-4\^PF=m-4-（m2-4m）=-m2+5m-4根据尸£=内列出方程,

解方程，即可求解；

⑶先求得直线/G的解析式尸r+4,设G（s,-s+4）,设o</<4,

OG的中点为圆心，设为Q,则,根据圆的性质，可得。一定在的垂直

平分线上，得出f+s=4,进而得出G（4-0）,用f表示出其8G,根据二次函数的性质得

出，其。司取得最小值时，G（2,2）,进而根据A°GH周长最小，设G关于N5的对称点为

N,得出N（6，-2）,求得直线ON的解析式为'一一3”,联立直线/C解析式，即可求解.

【详解】（1）解：依题意，将点“（4°）,°（1二3）代入二次函数解析式了="2+法中，

J16Q+46=0［a=\

可得］0+6=-3,解得H=-4,

・•・二次函数解析式为：尸/-4。

设直线AC的解析式为了=h+机（心°）,

5/90

将/（4,0）,C（-3）代入，

14左+机=0［k=\

可得在+%=-3,解得［加=一4,

故直线NC的解析式为N=x-4,

令x=0,得尸-4,

.••点^的坐标为。-4）；

⑵解：「k/一4》=6一2）2-4,对称轴为直线x=2,

设尸如苏-4〃）o＜加＜4,则尸（如加-4）,E（4-〃7,，〃2_4〃）

,PE=|m-（4-m）|=|2m-4|PF=m-4-^m2-4m^=-m2+5m-4

•・•△尸所为等腰直角三角形，PFLPE,

:,PE=PF,

.・.2m-4=-m2+5m-4或-2m+4=-m2+5加一4,

7-V177+V17

m=----------m=----------

解得：冽=°（舍去）或冽=3或2或2（舍去）,

2

当加=3时，m-4m=9-12=-3y

1n7-后/-4加二』［上姮-4］="亚

当机一丁时，212J2,

p（"历5-3而］

.•・时一D或〔二'一

⑶解：♦0=08=4,

...△0/8是等腰直角三角形，

...4/G=90。，

设直线"G与了轴交于点加，如下图，则△04”是等腰直角三角形,

,OM=OA=A,即"（Q4）,

V

G

TQ

D

r\

设直线/G的解析式为kG+4,代入州（0,4）,“（4,0）,

J4左+4=0kx=—1

Ji,解得

4=4

直线"G的解析式k-x+4,设G（S,-S+4）,

•・•点。为线段N8上的一个动点（不与"I重合），设一4）,0<Z<4,

•­AGLABf

t+st—s

二Q

••.OG的中点为圆心，设为Q,则22

又..Q=QO,则°一定在40的垂直平分线上,

—=2

.­.2,

.../+s=4,

,G（47/）

S.ODG=^OG-OD

=；J7+（一4）2.J（4_1）2+，

=1（2f2-8^+16）

=/2-4/+8

7/90

=（”2）2+4

...当f=2时，SMG取得最小值为4,

.G（2,2）

••，

设G关于48的对称点为N,

・•・/D4G=90。,

・•.N在直线/G上，

...AOGI/的周长为OH+OG+7/G=GO+07/+砌2GO+ON,

当“在ON上时，AOGH周长最小，

设N（%-"+4）

...GA=AN,

2+〃

-------=44

・•.2,

.•.〃=6,

.N（6,-2）

••，

设直线ON的解析式为＞=Qx,,

k=_L

.「2=6融，解得23,

1

y——x

，直线ON的解析式为3,

1

产亍卜3

联立[y=x-4,解得=

【点睛】本题考查了二次函数综合问题、二次函数与一次函数的综合应用、等腰三角形的

定义与性质、勾股定理、轴对称的性质、直角所对的弦是直径等知识，结合题意完善图像,

熟练掌握相关知识是解题的关键.

3.⑴y=丁-6龙+8

4垂

⑵5

⑶见解析

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，切线的性质、勾股定理、正方形、三角形面积

的计算等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键；

（1）利用待定系数法即可得出答案；

（2）连接尸8、PC,过点尸作交BC于点、D,求直线的解析式，设点尸坐

标为（"-6〃+8）,则£»（〃,一2〃+8）,得出肛根据%BC-严运用三角函数的

性质可得结论；

（3）设点尸坐标为（“一6,+8）,则山“；（4-2）（?-6，+8）="6，+8

设0N的半径为人根据切线的性质得尸72=尸篦一*=（-3）2一厂2,然后根据PT的长为边

长的正方形的面积与AP/8的面积相等，列式计算即可得出结论.

J0=4Q+2b+8

【详解】（1）解：由题意，得10=16。+46+8,

[a=\

A[b=-6

=x2—6x+8.

（2）连接心、PC,过点尸作.〃匕交5c于点D

9/90

o

由题意，可得点(°'8),设直线对应函数表达式为丁=区+8,则0=4上+8

:.k=一2,

...y=-2x+8

设点P坐标为-6〃+8),则D(%-2.+8),

PD--2n+8-(n1-6n+8)=-n2+4n

则邑咏=g尸》03=；(一"2+4〃)x4=-2(〃-2)2+8

当〃=2时，'me的最大值为8.

-BC-PM^S

.-.2,

-XA/42+82XPA/=8

...2

••・最大•书

(3)设点尸坐标为(北一6,+8),则邑9=；(4-2)(?-6，+8)4-6，+8

设0N的半径为八

•.•PT与ON相切，切点为工

PT2=PN2-r2=(t-3^-r2

•••以P7的长为边长的正方形的面积与AP4B的面积相等

.(f-3)2-r2=?2-6r+8

：.r2=1

...一>0,

r=1,

的半径是常量.

4(1)V=-"2+2%+3

Z3-VB3+屈、

2'9

(2)存在，＜)

⑶存在，(T")或(2，T)

【分析】(1)利用待定系数法直接求出抛物线解析式；

(2)分两种情况用三角形8c尸的面积建立方程，解方程即可得出点尸的坐标；

(3)先判断出三角形8C。是直角三角形，进而得出。是新的直径的一个端点，再分两种

情况求出直线交点坐标，进而判定是否相似即可.

【详解】(1)解：：抛物线＞=一/+加+3交y轴于点0,

.•.0(0,3)

/.0c=3,

oc

tanZOAC=——=3

•・•OA,

:.OA=1

...^(-1,0)

代入抛物线解析式V=--+及+3得：

0=-l-b+3

解得b=2,

该二次函数的解析式为'+2X+3；

e.3

ORCP一

(2)解：在/C段的抛物线上存在一点尸，使02；理由如下：

令^y=-工?+2x+3=-(x-3)(x+1)=0

解得：再=T,%=3,

.•.8(3,0),

尸(%,-%?+2%+3)

•••点夕在/。段的抛物线上，

♦TW0,

11/90

如图1,过尸作包，X轴于Z,

jjiy・S&BCP=S&BOC+S梯形尸£OC-S^PLB

[[3x3+(*+2x+3+3)x(3(3f)x(*+2x+3)]

22,

393

—x——2x=—_

222,X2-3X=1,

3-V133+V13

x=---------x=---------

解得，2或2(舍去)，

,，3-J131+V13

-x1+2x+3=-x2+3x-x+3=-l-------------F3

.•.点P纵坐标为：2-2-

(3-屈1+而)

，点尸坐标为22；

(3)解:圆上存在0点，使A/℃与A80C相似；理由如下：

如图2,

vC(0,3),

.­•3C=斤万=3及，

■■AB的垂直平分线是抛物线的对称轴&=1,

二点M的横坐标是1,

・・•△/0C是直角三角形，A/OC与AB。。相似,

是直角三角形，

8c不是直径，

.•.点0是。”的直径的一个端点，

①当乙BCQ是直角，则8。是直径，

CQVBC

:AAOCSAQCB,

QC_BC_BQQC372BQ

:.^O~~CO~~CA,gp13M,

:.BQ=2亚,CQ=y/2t

BM=QM=-BQ=4S

••2,

设点

V(3-l)2+^2=V5,

解得，r1或T(舍去)，

.'.A/(1,1),

•••8(3,0),

设点。(私〃),

丁点"是8。的中点，

3+加1

-------=1

<2

0+〃1

------=1

.•.〔2,

[m——1

解得:1"=2,

.•-2(-1,2).

13/90

②当乙8℃=90。时，则CQ是直径,

设。（加M,

•・.点M是CQ的中点，

0+m1

---=I

V2

3+〃1

---=1

，12,

（m=2

解得:〔”=一1,

综上，满足条件的0（-1，2）或Q（2,-l）.

【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象性质，求二次函数解析式、相似三角形的判定

和性质、勾股定理，圆周角定理，作辅助线够构造直角三角形是解题的关键.

5.（1）16

⑵（T4）或（-5,-6）

（3）△4即是等边三角形，理由见解析

【分析】（1）利用待定系数法求出函数的解析式，过点尸作尸于7,根据

S四边形佛形尸=S^PT+sOCPT歹U式求角军即可.

（2）取"（45）,连接防B%,易证明%=45。，则线段驱与抛物线的交点

（y=-X+-[卜=-3

月即为所求；求出直线8a的解析式为y=-x+1,联立〔k*-3》+4,解得[y=4或

Jx=1

壮二°（舍去），则6（T4）；如图所示，取名㈠,-5）,连接/凡，BH、同理可得

ZABH2=45°t则直线时与抛物线的交点心即为所求；同理可得6（一5,一6）；则符合题

意的点P的坐标为（一二3）或（一5,-6）；

（3）由90度的圆周角所对的弦是直径得到NC为过40C三点的圆的直径，如图所示,

取/C中点尺，连接NE，AF,EFERFR,则火（々2）,OA=OC=4

22(SY

3+2)+(n-2)=--

________\27

AC=^42+42=4A/2.设OR与抛物线交于(见〃)，联立卜=一/_3〃+4得

432

m+6m+6m-8m=0;解得机］=0，»i2,=—4m}=-l+V3w4=-l-V3,则

-石,3+百)F(-l+V3,3-V3)

由勾股定理可得/£==则△/£尸是等

边三角形.

【详解】(1)解:将点8。°)代入了=一/+云+4,

得-1+6+4=0

解得6=-3

•••抛物线解析式为V=-3x+4；

过点尸作尸于兀

..尸(-2,6),/(-4,0),C(0,4)；

・..CM=4,0T=2OC=4PT=6,

・・.ZT=2,

.・.S四边形频尸=S/XAPT+SOCPT

1。/6+4-

=—x2x6+------x2

22

(2)解：如图所示，取”64,5),连接/%BH,

../(-4,0)5(1,0)乜(-4,5)

•、，，

15/90

.AH】=5,AB,h5AH、AB

.NABH、=45°

二线段BH\与抛物线的交点4即为所求；

设直线BH\的解析式为>=区+4,

]左+4=0

.：-4左+4=5

,,，

[k=-\

,U=i

••，

・•・直线附的解析式为y=f+i,

(y=-x+l卜=-3(x=1

联立ik*一3x+4,解得卜=4或1尸0(舍去),

.6(-3,4).

,,»

如图所示，取区(一4「5),连接"凡，BH"

同理可得乙飒=45。，

・•・直线与抛物线的交点P］即为所求；

同理可知直线BE的解析式为y=x-l,

\y=x-\Jx=-5\x=l

联立一3X+4,解得jy=_6或〔y=0(舍去)，

.U),

,,，

综上所述，符合题意的点P的坐标为(T，4)或(-5,-6)；

(3)解：△/即是等边三角形，理由如下：

「40C三点共圆，且N/OC=90。，

.../C为过40C三点的圆的直径，

如图所示，取"中点R,连接AE,AF,EF,ER,FR,

../(-4,0),C(0,4),

.R(-2,2),04=0C=4

..AC=A/42+42=4A/2.

设。火与抛物线交于("'〃)，

22/4后丫

(m+2)-+(«-2)-=—

kZ7

联立、〃二一/-3〃+4得/+6加3+6m2-8m=0f

m(m+4)(加2+2m-2)=0

m_

解得i=°,加2=4,m3=-l+V3,m4=-l-\/3

在y=-x?—3x+4中，当+时,尸一。+⑸一3。+6>4=3"

当x=--百时，>=-。-6)-3。-6)+4=3+6

,E(-l-V3,3+V3)F^l+V3,3-V3)

N£=《I一百+4)+0+司=276

AF=41+6+4)+°一可=2y/6

封=41一出+1一可+@+m一3+可=2屈

...AE=AF=EF,

.•.△NM是等边三角形.

17/90

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，圆的相关知识,

解题的关键在于正确作出辅助线并利用数形结合的思想求解.

12,

y=—X--x-4

6.（1）'2

⑵存在，9+2.2+26）

⑶6

【分析】⑴根据题意得到以4'°）,C（°"）,利用待定系数法求出函数解析式即可；

（2）判断小℃是等腰直角三角形，可求出/℃川=30。，设CM交x轴于点。，则

A

OZ）=（9C-tan30°=-4^—/3八

3,求出点。的坐标，利用待定系数法求出直线°。的解析式，联立方

y=V3x-4

<12/

y——x—x—4

程组C2,求出公共解即可求出点M坐标；

（3）记过点AB、。的圆的圆心为点G,设'），根据G»=GT,可得出

/一2根+1+〃2一2切-9=0①，由点。在抛物线上，可得出毋=2优+2〃+8②，将②代

S,„=—AB-EF=3（2t—〃）

入①得求出2t-=2,根据三角形面积公式求出F27,然后整体代

入计算即可.

【详解】（1）解：•・•。3=。。=4,

:点B的坐标为0°），点C的坐标为（°”）,

把8（4,0）,。（0，-4）代入"；/+如+:

8+4b+c=0

得c=-4

fb=-l

解得i0二一匕

124

y=—x-x-4

••・抛物线的解析式为2；

（2）解：在第一象限内抛物线上存在点使/5C"=15。，理由如下:

如图4cM=15。，

.•.小℃是等腰直角三角形,

,.,/ABC=ZOCB=45°，

・・・/BCM=15。,

,.,ZOCM=30°，

4x/3

(7D=OCtan30°=——

设”交工轴于点。，则3

・・.点D的坐标为

设直线0。的解析式为卜=履+4,

bx=-4

则小4

<k=

解得〔4=一4

.y=V3x-4

19/90

y=V3x-4

14

y=—x2-x-4

联立2

x=2+2-\/3

x=0

解得1=2+26

y=-4（舍）

二点M的坐标为（（2+2收2+2省）,

1

尸0=—x92-x-4

（3）解：把＞=°代入2,得2

解得%=-2或％=4,

二点/的坐标为（一2”

，AB=6,

设过点/、B、。得圆的圆心为点G,

・・•点G在线段42的垂直平分线上,

设点G的坐标为0'0,

同理可得点G在线段。石的垂直平分线上,

•••。£，》轴于点尸,

...设。（如〃）,则£（加2-〃）,

S“BE=；4B,E尸=gx6（2f-〃）=3（2f-〃）

...GD2=GA2,

.（1一加）2+g_"）2_（_2_I）+（0_,）2

整理得加2一2加+1+〃2-2打一9=0①,

•・•点。在抛物线上,

12

—m-m-44=n

・・.2,

得m2=2m+2〃+8,

将②代入①得,/_2切+2〃=0,

•・•〃w0,

—2/+2=0,即2/—〃=2,

...LBE=3（2lz）=6.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求出函数解析式，抛物线上

的点的坐标特征以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的

关键.

y=—（x-4Y-1=—x2-2x+3；

7.（I）-八）4

（3）相交，证明见解析

【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将/点坐标代

入其中，即可求出此二次函数的解析式；

（2）过尸作y轴的平行线，交/C于°；易求得直线NC的解析式，可设出尸点的坐标，

进而可表示出P、。的纵坐标，也