2025年中考数学总复习《思维拓展卷》同步测试题（附答案）

2025年中考数学总复习《思维拓展卷》同步测试题-附答案

学校:班级：姓名：考号：

1.已知RtZkABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,CD±AB,垂足为D,点尸是线段

CO上一点（不与C、。重合），过点8作BELA尸交AP的延长线于点E,AE与2C交

于点”，联结CE.

(1)求证：—=—；

CHEH

(2)当CE〃42时，求CE的长;

(3)当△CF”是等腰三角形时,求C”的长.

（备用图）

2.在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数yi=or2+3x+c的图象经过原点及点A（1,2）,

与x轴相交于另一点B.

（1）求：二次函数”的解析式及2点坐标；

（2）若将抛物线力以x=3为对称轴向右翻折后，得到一个新的二次函数”，已知二次

函数”与x轴交于两点，其中右边的交点为C点.点尸在线段0C上，从。点出发向C

点运动，过尸点作x轴的垂线，交直线A。于。点，以尸。为边在尸£＞的右侧作正方形

PDEF（当尸点运动时，点。、点E、点F也随之运动）；

①当点E在二次函数yi的图象上时，求OP的长.

②若点P从。点出发向C点做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OC上另

一个点Q从C点出发向0点做匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当Q点到达0点

时停止运动，P点也同时停止运动）.过。点作x轴的垂线，与直线AC交于G点，以

QG为边在QG的左侧作正方形QGMN（当。点运动时，点G、点M、点N也随之运动），

若尸点运动t秒时，两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上（正方形在x轴上

的边除外），求此刻/的值.

0X

3.如图1,在中，ZC=90°，ZA,/B,NC的对边分别为〃，b,c（注：sin90°

1).

a

...4a.Dbab.b

•SLYt/k——，SLTLD——，••C—■T,C—■rZ••・——

CCsinAsinBSinAsinB

abc

Vsin90°=1,——=-------=——.

sinAsinBsinC

拓展探究:

a

如图2,在锐角中，/A,，B,/C的对边分别为a,b,c.思考特例中的结论,=

b=-J是否仍然成立？请说明理由.

sinBsinC

解决问题:

如图3,为测量点A到河对岸点8的距离，选取与点4在河岸同一侧的点C,测得AC=

40/w,ZA=75°,ZC=60°.请用前面的结论，求点A到点B的距离（不取近似值）.

4.综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象.

实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高

度，得到数据如表:

试次第1次第2次第3次第4次第5次

下落高度/cm8090100110120

反弹高度/cm4045505660

任务1:请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量,

求出函数解析式.

解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅

资料发现，篮球第一次从高度为例（单位：，"）处落下到达地面的运动过程中，其高度刀

（单位：加）与运动时间f（单位：S）的函数关系是h=%0-其中g为重力加速

度.第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮球离地高度都是运动时间的二

次函数，且它们的二次项系数相同.

任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为加（单位：相）处下落到第一次反弹到

最高点所用的时间（用只含已知量彷，g的式子表示）.

任务3：篮球从100c机处下落，g的值取lOmls1.当篮球反弹高度小于2cm时，下次不

再反弹.直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第n次反弹最高点运动到第

/1+1次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数n的式子表示）.

5.【发现问题】

小明在练习簿的横线上取点。为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加

一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位

置有一定的规律.

【提出问题】

小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上.

图1图2备用图

【分析问题】

小明利用已学知识和经验，以圆心。为原点，过点。的横线所在直线为x轴，过点。且

垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如

图2所示.当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为.

【解决问题】

请帮助小明验证他的猜想是否成立.

【深度思考】

小明继续思考：设点尸（0,根），初为正整数，以。尸为直径画OM,是否存在所描的点

在上.若存在，求7"的值；若不存在，说明理由.

6.［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况.在大自然里，有很多数学的

奥秘.图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的

一部分沿直线折叠而形成.

图3图4

【探究一】确定心形叶片的形状

(1)如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数>="2-4办

-4a+l图象的一部分，已知图象过原点，求抛物线的解析式及顶点。的坐标；

【探究二】研究心形叶片的宽度：

(2)如图3,在(1)的条件下，心形叶片的对称轴，即直线>=尤+1与坐标轴交于A,B

两点，抛物线与x轴交于另一点C,点C,Q是叶片上的一对对称点，CCi交直线于

点G.求叶片此处的宽度CG；

【探究三】探究幼苗叶片的长度

(3)小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函

数了二办2-4ax-4a+l图象的一部分；如图4,幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的

二次函数.已知直线尸。(点P为叶尖)与水平线的夹角为45°,求幼苗叶片的长度尸£>.

7.(1)如图1,在RtZXABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°,D为BC上一点,DELAB

于点E,若BE=3,则OE=.

(2)如图2,在锐角△ABC中(ABCAC),ZC=45°,AB=4,AD为边上的高，

若SMBD=/求BC的长.

(3)如图3,。。为△ABD的外接圆，已知的半径为5,弦ACLBD于点”.且AC

BD,DE为。。的一条直径.M、N分别为BD、DE上一点,连MN、ME.若NDMN

7

/BAD,SAABH=±，求△EMN面积的最大值.

图2图3

8.(1)【知识再现】我们知道，直角三角形中有6个元素一一三个角，三条边，由已知元素

求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的

是.

①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角.

(2)【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有6个元素一一三个角，三条边，由已知元

素求出所有未知元素的过程叫解三角形.三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作

为解三角形的常用工具.如图1,已知AABC中，ZA=30°,ZB=45°,AB=5+5V3,

解这个三角形;

(3)【延伸应用】如图2,AABC中，AC=28，cosA=空，BC=m,在解这个三角形

时，若未知元素都有两解的根的取值范围是

图1图2

9.射水鱼以陆生昆虫为食物，它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中2根以内的

昆虫.如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分(如

图).在一次捕食时，射水鱼射出的水流向上运动的高度》(单位：CH1)与向前运动的水

平距离x(单位：cm)的关系可以近似地表示为y=-0.1/+4x.

(1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物，它运动的高度逐步上升时，水流向前运动的

水平距离X的范围是,它运动的高度逐步下降时，水流向前运动的水平

距离X的范围是；

（2）假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离20cm,高度50cm处，那么这次射出

的水流能否击中这只昆虫？

（3）假设捕食的昆虫位于射水鱼正前方30a”高度，并沿水平直线飞行，那么这次射出

的水流要击中这只昆虫，可能在射水鱼正前方多远处？

，人昆虫

/射水鱼

参考答案

1.已知RtZXABC中，ZACB=90°，AC=6,BC=8,CD1AB,垂足为。，点尸是线段

上一点（不与C、。重合），过点2作交AP的延长线于点E,AE与BC交

于点H,联结CE.

AHBH

（1）求证:

CH—EH

（2）当CE〃A2时，求CE的长;

（3）当△CE??是等腰三角形时，求C8的长.

【分析】（1）根据题意ZAHC=ZBHE,证明即可求

证;

（2）根据题意可得△CHES^AHB,则有NCE8=NA皮/,由C£〃AB,得到

如图所示，作HGLAB,垂足是G,由勾股定理、三角函数的计算得到2B：

A54

10,cos^ABC=在RtA^XG中，cos(ABC=需,则有一=一，得到=午，再

5BHBHS4

CECH

根据77=77?即可求解；

ABBH

(3)根据等腰三角形的判定和性质分类讨论：第一种情况：当NUH=NC”/时，可证

A”平分NC4B根据角平分线的性质，锐角三角函数即的计算可解得“G；第二种情况：

ACBC68

当/CHF=NHCF时,可得tanNCH/=tan/CA8,则一二—,即一=一，即可求解；

CHACCH6

第三种情况：当时，结合(2)的计算即可求解.

【解答】(1)证明：・・・3EJ_AR

AZAEB=90°,

VZACB=90°,

・・・ZAEB=ZACB,

'：/AHC=/BHE,

：.LACHsLBEH,

AHCHAHBH

—=—up—=—；

BHEHCHEH

—AHBH

(2)解：•・・一=一,NCHE=/AHB,

CHEH

・•・NCEH=NABH,

\9CE//AB,

：.ZCEH=/HAB,

：./ABH=NHAB,

:・AH=BH,

如图所示，HGLAB,垂足是G,

1

：.BG-AB,

在RtZXABC中，AC=69BC=8,

4

.\AB=10fcosZ-ABC=『

：.BG=5,

nr

在RtZXBHG中，cos(ABC=需,

・54

••—―,

BH5

2s

•••BH、，

ACH=BC-BH=(,

U：CE//AB,

7

日口生—五

••一,即一2q，

ABBH10—

4

14

：.CE=~

(3)解：①当NCFH=NCHF时,

■:NCFH=/AFD,

：.ZCHF=NAFD,

*.•/CHF+/CAH=ZAF£>+ZM£>=90°,

：.ZCAH=ZFADf

VZACB=90°,BPAC±BC,HGLAB,

：.CH=HG,

VAH=AH,CH=GH,

：.AACH^AAGH(HL),

・・・AG=AC=6,

：.BG=AB-AG=4,

在RtZ\BHG中，tan乙ABC=诙,

：.HG=4x7=3,即CH=3；

②当ZFHC=ZFCH时，

■:/HCF=/CAB,

：.ZCHF=ZCAB,

tanZCHF=tanZCAB,

ACBC68

—=—,HP—=一,

CHACCH6

9

：.CH=^；

③当ZHCF=ZHFC时，

VZCFH=ZAFD,

：.ZHCF=/AFD,

•・•ZHCF+ZABC=NA尸D+NEW=90°,

・・・ZABC=ZFAD,

•・・ZABC=ZCEA,

：.ZFAD=ZCEA,

：.CE//AB,

r>r

由（2）可知，在RtZ\BHG中，cos乙ABC=磊,

・54

••—―,

BH5

25

♦•仰=不

：.CH=BC-BH=%,即C”=:；

97

综上所述，CH=3或-或一.

24

2.在平面直角坐标系尤0y中，已知二次函数yiUG^+Sx+c的图象经过原点及点A（1,2）,

与x轴相交于另一点氏

（1）求：二次函数”的解析式及2点坐标；

（2）若将抛物线以以x=3为对称轴向右翻折后，得到一个新的二次函数”，已知二次

函数”与x轴交于两点，其中右边的交点为C点.点尸在线段0C上，从。点出发向C

点运动，过尸点作x轴的垂线，交直线A0于。点，以PD为边在尸。的右侧作正方形

尸DEF（当尸点运动时，点。、点E、点尸也随之运动）；

①当点E在二次函数”的图象上时，求OP的长.

②若点尸从。点出发向C点做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段0C上另

一个点。从C点出发向O点做匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当Q点到达O点

时停止运动，尸点也同时停止运动）.过。点作x轴的垂线，与直线AC交于G点，以

QG为边在QG的左侧作正方形QGMNQ当。点运动时，点G、点M、点N也随之运动），

若P点运动t秒时，两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上(正方形在X轴上

的边除外)，求此刻f的值.

；y

0.x

【分析】(1)利用二次函数yi=o?+3x+c的图象经过原点及点A(1,2),分别代入求出

a,c的值即可；

(2)①过A点作轴于H点，根据。P〃AH,得出△。「〃/△。浏，进而求出op

的长；

②分别利用当点只点N重合时，当点只点。重合时，当点尸、点N重合时，当点P、

点。重合时，求出t的值即可.

【解答】解：(1)二次函数的图象经过原点及点A(1,2),

...将(0,0),代入得出：

c=0,

将(1,2)代入得出：

。+3=2,

解得：a=-1,

故二次函数解析式为：yi=-f+3x,

•.•图象与x轴相交于另一点B,

，0=-X2+3X,

解得：尤=0或3,

贝IB(3,0)；

(2)①由已知可得C(6,0)

如图：过A点作48,无轴于X点,

\9DP//AH,

：.AOPD^AOHA,

.OPOH

•.=,

PDAH

a1

即—=

PD2

*.PD=2a,

•・•正方形POEE

:・E(3a,2a),

VE(3a,2a)在二次函数yi=-x?+3x的图象上,

••〃=；

7

即OP=

当点尸、点N重合时，有OF+CN=6,

•.•直线49过点（1,2）,

故直线解析式为：y=2x,

当OP=t,

则AP=2t,

•.,直线AC过点（1,2）,（6,0）,

代入y=ax+b,

a+b=2

6a+b=O'

a=一工

解得：

,12

b=T

故直线AC的解析式为：y=-|x+*

:当OP=f,QC=2t,

QO—6-2t,

212

•*.GQ=—5(6-2z)+~g-=

即NQ=%,

・・・O尸+PN+NQ+QC=6,

4

则有3f+2f+率=6,

解得：/=瑞;

解得：u二;

如图3：

解得：U谭,

解得：t=2.

3.如图1,在RtZXABC中，ZC=90°，ZA,ZB,/C的对边分别为a,b,c（注：sin90°

1).

a

...4a.Dbab.b

•SLYt/k——，SLTLD——，••C—■T,C—■rZ••・——

CCsinAsinBSinAsinB

abc

Vsin90°=1,——=------=——.

sinAsinBsinC

拓展探究:

如图2,在锐角中，4心，ZC的对边分别为a",c.思考特例中的结论〜

b三是否仍然成立？请说明理由.

sinBsinC

解决问题:

如图3,为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C,测得AC=

40m,ZA=75°,ZC=60°.请用前面的结论，求点A到点2的距离（不取近似值）.

【分析】拓展研究：仍然成立，理由：过点C作CDL4B于点。，过点A作AELBC于

点E,先根据正弦的定义可得s讥8=餐=穿，sin乙BAC=筵=笔,从而可得

ab，同样的方法可得一L

由此即可得;

sinZ-BACsinBsinBsinZ-BCA

解决问题：先根据三角形的内角和定理可得/CBA=45°,再根据拓展研究的结论求解

即可得.

b

【解答】解：拓展探究：结论三仍然成立.

sinAsinBsinC

理由如下：过点C作。OLA8于点O,过点A作AEL5C于点屏

BEQ

,AEAE

在RtAABE中，SinB=AB=^

.nCDCD

在RtZXBCC中,SinB=BC=^

CDCD

在RtAACD中，smZ-BAC=

CD=asmB,CD=bsinZBAC,

asinB=bsmZBAC,

ab

-——,

sinZ.BACsinB

b

同理可得:

sinBsinZ-BCA'

ab

sinZ.BACsinBsinZ.BCA

解决问题：在△ABC中，ZCBA=180°-ZA-ZC=45°,

ABAC

------=-------------,AC—40m,

sinCsinZ.CBA

AB40

sin60°sm45Q，

.".AB=40sin60°Xsin45°=20遍(m),

答：点A到点B的距离为20^7”.

4.综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象.

实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高

度，得到数据如表:

试次第1次第2次第3次第4次第5次

下落高度/c小8090100110120

反弹高度/cm4045505660

任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量,

求出函数解析式.

解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅

资料发现，篮球第一次从高度为加（单位：相）处落下到达地面的运动过程中，其高度//

（单位：m）与运动时间£（单位：s）的函数关系是九=%g/,其中g为重力加速

度.第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮球离地高度都是运动时间的二

次函数，且它们的二次项系数相同.

任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为瓦（单位：相）处下落到第一次反弹到

最高点所用的时间（用只含已知量加，g的式子表示）.

任务3：篮球从100cm处下落，g的值取\0mls1.当篮球反弹高度小于2cm时，下次不

再反弹.直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第n次反弹最高点运动到第

〃+1次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数w的式子表示）.

【分析】任务1：由表格数据知，对应的函数表达式为一次函数；

任务2：令九=生+=0,则仁楞^,反弹时，y=0.5x,则此时高度为|/孙同理

可得:t=件，即可求解；

N9

任务3：y=^x,100X（1）6=||<2,故反弹的次数为6次，参考任务2,即可求解.

【解答】解：任务1：设下落的高度为无反弹的高度为

设函数的表达式为：y=kx+b,

将（80,40）、（90,45）代入上式得：

膘=嚷2,解得：C=O5,

145=90/c+b3=0

故函数的表达式为：y=0.5x；

任务2：令h=h0-2gt2=o,则t=

1

反弹时，y=0.5x,则此时高度为”o，

同理可得：t=佟，

N9

则总时间为：仁再+旧;

任务3：100cm=1m,

11A2s

y=2Xf100X（—）6=玄<2,

故反弹的次数为6次,

由（2）知，开始的时间U再=

第一次反弹u曲=枭孝，

则第n次反弹t=件=造X（―）",

7g52

第（H+1）次反弹U.=\x（―）.

7g52

则从第n次反弹最高点运动到第n+1次反弹最高点间隔的时间=争X（y）n+^X（y）

„+1__2V5+V10四„

_102

5.【发现问题】

小明在练习簿的横线上取点。为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加

一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位

置有一定的规律.

【提出问题】

小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上.

【分析问题】

小明利用已学知识和经验，以圆心。为原点，过点。的横线所在直线为x轴，过点。且

垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如

图2所示.当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为（-3,4）或（3,4）.

【解决问题】

请帮助小明验证他的猜想是否成立.

【深度思考】

小明继续思考：设点P（0,机），机为正整数，以。尸为直径画OM,是否存在所描的点

在OM上.若存在，求相的值；若不存在，说明理由.

【分析】【分析问题】根据题意可知：该点的纵坐标为4,利用勾股定理，即可求出该点

的横坐标，进而可得出点的坐标；

【解决问题】设所描的点在半径为w（〃为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（w

-1）,利用勾股定理可得出该点的坐标为（—痴二I,1）或（物—，"-1）,结

合点横、纵坐标间的关系，可得出该点在二次函数丫=%2一帝的图象上，进而可证出小明

的猜想正确；

【深度思考】设该点的坐标为（土扬E,”-1）,结合的圆心坐标，利用勾股定

理，即可用含n的代数式表示出m的值，再结合m,n均为正整数，即可得出m,n的值.

【解答】【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐

标y=5-1=4,

横坐标x=±V52—42=±3,

・・・点的坐标为(-3,4)或(3,4).

【解决问题】证明：设所描的点在半径为〃（〃为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标

为(n-1),

・•・该点的横坐标为土（层一（九一1）2=±yj2n-1,

・・・该点的坐标为（一咳2九一1,"-1）或“2几一1,n-1）.

(±V2n-1)2=2〃-1,n-1=叱二,

.•.该点在二次函数y另（?-1）="一匏图象上,

小明的猜想正确.

______1

【深度思考】解：设该点的坐标为（土山J一1,n-1）,0M的圆心坐标为（0,-m）,

J(±V2n—1—0)2+(n—1—^m)2=排,

2

._n2_(n-1+1)2(n-1)(n-l_1

••ITl-'T-4+21)+=n]+2+

n—1n—1n—1n—1

又•：m,〃均为正整数,

:・n-1=1,

.•.加=1+2+1=4,

••・存在所描的点在OM上，加的值为4.

6.［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况.在大自然里，有很多数学的

奥秘.图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的

一部分沿直线折叠而形成.

图3图4

【探究一】确定心形叶片的形状

(1)如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数>="2-4办

-4a+l图象的一部分，已知图象过原点，求抛物线的解析式及顶点。的坐标；

【探究二】研究心形叶片的宽度：

(2)如图3,在(1)的条件下，心形叶片的对称轴，即直线y=x+l与坐标轴交于A,B

两点，抛物线与x轴交于另一点C,点C,。是叶片上的一对对称点，CCi交直线A3于

点G.求叶片此处的宽度CCi；

【探究三】探究幼苗叶片的长度

(3)小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函

数y=o?-4"-4a+l图象的一部分；如图4,幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的

二次函数.已知直线尸。（点P为叶尖）与水平线的夹角为45°,求幼苗叶片的长度尸£>.

【分析】（1）把原点（0,0）代入解析式y=o?-4ox-4a+l,求得。值，将抛物线化成

顶点式即可确定顶点坐标；

（2）先求出点C的坐标为（4,0）,再求出CCi的解析式为：y=-.r+4.然后求出点G

的坐标为（|,|）,最后求出结果即可；

（3）作尸尸，抛物线的对称轴于点R则NPFL>=90°,设点尸的横坐标为x,得出PP

=FD=2-x,根据点P在抛物线上，列出方程1—%=,/一久，得出点尸的坐标为（-

2,3）,最后求出尸O即可.

【解答】解：（1）心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数〉=办2-4依-4〃+1图象的

一部分，且图象过原点，将（0,0）代入得：

-4。+1=0.

解得：a=上.

；•抛物线的解析式为y=1%2-%=1（%-2）2-1,

顶点。的坐标为（2,-1）；

（2）♦..抛物线与x轴交于另一点C,点C,G是叶片上的一对对称点，

当y=0时得：0=；%2一%,

解得：%i=0,X2—4,

・••点C的坐标为（4,0）,

・・・设CCi的解析式为y=-x+b.将点C的坐标代入得：

-4+/?=0.

解得:b=4.

CCi的解析式为y=-x+4.

联立得：”了累，

（V=X+1

•••点G的坐标为（2，2）,

"G=J(4—#+(0_|)2=孚

/.CC'=2CG=5V2；

(3)作PPL抛物线的对称轴于点R则NPFL>=90°,

图4

:直线P。与水平线的夹角为45°,

：.PF=FD.

设点尸的横坐标为X,

•••抛物线的对称轴为直线x=2,

：.PF=FD=2-x.

•.•顶点D的坐标为(2,-1),

；•点P的纵坐标为-1+2-尤=1-尤.

,/点P在抛物线上，

・112

..1—X=

-4TX—X,

解得：x=±2,

.•.点P的坐标为(-2,3),

：.PD=7(-2-2)2+(-1-3)2=4V2.

7.(1)如图1,在RtZXABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°,D为BC上一点,DELAB

9

于点E,若3E=3,则DE=-.

-4—

(2)如图2,在锐角△ABC中(ABCAC),ZC=45°,AB=4,AO为BC边上的高，

g

若SUB。=2?求5C的长•

(3)如图3,。。为△ABO的外接圆，已知OO的半径为5,弦ACLBO于点”.且AC

=BD,DE■为OO的一条直径.M、N分别为2D、DE上一点、,连MN、ME.若/DMN

7

=ZBAD,SAABH=2-求△EMN面积的最大值.

【分析】(1)根据同角的正切即可解答;

9

得1Q

22-

(2)先根据勾股定理得：AEr+BD^AB,由以人知4—BD'AD=,两式结合变

24z

形后即可解答；

(3)如图3,连接EB,根据四边形内角和定理证明/EM0=9O°,过点。作OPLAC

于尸，作于Q,证明四边形。尸”。是正方形，设HQ=a,BH=x,利用勾股定

理列方程/+(°+x)2=52,结合S“BH=：和二次函数的最值即可解答.

【解答】解：(1)如图b'：DE±AB,

:./DEB=90°,

VZC=90°,

•,_DE_AC

•』annB=丽=瓦,

VAC=3,BC=4,BE=3,

.DE3

••—―,

34

：.DE=I；

、9

故答案为：

4

(2)如图2,〈A。为8C边上的高,

AZADB=ZADC=90°,

212

由勾股定理得：AD+BD=ABf

•・・A8=4,

AAD2+B£>2=16,

VZC=45°,

：.AD=CD,

•S^ABD=4，

19

A—BD-AD=7,

24

9

：.AD^BD=方

(AD+BD)2-2AO・3O=16,

ABC2-9=16,

.*.BC2=25,

・・・5C=5(负值舍)；

图3

•：/BED=/BAD,/BAD=/DMN,

：./DMN=/BED,

•:NDMN+/BMN=180°,

AZBED-^ZBMN=1SO°,

ZEBD+ZENM^180°,

・・・£。是。。的直径，

AZEBD=90°,

AZENM=90°,

过点。作OPJ_AC于P,作OQL5O于Q,

：.BQ=DQ,CP=AP,

*：AC=BD,

・・・OP=OQ,AP=CP=BQ=DQ,

VZOPH=ZOQH=ZPHQ=90°,

・・・四边形OP”Q是正方形，

:,PH=HQ,

设“Q=〃，BH=x,

DQ=BQ—AP—a+x,

•・・。。的半径为5,

«2+(〃+%)2=52,

IcP'+lax+j?—25,

・,7

,•*S^ABH=2f

1717

J.-*BH*AH=77,BR—*X*(2^+^)=5，

2222

••2QX+x7,

2/+7=25,

・・.Q=3(负值舍)，

OQ=3,

•・・。。=5,

・・・0Q=4,

・./八八八_OQ_MN_3

■AanZQDO=DQ=DN=4,

：.设MN=3m,DN=4m,则EN=10-4m,

.♦.△EMN面积=士・MN・EN=%3/n«10-4m)=-6rr^+l5m=-6(m-1)2+^,

ZZ4o

75

**•小EMN面积的最大值是

8

8.(1)【知识再现】我们知道，直角三角形中有6个元素一一三个角，三条边，由已知元素

求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是

③.

①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角.

(2)【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有6个元素一一三个角，三条边，由已知元

素求出所有未知元素的过程叫解三角形.三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作

为解三角形的常用工具.如图1,已知△ABC中，ZA=30°,ZB=45°,AB=5+5A/3,

解这个三角形；

(3)【延伸应用】如图2,AABC中，AC=2V3,cosA=BC=m,在解这个三角形

时，若未知元素都有两解的根的取值范围是V3<m<2<3.