2025年中考数学总复习学案：锐角三角函数及其应用（含答案）

微专题23锐角三角函数及其应用

考点精讲

构建知识体系

ft用三的心｝

坡角

考点梳理

1.锐角三角函数（6年5考）

图①

定义：如图①，在R3A5C中，ZC=90°，NA为△ABC中的一锐角，则NA

的正弦：sinA=^^,NA的余弦…。sA=^=①一,NA的正切：tanA

=1=®一

2.特殊角的三角函数值（6年8考）

A

2IK

示意图11y/\73

______J

&_J

1

Ji1

a30°45°60°

1V3

sina③

2T

cosa④漫⑤

T

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3.锐角三角函数的实际应用(6年3考)

(1)仰角、俯角：如图②，图中仰角是N1,俯角是N2

(2)坡度(坡比)、坡角：如图③，坡角为a,坡度(坡比)i=tana=?

(3)方向角：如图④，A点位于。点的北偏东30°方向，5点位于。点的南偏东

60°方向，。点位于O点的北偏西45°方向

铅

乖

线

困2图③图④

练考点

1.如图，在R3A3。中，NC=90°,AC=1,BC=2,则cos5的值为1

第1题图

2.如图，是△人5。的高，AB=4,ZBAD=60°,tanZCAD=^,则的

长为.

Rhc

第2题图

3.在中，NC=90。.

(1)若NA=60°,则sinA=,cosA=；

(2)若tanA=1,则NA=°.

4.如图，从热气球P看一面墙底部B的俯角是.(用字母表示)

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第4题图

高频考点

考点1锐角三角函数（6年5考）

例1（2024东莞一模）如图，△A5C的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA

的值是（）

例1题图

变式1（2024江西）将图①所示的七巧板，拼成图②所示的四边形A5CD,连接

AC,则tan/CA5=.

变式1题图

考点2锐角三角函数及其应用（6年3考）

例2小明家与小华家住在同一栋楼，他俩对所住楼对面商业大厦的高进行

了测量.（结果均保留整数）

（1）如图①，小明与小华在楼下点A处测得点A到"的距离为50m,测得商业大

厦顶部N的仰角为58°,试求商业大厦的高MN；

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(参考数据：sin58°"0.85,cos58°七0.53,tan58°=1.60)

JX58e||

2讨”

例2题图①

⑵现在商场楼下停了一辆车，没办法直接测量出4"的长度，小华想了其他办法

也可以测量.

①如图②，小明与小华在楼顶的5处，测得商业大厦顶部N的仰角为37°,测

得商业大厦底部V的俯角为60°,已知MN±AM,AB=56m,试求

商业大厦的高MN；

(参考数据sin37°^0.60,cos37°^0.80,tan37°^0.75,V3^1.73)

例2题图②

②如图③，小华站在点A处测得塔尖商业大厦顶部N的仰角为45°,向前走了

35m到达点5处测得商业大厦顶部N的仰角为61°,已知小华眼睛到地面的高

度AC（瓦））为1.6m,点4,B,V在同一水平线上，MNLAB,试求商业大厦的

[WjMN；

（参考数据：sin61°心0.87,cos61°^0.48,tan61°^1.80）

例2题图③

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⑶如图④，大厦楼顶上有一信号塔印（尸，E,"三点共线），小明和小华想测得

塔尖下到地面的高度，小明在楼顶的5处，测得商业大厦顶部N的仰角为37°,

小华在大厦楼顶G处测得信号塔顶部F的仰角为60°,已知BALAM,MNLAM,

EFINE,AB=56m,AM=50m,GE=10m,试求塔尖厂到地面的高度.（结果

保留整数）（参考数据：sin37°^0.60,cos37°^0.80,tan37°^0.75,V3^1.73）

1///

例2题图④

真题及变式

命题点锐角三角函数及其应用（6年9考）

模型分析

模型模型分析模型模型分析

基础模型基础模型

背AB=AD+BDAD=AC~CD

母

对

子

背模型演变模型演变

AB=AD+CE型RFG=AD+DC,BG=

型

+BFBC+AF

1.（2022广东11题3分）sin30°=

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2.（2019厂东15题4分•人教九下例题改编）如图，某校教学楼4。与实验楼

的水平间距CD=15g米,在实验楼顶部5点测得教学楼顶部A点的仰角是30°,

底部。点的俯角是45°,则教学楼AC的高度是米（结果保留根号）.

3.（2023广东18题7分）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满

成功，3名航天员顺利进驻中国空间站.如图中的照片展示了中国空间站上机械臂

的一种工作状态.当两臂AC=i5C=10m,两臂夹角NACB=100。时，求A,B

两点间的距离.（结果精确到0.1m,参考数据sin50°^0.766,cos50°"0.643,

tan50°^1.192)

第3题图

4.（2024广东18题7分）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作

出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩

形尸充电站的平面示意图，矩形A5co是其中一个停车位.经测量，ZABQ

=60°,AB=5.4m,CE=1.6m,GH±CD,G"是另一个车位的宽，所有车位

的长宽相同，按图示并列划定.

根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m,参考数据班心1.73）

⑴求尸。的长；

（2）该充电站有20个停车位，求PN的长.

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/1〃6

(J0Z1

BEV

第4题图

拓展训练

5.（2024中山一模）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，

其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各

类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务.如图，小敏一家准备自驾到

风景区。游玩，到达4地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶10千米至

5地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区。，小敏发现风景区。在A

地的北偏东15°方向.

（1）求NC的度数；

⑵求以。两地的距离.（如果运算结果有根号，请保留根号）

北

t（:

S,57

V

Al

第5题图

新考法

6.［项目式学习］（2024兰州）单摆是一种能够产生往复摆动的装置.某兴趣小组利

用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下.

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实验主题探究摆球运动过程中高度的变化

实验用］摆球，摆线「支架，摄像机等

如图①，在支架的横杆点。处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松

手，摆球开始往复运动.（摆线的长度变化忽略不计）

实验说明如图②，摆球静止时的位置为点A,拉紧摆线将摆球拉至点5处，

BD±OA,ZBOA=64°,50=20.5cm；当摆球运动至点。时，ZCOA

=37°,（点O,A,B,C,D,E在同一平面内）

实验图不

图①图位:

第6题图

解决问题：根据以上信息，求石。的长.（结果精确到0.1cm）

参考数据:sin37°=0.60,cos37°^0.80,tan37°^0.75,sin64°=0.90,

cos64°^0.44,tan64°=2.05.

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考点精讲

①2②m③"④手⑤？⑥当⑦迎

cb2223

教材改编题练考点

2.2V3+1

3.⑴'I；(2)45

4.ZBPC

高频考点

例1C【解析】如解图，连接格点5。，CD在R3A5D中，tanA=%=：.

AD3

例1题解图

变式1|【解析】根据题意，易知A5=CD设A5=2,则CD=BD=2,VZABD

=45°+45°=90°,ZBDC=90°,：.AB//CD,，四边形A5CQ是平行四边

形.如解图，设AC,50交于点O,：.BO=-BD=1,.,.tanZCAB=—=-.

2AB2

变式1解图

例2解：(iy：MN±AM,

.•.在R3AMN中，tanNA/AN=丝，NMAN=58°,AAf=50,

AM

：.MN=AM-tstn58°七50X1.60=80,

答：商业大厦的［WjMV约为80m；

(2)①如解图①，过点B作BC1MN于点、C,

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，四边形A5cM是矩形，

：.BA=CM=56,

在R35CM中，tanNM5C=生=遍71.73,

BC

：.BC=-^-^32.4,

tan60°

在R35CN中，tanZNBC=—,

BC

：.NC=BC-tan37°=32.4X0.75=24.3,

MN=CM+NC=56+24.3=80.3^80,

答：商业大厦的高MN约为80m；v

/TX17口

PN\6OrT1

例题解图①

②如解图②，连接CD并延长交MN于点E,

由题意可知，四边形A5OC,均为矩形,

AC=BD=ME=1.6,CD^AB=35,

设EN=x,

在RtACEN中，/ECN=45°,

：.EN=CE=x,

：.DE=CE-CD=x~35,

:在RtADNE中,ZNDE=61°,

.*.tanZA»E=—=^—^1.80,

DEx—35

解得入y78.8,:.ENF8.8,

:.MN=EN+MEF8.8+1.6=80.4七80,

答：商业大厦的［WjMV约为80m；

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l___1__39

ASu

例题解图②

(3)如解图③，过点5作于点C,交MN于点、D,FH即为下到地面的高

度.

易得DN=CE,AB=DM=CH=56,

由题意得50=AM=5O,ZNBD=31°,GE=10,

在RtA5Z)N中，DN^BDtan37°七37.5,

在R3E/G中，EF=GEtan60°七17.3,

:.FH=EF+CE+CH=EF+DN+AB^W.3+37.5+56=110.8^111,

答：塔尖厂到地面的高度约为Ulm.

例题解图③

真题及变式

1.-

2

2.(15+15V3)【解析】如解图，设过点5的水平线与AC交于点E,易得四边

形3OCE为矩形，则5E=CZ)=15g,•:/CBE=45°,：.CE=BE=1543,在

R3ABE中，4石=5石皿1130°=15g乂且=15,.\4。=4石+石。=(15+15g)米.

.

4.堂■

.

45/

.，

wA

r-*

第11页共14页

3.解：如解图，连接A5,过点。作CDLAB于点O,

\'AC=BC,ZACB=100°,

：.ZACD=^ZACB=^X100°=50°,（3分）

：.AD=ACsin50°^10X0.766=7.66（m）,

：.AB=2AD=2X1.66^15.3（m）,

答：A,5两点间的距离约为15.3m.（7分）

第3题解图

4.解：（1）由题意，得N0=9O°,ZABQ=60°,AB=5.4m,

.•.在R3A5Q中，ZBAQ=3Q°,50=5.4Xcos60°=2.7m,

AQ=5.4Xsin60。=誓m,（1分）

・••四边形A5CD为矩形，CE=1.6m,

ZABC=90°,ZCBE=180°-AABC-ZABQ=30°,

在R3CBE中,叱='=?m,5E=嬴=3.2m,

：.BC=AD=^-m,

同理可得，在Rt△P中，ZPAD=60°,

Dc°s6。。=Wxc°s6。。=?m,（3分）

••.PQ=PA+4Q=手

答：PQ的长约为6.1m；(4分)

(2)\,充电站有20个停车位,

：.QM=QB+20BE,

由⑴得，Q5=2.7m,BE=3.2m,

：.QM=2.7+3.2X20=66.7m,

第