2025年中考数学几何模型综合训练：三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型（学生版）

专题06三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型

近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的

一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型（加

型）、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，

这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。

目录^航］

...........................................................................................................................................................................1

模型1.猪蹄模型（M型与锯齿型）............................................................1

模型2.铅笔头模型............................................................................4

模型3.牛角模型..............................................................................7

模型4.羊角模型..............................................................................9

模型5.蛇形模型（“5”字模型）...............................................................11

习题练模型］

.......................................................................................................................................................13

模型L猪蹄模型（M型与锯齿型）

模型解读

先说说这个名字的由来，为什么叫猪蹄模型呢？因为它长得像猪蹄，也有叫M模型或锯齿模型的，都是根

据外形来取的，只要你喜欢，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。。

①注意：拐角为左右依次排列；②若出现不是依次排列的，应进行拆分。

条件:如图1,①己知：AM//BN,结论：ZAPB=ZA+ZB；②条件：ZAPB=ZA+ZB,结论：AM//BN.

证明：如图1,过点尸作尸。〃AM,

'：PQ//AM,AM//BN,：.PQ//AM//BN,：.ZA=ZAPQ,ZB=ZBPQ,

：.ZA+ZB=ZAPQ+ZBPQ=ZAPB,即：ZAPB=ZA+ZB.

条件：如图2,已知：AM//BN,结论：ZPI+ZP3=ZA+ZB+ZP2.

证明：根据图1中结论可得，ZA+ZB+ZP^ZPx+ZPi,

条件：如图3,已知：AM//BN,结论：ZPl+ZPi+...+ZP2n+i=ZA+ZB+ZP2+...+ZP2n.

,

证明：由图2的规律得，ZA+ZB+ZP2+...+/2,!=ZPi+ZP3+ZP5+...+ZP2n+i

模型运用

例1.（2024.山西•二模）如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束A3与OC平行射入接收天线,

经反射聚集到焦点。处，若NABO=38。，ZDCO=45°,则250。的度数为（）

A.90°B.83°C.76°D.73°

例2.（2024九年级下.辽宁•学业考试）如图，AS〃CD,钻=所,/4=25。,/石7（=130。，则/。的度

例3.（2023春•河南驻马店•九年级专题练习）已知AB〃CD,NEAF=gNEAB,ZECF=；ZECD,若

ZE=66°,则ZF为（）

例4.（2023・广东深圳•校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们

青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进

滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺

直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB//CD,当人脚与地面的夹角

NCDE=60。时，求出此时上身A3与水平线的夹角/胡/的度数为（）

例5.（23-24七年级下•广东云浮・期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识后，

对角之间的关系进行了拓展探究.如图，直线AB〃CD,直线AC是直线AB,CO的第三条截线，AK,CK

分别是NBAC,NOC4的平分线，并且相交于点K.

问题解决：（1）/BAC,NDG4的平分线AK,CK所夹的NK的度数为；

问题探究：（2）如图2,ZBAK,NDCK的平分线相交于点号,请写出NA&C与NAKC之间的等量关系,

并说明理由;

拓展延伸：(3)在图3中作NBA&,ZDCK,的平分线相交于点K,作ZBAK2,ZDCK2的平分线相交于点

K},依此类推，作/胡(。23，/QCK?侬的平分线相交于点长2必，求出/(。24的度数.

例6.(2024.上海.八年级校考期中)已知，直线(1)如图(1),点、G为AB、间的一点，

联结AG、CG.若/A=140。，ZC=150°,则/AGC的度数是多少？

(2)如图(2),点、G为AB、间的一点，联结AG、CG.ZA=x°,ZC=y°,则/AGC的度数是多少？

(3)如图(3),写出NAEF、/EFG、NFGC、NGCD之间有何关系？直接写出结论.

⑴

模型2.铅笔头模型(子弹模型)

模型解读

因为它长得像铅笔头或，也有叫子弹模型的，都是根据外形来取的，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才

是关键。

①注意拐角朝同一方向②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分.

HU

mNoN

图1图2图3

条件：如图1,已知：AM//BN,结论：Z/+Z2+Z3=360°；（该结论和条件互换结果任然成立）。

证明：在图2中，过尸作AM的平行线尸尸，：.PF//CD,

.*.Z1+ZAPF=18O°,Z3+ZCPF=180°,Zl+Z2+Z3=360°；

条件：如图2,已知：AM//BN,结论：Z1+Z2+Z3+Z4=54Q°

证明：在图2中，过Pi作AM的平行线PiE,过点22作4〃的平行线P2尸，

：：

'：AB//CD,.PYE//BN//P2F,.Z1+ZAPIE^180°,ZP2P\E+ZP^F^180°,ZFP2B+Z4=180°,

/l+N2+N3+/4=540°；

条件：如图3,已知：AM//BN,结论：Z1+Z2+...+ZM=（H-1）180°.

证明：在图3中，过各角的顶点依次作A8的平行线，

根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：Nl+N2+N3+...+N"=（??-1）180°.

模型运用

例1.（2024.辽宁•模拟预测）如图，平行于主光轴"N的光线和C。经过凸透镜的折射后，折射光线班;

和折射光线。歹交主光轴于点P,若NABE=155。，ZCE>F=160°,则NEPE=°.

例2.（2024陕西咸阳模拟预测）如图，直线乙〃/2〃/3，/1=25°,乙西7=73。，则/2的度数为（）

A.142°B.140°C.138°D.132°

例3.（2023下•江苏南通・七年级统考期末）如图，直线AB"CD,尽E,P分别是直线AB,8上的两点,

点尸在直线AB和8之间，连接瓦^依/尸仍和/口的平分线交于点。，下列等式正确的是（）

AEB

A.NP+2NQ=360°B.2NP+NQ=360°C,NQ=2/PD./P+/Q=180°

例4.（2023上•广东广州•八年级校考开学考试）如图①所示，四边形MNBD为一张长方形纸片.如图②所

示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（/BAE、ZAEC,NECD）,则ZBAE+ZAEC+NECD=（度）；

（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（NBAE、NAEF、NEF、NFCD）,贝U

ZBAE+ZAEF+ZEFC+ZFCD=（度）；

（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（NBAE、NAEF、/EFG、NFGC、/GCD）,

贝U/A4E+/AEb+/EFG+NTGC+ZGCD=（度）；

（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪"刀，剪出〃+1个角，那么这”+1个角的和是（度）.

例5.（2023下・江苏南京•七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，

探索问题的解.

2。

4〃

（图1）（图2）（图3）

⑴如图1,AB〃CD,点E为AB、8之间的一点.求证：Z1+ZMEN+Z2=360°.

⑵如图2,AB//CD,点、E、F、G、H为AB、CD之间的四点.贝UNl+N2+N3+N4+N5+N6=

⑶如图3,AB//CD,则Nl+N2+N3+...+/〃=.

模型3.牛角模型

模型解读

因为它长得像犀牛角，故取名牛角模型。

条件：如图1,已知：AB//CD,且/ABE=0,/CDE=y,结论：/3=a+y.

证明：如图，延长A2交。E于点R'：AB//CD,:.NBFE=NCDF=y,

：/48£=/8/£+/石（外角定理），；./ABE=NCDF+NE,：.J3=a+y；

条件：如图2,已知：AB//CD,且/E=a,/ABE=。，NCDE=y,结论：/?=cr+180°-/.

证明：如图，延长AB交DE于点R

'：AB//CD,:./BFD=NCDF=y,：.ZBFE^1SO°-ZBFD^180°-7,

：/48£=/£+/8尸£（外角定理），/.ZABE^ZE+1SO°-ZBFD,.,./?=«+180°-/；

模型运用

例1.（2024・山西・模拟预测）抖空竹是一种传统杂技节目，是国家级非物质文化遗产之一.如图1是某同

学“抖空竹,,的一个瞬间，若将其抽象成图2的数学问题：在平面内，已知AB〃CD,ZEBA=80°,NE=25。,

则NEDC的度数为（）

C.105°D.95°

例2.（2023・安徽滁州•校联考二模）如图，若ABUCD,则（）

E

A.N1=N2+N3B.Zl+/3=/2C.Zl+Z2+Z3=180°D.Zl-Z2+Z3=180°

例3.（2022.湖北洪山.七年级期中）如图，已知48〃。，尸为直线AB,C。外一点，BF平分/ABP,DE

平分NC£）P,8尸的反向延长线交。E于点E,若/FED=a,试用。表示/尸为

例4.（2023春・广东深圳•九年级校校考期中）已知直线AB〃C0，点P为直线A3,。所确定的平面内

的一点，（1）问题提出：如图1,ZA=120°,ZC=130°.求/APC的度数:

（2）问题迁移：如图2,写出/APC,—A,-C之间的数量关系，并说明理由:

(3)问题应用：如图3,ZEAH,ZHAB=1:3,ZECH=20°,

P

图1

例5.（2023下•辽宁大连•七年级统考期末）如图，ZABE+ABED=ZCDE.

EEE

(1)如图1,求证AB〃CD；(2)如图2,点P在AB上，NCDP=NEDP,BF平分NABE,交PD于点F,探

究NBFP,N3即的数量关系，并证明你的结论；(3)在(2)的条件下，如图3,P。交EO延长线于点

Q，ZDPQ=2ZAPQ,ZPQD=80°,求NC0E的度数.

模型4.羊角模型

模型解读

因长像酷似山羊角，故取名羊角模型。

条件：如图1,已知：AB//DE,且/C=a,/B=0,/D=y,结论：y=a+/3.

证明：'：AB//DE,：.ZAFC=AD=y,

：NAEC=N2+NC（外角定理），/.ZD=ZB+ZC,：.y=a+/3-,

条件：如图2,已知：AB//DE,且NC=a,/B=B，/D=y,结论：180°-7=々+尸.

证明：'."AB//CD,：.ZBFD+ZD=180°AZBFD=180°-ZZ）=180°-y,

,.,N2F£）=NB+NC（外角定理），.,.180°-Z£）=ZB+ZC,/.180°-/=«+/?；

模型运用

例1.（2024.重庆江津.模拟预测）如图，已知NCDE=110。，如果AC〃DE,AC=BC,那么—8的度数

为.

例2.（2024.山东济南.中考真题）如图，已知/|〃LVABC是等腰直角三角形，ABAC^90°,顶点A,2分

别在//上，当/1=70。时，/2=

例3.（2023・河南・统考三模）如图，已知/ABC=150。，ZCDE=75°,则的度数为（）

C

A.55°B.60°C.45°D.50°

例4.（23-24七年级下•湖北武汉・期末）如图，AB//CD,的角平分线3尸交N/7CD的角平分线的反

向延长线于点P,直线网交CO于点M若ZHCD—2ZBNC=24。，贝i」NP+NH=°

D

例5.（2023七年级下•江苏・专题练习）已知AB〃MV.

（1）如图1,求证：ZN+NE=NB；

⑵若/为直线A/N、之间的一点，NE=：NEFB,BG平分ZABF交MN于点、G,EF交MN于点、C.

①如图2,若NN=57。，且BG〃EN,求NE的度数；②如图3,若点K在射线BG上，且满足

NKNM=2/ENM,若ZNKB=NEFB,ZE=NFBD,直接写出—E的度数.

4

模型5.蛇形模型（“5”字模型）

模型解读

因模型像一条弯曲的水蛇，故取名蛇形模型。

条件：如图1,已知：AB//DE,ZC=a,ZB=/3,ND=y,结论：a+y=)3+180°.

证明：在图2中，过C作A8的平行线CF,

'：AB//DE,C.CF//DE,：.ZFCD+ZD=180°,：.ZBCF+ZFCD+ZD=ZB+l80°,

：.ZBCD+ZD=ZB+180°,/.a+/=/7+180°.

条件：如图2,已知：AB//DE,NC=a,/B=/3,ND=y,结论：。=7+180°-尸.

证明：在图2中，过C作AB的平行线CF,：.ZB+ZBCF=18Q°,

".,AB//DE,J.CF//DE,:./FCD=/D,：.ZB+ZBCF+ZFCD=ZD+1800,

：.ZBCD+ZD=ZB+180°,a+7=分+180°.

模型运用

例1.（2023・四川广元•统考三模）珠江流域某江段江水流向经过8、C、。三点，拐弯后与原来方向相同,

如图，若/ABC=120。，ZBCE>=80°,则NCDE等于（）

例2.（23-24七年级下•辽宁葫芦岛•期末）如图，AB//CD,/DCE的角平分线CG的反向延长线和—ABE

的角平分线所交于点RZE-ZF=66°,则NE=

例3.（23-24七年级下•湖北鄂州・期中）如图，已知点A,C,8不在同一条直线上，AD//BE.

（1）求证28+/。一44=180。；（2）如图2,AH,BQ分别为三等分/D4C、NEBC所在直线，ZDAH=^ZDAC,

ZEBQ=|NEBC,试探究NC与^AQB的数量关系；（3）如图3,在（2）的前提下，且有AC〃QB,直线AQ、

2c交于点尸，ZAPC=60°,请直接写出NZMC:NACB:NCBE=.

例4.（23-24七年级下•广东广州•期末）如图1,NACB=90。，MA//BN.

（1）①如果/MAC=30。，求NCBN的度数；②设NA4AC=<z,NCBN=0,直接写出a、万之间的数量关

系:；（2）如图2,ZMAC,NCBN的角平分线交于点P,当—M4c的度数发生变化时，NAPB

的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出4P3的度数;

⑶在（2）的条件下，若NM4c=40°,点E为射线3N上的一个动点，过点E作跖〃BC交直线AP于点产,

连接EP.己知NFEP=10。，求/班£的度数.

习题练模型

1.（2023・湖南长沙•九年级校联考期中）如图，若AB〃CD,Za=65%々=25。，则少的度数是（）

A.115°B.130°C.140°D.150°

2.（2023・山西吕梁•校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行•若

A.118°B.148°C.150°D.162°

3.（2024•陕西咸阳・模拟预测）如图，直线AB〃CD.若ZEDC=2NE,ZABC=60°,则NE=（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

4.（2024・广东深圳•模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一.明代《帝京

景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的

历史至少在600年以上.如图，通过观察抖空竹发现,可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB//CD,

ZBAE=94°,ZDCE=122°,则/E的度数为（）

A.28°B.38°C.18°D.25°

5.（2023・广东佛山•模拟预测）如图，若AJB〃CD,CD//EF,Zl=30°,N2=130。，那么/BCE的度数为

（）

A-------

C^~----------D

\____________

EF

A.160°B.100°C.90°D.80°

6.（24-25九年级上•湖北•课后作业）①如图①，则NA+NC=NE；

②如图②，AB//CD,则NP=NA—NC；③如图③，AB//CD,则/E=Z4+/1；

④如图④，直线AS〃CD〃EF,点。在直线族上，则为-々+々=180。.以上结论正确的是（）

图①图④

A.①②③④D.②③④

7.（2024•江苏徐州•模拟预测）如图,是某款婴儿车的几何示意图，若AD〃BC,Nl=125。，Z3=40°,

则Z2的度数是'

8.（23-24七年级下•浙江杭州•期中）如图，AB//CD,—DCE的角平分线CG的反向延长线和的角

平分线即交于点F，NE—N尸=63。，则.

9.（23-24七年级下•江苏无锡・期中）如图，AB//CD,尸为A3上方一点，E、F分别为A3、C。上的点,

NPEB、/尸FD的角平分线交于点。，/PFC的角平分线与的延长线交于点G,若NPe=76。，

ZG=68°,则NGEP的度数等于.

10.（2023・江苏•八年级假期作业）如图，两直线45、CD平行，贝!]Nl+N2+N3+N4+N5+N6=

AH

11.（2023•内蒙古鄂尔多斯•七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中，AB//CD.

（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，/I与N2、/3三者之间的关系.

（2）请你从中住选下个加以说明理由.

解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于。点的灯泡发出两束光线08、0c经灯碗

反射后平行射出.如果乙42。=57。，ZDCO=44°,那么NBOC=°.

12.（2023春・湖北黄冈•七年级校考期中）如图，已知：点A、C、8不在同一条直线，AD//BE

图①图②图③

（1）求证：ZB+ZC-ZA=180°：（2）如图②，AQ,分别为ND4C、NEBC的平分线所在直线，试探究NC

与的数量关系；（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC〃QB,直线A。、8C交于点p,QP±PB,

直接写出NZMC：ZACB：NCBE=.

13.（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）已知：AB//CD,点E在CD上，点G、尸在43上，点a

在48、CO之间，连接FE、EH、HG,ZAGH=NFED,FEYHE,垂足为点E.

（1）如图1,求/EHG的度数；（2）如图2,GM平分/HGB,EM平分/HED,GM、EN交于点求

的度数；⑶如图3,在（2）的条件下，FK平分NAFE交CD于点K,若NKFE：ZMGH=23:13,FK与ME

所在直线交于点。，若射线QP从射线。歹的位置开始绕着点。逆时针以每秒5°的速度进行旋转，射线QP交

直线C。于点旋转时间为f秒，当f为何值时，QP第一次与G"平行？并求此时NFQE的度数.

图1图2图3

14.（24-25八年级上•四川泸州・开学考试）（1）如图1,已知AB〃C」D,ZBAP=40°,NPCD=30。，则

求/ARC的度数；（2）如图2,在（1）的条件下，A"平分44P,CM平分/PCD,则N4WC的度数.

（3）如图2,已知至〃C。，411平分44P,CM平分/PCD,.当点P、M在直线AC同侧时，直接

写出NAPC与一⑷WC的数量关系：_；

（4）如图3,已知AB〃CD,AM平分NS4P,CM平分NPCD.当点尸、M在直线AC异侧时，直接写

出—ARC与/AWC的数量关系：

图1图2图3

15.(23-24七年级下•河北邯郸•期中)已知,直线AB〃CD,点尸为平面上一点，连接AP与CP.

K

图2

(1)如图1,点P在直线AB、CD之间,当NBAP=60。，NDCP=20。时，求，APC的度数.

(2)如图2,点尸在直线AB、之间,ZBAP与NDCP的角平分线相交于点K,写出ZAKC与NAPC之间

的数量关系，并说明理由.(3)如图3,点尸落在C。下方，44P与/DCP的角平分线相交于点K,请直接

写出NAKC与ZAPC的数量关系.

16.(23-24七年级下•湖北武汉•期中)点£、尸分别在A3、C。上；点。在直线48、之间,

且NEO尸=80。(1)如图1,①若NOFC=20。，求NAEO的度数;

②若NOFC=a,请你直接写出ZOFC+ZAEO=.

(2)如图2,直线MN分别交/BE。、NOR?的角平分线于点/、N,求的值

(3)如图3,EG在ZAEO内,ZAEG=mZOEG；FH在ZDFO内，ZDFH=mZOFH，直线MN分别交EG、

分别于点M、N,旦NFMN—NENM=80°,直接写出机的值

图1图2图3

17.（23-24七年级下•辽宁大连•期末）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线

的作用.李老师给出如下问题：AB//CD,点P为C。下方一点，连接PAPC,得到NAPC,试探究-APC

与的数量关系.（1）小红的做法是：如图2,过点尸作尸

（2）小明的做法是：如图3,设反交CD于点E