2025年中考数学几何模型综合训练：最值模型之代数法求最值模型（基本不等式与判别式法、函数法）

专题40最值模型之代数法求最值模型（基本不等式与判别式法、函数法）

几何中最值问题是中考的常见题型，变幻无穷，试题设计新颖，形式活泼，涵盖知识面广，综合性强。

在各地中考数学试卷中，几何最值问题也是重难点内容，在中考数学试卷中通常出现在压轴题的位置。

本专题我们所讲的代数法求几何最值是对前面几何法求最值模型的一个补充，那首先我们弄明白什么

是几何法？什么是代数法？若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，

这就是几何法。若题目条件和结论能明显体现某种函数或代数关系，则可先建立目标函数或方程，再求函

数或代数式的最值，这就是代数法。今天我们重点讲解代数法常见的三类方法：函数法（二次函数或一次

函数）、判别式法或基本不等式法，希望对大家有所帮助！

...........................................................................................................................................................................1

模型1.函数法求几何最值模型...........................................................1

模型2.基本不等式法求几何最值模型.....................................................7

模型3.判别式法求几何最值模型........................................................11

习题练模型］

.........................................................................................................................................16

模型L函数法求几何最值模型

模型解读

在实际的解题中，如果求的是一条线段的最值或是几条线段和（或差）的最值，那么首选是尝试套用

常见的基本的几何模型，若未能够直接套用几何模型，那么可以先分析题目中和动点有关的数量关系，特

别是一些变化过程中的不变量，通过数量关系的转化，将其化归为常见的基本的几何模型（如将军饮马模

型，胡不归模型，阿氏圆模型等），从而解决问题。若不能用几何模型求解，则可以寻找其中隐藏的函数

关系，然后构建函数模型解决最值问题。

建立函数模型求最值一般需要以下几个步骤：（1）选择自变量，确定自变量的取值范围；（2）求得

函数解析式；（3）在自变量取值范围内利用配方或函数图象的最高点（或最低点），二次函数需结合顶点

公式，求得函数的最大值（或最小值），一次函数则考虑增减性和自变量的范围。

模型运用

3

例1.（2024•陕西西安•校考一模）如图，在四边形中，AB=AD=-AC,48c=120°,ZADC=150°,

BC+CD=6,则3D的最小值是.

【分析】将△4DC绕点A顺时针旋转至ANBM,可推得NC2N=90。及A/BDSA/MC,由勾股定理将CM

3

用8C表示出来，求得CW的最小值，再结合AD=：MC,可得答案.

4

【详解】解：如图，将△/DC绕点/顺时针旋转至“3/，使/。与重合，连接CM,贝IJA/DC义A/BA/,

AC=AM,BM=DC,AABM=ZADC=150°ZCBM=360°-ZABC-ZABM=360°-l20°-150°=90°,

又<NDAC=NBAM,：.ZDAC+ACAB=ABAM+ACAB,BPADAB=ZCAM,

.^^.MCAMAC4

==ABDAMC>===t,BD=3MC

ADACBDABAD34

■:BC+CD=6,BM=DC,:・BC+BM=6,9：ZCBM=90°,

CM=y]BC2+BM2=y/BC2+（6-BC）2=^2（56-3）2+18,.•.当BC=3时，CM取得最小值为3g

,:BD=^MC,.♦.3乂3&=逑，5。的最小值是2叵.故答案为：返

44444

【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相

关性质及定理是解题的关键.

例2.（2023•广东茂名•三模）如图，已知。。的弦。=4,/为OO上一动点（点/与点C、。不重合），

连接/O并延长交C。于点£,交。。于点3,尸为C。上一点，当乙4尸8=120。时，则/P3尸的最大值为（）

'D

A.4B.6C.8D.12

【答案】C

【分析】如图，延长2P交。。于F,连接/RCF,BD.则ZAFB=90。，ZAPF=60°,ZPAF=30°,

AP=2FP,AP-BP=2FPBP,证明ACP尸，则">.台尸=。尸•。尸，设FP-BP=y,PC=x,则

DP=4-x,0<x<4,y=x（4-力=-（》-2）2+4,然后利用二次函数的性质求最值，然后作答即可.

【详解】解：如图，延长BP交。。于尸，连接NRCF,BD.

,：AB是。。的直径，ZAFB=90°,

VZAPB^U0°,：.ZAPF=60°,NPAF=3Q°,：,AP=2FP,：.APBP=2FPBP,

，；而=比，:•NC=NPBD,XVZCPF=ZBPD,：.xCPFs&BPD,

CPFP

：.—=—,^FPBP=CPDP,设FPBP=y,PC=x,贝IjD尸=4-x,0<x<4,

BPDP

2

J=x（4-x）=-（x-2）+4,V-l<0,；.x=2时，V值最大，最大值为4,

二/P"的最大值为8,故选：C.

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，含30。的直角三角形，相似三角形

的判定与性质，二次函数的性质等知识.熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，含30。

的直角三角形，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质是解题的关键.

例3.（2024•安徽合肥，一模）如图，尸是线段N2上一动点，四边形/尸斯和四边形尸3G”是位于直线N5

同侧的两个正方形，点C,。分别是GH,跖的中点，若/5=4,则下列结论错误的是（）

A.NDPC为定值B.当4P=1时，的值为2/

C.△尸CD周长的最小值为2G+2D.APCD面积的最大值为2

【答案】C

【分析】求出tan/DP£=tan乙HPC=g,得到NDPE,NHPC均为定值，判断A选项，过点。作

得到四边形。为矩形，利用勾股定理求出CD的值，判断B选项，设设/P=x,贝ij：PB=4-x,分别

利用勾股定理求出PD,尸C,C。的值，利用周长公式结合完全平方公式的非负性，判断C选项，分割法得到

S“CD=S梯形尸+S&PHC_S&DMC，转化为二次函数求最值，判断D选项.

【详解】解：：四边形/PE尸和四边形尸3GH是位于直线NB同侧的两个正方形，

二ZFEP=ZPHG=90°,PE=EF,PH=HG,

:点、C,。分别是GH,所的中点，==

2222

tanZDPE=tanZHPC=-,：.ZDPE,ZHPC均为定值,

2

/.4DPC=ADPE+NHPC也为定值；故A选项正确；

过点。作DA/_LHG,则四边形DWHE为矩形，：.MH=DE=-EF=-AP=-,DM=HE,

222

'222

：.CM=CH+HM=2,：.CD=4DM2+CM2=272；故选项B正确；设NP=x,贝U：PB=4-x,

：.MH=DE=-EF=-AP=~,CH=-HG=-BP=-（4-x],DM=HE=PB—PA=4—2x,

222222V7

Z.CM=CH+HM=2,...PD=NPE。+DE?=#）DE=右，PC=Jpr+CH?=辰H=与（4-x）,

DC=4CM~DM1=^（4-2X）2+4,

APCD的周长=+等（4一x）+^（4-2x）2+4=26+J（4-2x）?+4,

V（4-2X）2+4>4,；.APCD的周长的最小值为2石+2；故选项C错误；

V邑也。=$梯形0M必+SJHC-S.DMC=；（DM+PH\HM+；PH-CH-；CM-DM

22

=；（4-2x+4-x）.；x+g（4-x〉g（4-x）-；x2（4-2x）,整理得：S^PCD=-1x+2x=-1（x-2）+2；

.•.当x=2时，APCD面积的最大值为2；故选项D正确；故选C.

【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，求角的正切值，二次函数求最值等知识

点，综合性强，难度大，属于选择题中的压轴题，解题的关键是掌握相关知识点，添加辅助线构造直角三

角形.

例4.（23-24九年级上•四川成都•期末）如图，中，乙4=45。，ZABC=6Q°,/3=1+6，点。是

边A5上任意一点，以为边在ND的右侧作等边△£＞（7£,则面积的最大值为.

【分析】作，4?于“，作EN工AB于N,求出刚/=1，CM=AM=4i,设贝1]£＞河=3-»,

BD=l+43-y,在MB上截取=6-y,连接CH,则CZ）=C〃=CE,证明ABC"也A8CE（SAS）,

1片

得出/C3H=/C8£=60。，BH=BE,由直角三角形的性质得出BN='3£,EN=△BN*BE,由三

角形面积公式求出ABDE的面积即可得出答案.

【详解】解：如图，作◎/，46于

\'ZA=45°,43c=60。，A4CN是等腰直角三角形，NBCM=30。,：.AM=CM,CM=6

设加W=x,贝=二48=x+瓜=1+5解得：x=l，:-BM=3CM=AM=日

设4D=y,贝1」。河=百--50=1+百->,••,△CDE是等边三角形，.•.〃(％=60。，CD=CE,

：.ZDCM+ZBCE=30°=ZBCM,在地上截取"=A®=6-y,则CD=S=CE,

CMLDH,：.NDCM=ZHCM,：.ZBCH=NBCE,

CH=CE

在V5行和中，\/BCH=NBCE,:.ABCHABCE（SAS）,

BC=BC

:.NCBH=NCBE=60°,BH=BE=BD-2DM=1+出-y-2(^-y)=y-艮、,：.ZEBN=60°,

,/ENYAB,:.NBEN=30°,:.BN=；BE,EN=6BN="BEyf,

•."DE的面积=g&Dx£N=：x(l+G-qx岑(+1)=~(jV3)2七，

.•.当y=百，即40=6时，ABDE面积的最大值立.故答案为：M

"44

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三

角形的性质、含30。角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的面积、二次函数最值等知识；本题综合性

强，证明三角形全等是解题的关键.

例5.(23-24八年级下•四川成都•期中)如图，在边长为6的等边A/BC中，点。在边N8上，且/。=2,

长度为1的线段P。在边/C上运动，则线段DP的最小值为,四边形。尸03面积的最大值为.

【分析】根据垂线段最短可知当。尸，NC时，。尸最短，利用等边三角形的性质和勾股定理求出此时。尸的

长即可，再设/P=x,利用SA48C-SA4DPSA8QC表示出四边形OPQB的面积，构建一次函数，利用一次函

数的性质求出最大值即可.

【详解】解：当。尸，ZC时，DP最短，:△/BC为等边三角形，

AZA=60°,：.AD=2AP=2,：.AP=\,：.DP=^-}1=V3;

'：AB=AC=BC=6,：./\ABC的高为46?-3?=3K，

设/尸=x,贝U四边形OPQ5的面积=SA/BC-SA/Z)P-SA3QC=；x6x3#-：xxx6_gx(6-x-1卜3®=+

：g>0,...四边形DPQ8的面积随x的增大而增大，

•••x的最大值为6-1=5,...当x=5时，四边形。尸03的面积最大，最大值=?6，故答案：6,yV3.

【点睛】本题考查一次函数的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，解题的关键是学

会构建一次函数解决最值问题，属于中考常考题型.

模型2.基本不等式法求几何最值模型

模型解读

有时候设取变量后，代数式并不太容易转化为二次函数，特别是含有分式与整式的混合代数式求最值显得

特别麻烦，针对这种情况我们引入两个重要不等式：

1）a1+b2>lab（当a=b时，取等号）；2）a+b>l4ab（其中a、6为正数，当a=6时，取等号）；

1）a1+b2>lab（当a=b时，取等号）；2）a+b>2y[ab（其中a、6为正数，当a=6时，取等号）；

证明：1）作差法：•.”+〃36=36於0,.•./+6222"，当且仅当时，等号成立.

2）作差法：

'：a+b-24ab=(4a)2+(4b)2-2^-4b=(Va-V^)2>0,:.a+b*2寂，当且仅当“a=6”时，等号成立.

模型运用

例1.（2017・四川绵阳•中考真题）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边

上，ADEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交ACAB的两腰CA,CB于M,N两点，若CA=5,AB=6,

12

AB=1：3,则MD+〃，的最小值为

MA-DN--------

【答案】2G

【分析】先求出AD=2,BD=4,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得NAMD+NA=

ZEDF+ZBDN,然后求出NAMD=/BDN,从而得到AAMD和ABDN相似，根据相似三角形对应边成比

例可得券=&，求出MA-DN=4MD,再将所求代数式整理出完全平方的形式，然后根据非负数的性质

BDDN

求出最小值即可.

【详解】VAB=6,AB=1：3,/.AD=6x1=2,BD=6-2=4,

•.•△ABC和AFDE是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，

AZA=ZB=ZFDE,由三角形的外角性质得，ZAMD+ZA=ZEDF+ZBDN,AZAMD=ZBDN,

MAMD

..AAAMD^ABDN,..—=——，，MA・DN=BD・MD=4MD,

BDDN

••・MD++厂MD+白师y+（扃y一26+26=（加一后）F6

...当S而即MD=6时MD+上^忑有最小值为2G.故答案为2G.

VMDMADN

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；旋转的性质；最值问题；综合题.

例2.（2024•浙江•模拟预测）如图，点尸是。。上的一个动点，N8是。。的直径，且/8=8,贝!IAP/8面

【分析】当AB边上的高等于半径时，面积的最大，求出此时AP/3的面积即可；根据AB为直径得

至l]NP=90。，根据勾股定理得到AP2+PB2=AB2=64,得至UAP+PBW80，于是得到结论.

【详解】解：由于AB为定值，因此只有当AB边上的高最大时AP/B面积的最大，

是。。上的一个动点，AB为直径

.•.当AB边上的高等于半径时，AP/B面积的最大，半径为;=4,此时面积为丁=16,

22

；AB是半圆的直径，；.NP=90。，.,.AP2+PB2=AB2=64,

AP2+PB2>2AP，PB,2AP«PB<64,

:(AP+PB)2=64+2AP・PB,(AP+PB)2<128,，AP+PBS8后，，AP+PB的最大值为8亚，

，三角形PAB周长存在最大值为8亚+8，故答案为：16；8A/2+8-

【点睛】本题考查了圆的有关概念及性质，最大面积，最小周长，注意NP=90。，然后利用勾股定理是解题

的关键.

例3.（2023•四川成都•一模）如图，在矩形48CD中，AB=3,BC=4,点P为边CD上一动点,连接4尸

交对角线8。于点E,过点£作跖，/P,EF交BC于点、F,连接上'交8。于点G,在点P的运动过程中，

△4EG面积的最小值为.

【详解】解：在矩形/BCD中，NB=3,BC=4,ABAD=90°,:.BD=5,

如图，延长C8至点“，使BH=BD=5,：.ZH=ZBDH,AZH=-ZDBC,

2

DC31

设NDBC=2a,则ZH=a,tana==------=—,

CH4+53

VAELEF.ABLBF,：.A,B,E,厂四点共圆，ZFAE=ZFBE=2a,

Ii4Rx4J~)12

过点/作于点M,如图，；S.ABD=TMXBD=_ABXAD，：.AM=----------=—

22BD5

设SAAGM=。色曲=b,***a+b—2y[ab>0，

••SAAGE=a+b>14ab,且当a=6时，取得最小值，即S^AGM=S：，

・,•当NG=ZE时，S“GE取得最小值，根据题意得：AGAE=2aAM=—,：.ZEAM=ZGAM=a,

iIQ4Q

tana=—^AM=—,ME=AMxtanCL——,GE=2ME=—,

3555

・c1厂厂112848.林士448

••S^AGE=~xGExAM=-X—X-=--故答案为：TT

乙乙JJ乙J乙J

例4.（2023•广东东莞•校考模拟预测）如图所示，NB是半圆的直径，。是上一动点，CD1AB,CD

交半圆于点E，CT是半圆的切线，T是切点.C点、7点都是不动点.

⑴求证：BE2+CT2=BC\（2）连接/E,则。点在哪个位置时，线段/E与线段班之和最大？

【答案】（1）见解析（2）。点在45的中点时，线段/£与线段EB之和最大

【分析】（1）以为直径，作O。，延长CO交。。于点连接TM,TE,TO,EO,证明ATCESAMC?得

出TC2=CE.MC,根据垂径定理得出m="D，进而得出7c2=（。。+。©（。。-。£）=0-。炉，在

RtABOE.RtABCD中，勾股定理即可得证；

（2）AS是。。的直径，设/£=a,BE=b,AB=c,则有力+"=。?，（a-b）2=a2W-2ab>0,则

2064/+〃（当。二人时取得等于号），继而即可求解.

【详解】（1）证明：如图所示，

以48为直径，作。。，延长C。交。。于点连接TM,TE,TO,EO,

：CT是。。的切线，/.OTYTC,：.ZCTO=90°,ZCTE+ZETO=90°,

•：OT=OE,：.AETO=ZTEO,"：TE=TE，：.^TME=^ZTOE=1(180°-2Z£ro)=90°-ZETO,

:.NTME+NETO=90。，：.ZTME=ZCTE,

TCCE

又,：NTCE=NMCT,：.^TCE^^MCT,：.—=—,^TC2^CE-MC，

MCTC

又,：AB_LME,：.ED=MD,：.CM=CD+DE,CE=CM-IDE=CD-DE,

TC1=(CD+DE)(CD-DE)=CD2-DE2,在中，BE2=ED1+BD2,CT2+BE1=CD2+BD2,

在RtABDC中，CD?+BD?=BC?,BE2+CT2=BC2

(2)是。。的直径，设=BE=b,AB=c,则有^+从二。?，

(a-b)2=a2+b2-2ab>0/.2ab<a2+b2(当a=b时取得等于号)

：.(AE+BE)2+lr+2ab=cr+2ab<c1+cT+lr=2d：./E+5E取得最大值时，AE=BE,：.短=嬴

又由ED1AB：.DA=D8即。点在AB的中点时，线段4E与线段EB之和最大.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，切线的的性质，综合运用以上知识

是解题的关键.

模型3.判别式法求几何最值模型

模型解读

判别式法求几何最值的步骤：

首先主要引入两个变量：其中一个变量用x表示，另一个变量为所求量（一般为长度、比值的最值）用其

他字母表示，常用〉或其他字母表示即可；再根据题设条件建立关于x的一元二次方程；最后用AK）来探求

y的最大值与最小值。

注意：运用判别式法求最值时，必须同时求得变量的范围，因为方程有解，A>0所指的是在变量能取的范

围内方程有解，这一点应切记。

模型运用

BF

例1.（2024・四川成都•二模）如图，在正方形/BCD,点E,尸在射线2C上，NEAF=45。，则一最大值

EF

是.

【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次

方程根的判别式等，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，

一元二次方程根的判别式是解决问题的关键.过点£作EGL/E交相于G,过点G作G〃，取于”，设

BE

BE=x,正方形45c0的边长为〃，——=k,其中x〉0,〃〉0,左〉0,证先=再证和

EF

全等得AB=EH=a,BE=GH=x,然后证AFGHsAF4B得GH:4B=FH:FB,则W1一+办,

a-x

EF=FH+EH=矿+。=口£1,进而得处==无，贝g：a+k）x2-ax+ka2^0,依题意得关

a-xa-xErx+a

于X的方程（1+左江-办+加=0有两个实数根，得到根的判别式公=（_0）2-4（1+万卜府20,得

由此解得。〈左w*1,据此可得人的最大值,进而可得器的最大值.

【详解】解：过点E作石交,于G,过点G作G"_L£尸于凡如下图所示:

RF

设BE=x,正方形/BCD的边长为。，一=k,其中x>0,〃〉0,左〉0,

EF

vEGLAE,NE力尸=45。，:.AE=EG,..•四边形力为正方形，AB=af

又•..E)B=90°,.・.EG上AE,GHLEF,:./B=ZAEG=/EHG=90°,GH〃AB,

/BAE+ZAEB=90。,NAEB+ZHEG=90°,ZBAE=ZHEG,

/BAE=ZHEG

在AABE和AEHG中，=ZEHG=90°:.AABE^/\EHG(AAS),

AE=EG

AB=EH=a,BE—GH—x,/,BH=BE+EH=x+a,:.FB=FH+BH=FH+x+a,

­/GH//AB,:AFGHsAFAB,：.GH\AB=FH\FB,x\a=FH\{FH+x+d),

2222

.^^x“a+axxx+aBE_ax—x1

FH=EF=FH+EH=----------+a=----------

a-xa-xa-xEFx2+a2

整理得：（1+人）/一办+京=0,依题意得关于X的方程（1+左-办+加=0有两个实数根

:•根的判别式A=（-a）2-4（l+左）xfa?20:a>0,.,.将上式两边同时除以力,得：1一4人一4/20,

整理得：（左-.-kx）,：,k+-<^-,.〔o〈左.•"的最大值为

222222

・・.娑的最大值为交匚故答案为：变匚

EF22

例2.（2023•湖北武汉•模拟预测）已知四边形4BCA为矩形，40=2/3=8,尸，G分别是4S,LAD

AJ71

上的点，且/G即=45。，若等=则A£FG面积的最小值为_____________；

BE3

【答案】3+3V2/3V2+3

【详解】解：如图所示，过点G作GT_LE尸于T,设ZG=x,EF=y,SAEFG=s,

：NGEb=45。，△EGT是等腰直角三角形，GT=42EG，

2

;AD=2AB=8,AB=4-'/=一,AE=1,BE=3,

BE3

.•四边形ABCD是矩形，，乙4=48=90。，Z.EG=AE2+AG2=Vx2+1；

过点£作£M_L£G交8C于N,过点尸作尸垂足为

ZBEN+ABNE=ZAEG+ZBEN=90°,/.ZAEG=ZBNE,：.AAEG^ABNE,

.ENBEEN3.3&+i

--,即Hn/—；-,•.EN=

EGAGJ尤？+ixX

?NMEF=/MEG-ZGEF=45°,/.AMEF是等腰直角三角形,

,V2也：.MN=&y_q

•ME=MF=—EF=—y,

222x

：ZAEG=ZBNE=/MNF，ZM=ZA=90°,:.AAEGs工MNF,

V23,尤2+1V2

・--y---------._66+1

,2x.・y=EF

1X

2

正G=互更三.FT=3(X+1)

-

,.s=-EF-GT=-7vTT'•,3——2sx+2s+3=0,

2224V2x-V22(x-l)

•・关于x的方程有解,/.A=(-2s)2-12(2s+3)20,AS2-65-9>0-

解得sZ3+36"或S43-3亚（舍去），5的最小值为3+30，故答案为：3+372.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判

定，二次函数的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.

例3.（24-25九年级上•辽宁鞍山•阶段练习）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法

可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究.下面是该学习小组收

集的素材，汇总如下.请根据素材帮助他完成相应任务:

关于最值问题的探究

“主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看

素

成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程.例如：当“片0时，

材

方程"?+2a可以看作关于x的一元二次方程.但若把。看成“主元”，x看作常数，则原方程可

1

化为：（/+2）。-1=0.这就是一个关于a的一元一次方程了.

素对于一个关于x的二次三项式法+c（awO）,除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其

材他的方法，比如：令ax2+Z>x+c=y（a片0）.然后移项可得：江+6x+（c-y）=0再利用根的判别式

262-4碇20来确定了的取值范围，这一方法称为判别式法.

问题解决

任

务感受新知：用判别式法求2x?+5x+3的最小值；

1

探索新知：若实数x、y满足/一2》-4y=5.求尤-2了的最大值.对于这一问题，该小组的同学有大

任

致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令x-2y=左，贝！14V=2尤-2左，将4y=2尤-2人代入原式

务

得________,若将新得到的等式看作关于字母x的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为

2

任

应用新知：如图，在平行四边形48CD中，ZC=60°,BD=5.记=BC=b,当3a+b最

务

大时，求此时6的值.

3

9

—;任务3：b=5.

【分析】任务1：令2f+5x+3=y,将其看作关于x的一元二次方程，利用判别式列出不等式求解即可;

任务2：令x-2y=k,将4y=2x-2左代入f一2x—4y=5,将其看作关于字母的一元二次方程，利用判别

式求的左得范围，即可确定尤-2了的最大值；

任务3：过点3作BE，。。，根据题意可得4B=DC=a,BC=b,BD=回,利用勾股定理得

BDi2=BE2+DE2,令3a+b=k,则有。=F，将其看成关于。的一元二次方程，利用判别式求得y得范

围，可知3a+6最大值，则有左=26,结合代入消元法求解即可.

【详解】任务1：解：根据素材中的判别式法，令2f+5x+3=y.整理得2/+5》+3-了=0.

关于x的一元二次方程，A=52-4X2X(3-J)>0,解得：y>-1.故y的最小值为-1

88

任务2：解：令x-2y=k,贝！J4y=2x-2上.将4y=2x-2上代入f-2x-4了=5,得一—4x+2左一5=0.

把一一4x+2左一5=0看作是关于x的一元二次方程，贝ljA=(TP-4义1x(2%-5)20,

9999

解得左(7贝ljx—2yW歹的最大值为彳.故答案为：/—4x+2左一5=0，—.

2222

任务3：如图，过点3作点E为垂足.根据题意，AB=DC=a,BC=b,BD=439.

i八i

在,EC=BC-cos60°=—b,BE=BC-sin60°=—bDE=CD—EC=a—b

222

22

在中，BDJBE'DEWMYM*+［。一；，整理得，a-ab+b-39=0,

令3a+b=k,则a=^-,代入上式得至lj一个关于6的一元二次方程：13b2-5kb+k2-351=0.

A=(一5左y-4*13x(左2_351)20解不等式得-26W左V26,贝U左的最大值为26,即3a+b的最大值为26.

把k=26代入13〃-5筋+左2一351=0得〃-106+25=0.解方程得，6=5,故当3a+b最大时，b=5.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的判别式、解一元一次不等式、勾股定理、含30度角的直角三角形以

及解一元二次方程，解题的关键是理解题目给定的求解方式，并利用解不等式和解方程的思想进行作答.

习题练模型

1.（2024•江苏南京•一模）小丽在半径为100m的圆形广场内（包含边界）散步，从圆周上的点/处出发，

沿直线行走到点3处,然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点C处时停止行走，则小丽行走的路程Z3+3C

的最大值为（）

A.（50+50C）mB.+—收］mC.200V2mD.12oV5m

【答案】C

【分析】本题考查勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键.

根据题意可知：从圆周上的点A处出发，沿直线行走到点5处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点C

处，则乙48c=90。,/。是直径，如图，根据题意确定运动轨迹为a+c,进而求解即可.

【详解】解：根据题意图形如下：设/8=c,3C=a,NC=，，

'：AB+BC>AC,此时当/C最大时，48+8C才能取得最大值,

VZ5=90o,/C为直径时，AC=200,AB2+BC2=AC2,

(a-c)2>0,a2-2ac+c2>0>/.a2+c2>2ac>BP2ac<2002，2ac+2002<2002+2002，

即：2ac+2002<2x2002,.-.(a+c)2=2ac+a2+c2=2ac+2002<2x2002,

,•F，C为正数，.•.a+c4200血，故选：C.

2.(24-25九年级上•湖北武汉•阶段练习)如图，V48c中，4B=AC,点P为N4BC内一点,N4PB=135°,

ABAC=90°.^AP+BP=6,且4P的长度不小于4,则尸C长度的最小值为()

【答案】A

【分析】把绕点A逆时针旋转90。得到ZUPC,则4P=4P',ZPAP）=190°,ZAP'C=ZAPB=135°,

CP'=BP,证明A/PP'是等腰直角三角形，得到PP=VL1P,ZAP'P=45°-则NPPC=90。，利用勾股定

理得到PC?=3（尸工一2）2+24,据此利用二次函数的性质求解即可.

【详解】解：把△/P8绕点A逆时针旋转90。得到

则=ZPAP'=\90°,ZAP'C=ZAPB=135°,CP'=BP,

AAPP1是等腰直角三角形，，PP'=42AP,ZAP'P=45°ZPP'C=90°

.;AP+BP=6,BP=6-PA,：.CP'=6-PA

在RtAPP'C中，由勾股定理得PC2=P'P2+P'C2=2PA2+（6-=3P#一12尸/+36=3（尸/-2）2+24,

3>0,4<PA<6,PC?随尸/增大而增大，

.•.当口=4时，尸C?有最小值，最小值为3（4-2『+24=36,，PC的最小值为6,故选：A.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，二次函数的最值问题，等腰直角三角形的性质与判定,

正确用含上4的式子表示出尸。2是解题的关键.

3.（2024・安徽・模拟预测）在中，ZC=90°,ZA=30°,BC=3,尸是边/C上一点，尸C=百，

M,N是48上两个动点，且AGV=1,则PA/2+2尸M的最小值为（）

A.9B.—C.—D.10

43

【答案】c

【分析】本题考查了勾股定理，二次函数的性质，解直角三角形，求出P。，过点尸作尸01/3,垂足为

点。，，设0N=X,则MQ=1-X,利用勾股定理得出P”+2产储=同02+尸02+2（尸02+”2）,由二次

函数的性质可得出答案.

【详解】解：如图，过点尸作尸。工48,垂足为点。，

VZC=90°,ZA=30°,BC=3,：.AC=-^—=343,,:PC=6AP=1^,

tan30

PQ1AB,AA=30°,:.PQ=C,"MN=\

当点M,N位于点。两侧比位于同侧时，所求的代数式的值更小设QN=x,则MQ=1-x.

PM-+2PN2=MQ-+PQ2+2^+QN2）=3x2-2x+\Q=3^x-+y.

当X=；1时，尸河2+2刖2的值最29小为故选：C.

4.（23-24九年级上•山东淄博・期末）如图，“BC是等边三角形，4B=8。，£是/C的中点，。是直线

8c上一动点，线段即绕点£逆时针旋转90。，得到线段EF,当点。运动时，则距的最小值为（）

A.4A/3B.273+4C.8D.273+6

【答案】D

【分析】作。A/1/C于河，FN1AC于■N,设DM=x,则01/=卫"一="x,由旋转的性质易得

tan6003

△EDM”AFEN,然后分。在8C上时和。在BC的延长线上时，分别通过勾股定理计算出/尸2,然后利用

二次函数的最值解答即可.

【详解】解：作。M//C于初，FNLAC于■N,如图所示：设DM=x,

•；AABC为等边三角形，AAB=BC=AC=>ZBAC=ZB=ZC=60°,

为/C的中点，AAE=CE=4y/3,在Rt^CW中，CM=-^—^—x,

tan6003

・・•线段助绕点E逆时针旋转90。，得到线段£/，.,•瓦）=跖，/DEF=9。。，

*.•ZENF=ZDME=90°,ZFEN+/DEM=ADEM+/EDM=90°,

・•・/FEN=/EDM,：.^EDMdFEN,

n

当。在5。上时，DM=EN=x,EM=NF=4y/3--x,

3

在RS4W中，AF2=4百-+=g（x+3g-3『+48+24省，

A

当。在BC的延长线上时，如图所示：DM=EN=x,