2025年中考数学复习难点与解题模型：平行线中的常见的四种“拐角”模型（解析版）

难点与解题模型10平行线中的常见的四种“拐角”模型

题型一：“猪蹄”模型（含“锯齿”模型）

题型二：“铅笔”模型

题型三：“鸡翅”模型

题型四：“骨折模型”

.精淮提分

题型一：“猪蹄”模型（含“锯齿”模型）

「藉T*i区7区...............

一、“猪蹄”模型

猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。

猪蹄模型（又名燕尾模型、M字模型）

步骤总结

:步骤一：过猪蹄（拐点）作平行线

；步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角

步骤三：推导出角的数量关系

模型结论：ZB+ZD=ZDEB.

二、锯齿模型

已知图示结论（性质）证明方法

AB

AB/7DEZB+ZE=ZC

上遇拐点做平行

DE线（方法不唯

AB一）

AB〃DE*NB+NM+NE=NC+NN

,N<z

DE

,一aF4也

多

a〃b5所有朝左角之和等于所有朝右角的和

•^^***^

b

•----------^4

【中考母题学方法】

【典例1-1】（2023•辽宁盘锦・中考真题）如图，直线A3〃CD,将一个含60。角的直角三角尺EGF按图中

方式放置，点E在上，边GF、砂分别交C。于点X、K,若NBEF=64。,则NGHC等于（）.

A.44°B.34°C.24°D.14°

【答案】B

【分析】根据平行的性质可得NEKC=/BEF=64。，再根据四边形内角和为360。可得NGHK=146。，问题

随之得解.

【详解】13A3〃CD,ZBEF=64°,

BlZEKC=ZBEF=64°,

0ZEKC+ZG+ZGEK+ZGHK=360°,NGEK=60。,ZG=90°,

SZGHK=146°,

0ZGHK+ZGHC=180°,

0ZGHC=34°,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了平行的性质以及四边形内角和为360。，掌握四边形内角和为360。是解答本题的关

键.

【典例1-2】（2020,湖南•中考真题）如图，已知AB0OE,01=30°,02=35",则EIBCE的度数为（）

AB

A.70°B.65°C.35°D.5°

【答案】B

【分析】作Cm4B,根据平行线的性质可以得到配=回8（主，HFC£=ffl2,从而可得SBCE的度数，本题得以

解决.

【详解】作C丽43,

EIABHDE,

0Cfl3DE,

0AB0Z)£13D£,

001=EIBCF,0FC£=02,

回回1=30。，02=35°,

B3BCF=30°,fflFCE=35°,

00BC£=65°,

故选：B.

【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答.

【典例1-3】（2024•在平区一模）如图，AB//EF,ZC=90°,则。，7的关系是（）

A.a+/3-y=90°B.尸+7-。=90。

C.a+6+7=180°D.0=a+y

【答案】A

【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键.分别过点C、。作A3的平行线,

即AB〃肱V〃尸所，根据平行线的性质得，a=ZBCN,NNCD=NCDP,ZPDE=y,由

ZBCN+ZNCD=90°,得NBCN+/CDP=90。,再由=£—即可得到。+/?-7=90。.

【详解】如图，分别过点C、。作AB的平行线，即43〃肱V〃尸Q〃EF,

根据平行线的性质得，a=ZBCN,ZNCD=ZCDP,ZPDE=7,

ZCDP+ZPDE=J3,

NCDP=0-NPDE,

又：ZBCN+ZNCD^90°,

:"BCN+NCDP=90。,

即a+分一7=90。，

故选：A.

【典例1-4】（2024•河南南阳•模拟预测）传统文化如同一颗璀璨的明珠，熠熠生辉，为增强学生体质，同时

让学生感受中国传统文化，某校将国家非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间.如图①是某同学“抖

空竹”时的一个瞬间，小红同学把它抽象成数学问题：如图②，已知AB〃CD,NAEC=131。，NBAE=57°,

则/DCE的度数为（）

A.64°B.65°C.74°D.75°

【答案】C

【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质求角度的方法是解题的关键.

如图，作EF〃AB,可得NBAE+NDCE=ZAEC,所以NDCE=NAEC-/BAE,由此即可求解.

【详解】解：如图所示，过点E作跖〃至，

E

7）

回AB〃CD,

⑦ABIIEFIICD,

国NBAE=AEF,NDCE=NCEF,

国NBAE+ZDCE=ZAEF+NCEF=ZAEC=131。，

团ZDCE=ZAEC-ZBAE=131°-57°=74°,

故选：C.

【典例1-5】（2023•北京西城・统考一模）下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种,

完成证明.

已知：如图，AB||CD.

求证：^AEC=Z4+ZC

AB

CD

方法二

方法一

证明：如图，延长4E,交CD于点F.

AB

M\EN4B

证明：如图，过点E作MN||ABCD

CFD

回MN||CD,

0Z.C=Z-CEM.

回乙4EC=Z-AEM+Z-CEM,

^Z.AEC=Z.A+ZC.

方法二证明：如图，延长4E,交CD于点、F,

^AB||CD,

团乙/=Z.AFC.

回匕AEC=Z-AFC+乙C,

^\Z-AEC=Z.A+ZC.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

【中考模拟即学即练】

【变式1-1］（2024•辽宁・模拟预测）汽车前照灯的反射镜具有抛物线的形状，它们是抛物面（如图），明亮的

光束是由位于抛物线反射镜焦点F上的光源产生的，此时光线沿着与抛物线的对称轴A3平行的方向射出,

若//CD=40。，ZFGW=70°,则光线尸C与尸G形成的NCFG的度数为（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

【答案】C

【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行内错角相等得到

ZAFC=ZFCD=40°,ZAFG=ZFGH=70°,即可得到ZCFG的度数.

【详解】解：由题意可知，CF//AB//GH,

0ZAFC=ZFCD=40°,ZAFG=ZFGH=70°,

aZCFG=ZAFC+ZAFG=110°

故选：C

【变式1-2］（2024•湖南长沙•模拟预测）如图，AB//CD,OBLOD,若NABO=36。，则NODC的度数为

)

54°C.72°D.108°

【答案】B

【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，作OECD得AB〃OECD,进一步可得

ZBOD=ZBOE+ZDOE=ZABO+Z.ODC,据此即可求解.

【详解】解：作OECD,如图所示:

0NBOE=ZABO,ZODC=NDOE

0Z.BOD=NBOE+Z.DOE=ZABO+ZODC

0ZABO=36°,ZBOD=90°

0ZODC=ZBOD-ZABO=54°

故选：B

【变式1-3］（2024•甘肃•模拟预测）如图1,是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望

远镜"中国天眼如图2,是"中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反

射面），入射波AO经过三次反射后沿O'A水平射出，且。1〃O'A,已知入射波AO与法线的夹角Nl=35。,

则NA'O'R=()

图1图2

A.70°B.60°C.45°D.35°

【答案】A

［分析］本题考查了平行线的性质，过点产作CC〃,可得CC'〃Q4〃0A,根据题意得到ZAOF=70°,

再由平行线的性质得到NA'O^=NCFO'=NCFO=70。，得出答案，掌握平行线的性质是解题的关键.

【详解】解：过点尸作CC〃以，OH为法线,如图:

图2

回。4〃0'4',

ECC,//OA//O'A,,

E1CC'±EG,

国cc为法线，

0ZCFO=ZCFO,,

E1OH为法线，Nl=35。，

EIZFOH=N1=35°,

EINAOP=70°,

ECC//OA,

0ZAOF=ACFO=ZCFO1=70°,

SCC//O'A1,

0ZAO'F=Z.CFO=70°,

故选：A.

【变式1-4］（2024•云南昆明•模拟预测）如图，已知。〃人若AB与BC的夹角为105。，Zl=55°,则/2的

度数为（）

A.105°B.125°C.130°D.150°

【答案】C

【分析】本题主要考查了平行线的性质及判定，掌握平行线的性质及判定是解本题的关键.

过点8作由a〃b可得进而可得出NCBD=50。，即可求解.

【详解】解：如图，过点8作

;.BD//b,

.-.Z1=ZABD=55O,Z2+ZCBD=180°,

/ABC=105。，

:./CBD=50。,

.-.Z2=130o.

故选：C

【变式1-5］（2024•江苏常州•一模）如图,直线a6,点A在直线。上，点C在直线b上，ABJ_3C,若N1=44。,

贝Z2=

【答案】46

【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键.

过点B作射线再根据ab,得出N1=NA5D,Z2=ZCBD,再根据AB_L3c即可求解.

【详解】解：过点2作射线氏D〃。，如图所示，

^\BD//a,

^\Zl=ZABD,

回〃b,

^\BD//b,

回N2=NCBD,

回NABC=NABD+NCBD=N1+N2=90。，

0Z1=44°,

团N2=90。一Nl=46°.

故答案为：46.

【变式1-6】问题情境：如图1,已知4BEI6],/-APC=108°.求NP4B+"CD的度数.

经过思考，小敏的思路是:如图2,过P作PE0/W,根据平行线有关性质，可得NP28+乙PCD=360°-UPC=

252°.

问题迁移：如图3,A。回BC,点P在射线。M上运动，4ADP=4a,LBCP=卬

⑴当点P在A、B两点之间运动时，乙CPD、Na、N0之间有何数量关系？请说明理由.

⑵如果点P在4B两点外侧运动时(点P与点A、B、。三点不重合)，请你直接写出NCP。、Na、N0之间

的数量关系.

⑶问题拓展：如图4,MA^NAn,Ar-Br-A2-----/是一条折线段，依据此图所含信息，把你

所发现的结论，用简洁的数学式子表达为一

【答案】(l)E!CPD=[3a+l36,理由见解析

(2)0CPD=[36-0a或回CPD=!3a-El6

(3)[ZL4_2+[ZL42+…二回81+回82+…+48九_1

【分析】(1)过P作PEMD,根据平行线的判定可得PEMOSBC,再根据平行线的性质即可求解；

(2)过P作PEHAD,根据平行线的判定可得再根据平行线的性质即可求解；

(3)问题拓展：分别过4,4…,作直线MM,过a,B2...Bn”作直线叫M,根据平行线的判定

和性质即可求解.

【详解】(1)EICPD=ffla+ra6,理由如下：

如图，过P作PE0AD交8于E,

EMDfflBC,

^AD^PE^BC,

回回。二团DPE,回6二团CPE,

^\CPD=^DPE+^\CPE=^a+^6；

(2)当P在84延长线时，回CPD二团6-团a；理由:

如图，过P作户函4。交CD于E,

M

V-------/

E/D

加。回8C,

国4。团PE团8C,

回团a二团DPE,团6二回CPE,

回团CPD二回CPE-回DPE二回6■■回a；

当P在8。之间时，团CP。二团a-团6.理由:

如图，过P作用加。交CD于E,

财。团PEU8C,

回回a二回DPE,回6二回CPE,

团团CP。二团OPE-回CPE二回a-团6.

(3)问题拓展:分别过4，4…，4恒作直线蜘过&,历，…，8".?作直线勖

由平行线的性质和角的和差关系得%h+M2+...+M"二姐什回历+...+/当_1.

N.

N

故答案为：财？+加2+-・.+加八二团8工+回82+...+48九_1.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第问在解题时注意

分类思想的运用.

题型二：“铅笔”模型

（指I点I迷I津

从猪蹄模型可以看出,点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图:

那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。

模型结论：ZB+ZE+ZD=360°

【中考母题学方法】

【典例2-1】（崇川区校级三模）如图，已知ZA=140°,ZE=120°,则NC的度数是（

A.80°B.100°C.120°D.140°

【分析】过E作E/〃AB,求出AB〃斯〃CD,根据平行线的性质得出/A+NA斯=180°,ZC+ZCEF

=180°,求出NA+NAEC+NCnSGO。，代入求出即可.

【解答】解:

过E作所〃AB,

,JAB//CD,

J.AB//EF//CD,

：.ZA+ZAEF=180°,ZC+ZCEF=180°,

ZA+ZAEF+ZCEF+ZC=360",

即/A+/AEC+/C=360°,

VZA=140°，ZAEC=nO°,

AZC=100°，

故选：B.

【点评】本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，注意：两直线平行，同

旁内角互补.

【典例2-21（2024春•启东市校级月考）如图，直线a//b,Nl=28°,则N3=度，N3+N4+N5=

【分析】过N3的顶点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质，不难发现：N3=N1+N2,Z3+

N4+N5=360°

【解答】解：如图所示：过N3的顶点作

■:a//b.

*.a//b//c,

・・・N1=N6,N7=N2,

又N3=N6+N7,

・・・N3=N1+N2=78°；

又N4+N6=N7+N8=180°

・・・N3+N4+N5=360°.

【点评】注意此类题中常见的辅助线：构造已知直线的平行线.根据平行线的性质发现并证明：Z3=Z

1+Z2；Z3+Z4+Z5=360°.

【典例2-3】请在横线上填上合适的内容.

（1）如图（1）已知AB〃C£>,则=

ABAB

解：过点E作直线£F〃A3.

EINFEB=().()

AB11CD,EF//AB,

0()//().(如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行)

EIZFED=().().

国ZB+ND=NBEF+NEED.

SZB+ZD=ZBED.

(2)如图②，如果A2〃CD,则NB+NBED+ND=()

【答案】(1)回2两直线平行，内错角相等，EF,CD,0D,两直线平行，内错角相等；

(2)360°

【分析】(1)过点E作直线EM4B,则回在18=138,继而由E股ICC可得跖EO=I3。.所以I3B+回。

SP[3B+[3£)=[3BED；

(2)过点E作直线£7迥AB,则回FEB+I3B=18O。，继而由EF0CD可得回庄力+回。=180。.所以

SB+SD+SBEF+^FED=360°,BPfflB+0BED+0£>=36O°.

【详解】解：(1)解：过点E作直线£甩4艮

0EFEB=0B.(两直线平行，内错角相等)

I3AB0CZ),EF3\AB,

SEF^CD(如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行).

0EFED=0D(两直线平行，内错角相等).

00B+0£)=0BEF+[3FEr).

0EIB+I3D=0BED.

故答案为：回8,两直线平行，内错角相等，EF,CD,0D,两直线平行，内错角相等；

(2)解：过点E作直线EFW1B,如图.

AB

00FEB+0B=18O°.两直线平行，内错角相等).

E1AB0CD,EF^AB,

SEF^CD(如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行).

a0FED+0Z)=18Oo(两直线平行，内错角相等).

^S\B+^D+SBEF+SFED=360°.

00B+aB£D+0£)=36Oo.

故答案为：360°.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及其推论，熟练掌握平行线判定、性质说理是关键.

【典例2-4]如图，已知ABG1CD.

CDCD

图3图4

(1)如图1所示，01+02=；

(2)如图2所示，01+02+03=；并写出求解过程.

(3)如图3所示，01+02+03+04=；

(4)如图4所示，试探究团1+回2+回3+回4+回+刖=.

【答案】(1)180°；(2)360°；(3)540°；(4)(n-1)xl80°

【分析】(])由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；

(2)过点E作A8的平行线，转化成两个图1,同理可得答案；

(3)过点E,点F分别作AB的平行线，转化成3个图1,可得答案;

(4)由(2)(3)类比可得答案.

【详解】解：(1)如图1,EMB0CD,

031+132=180。(两直线平行，同旁内角互补).

故答案为：180。；

(2)如图2,过点E作A8的平行线EF,

EL4B0CD,

EL4B0EF,CD0EF,

mi+EWEF=180",0FEC+03=18O°,

001+02+03=360°；

图4

(3)如图3,过点E,点F分别作AB的平行线,

类比（2）可知I31+[32+[33+[34=180°X3=540°,

故答案为：540°；

(4)如图4由(2)和(3)的解法可知回1+回2+回3+回4+...+酎=(n-1)xl80°,

故答案为：(n-1)xl80°.

【点睛】此题考查了平行线的性质.注意掌握辅助线的作法是解此题的关键.

【中考模拟即学即练】

【变式2-1](江苏模拟)如图，是赛车跑道的一段示意图，其中测得NB=140。Z£）=120°，

则NC的度数为(

5

A.120°B.100°C.140°D.90°

【分析】先作辅助线再根据平行线的性质解答即可.

【解答】解：过点。作3〃人3,

\,AB//DE,

J.AB//DE//CF,

.,.ZB+Z1=18O°,Z£>+Z2=180°；

故N3+Nl+/Z)+N2=360°,即NB+NBCr>+ND=360°,

故/BCO=360°-140°-120°=100°.

【点评】注意此类题要作出辅助线，运用平行线的性质探求三个角的关系.

【变式2-2］问题情境：如图1,ABWCD,APAB=130°,ZPCD=120°,求乙4PC的度数.

图5备用图1备用图2

思路点拨：

小明的思路是：如图2,过P作PEIIAB,通过平行线性质，可分别求出“PE、NCPE的度数，从而可求出

“PC的度数；

小丽的思路是：如图3,连接4C,通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出乙4PC的度数；

小芳的思路是：如图4,延长4P交DC的延长线于E,通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出NZPC

的度数.

问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的乙4PC的度数为。；

问题迁移：

(1)如图5,4D||BC,点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时,NADP=乙a,乙BCP=乙0.乙CPD、

Na、N0之间有何数量关系？请说明理由；

(2)在(1)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、。三点不重合)，请你直接写

出“PD、Na、4间的数量关系.

【答案】110；(1)NCPD=Na+NS，理由见解析；(2)乙CPD=乙0—乙a或乙CPD=La—乙8,理由见解

析

【分析】小明的思路是：过P作PEII4B,构造同旁内角，利用平行线性质，可得乙4PC=110。.

(1)过P作PEII4Z)交CD于E,推出40IPEIIBC,根据平行线的性质得出Na=NOPE,=/.CPE,即可得

出答案；

(2)画出图形(分两种情况：①点P在B4的延长线上，②点P在AB的延长线上)，根据平行线的性质得

出“=4DPE,“=LCPE,即可得出答案.

【详解】解：小明的思路：如图2,过P作PEII4B,

0PF||AB||CD,

S^APE=180°一"=50°,4CPE=180°一乙C=60°,

0Z4PC=5OO+6O°=11O°,

故答案为：110;

(1)/.CPD=za+z/?,理由如下：

如图5,过P作PEII4D交CD于E,

EL4DHBC,

SAD\\PE\\BC,

=4DPE,N0=乙CPE,

S/.CPD=NOPE+乙CPE=Na+4；

图5

(2)当P在B4延长线时，乙CPD=4/3—4a；

理由：如图6,过P作PEII4D交于E,

^AD\\BC,

^AD\\PE\\BC,

团匕a=乙DPE,乙0=(CPE,

国乙CPD=乙CPE-Z.DPE=乙0一乙a；

图6

当P在B。之间时，乙CPD=乙。一40.

理由：如图7,过P作PEII4D交CD于E,

SADWBC,

^ADWPEWBC,

fflza=乙DPE,邛=lCPE,

QZ.CPD=乙DPE—乙CPE—Na—乙。.

图7

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的

关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角.

【变式2-3］（1）如图1,/曲/2,求皿+酎2+幽3=.（直接写出结果）

（2）如图2,/曲/2，求加什附2+加3+凶4=.（直接写出结果）

（3）如图3,/祖以求附】+M2+蜘3+蜘4+蜘5=.（直接写出结果）

（4）如图4,/祖/2,求a41+EM2+...+ElAn=.（直接写出结果）

【答案】(1)360°；(2)540°；(3)720°；(4)(n-1)180°

【分析】（］）过点人作48回"，根据平行线的性质，即可求解；

（2）过点（作48册，过点4作40/1，根据平行线的性质，即可求解;

（3）根据平行线的性质，即可求解;

（4）根据平行线的性质，即可求解.

【详解】解：⑴过点4作48助,

⑴

0/10/2,

朋团6,

m4+凶148=180°,^A3+^A3A2B=180°f

物4+加以24+蜘3=骷】+骷遇28+回4+加3八28=180°+180°=360°,

故答案是：360。；

(2)过点4作48助,过点4作46/1,

(2)

团〃团匕，

加3皿28回/1回/2，

回MI+MM28=180°,a44+^4^35=180°,回班24+回。3人2=180°,

174243+0>42444+0^4=[2L4J+[2L4I>42B+[U^4+[MM3B+回84243+回C43A2

=180o+180°+180o=540°,

故答案是：540°；

OOOOO

(3)同理可得：EWI+EW2+EW3+EW4+EW5=180+180+180+180=720,

故答案是：720。；

同理可得：

(4)EM2+EM2+...+fflAn=(n-1)180°,

故答案是：(n-1)180°.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，构造平行线，是解题的关键.

【典例3-1】(2024•广东深圳•模拟预测)抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一.明代

《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间

流行的历史至少在600年以上.如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：

AB//CD,ZBAE=94°,ZDCE=122°,则NE1的度数为()

A.28°B.38°C.18°D.25°

【答案】A

【分析】本题考查了平行线的性质，延长OC交AE于点下，先利用平行线的性质可得的E=ZDFE=94。,

然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答.根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解

题的关键.

【详解】解:延长。C交AE于点下，

H1AB/7CD,

SZBAE=ZDFE=94°,

团NDCE是△CEF的一个外角，

0ZE=ZDCE—ZDFE=122°-94°=28°,

故选：A.

【典例3-2】AB回CD,点尸为直线AB,CD所确定的平面内的一点.

（1）如图1,写出EAPC、0A、IBC之间的数量关系，并证明；

（2）如图2,写出朋PC、0A、EIC之间的数量关系，并证明；

（3）如图3,点E在射线册上，过点E作加PC,作aPEG=aPER点G在直线CD上，作&BEG的平分

线EH交PC于点、H,若朋PC=30。，回B4B=140。，求回PEH的度数.

图3

【答案】（1）0A+EIC+0Ape=360。，证明详见解析；（2）0Ape=0A-I3C,证明详见解析；（3）55°.

【分析】（1）首先过点P作PQ0AB,结合题意得出AB回PQ3CD,然后由"两直线平行，同旁内角互补"进一步

分析即可证得ISA+OC+EIAPC=360°；

（2）作PQJ3AB,结合题意得出AB回PQI3CD,根据"两直线平行，内错角相等"进一步分析即可证得EIAPC=I3A-EIC；

（3）由（2）知，0APC=0PAB-EPCD,先利用平行线性质得出I3BEF=EIPQB=110。，然后进一步得出回PEG=

0FEG,0GEH=y0BEG,最后根据EIPEH=[3PEG-EIGEH即可得出答案.

【详解】（1）回A+EIC+回APC=360°,证明如下：

如图1所示，过点P作PQ回AB,

图1

fflA+0APQ=18O°,

X0AB0CD,

0PQ0CD,

00C+0CPQ=18O°,

00A+0APQ+0C+0CPQ=36O°,

即I3A+IBC+回APC=360°；

(2)0APC=0A-0C,证明如下:

如图2所示，过点P作PQ回AB,

图2

回团A=12APQ,

©AB团CD,

团PQ团CD,

团团C=[3CPQ,

RO1APC=B]APQ—R]CPQ,

回团APC=I2A-R]C；

(3)由(2)矢口，回APC=@PAB—回PCD,

回[3APC=30°,0PAB=14O°,

回回PCD=110°,

团AB回CD,

回团PQB=R]PCD=110°,

0EF0PC,

回回BEF=12PQB=110°,

酿PEG=OEF,

酿PEG=g[2FEG,

回EH平分团BEG,

酿GEH=1■团BEG,

酿PEH=©PEG-回GEH

=』回FEG-g团BEG

22

=1-0BEF

=55°.

【点睛】本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关

键.

【典例3-3】(2023,重庆大渡口•统考模拟预测)在数学课上老师提出了如下问题：

如图，乙B=160°,当乙4与NO满足什么关系时,BC||DE?

小明认为ND-N&=20。时BC||DE,他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作

图与填空:

解：用直尺和圆规，在D4的右侧找一点M,使ND4M=2。(只保留作图痕迹).

ElNfMM=乙D,

00_____________

0ZD-/.DAB=20°

SZ.BAM=@°,

=160°,

0ZB+/.BAM=@°,

回④_____________

0BC||DE.

所以满足的关系为：当N。—乙4=20。时，BC||DE.

【答案】@DE\\AM,②20,③180,@BC\\AM

【分析】首先根据作一个角等于已知角进行尺规作图，然后再题目步骤的引导下，将空白处补充完整即可.

【详解】解：如图，通过尺规作图得：/.DAM=Z.D,

^Z-DAM=zD,

团①DE||4M,

0ZP-4DAB=20°,

m^BAM=@20°,

0ZB=160°,

fflzB+ABAM=(3)180°,

回④8cllAM,

0BC||DE.

所以满足的关系为：当ND-2=20。时，BC||DE.

故答案为：®DE\\AM,②20,③180,@BC\\AM.

【点睛】本题考查了平行线的判定方法、尺规作图(作一个角等于已知角)等知识点，平行线判定方法的

熟练掌握是解题关键.

【中考模拟即学即练】

【变式3-1］如图，若ABHCD,贝胞1+国3-回2的度数为

E、

1

B

3A

CD

【答案】180°

【分析】延长EA交CD于点F,则有团2+团EFC=回3,然后根据AB//CD可得回1二回EFD,最后根据领补角及等量

代换可求解.

【详解】解:延长EA交CD于点F,如图所示:

AB//CD,

，团1二团EFD,

团2+团EFC=团3,

NEFC=N3—N2,

NEFC+NEFD=180。,

二.Zl+Z3-Z2=180°；

故答案为180°.

【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是

解题的关键.

【变式3-2］问题探究:

如下面四个图形中，ABCD,

(1)分别说出图1、图2、图3、图4中，团1与回2、明三者之间的关系.

(2)请你从中住造：个加以说明理由.

图1图2图3图4

解决问题:

（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面,从位于0点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行

射出.如果11480=57°,回£>CO=44°,那么ELBOC=

图2：01+02+03=360°；图3：EI1=02+03；图4：01+03=02；⑵见解

析；（3）101。

【分析】（1）图1：首先过点P作PEAB,由ABCD,即可得ABPECD,然后根据两直线平行，内错

角相等，即可求得答案;

图2：首先过点P作PEAB,由CD,即可得ABPECD,然后根据两直线平行，同旁内角互补,

即可求得答案;

图3：由ABCD,根据两直线平行,同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案;

图4：由ABCQ,根据两直线平行,同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案.

（2）选图1,过点尸作尸EAB,由48CD,即可得ABPECD,然后根据两直线平行，内错角相等,

即可求得答案;

（3）利用图1结论进行求解

【详解】⑴图1：01+02=03；

图2：01+02+03=360°

图3：01=02+03；

图4：01+03=02；

(2)选择图1,

如图所示：过点尸作EP〃AB

0ABEP.CD

001=0APE,02=0EPC

又EH3=EL4PE+IBEPC

001+02=03；

⑶由图1可得：SBOC=^ABO+^iDCO,

又EEABO=57°,0£>CO=44°,

00B(9C=57O+44O=1O1O

【点睛】考查了平行线的性质与三角形外角的性质.解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直

线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法.

【变式3-3】已知直线4038,P为平面内一点，连接力、PD.

(1)如图L已知蜘=50°,回。=150°,求B4PD的度数；

(2)如图2,判断EIRAB、0CDP>MP。之间的数量关系为.

(3)如图3,在(2)的条件下，APS\PD,ON平分E1PDC,若朋AB=MPD,求回4V。的度数.

【答案】(1)EL4PD=80°；(2)@PAB+0CDP-EMPD=18O°;(3)EW/VD=45°.

【分析】(1)首先过点P作PQEMB,则易得A丽PQ国CD,然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等,

即可求解；

(2)作PQEL48,易得ABE1PQI3CD,根据平行线的性质，即可证得朋48+配。。-酎。。=180。；

(3)先证明勖/。。=；明48,回ODN=；I3PDC,利用(2)的结论即可求解.

【详解】解：(1)EEL4=50°,0D=15O°,

过点P作PQEMB,

CD

回加物PQ=50°,

MB团CD,

0PQ0CD,

团团。+团。PQ=180°,贝岫。PQ=180°-150°=30°,

团MP。二财PQ+团DPQ=500+30°=80°；

(2)^PAB+^CDP-^\APD=180o,

如图，作PQM3,

酿力B=MPQ,

财3团CD,

SPQ0CD,

团团CDP+团。PQ=180°,BPl?]DPQ=18Oo-0CDP,

^\APD=^APQ-^DPQf

团MPD二回%8-(180°-回CDP)=回外8+团CDP-180。；

mPAB+^CDP-^APD=180°；

(3)设PD交4V于。如图，

N

P

B

CD

加甩PD,

函”0=90°,

由题知团%A/+-^\PAB=^\APD,即回函N+-回%8=90°,

22

又回回POZ+回力A/=180°-励PO=90°,

1

回团POR—即％8,

2

盟POZ二回/V。。，

1

回团/VOD二一回%8,

2

0D/V平分团PDC,

1

^\ODN=-^1PDC,

2

^\AND=180°-^NOD-^ODN=180°-；(回％8+回P。。,

由(2)得团%8+回CDP-MPD=180°,

团回以8+回PDC=180°+MP。，

^\AND=180°-^PAB+^PDC)

二180°-；(180°+刈。)

=180°-y(180°+90°)

=45°,

BP04A/D=45°.

【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义.注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想

的应用.

题型四：“骨折模型”

i「liTMi速「承

【中考母题学方法】

【典例4-1】（2024•黑龙江绥化•中考真题）如图，AB//CD,ZC=33°,OC=OE.则NA=

【答案】66

【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得NE=NC=33。,

根据三角形的外角的性质可得，DOE=66。，根据平行线的性质，即可求解.

【详解】解：0OC=OE,ZC=33°,

0ZE=ZC=33°,

0Z.DOE=NE+NC=66°,

^AB//CD,

EINA=NDOE=66°,

故答案为：66.

【典例4-2】（2023•四川资阳•中考真题）如图，AB//CD,AE交CD于点、F,ZA=60°,NC=25。,则

ZE=____

B

【答案】35735度

【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解

题的关键.先根据两直线平行，同位角相等得出HD=NA=60。，再根据三角形的一个外角等于与它不相

邻的两个内角的和得到/防D=/E+NC，即可求出，E的度数.

【详解】解：AB//CD,

NEFD=ZA,

.ZA=60°,

ZEFD=60°,

/砂D是△CEF的外角，

ZEFD=ZE+ZC,

.ZC=25°,

ZE=ZEFD-ZC=60°-25°=35°

故答案为：35°

【典例4-3】①如图1,AB//CD,则M+EIE+EIC=180。；②如图2,AB//CD,则E1E=M+I3C；③如图3,

AB//CD,贝1］蜘十亚一团1=180。；④如图4,AB//CD,则蜘=配十帆以上结论正确的个数是（）

图1图2图3图4

A.①②③④B.①②③C.②③④D.①②④

【答案】C

【分析】①过点£作直线即〃他，由平行线的性质即可得出结论；

②过点E作直线EF//AB,由平行线的性质即可得出结论；

③过点E作直线瓦〃4B，由平行线的性质可得出M+E1E-EI1=18O。；

④先过点P作直线尸产〃AB,再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断