2025年中考数学总复习《二次函数的综合应用》同步测试题（附答案）

2025年中考数学总复习《二次函数的综合应用》同步测试题-附答

案

学校:班级：姓名：考号：

L已知抛物线y=ax?-2ax+c(a,c为常数，a#0)经过点C(0,-1),顶点为D.

(I)当a=l时，求该抛物线的顶点坐标；

(II)当a>0时，点E(0,1+a),若DE=2/DC,求该抛物线的解析式；

(III)当a<-l时，点F(0,1-a),过点C作直线1平行于x轴，M(m,0)是x轴上的动

点，N(m+3,-1)是直线1上的动点.当a为何值时，FM+DN的最小值为2aU,并求此时

点M,N的坐标.

中考考向点对点•通练

1.(2024甘肃)如图1,抛物线y=a(x-h)2+k交x轴于O,A(4,0)两点，顶点为B(2,

28)，点C为OB的中点.

(I)求抛物线y=a(x-h)2+k的表达式；

(II)过点C作CHLOA,垂足为H,交抛物线于点E.求线段CE的长.

(IID点D为线段OA上一动点(O点除外)，在OC右侧作平行四边形OCFD.

①如图2,当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；

②如图3,连接BD,BF,求BD+BF的最小值.

2.（2024德阳）如图，抛物线y=x2-x+c与x轴交于点A（-1,0）和点B,与y轴交于点

C.

（I）求抛物线的解析式；

（II）当0<xg2时，求y=x?-x+c的函数值的取值范围；

（III）将抛物线的顶点向下平移三个单位长度得到点M,点P为抛物线的对称轴上一动点,

4

V5

求PA+yPM的最小值.

3.（2023河北区一模）已知抛物线y=x2+bx+c（b,c是常数）的顶点为P,经过点C（0,

3）,与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧）.

（I）当b=2时，求抛物线的顶点坐标；

（II）若将该抛物线向右平移2个单位后的顶点坐标为（m,n）,求4n-2m的最大值；

（III）若抛物线的对称轴为直线x=2,M,N为抛物线对称轴上的两个动点（点M在点N

上方），MN=1,D（4,0）,连接CM,ND,当CM+MN+ND取得最小值时，将抛物线沿

对称轴向上平移后所得的新抛物线经过点N,求新抛物线的函数解析式.

4.（2024河西区一模）已知点P是直线/：y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线

y=x2于A,B两点（点A在点B的左侧）.

（I）若点P的横坐标为-2.

①当直线m〃x轴，求A,B两点的坐标；

②当PA=AB时，求A,B两点的坐标；

（II）试证明：对于直线I上任意给定的一点P,在抛物线上都能找到点A,使得PA=AB

成立.

5.（2024西青区一模）已知抛物线y=-x2-4ax-12a（a<0）与x轴交于A,B两点（点A在点B

左边），与y轴交于点C.

（I）若点D（4,12）在抛物线上.

①求抛物线的解析式及点A的坐标；

②连接AD,若点P是直线AD上方的抛物线上一点，连接PA,PD,当4PAD面积最大时，

求点P的坐标及4PAD面积的最大值；

（II）已知点Q的坐标为（-2a,-8a）,连接QC,将线段QC绕点Q顺时针旋转90。，点C

的对应点M恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式.

热素养提升综合练•优练

1.（2024红桥区二模）已知抛物线y=ax?+bx+4（a,b为常数，a/））经过点A（1,0）和点B

（4,0）,与y轴相交于点C,M为抛物线上横坐标为m的点.

（I）求该抛物线的解析式；

（II）当l<m<4时，过点M作x轴的垂线与BC相交于点N,若MN=OC,求点M的

坐标；

（III）D为线段OC的中点，当NMDB=NDBO时，求点M的坐标.

2.(2024滨海新区二模)已知抛物线y=ax?+bx+c(a,b,c为常数，a>0),对称轴为直线

x=-l,与x轴交于点A和点B(2,0),与y轴交于点C,且OB=OC,连接AC.

(I)求抛物线解析式；

(II)点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作PHLx轴于点H,交直线AC于点E,

16

过点A作AF〃BC交直线PE于点F,若以谢=不，求点P坐标；

(III)点D是抛物线的顶点，将抛物线沿着射线AC平移，点D的对应点为D,过点D

作DfM±x轴于点M,在平移的过程中，是否存在以DD为腰的等腰三角形DDM?若存在，

直接写出点D，的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

1.已知抛物线y=ax?-2ax+c(a,c为常数，a#0)经过点C(0,-1),顶点为D.

(I)当a=l时，求该抛物线的顶点坐标；

(II)当a>0时，点E(0,1+a),若DE=2/DC,求该抛物线的解析式；

(III)当a<-l时，点F(0,1-a),过点C作直线1平行于x轴，M(m,0)是x轴上的动

点，N(m+3,-1)是直线1上的动点.当a为何值时，FM+DN的最小值为2“U,并求此时

点M,N的坐标.

解：：抛物线y=ax2-2ax+c(a,c为常数，a#0)经过点C(0,-1),

(1)当2=1时，

抛物线的解析式为y=x2-2x-l=(x-1)2-2,

故抛物线的顶点坐标为(1,-2).

(II)Vy=ax2-2ax-1=a(x-1)2-a-l,

.•.点D(1,-a-1),

由DE=2A/IDC得DE2=8DC2,

即(1-0)2+(-a-l-l-a)2=8[(1-0)2+(-a-1+1)2],

整理得4a2-8a+3=0,

13

解得a：》或a=w，

i3

故抛物线的解析式为y=-x2-x-l或y=-x2-3x-l.

(Ill)如答图，先将点D(1,-a-1)向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点

Df(-2,-a),过点D作DHLy轴于点H,作点F关于x轴的对称点F,则点F的坐标为(0,

a-1),

由图象的平移知DN=D，M,

,.,FM+DN=F,M+D,M>F,D,,...当D，，M,F三点共线时，FM+DN

的值最小，最小值即为FD的长，

，F'D'=2VTU,

第1题答国

则F'D'2=F'H2+D'H2

=(l-2a)2+4

=(2V10)2,

7、5

解得(舍去)或a二-

22

一57

则点D，，F的坐标分别为(-2,-),(0,--),

22

7

由点D-F的坐标得直线DF的解析式为y=-3x-3,

7

当y=0时，-3x--=0,

7

解得x=-

6

则m+3=一,

6

711

・••点M的坐标为(-0),点N的坐标为(一,-1).

中考考向点对点•通练

1.(2024甘肃)如图1,抛物线y=a(x-h)2+k交x轴于O,A(4,0)两点，顶点为B(2,

2百)，点C为OB的中点.

(I)求抛物线y=a(x-h)2+k的表达式；

(II)过点C作CHLOA,垂足为H,交抛物线于点E.求线段CE的长.

(IID点D为线段OA上一动点(O点除外)，在OC右侧作平行四边形OCFD.

①如图2,当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；

②如图3,连接BD,BF,求BD+BF的最小值.

图3

第I题图

解：(I)由题意得y=a(x-2)2+25/3,

将点A(4,0)代入上式，

得O=ax(4-2)2+2V3,

解得a=-£

；・y=-^(X-2)2+2V3=--^-X2+2V3X,

即抛物线的表达式为y=-yx2+2V3x.

(n)由(I)知，y=-—(x-2)2+2V3,

2

由中点坐标公式得点C(1,3),

当x=l时，

V3,「3V3

y=--x(1-2)2+2A/3=——，

’22

r,3V3LV3

则CE=--V3=—.

22

(III)①由(II)知，点C(1,3),

当y=3时，-q-(x-2)2+2V3=V3,

解得x=2+&(不符合题意的值已舍去)，

即点F(2+V2,V3).

②设点D(m,0),则点F(m+1,V3),

如答图，过点B作直线Uy轴，作点F关于直线1的对称点F(m+1,3b)，连接BF,

DF,则BD+BF=BD+BF2DF,当D,B,F三点共线时，BD+BF的值最小，

由定点F,D的坐标得，直线DF的表达式为y=3百(x-m),

将点B(2,2百)代入y=3V3(x-m),

得275=3次(2-m),

4

解得m=二，

3

7

则点F(一，3b)，点D(4V3,0),

3

则DF，=J(l+3后=：

7

即BD+BF的最小值为

2.(2024德阳)如图，抛物线y=x2-x+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点

C.

(I)求抛物线的解析式；

(II)当0<x02时，求y=x2-x+c的函数值的取值范围；

3

(III)将抛物线的顶点向下平移二个单位长度得到点M,点P为抛物线的对称轴上一动点,

4

求PA+yPM的最小值.

第2题图

解：(I)把点A(-1,0)代入y=x2-x+c,

得0=l+l+c,

解得c=-2,

・•・抛物线的解析式为y=x2-x-2.

19

(II)Vy=x2-x-2=(x-2-

191

工抛物线y=x2-x-2开口向上，顶点坐标为(34)，对称轴为直线x=

11

V|0-1|<|2--|,

...在0<xW2内，当x=2时，y取得最大值，最大值为22-2-2=0；

19

当x=：:时，y取得最小值，最小值为-二，

24

9

...当0<xW2时，函数值的取值范围是--<y<0.

4

1

(III)如答图，连接BM,过点A作AH1BM于点H,交抛物线的对称轴直线x=^于点P'，

1

设直线x=5交x轴于点N,

在y=x2-x-2中，令y=0,得0=X2-X-2,

解得x=-l或x=2,

・••点B(2,0),

13

・・・BN=2--=一，

22

193

:将抛物线的顶点(5,-1)向下平移1个单位长度得到点M,

二点M(---3),MN=3,-)/____

：.BM=y/BN2+MN2j/H

第2题答图

3

BN2Vs

・・・sinNBMN=

BM3VS5

2

.空一匹

"M一亏，

V5

・・・P'H=—P'M,

5

V5

P'A+—P'M=P'A+P'H=AH,

5

一V5

由垂线段最短可知，当点P与P重合时，PA+gPM最小，最小值为AH的长度,

V2S△ABM=ABMN=BMAH,

…ABMN3X36V5

・・AH=-------=r-------

BM3近5

2

、后6V5

；.P，A+咨P，M的最小值为丁.

3.(2023河北区一模)已知抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为P,经过点C(0,

3),与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧).

(I)当b=2时，求抛物线的顶点坐标；

(II)若将该抛物线向右平移2个单位后的顶点坐标为(m,n),求4n-2m的最大值；

(IID若抛物线的对称轴为直线x=2,M,N为抛物线对称轴上的两个动点(点M在点N

上方)，MN=1,D(4,0),连接CM,ND,当CM+MN+ND取得最小值时，将抛物线沿

对称轴向上平移后所得的新抛物线经过点N,求新抛物线的函数解析式.

解：(I)把C(0,3)代入y=x2+bx+c,

得c=3,

：b=2,

..•抛物线的解析式为y=x2+2x+3,

,."y=x2+2x+3=(x+1)2+2,

抛物线的顶点坐标为(-1,2).

(II)将抛物线y=x2+bx+3向右平移2个单位后，得新抛物线y'=(x-2)2+b(x-2)+3=x2+(b-4)

x+7-2b,

・・•平移后抛物线的顶点坐标为(m,n),

b—4

m=---------,

2

22

4(7—2b)—(b—4)—(b)+12

n=-----------------------------=--------1--------

44

2

—(b)+12b—4

4n-2m=4x------------------2x(-

4-z

=-b2+b+8

V-l<0,

133

・••当b=一时，4n-2m取得最大值，最大值为一，

24

••.4n-2m的最大值为苧

(III)：抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=2,

b,

-=2,解得b=-4,

2

二抛物线的解析式为y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

.,•抛物线的顶点坐标为(2,-1),

：MN=1,

•,.CM+MN+ND取得最小值即是CM+ND取得最小值，

如答图1,将点C(0,3)沿y轴向下平移1个单位得C，(0,2),连接CN,

：CC=MN=1,CCWMN,

四边形CCNM是平行四边形，

.•.CM=CN.•.CM+ND=CN+ND,

...当N,D三点共线时，CN+ND取得最小值，即CM+ND最小，如

答图2,此时D(4,0),C(0,2),

1

直线CD的解析式为y=--x+2,

1

在y=-5x+2中，令x=2,得y=l,

AN(2,1),

:将抛物线沿对称轴向上平移后所得的新抛物线经过点N,原抛物线的顶点坐标为(2,-1),

...新抛物线顶点为N(2,1),

/.y=(x-2)2+1=X2-4X+5,

新抛物线的函数解析式为y=x2-4x+5.

4.(2024河西区一模)已知点P是直线/：y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线

y=x?于A,B两点(点A在点B的左侧).

(I)若点P的横坐标为-2.

①当直线m〃x轴，求A,B两点的坐标；

②当PA=AB时，求A,B两点的坐标；

(II)试证明：对于直线/上任意给定的一点P,在抛物线上都能找到点A,使得PA=AB

成立.

(I)解：.点P是直线/：y=-2x-2上的点，其横坐标为-2,

/.y=-2x(-2)-2=2,

.•.点P(-2,2),

①当直线m//x轴时,

:直线m经过点P,交抛物线y=x2于A,B两点，

...点A,B的纵坐标为2,

则2=x2,

解得x=-V2或x=V2,

•.•点A在点B的左侧，

.,.点A的坐标为(-鱼，V2),点B的坐标为(VXV2).

②当PA=AB时，易知A为PB的中点，

设点A(m,m2),B(p,p2),

由中点坐标可得m=-2+p2,

整理得p=2m+2,

2+p2

同理可得n?=,

.,.p2=2m2-2,

.•,2m2-2=(2m+2)2,

整理得m2+4m+3=0,

解得m=-l或m=-3(舍去),

则m=-l,p=2m+2=0,

...点A的坐标为(-1,1),点B的坐标为(0,0).

(II)证明：如答图，分别过点P,A,B作x轴的垂线，垂足分别为Q,E,F,

则BF〃AE〃PQ,

由PA=AB,得QE=EF.

设点P(a,-2a-2),

点A(m,m2),点B(p,p2),

则有m=也，

2

整理得p=2m-a,

—2a—2+p2

同理可得m2二---------，

2

整理得p2=2m2+2a+2,

/.2m2+2a+2=(2m-a)2,

第4题答图

整理得关于m的一元二次方程2m2-4am+a2-2a-2=0,

其中A=16a2-8(a2-2a-2)

=8a2+16a+16

=8(a+1)2+8>0,

・,・无论a为何值时，关于m的方程总有两个不相等的实数根,

即对于直线1上任意给定的一点P,在抛物线上都能找到点A,使PA=AB成立.

5.(2024西青区一模)已知抛物线y=-x2-4ax-12a(a<0)与x轴交于A,B两点(点A在点B

左边)，与y轴交于点C.

(I)若点D(4,12)在抛物线上.

①求抛物线的解析式及点A的坐标；

②连接AD,若点P是直线AD上方的抛物线上一点，连接PA,PD,当小PAD面积最大时，

求点P的坐标及仆PAD面积的最大值；

(II)已知点Q的坐标为(-2a,-8a),连接QC,将线段QC绕点Q顺时针旋转90。，点C

的对应点M恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式.

解：(I)①由题意，把点D(4,12)代入y=-x12-4ax-12a,

得-16-4x4a-l2a=12,

.".a=-L

抛物线的解析式为y=-x2+4x+12.

当y=0时，有-X2+4X+12=0,

解得xl—~2,x2=6,

.,.点A的坐标为(-2,0).

②由题意，设点P的坐标为(m,-m2+4m+12)，其中-2<m<4,

设直线AD的解析式为y=kx+b,

把点A(-2,0),D(4,12)分别代入y=kx+b,

直线AD的解析式为y=2x+4,

如答图1,过点P作x轴的垂线，交AD于点E,

.•.点E的坐标为(m,2m+4),

.1

•*'SAPAD=-PE-(XD-XA)

1

=-(-m2+4m+12-2m-4)(4+2),

2

即SAPAD=-3m2+6m+24

=-3(m-1)2+27,

.,.当m=l时，△PAD的面积最大，最大面积是27,

此时点P的坐标为(1,15).

(II)由抛物线的解析式y=-x2-4ax-12a,可知其对称轴是直线x=-2a,点C的坐标为(0,

-12a),

故点Q(-2a,-8a)在抛物线对称轴上.

将线段QC绕点Q顺时针旋转90。后，点C的对应点是点M,

；.QC=QM,ZCQM=90°,

如答图2,分别过点C,M作直线x=-2a的垂线，垂足分别为E,N,

ZMNQ=ZQEC=90°,

NCQE+NMQN=NCQE+NQCE=90。，

.\ZMQN=ZQCE,

...△MNQ丝△QEC(AAS),

.'.MN=EQ=-4a,QN=CE=-2a,

工点M的坐标为(-6a,-10a).

把点M的坐标代入y=-x2-4ax-12a,

得-(-6a)2-4ax(-6a)-12a=-10a,

解得ai=0(舍去)，a2=-16,

抛物线的解析式为y=-x?+|x+2.

热素养提升综合练•优练

1.(2024红桥区二模)已知抛物线y=ax?+bx+4(a,b为常数，a/))经过点A(1,0)和点B

(4,0),与y轴相交于点C,M为抛物线上横坐标为m的点.

(I)求该抛物线的解析式；

(II)当1cm<4时，过点M作x轴的垂线与BC相交于点N,若MN=OC,求点M的

坐标；

(III)D为线段OC的中点，当NMDB=NDBO时，求点M的坐标.

解：(I)把A(1,0),B(4,0)代入y=ax?+bx+4,

4B(a+b+4=0,

何116a+4b+4=0,

解得『二，

・•・该抛物线的解析式为y=x2-5x+4.

(II)如答图1,

在y=x?-5x+4中，令x=0,贝！Jy=4,

AC(0,4),

由C(0,4),B(4,0)可得直线BC的解析式为y=-x+4,

设M(m,m2-5m+4),则N(m,-m+4),

/.MN=-m+4-(m2-5m+4)=-m2+4m,

VMN=OC,

-m2+4m=4,

解得m=2,

AM(2,-2).

(Ill)VC(0,4),D为线段OC的中点,

・・・D(0,2).

如答图2,

当点M在BD上方时，

VZMDB=ZDBO,

.'.DM//OB,

yM=yD=2,

将YM=2代入X2-5X+4,

AZ5+V175-V17

解2符BXi==一,X2二—,

•、“/5+V17\长z5_V17

..Mi(-^—,2),M2(-^—,2);

当点M在BD下方时，设DM交x轴于点N,

VZMDB=ZDBO,

・・・DN=BN,

设N(t,0),则t?+4=(4-t)2,

解得t=，

3

AN(——，0),

2

34

由N(—,0),D(0,2)可得直线DN的解析式为y=-—x+2,

4

联立y=_-3x+2,

,y=x2-5x+4,

解得

(y_9，

3/21°

.•.M(3,-2)或.

339

综上所述，点M的坐标为(空卫,2)或(士弃,2)或(3,-2)或(；，芳).

2.(2024滨海新区二模)已知抛物线y=ax?+bx+c(a,b,c为常数，a>0),对称轴为直线

x=-l,与x轴交于点A和点B(2,0),与y轴交于点C,且OB=OC,连接AC.

(I)求抛物线解析式；

(II)点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作PH_Lx轴于点H,交直线AC于点E,

16

过点A作AF〃BC交直线PE于点F,若SAAEF=/~，求点P坐标；

(III)点D是抛物线的顶点，将抛物线沿着射线AC平移，点D的对应点为D，，过点D

作D-M±x轴于点M,在平移的过程中，是否存在以D。为腰的等腰三角形DD，M