2025年中考数学难点一轮复习：全等三角形的应用常考题型（5大热考题型）原卷版

难点03全等三角形的应用常考题型

（5大热考题型）

题型一：全等三角形的性质

题型二：添加条件证明三角形全等

题型三：全等三角的综合问题

题型四：角平分线性质定理

题型五：线段垂直平分线的性质与判定

赭淮提分

题型一：全等三角形的性质

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•山东济南・中考真题）如图，已知△NBC也aOEC,4=60。,/3=40。，则/DCE的度数为

).

60°C.80°D.100°

【变式1-1］（2024•广东深圳•模拟预测）如图，在V48C中，AB=AC=A,/8/C=120。，点Z）,E分别

是边4S,5c上的动点，且=连接/E,CD,当4E+CD的值最小时，N4E8的度数为（）

4

C.135°D.150°

A

【变式1-2］（2024•河北秦皇岛•二模）如图，ZUBC学A4E尸，有以下结论：①AC=AE；®ZFAB=ZEAB；

③EF=BC；④NEAB=NFAC.其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1-3］（2024•四川成都•模拟预测）如图，KAEAEBD,CAA.AB,且N/CE=55。，则乙的度

5.（2024•江苏镇江・中考真题）如图，ZC=ZD=90°,ZCBA=ZDAB.

⑵若NDAB=70°,则NCAB=°.

【中考模拟即学即练】

1.（2024•江苏南通•模拟预测）下面四个几何体中，主视图、左视图、俯视图是全等图形的几何图形是（）

A.圆柱B.正方体C.三棱柱D.圆锥

2.（2024•江苏常州•模拟预测）如图，在四边形中，对角线/C平分/R4O,NBCA=2NDCA,点、E

在NC上，NEDC=ZABC.若8C=5,CD=2后,AD=2AE,则/C的长为.

3.（2024・上海•模拟预测）如图，已知点/,B,C在同一直线上，点8在点4,C之间，点。，£在直线/C

同侧，AB<BC,//=/C=90。，AEAB沿ABCD,连接DE,设A8=a,BC=b,DE=c,下列结论正

确的数量为（）

22

(1)a+b<c(2)yja+b<a+b(3)4i(a+b)>c

A.0B.1C.2D.3

4.(2024•广东汕头•一模)如图，V4BC和△OCE都是等腰直角三角形，AACB=ZDCE=90°,AC=BC,

DC=EC,连接4D,BE.

（1）求证：AACDmABCE；

（2）直接写出AD和BE的位置关系.

5.（2024・山西•模拟预测）综合与实践

【问题情境】

“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，

表示为V/BC和△。尸£,其中N/CS=ND跖=90。，ZA=ND,将V4BC和△DFE按图2所示方式摆放,

其中点8与点尸重合（标记为点2）.当//?£=//时，延长OE交NC于点G,试判断四边形BCGE的形

状，并说明理由.

图1图2图3图4

【数学思考】

（1）请你解答以上老师提出的问题；

【深入探究】

（2）老师将图2中的ADBE绕点8逆时针方向旋转，使点£落在V/5C内部，让同学们提出新的问题并请

你解答此问题.

“善思小组''提出问题：如图3,当=时，过点N作/M_L5E交8E的延长线于点M,BM与AC

交于点N.证明：AM=BE.

【拓展提升】

（3）如图4,当=时，过点/作47J.于点X,若BC=3,AC=4,求47的长.

题型二：添加条件证明三角形全等

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•山东德州•中考真题）如图，。是N5的中点，CD=BE,请添加一个条件，使

AACD知CBE.

二

【典例2】（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）如图,V48c中，D是4B上一点,CF//AB,D、E、F三点、

共线，请添加一个条件，使得4E=CE.（只添一种情况即可）

----------VC

【变式2-l】（2024・湖南株洲•模拟预测）如图，锐角三角形/3C中，乙4BC=ZACB,点、D,E分别在边

AC_t,连接3E,CD.下列命题中，假命理是（）

A.若NACD=NABE,贝。=8£B.若BD=CE,则8£=CD

C.若CD=BE,贝!D.若/。=/E,则NCBE=/DCB

【变式2-2］（2024•四川成都•模拟预测）如图，已知A8与CD相交于点。，AC//BD.只添加一个条件,

能判定△/OC四△20。的是（）

A.AO=DOB.AO=BOC.NA=NBD./AOC=/BOD

【变式2-3］（2024•贵州黔东南•一模）如图，点N,B,C,。在同一直线上，AB=DC,EC=FB,

求证：AE\\DF.

在①4E=D尸；②EC〃尸8这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在上面的横线上，并加以解答.

【中考模拟即学即练】

1.（2024•北京西城二模）如图，点C为线段的中点，4M=点2E分另I」在射线NM8N上,

//CD与N3CE均为锐角，若添加一个条件一定可以证明VZCDgVBCE,则这个条件不能是（）

A.ZACD=ZBCEB.CD=CE

C./ADC=NBECD.AD=BE

2.（2024•黑龙江鸡西•二模）如图，已知/B=Z）£,ZA=/D,请你添加一个条件（一个即可）：

使△/BC2△DEC.

3.（22-23八年级上•福建福州•期中）如图，N2=/C,点D,E分别在48与/C上，CD与BE相交于点尸.只

填一个条件使得A/BEGAZC。，添加的条件是：.

4.（2024•北京•模拟预测）如图，AD,BE是V48c的两条高线，只需添加一个条件即可证明△/助电△BD4

（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是.（写出

一个即可）

5.（2024•河南安阳•模拟预测）如图，在V48c和△NAD中，4D与5c相交于点。，BC=AD,添加一个

条件可以证明NC=3。.

cD

a

（1）@Z1=Z2；@ZCAD=ZCBD；®OC=OD；④NC=ND,上面四个条件可以添加的是（填序

号）.

（2）请你选择一个条件给出证明.

6.（2024・江苏盐城・中考真题）已知：如图，点/、B、C、。在同一条直线上，AE//BF,AE=BF.

若,则/B=CD.

请从①CE〃。尸；②CE=DF；③NE=/尸这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并

说明理由.

7（2024•山东淄博・中考真题）如图，已知/8=C。，点E,尸在线段3。上，且/尸=CE.

请从①3F=DE；@ZBAF=ZDCEi③/尸=CF中.选择一个合适的选项作为已知条件，使得

△ABFmACDE.

你添加的条件是：（只填写一个序号）.

添加条件后，请证明/EII3.

题型三：全等三角的综合问题

【中考母题学方法】

【典例11（2024・山东・中考真题）【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离

【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具

【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B.测量A,B两点间的距离以及/尸

和NPA4,测量三次取平均值，得到数据：48=60米，/尸48=79。，NPBA=64°.画出示意图，如图

P

图1

【问题解决】（1）计算A,尸两点间的距离.

（参考数据：sin64°«0.90,sin79°~0.98,cos79°~0.19,sin37°~0.60,tan37°«0.75）

【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：

如图2,选择合适的点。，E,F,使得A,D,E在同一条直线上，且NDEF=NDAP,当尸，

D,P在同一条直线上时，只需测量所即可.

图2

（2）乙小组的方案用到了.（填写正确答案的序号）

①解直角三角形②三角形全等

【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案.

【典例2】（2024・重庆・中考真题）在V/BC中，=点。是8c边上一点（点。不与端点重合）.点。

关于直线AB的对称点为点E,连接在直线4D上取一点尸，使/EFD=/B4C,直线EF与直线

NC交于点G.

A

（1）如图1,若NBAC=60。,BD<CD,/B4D=a,求N/GE的度数（用含1的代数式表示）;

（2）如图1,若/B4C=60°,BD<CD,用等式表示线段CG与。E之间的数量关系，并证明;

（3）如图2,若NB4C=90。，点。从点B移动到点C的过程中，连接当△/EG为等腰三角形时，请直

接写出此时穿的值.

ACJ

【变式3-1］（2023・湖南岳阳•一模）如图，在V/BC中，AB=AC,D、£是8C边上的点.请从以下三个

条件：①BD=CE；®ZB=ZC；③/B4D=/C4£中，选择一个合适的作为已知条件，使得4D=/E.

（1）你添加的条件是（填序号）；

（2）添加了条件后，请证明4D=/E.

【变式3-2］（2024九年级下•全国•专题练习）如图，在V48c和△£）£1尸中，点4、E、B、。在同一条直线

上，AC//DF,AC=DF,只添加一个条件，不能判断△N8C四△。防的是（）

A.AE=DBB.NC=NFC.BC=EFD./ABC=NDEF

【变式3-2］（2024•四川南充・模拟预测）如图，在V48c中，NACB=90。,/CAB=35。,将VN8C沿48边

所在直线翻折得△NBC,连接CC交48于点。，则ZBUC的度数为（）

A

A.35°B.45°C.55°D.65°

【变式3-3］（2023•四川成都・二模）如图，03是N/OC内的一条射线，D、E、9分别是射线射线05、

射线OC上的点，D、£、尸都不与。点重合，连接ED、EF,添加下列条件，能判定绦F0E的是（）

A.NDOE=/EOF,NODE=NOEFB.OD=OF,EDLOA,EFIOC

C.DE=OF,NODE=2OFED.OD=OF,NODE=NOFE

【变式3-4］（2024•湖南长沙•模拟预测）如图，在中，ZC=90°,NA4c的平分线交8c于点D,

过点D作DE上AB于点E.

C

⑴求证：AC=AE；

（2）若/C=4,BC=3,求CD的长.

【变式3-5］（2024•浙江宁波•三模）如图，在6x6的方格纸中，有V/3C,仅用无刻度的直尺，分别按要求

作图：

图1图2

（1）在图1中，找到一格点。，使V/8C与A/CO全等;

（2）在图2中，在8C上找一点E,使得S“BE：S/CE=2：3.

【中考模拟即学即练】

1.（2024・山东烟台・中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下,

其中射线。尸为的平分线的有

2.（2024・湖南•模拟预测）如图，在正方形/2CO中,线段绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为a,

点尸在直线DE上，且4尸，连接

图1图2

（1）如图1,当0。＜（/＜90。时，求证：EF=41BF-

（2）如图2,取线段£尸的中点G,连接/G,已知/3=2,请直接写出在线段CE旋转过程中（0。＜夕＜360。）

AADG面积的最大值.

3.（2024•湖北一模）如图，一次函数％=匕尤+“左产0）的图象与反比例函数（总片0）的图象在第一

象限内交于点力,与y轴交于点C,与x轴交于点3,C为48的中点，SNAOC=4.

(1)求质的值;

(2)当。8=2,%>%>0时，求x的取值范围.

4.(2023・北京门头沟•二模)如图，在VN2C中，44C2=90。，点。在3c延长线上，且。C=/C,将VN8C

延5c方向平移，使点。移动到点。，点A移动到点E,点B移动到点尸，得到AEED,连接CE,过点尸作

FG上CE于G.

(1)依题意补全图形；

(2)求证：CG=FG；

(3)连接8G,用等式表示线段BG,£尸的数量关系，并证明.

5.(2024•浙江宁波•模拟预测)在等边三角形/3C外侧作直线4P,点、B关于直线AP的对称点为。，连接,

交"于点E,连接BE.

(1)依题意补全如图；

⑵若/尸/3=20。，求,ACE；

(3)若0。</尸/8<60。，用等式表示线段。E,EC,◎之间的数量关系并证明.

6.(2024・贵州遵义•模拟预测)如图①，在中，AB=AC=3,NA4C=90。，点。在以边上，连

求证：XABE@ACF；

(2)若点。是48的中点，连接£尸，求£尸的最小值;

(3)如图②，若BELCE于点、E,AE=6,求BE的值.

7.(2024・四川乐山•模拟预测)如图，在V/3C中，AB=AC,作8C的中点D,过。作N£7»=90。，分

别交AB、/C于E、F,我们称AD跖为等腰V/BC的“内接直角三角形”.设BE=a,CF=b.

(1)如图①，当44=90。时,若a=2,6=1时，求内接直角三角形。跖的斜边所的长.

(2)如图②，当44=60。时，求证：内接直角三角形。M的斜边满足：EF2=a2+ab+b2;

(3)拓展延伸：如图③，当44=90。时，若E、尸分别在加、/C的延长线上，EF与a,6还满足(2)的

关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索好与。，b满足的数量关系式，并证明你的结论.

题型四：角平分线性质定理

【中考母题学方法】

【典例1X2024•山东德州•中考真题）如图中，N/BC=90。，8。，/。，垂足为。，AE平分/BAC,

分别交BD,BC于点F,E.若48:8C=3:4,贝为（）

4z

A.5:3B.5:4C.4:3D.2:1

【典例2】（2024•山东青岛•中考真题）已知：如图，四边形/BCD,£为。C边上一点.

求作：四边形内一点尸，使£尸||3。，且点尸到的距离相等.

【变式4-1］（2024•四川绵阳•模拟预测）如图，在中，ZC=90°,N8/C的平分线/E交2C于点

E,E0L4B于点。，若V/8C的周长为12,贝UVADE的周长为4,贝1J/C为（）

EC

【变式4-2］（2025・湖南•模拟预测）如图，在V/8C中，AB=AC,E是边48上一点，连接CE,在8c右

侧作B尸〃NC,且2/=/石，连接CF.若/C=13,8c=10,则四边形防尸C的面积为.

【变式4-3］如图，V48c的外角的平分线AD与CE相交于点尸，若点尸到/C的距离为3,则点P到48的

距离为（）

c'D

pE

A

B

A.4B.3C.2D.1

【变式4-4］（2024•陕西西安・三模）如图，已知锐角VN8C,NC=10。,请用尺规作图法，在V/5C内部

求作一点尸.使尸N=PC.且/尸C4=35。.（保留作图痕迹，不写作法）

44.（2024・四川乐山•一模）如图，在Rtz\48C中，ZC=90°,BD是孔△48C的一条角平分线，点O、E、

厂分别在BD、BC、/C上，且四边形OECF是正方形.

⑴求证：CM平分/B/C；

（2）若/C=5,BC=U,求OE的长.

【变式4-5］（2024•甘肃兰州•模拟预测）如图，在矩形/BCD中，/B4D的平分线交8c于点E,EF1AD

于点F，QGLNE于点G,DG与EF交于点、O.

（1）判断四边形/8E尸的形状，并说明理由;

（2）若4D=/E,AF=1,求DG的长.

【中考模拟即学即练】

1.如图，在RtZ\/8C中，ZC=90°,用尺规作图法作出射线NE,AE交BC于点、D,CD=5,P为AB上

一动点，则PD的最小值为（）

C.4D.5

2.（2024・广东中山•模拟预测）如图，NAOE=NBOE=1',EF=OF,ECLOB,若EC=&-亚,则

OE=________

3.（2023•北京•模拟预测）如图，在V/3C中，按以下步骤作图：①以点N为圆心，适当长为半径作弧，分

别交/BNC于点N；②分别以点N为圆心，大于;"N的长为半径作弧，两弧交于点尸；③作射

线AP交BC于点、D.若/B:4c=2:3,的面积为4,则“CD的面积为.

4.（2024•广东深圳•模拟预测）如图，在RbABC中，ZC=90°,44=30。，按以下步骤作图：①以点A为

圆心，以任意长为半径作弧，分别交/C,48于点D,E；②分别以。，£为圆心，以大于;。E的长为半

径作弧，两弧在NB/C内交于点O；③作射线ZO,交8c于点R若CF=6,则的长为.

5.（2024・青海•一模）如图，在VN8C中，ZC=90°,/D平分/C/8,交于点。，过点。作

于点£.

c

D

AZ---------------

⑴求证：AC=AE；

（2）若3c=4,AB=5,求BE的长.

6.（2024・广东•模拟预测）如图，已知矩形/BCD,AB>AD,484D的平分线交2c的延长线于点E.

（1）尺规作图：过点2作/E的垂线交NE于点G（保留作图痕迹，不写作法）.

⑵在（1）所作的图形中，连接3尸，若BF平济NGBE,求证：AE=2AD.

7.（2024•江苏南京•三模）我们知道：三角形的三条角平分线交于一点（内心）、三条中线交于一点（重心）、…

（1）如图1,V/BC的中线相交于点G,连接DE,易证ADEGSA48G,可得。G=1/G.如图

2

2.VN8C的中线C户相交于点G',同理易证①于是，点G与点G'重合，三角形的三条中线交于一

点.这样证明两个点（6与6'）是同一点的方法也称为“同一法”.

图1图2图3

（2）如图3,是V/BC的角平分线，求证：空=竺.

由此，得到结论：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.

(3)根据(2)中得到的结论用“同一法”证明：V/3C的三条角平分线交于一点.

Q

AC=5,是V48c的角平分线，且则BC=_.

8.(2023•陕西西安•一模)在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点3在了轴的正半轴上，点A与

(1)如图1,OA=OB,4F平分NBAC交BC于F,BEJ.AF交4c于E,请直接写出所与EC的数量关系

为;

⑵如图2,4尸平分NR4C交3c于尸，若AF=2OB,求/48C的度数；

⑶如图3,OA=OB,点G在80的垂直平分线上，作/GOH=45。交A4的延长线于连接GH,试探

究OG与GH的数量和位置关系.

10.【思维启迪】

(1)如图1,40是V45C的中线，延长4D到点E.使Z)E=4),连接BE,则NC与BE的数量关系为

，位置关系为.

【思维应用】

(2)如图2,在VABC中，//C2=90。，点。为VABC内一点，连接，OC,延长。C到点£,使CE=CD,

连接BE,若4DLBE,请用等式表示25,AD,8E之间的数量关系，并说明理由；

【思维探索】

(3)如图3,在VN8C中，ZACB=90°,NC=3C,点。为NB中点，点E在射线上(点E不与点8,

点。重合)，连接CE,过点B作8尸，CE,垂足为点尸，连接ED.若CB=回，BF=2,请直接写出EO

的长.

图2图3

题型五：线段垂直平分线的性质与判定

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•山东济南・中考真题）如图，在正方形/BCD中，分别以点/和8为圆心，以大于g/3的

长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线所，再以点/为圆心，以40的长为半径作弧交直线跖于

点G（点G在正方形内部），连接DG并延长交8C于点K.若BK=2,则正方形/BCD的边长为（）

C3+，

D.V3+1

2

【典例2X2024-江苏镇江・中考真题）如图，VN3C的边48的垂直平分线交NC于点。，连接AD.若/C=8,

CD=5,贝ljBD=

【典例3】（2024•江苏常州•中考真题）如图，在矩形NBCD中，对角线8。的垂直平分线分别交边/ACD

于点£、F.若/。=8,BE=10,则tan/4BZ)=

DFC

【变式5-1］（2024•陕西渭南•二模）如图，点N为V/2C和V4DE的公共顶点，已知NC=/E,AC=AE,

请你添加一个条件，使得48=/。.（不再添加其他线条和字母）

（1）你添加的条件是;

（2）根据你添加的条件，写出证明过程.

【变式5-2］（2023・四川眉山•模拟预测）如图，在V48C中，8C边的垂直平分线交8c于。，交48于E,

若CE平分//C5,N8=40。，则a1=度.

【变式5-3］（2024•四川广元・中考真题）点厂是正五边形/BCDE边OE的中点，连接BF并延长与CD延长线

交于点G,则23GC的度数为.

【变式5-4］（2024•四川南充・中考真题）如图，在V/8C中，点。为2C边的中点，过点2作BE〃/C交4D

的延长线于点E.

A

(1)求证：ABDE%CDA.

(2)若/。工3C,求证：BA=BE

【中考模拟即学即练】

1.（2024・福建莆田•模拟预测）如图，在Rt^4BC中，乙4c8=90。，48=60。，求作//C2的三等分线.

阅读以下作图步骤：

（1）分别以点/,C为圆心，大于工NC的长为半径画