2025年中考数学一轮复习难点专练：一次函数反比例函数实际应用、面积、存在性、最值（6大热考题型）原卷版

难点05一次函数反比例函数实际应用'面积'存在性'最值

（6大热考题型）

题型一：方案选择问题

题型二：费用最少、利润最大问题

题型三：反比例函数面积问题

题型四：特殊三角形存在性问题

题型五：特殊四边形存在性问题

题型六：最值问题

施型突tsH.精淮理分

题型一：方案选择问题

「辐T后T场T*................................|

求最值的本质为求最优方案，解法有两种：

ii

i①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；

ii

i②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及

ii

最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较.

II

【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或

线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式一确定函数增减性f根据自变量的取值范围确定最值.

ii

【中考母题学方法】

【典例1】（电话计费）（2023•四川•中考真题）某移动公司推出A,8两种电话计费方式.

计费方式月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/（元/min）被叫

A782000.25免费

B1085000.19免费

⑴设一个月内用移动电话主叫时间为fmin,根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A,方式B的计

费金额关于f的函数解析式；

（2）若你预计每月主叫时间为350min,你将选择A,2哪种计费方式，并说明理由；

⑶请你根据月主叫时间r的不同范围，直接写出最省钱的计费方式.

【变式1-11（租车问题）（2023•内蒙古呼和浩特•中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、

育美全面发展，计划组织八年级学生到"开心”农场开展劳动实践活动.到达农场后分组进行劳动，若每位老

师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生.劳动

实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师.现

有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示

甲型客车乙型客车

载客量/（人/辆）4530

租金/（元/辆）400280

⑴参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？

⑵租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车辆;

⑶学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？

【变式1-2］（购买方案）（2024•河南周口•三模）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每

个定价200元，电热水壶每个定价60元.厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：

方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；

方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款.

某厨具店计划购进80个电饭煲和x个电热水壶（x>80）.设选择方案一需付款八元,选择方案二需付款乂元.

⑴分别写出X，%关于尤的函数表达式.

（2）当x=200时.

①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱.

②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的

商品不能再使用方案一优惠），请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用.

【中考模拟即学即练】

1.（2024•河南周口•三模）春和75景明，草长莺飞的四月和五月，全家最适合周末去附近的公园里踏青或爬

山，并且进行野餐，某便民商店计划在春天踏春之际购进A,8两种不同型号的野餐垫共100个，已知购进

A型号的野餐垫2个和B型号的野餐垫3个需要740元，购进A型号的野餐垫3个和3型号的野餐垫2个需要

710元.

⑴求该商店购进每个A型号和B型号的野餐垫的价格；

⑵该商店在调查后根据实际需求，现在决定购进A型号的野餐垫不超过8型号野餐垫数量的g,为使购进

野餐垫的总费用最低，应购进型A号野餐垫和8型号的野餐垫各多少个?购进野餐垫的总费用最低为多少元?

2.（2024•山西忻州•三模）"传承红色基因，麋续红色血脉某中学八年级510名师生一起乘坐客车去参观

八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话.

王老师："客运公司有A,B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金1000元，2型客车每辆租金800

元.”

小强："七年级540人，租用6辆A型客车和4辆B型客车恰好坐满.”

小国："九年级525人，租用5辆A型客车和5辆8型客车恰好坐满.”

根据以上对话，解答下列问题:

⑴分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数；

⑵因司机紧缺，客运公司只能给八年级师生安排10辆客车，要使八年级每位师生都有座位，八年级应租用

A,8两种客车各多少辆才能使租金最少？

3.（2024•山东青岛•模拟预测）自2022年新课程标准颁布以来，某校高度重视新课标的学习和落实，开展

了信息技术与教学深度融合的"精准化教学该校计划购买48两种型号的教学设备，已知A型设备价格

比8型设备价格每台高10%,用20000元购买8型设备的数量比用33000元购买A型设备的数量少5台.

⑴求A,8型设备每台的价格分别是多少元.

（2）该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备的数量不少于B型设备数量的；.设购买。台A型设备，

购买总费用为。元，求。关于。的函数表达式，并设计出购买总费用最低的购买方案.

4.（2024・湖南长沙•模拟预测）为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召,

某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，A品牌的电脑单价比5品牌电脑的单价少

1000元，通过预算得知，用30万元购买A品牌电脑比购买8品牌电脑多10台.

⑴试求A,8两种品牌电脑的单价分别是多少元；

⑵该公司计划购买A,3两种品牌的电脑一共40台，且购买8品牌电脑的数量不少于A品牌电脑的，，试

求出该公司费用最少的购买方案.

题型二：费用最少'利润最大问题

【中考母题学方法】

【典例2］（一次函数与二元一次方程组结合）（2024•内蒙古呼伦贝尔・中考真题）某超市从某水果种植基地

购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示:

水果种类进价（元/千克）售价（元/千克）

甲a22

乙b25

该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705

兀.

⑴求的值；

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大

于120千克.实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售.求超市当天销售

完这两种水果获得的利润》（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量尤的取

值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润.

【变式2-1］（一次函数与二元一次方程组、不等式综合）（2024•四川达州•中考真题）为拓宽销售渠道，助

力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、8两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售.已知每件A品种柑橘礼盒比

6品种柑橘礼盒的售价少20元.且出售25件A品种柑橘礼盒和15件5品种柑橘礼盒的总价共3500元.

⑴求A、8两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？

（2）已知加工A、8两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、

8两种柑橘礼盒共1000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过8品种柑橘礼盒数量的1.5倍.总成本不超

过54050元.要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、8两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农

产品展销活动中的最大收益为多少元？

【变式2-2］（一次函数与分式方程结合）（2024・四川眉山・中考真题）眉山是"三苏"故里，文化底蕴深厚.近

年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购

进的8款文创产品数量相同.每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元.

⑴求A,8两款文创产品每件的进价各是多少元？

（2）已知A,8文创产品每件售价为100元，3款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不

超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大,

最大利润是多少元？

【变式2-3］（一次函数与分式方程、不等式结合）（2024•内蒙古赤峰•中考真题）一段高速公路需要修复，

现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队

单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等.

⑴求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；

（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的

工期，两队最多能修复公路多少千米？

【中考模拟即学即练】

1.（2024・四川德阳•中考真题）罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用

罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成.为

了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A、

B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，8组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽.A、B

两种组合的进价和售价如下表：

价格AB

进价（元/件）94146

售价（元/件）120188

（1）求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？

⑵根据市场需求，超市准备的8种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95

件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？

2.（2024•四川广安•中考真题）某小区物管中心计划采购A,8两种花卉用于美化环境.已知购买2株A种

花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株5种花卉共需要37元.

⑴求A,8两种花卉的单价.

（2）该物管中心计划采购A,8两种花卉共计10000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4

倍，当A,3两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用.

3.（2024•云南•中考真题）A、8两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢.

某超市销售A、5两种型号的吉祥物，有关信息见下表：

成本（单位：元/个）销售价格（单位：元/个）

A型号35a

5型号42b

若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个8种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号

吉祥物和5个8种型号吉祥物，则一共需要410元.

⑴求6的值；

（2）若某公司计划从该超市购买A、8两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量x（单位：

个）不少于2种型号吉祥物数量的三，又不超过5种型号吉祥物数量的2倍.设该超市销售这90个吉祥物

获得的总利润为y元，求）的最大值.

注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差.

4.（2024•黑龙江绥化•中考真题）为了响应国家提倡的"节能环保"号召，某共享电动车公司准备投入资金购

买A、5两种电动车.若购买A种电动车25辆、3种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动

车60辆、B种电动车120辆，需投入资金48万元.已知这两种电动车的单价不变.

⑴求A、8两种电动车的单价分别是多少元？

（2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A、3两种电动车200辆，其中A种电动车的数量不多

于8种电动车数量的一半.当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？

⑶该公司将购买的A、5两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用y元与骑行时间xmin之间的

对应关系如图.其中A种电动车支付费用对应的函数为％；8种电动车支付费用是lOmin之内，起步价6元，

对应的函数为上.请根据函数图象信息解决下列问题.

①小刘每天早上需要骑行A种电动车或8种电动车去公司上班.已知两种电动车的平均行驶速度均为3

00m/min（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为8km,那么小刘选

择种电动车更省钱（填写A或B）.

②直接写出两种电动车支付费用相差4元时，x的值

5.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢德子活动，

需购买甲、乙两种品牌毯子.已知购买甲种品牌毯子10个和乙种品牌毯子5个共需200元；购买甲种品牌

穆子15个和乙种品牌毯子10个共需325元.

⑴购买一个甲种品牌毯子和一个乙种品牌毯子各需要多少元？

⑵若购买甲乙两种品牌犍子共花费1000元，甲种品牌保子数量不低于乙种品牌健子数量的5倍且不超过乙

种品牌毯子数量的16倍，则有几种购买方案？

⑶若商家每售出一个甲种品牌毯子利润是5元，每售出一个乙种品牌犍子利润是4元，在（2）的条件下，

学校如何购买毯子商家获得利润最大？最大利润是多少元？

6.（2024・四川广元・中考真题）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩.某

服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表：

价格/类别短款长款

进货价（元/件）8090

销售价（元/件）100120

（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；

（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不

变），且第二次进货总价不高于16800元.服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大

销售利润是多少？

7.（2024,江苏宿迁•中考真题）某商店购进A、8两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品8的单价高10

元.用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同.

⑴求纪念品4B的单价分别是多少元？

⑵商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品8数量的2倍，若总费用不超过

11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？

8.（2024•江苏南通•中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、8两种型号智能机器人进行快递分

拣.

相关信息如下：

信息一

A型机器人台数B型机器人台数总费用（单位：万元）

13260

32360

信息二

A型机器人每台每天可

分拣快递22万件；

B型机器人每天每天可

分拣快递18万件。

⑴求A、B两种型号智能机器人的单价；

（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台.则该企业选择哪种购买方案,

能使每天分拣快递的件数最多？

题型三：反比例函数面积问题

值TATiiT承

【类型一：三角形面积与卜的关系】

【中考母题学方法】

【典例3】（2024•江苏宿迁•中考真题）如图，点A在双曲线％=-（尤>0）上，连接A。并延长，交双曲线

X

k

%=「（x<0）于点8,点C为x轴上一点，S.AO=AC,连接8C,若VA3C的面积是6,则k的值为（）

-4.x

A.2B.3C.4D.5

【变式3-1]（2024•广西贺州•三模）如图，在直角坐标系中，OA与x轴相切于点8,CB为©A的直径，点

C在函数y=3（x>o）的图象上，。为y轴上一点，则AACD的面积为

【变式3-2]（2024•山东滨州•模拟预测）如图，垂直于x轴的直线/分别交反比例函数％=+的图象、%=三

的图象于点A、B,若的面积为5,则尤-心=

k

【变式3-3］（2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）如图，反比例函数y=—（无＜0）的图象经过平行四边形ABC。

x

的顶点A,OC在x轴上，若点3（-1,3）,S0ABe。=3,则实数上的值为.

【变式3-4］（2024•内蒙古呼伦贝尔•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A,8的坐标分别为（5,0）,

（2,6）,过点8作3C〃x轴交y轴于点C,点。为线段上的一点，MBD=2AD.反比例函数＞=：（尤＞0）

的图象经过点D交线段2C于点E,则四边形ODBE的面积是—.

【变式3-5］（2024广东广州・中考真题）如图，平面直角坐标系》6中，矩形。45。的顶点2在函数〉=幺。＞0）

X

的图象上，A。，。），C（0,2）.将线段A3沿x轴正方向平移得线段A0（点A平移后的对应点为A）,A笈交

函数y=3x＞o）的图象于点。，过点。作。石上y轴于点E,则下列结论：

X

①人=2；

②M）BD的面积等于四边形ABDA!的面积；

③AE的最小值是垃；

@ZB'BD=ZBB'O.

其中正确的结论有.（填写所有正确结论的序号）

【中考模拟即学即练】

43

1.(2024•安徽安庆•三模)已知反比例y=((x>0)与y=-7(x20)的图像如图所示，8为x轴正半轴上一

43

动点，过点5作AC||y轴，分别交反比例函数y=—(x>0)与>的图像于点A,C,点、D,E(点

XX

E在点。的上方)在,轴上，S.DE=AC,则四边形ACDE的面积为()

A.6.5B.7C.7.5D.8

2.(2024・广东深圳•模拟预测)如图，在直角坐标系中，0A与无轴相切于点8,CB为0A的直径，点C在

函数y='(x>0)的图象上，。为y轴上一点，若AACD的面积为1,则左=_.

X

3.(2024•江苏盐城•模拟预测)如图，反比例函数y=?>0)在第三象限的图象是y=£(“<0)在第四

象限的图象是4，点A、C在4上，过A点作AB〃x轴交乙于8点，过C点作轴于。点，点尸为x

轴上任意一点，连接AP、BP、CP、DP,若S,ABP=5,SLCDP=2,则"=

k

4.（2024•浙江宁波•模拟预测）如图，过原点的线段的两端点A,3分别在反比例函数y=—（左<0,%<0）

x

和y=-L（x>0）的图象上，过点A作X轴的垂线，垂足为C.若ABOC的面积为1,则上的值为.

X

5.（2024,湖南长沙・模拟预测）如图，点A,8分别在函数y=?（a>0）图像的两支上（A在第一象限），连

结A3交x轴于点C.点。，E在函数y=—（6<0,x<0）图像上，轴，8O〃y轴，连结DE,BE.若

X

AC=2BC,AABE的面积为12,四边形ABDE的面积为15,则。-6的值为.

6.（2024•安徽合肥三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，将直角AABO向右平移到ACDE位置，A的对应

k

点是C,。的对应点是E,函数了=一（4片0）的图象经过08与CE的交点/，连接AF并延长交X轴于点G,

x

若的面积为3,则上的值是

7.（2024・安徽六安・模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCPZ）的边OCOD分别在x轴、y轴上,

点尸的坐标为（3,4）,双曲线y=q（x>0）分别与边交于点AB,则阴影部分的面积是.

8.（2024•广东深圳•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边VAO3和菱形O3CD的边AO、OD都在x

轴上，反比例函数丫=8（4片0）的图象经过点C已知VABC的面积为4道，则k的值为.

9.（2024・辽宁•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，VABC的边AC〃尤轴，边BC〃y轴，且点

4（%,%）,现々,%）在反比例函数>=。（4为大于。的常数，x>0）的图象上.若％=2%,ZiABC的面积是2,

10.（2024•湖南娄底•模拟预测）如图，点C、E在坐标轴上，矩形OCDE分别交某反比例函数于点尸、G,

4k

II.（2024•福建莆田•模拟预测）如图，过原点的直线与反比例函数y=2和>=*的图象在第一象限内分别

XX

交于点A,B.过点A作AC轴于点C,过点8作BDLAC,交C4的延长线于点D若△AB。的面积

12.(2024•贵州黔东南•一模)如图，平行四边形QA5c中，S四边形。诋=8,8(0,4),它的边OC在x轴的负半

轴上，对角线08在，轴的正半轴上.反比例函数>=幺的图像经过点A.

⑴求反比例函数的表达式；

(2)过点A的直线与反比例函数在第三象限的图像相交于点。，连接BD,直接写出面积的取值范围.

13.(2024•甘肃兰州•模拟预测)如图，已知点A在正比例函数y=2元的图象上，过点A作AB/x轴于点8,

k

以AB为边作正方形ABCD,点。在反比例函数y=—的图象上.

⑴当点A的横坐标为2时，求反比例函数的表达式；

（2）若正方形ABC£＞的面积为机，试用含优的代数式表示人的值.

题型四：特殊三角形存在性问题

【中考母题学方法】

【典例4】（2023•四川绵阳•中考真题）如图，过原点O的直线与反比例函数％=£伏彳0）的图象交于A（L2）,

5两点，一次函数%=痛+方（〃/°）的图象过点人与反比例函数交于另一点C（2,ri）.

⑴求反比例函数的解析式；当％〉%时，根据图象直接写出了的取值范围；

（2）在y轴上是否存在点M,使得ACOM为等腰三角形？若存在，求出点”的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式4-1］（2023•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，DABCD的顶点8,C在x轴上,

。在y轴上，OB,0C的长是方程X?-6x+8=0的两个根（O3＞OC）.请解答下列问题:

⑴求点B的坐标；

（2）若OD:OC=2:1,直线＞分另I］交x轴、y轴、AD于点E,F,M,且M是AD的中点，直线跖交

0c延长线于点M求tan/MVD的值；

⑶在（2）的条件下，点尸在y轴上，在直线所上是否存在点。，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若

存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式4-2］（2024•浙江•模拟预测）如图，直线＞■尤+5与丁轴相交于点A,与无轴相交于点8,与反比

Q

例函数X=](x＞0)的图象相交于尸、。两点.过点。作x轴的垂线，垂足为C,连接。。、。尸，并延长0P,

与直线QC相交于点在第一象限找点N,使以BQ，N,/为顶点的四边形为平行四边形，反比例函

⑴求△尸。。的面积.

(2)在反比例函数为=幺(尤＞0,左＞0)的图象上找点。，使△PQD是直角三角形，求出符合要求的点。的坐

X

标.

k

⑶如图2,在反比例函数%左〉。)的图象上有一点E,EF_Lx轴于点尸，轴于点G,

Q

EF、EG分别交反比例函数％=2的图象于凡/两点，求AOm的面积.

x

【中考模拟即学即练】

1.（2024•吉林松原•模拟预测）如图，一次函数y=-x+4与反比例函数y='（x>0）的图象交于A、B两点,

X

与X轴交于点C,其中点A的坐标为（1,4）

⑴求反比例函数的解析式；

⑵若点P在x轴上，且AAPC是直角三角形，求点P的坐标.

1”

2.（2。24四川成都・模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直如「丁与反比例函数y：的图象交

于点A,5（点A在点B的左侧），已知点A的纵坐标是1.

⑴求反比例函数的表达式；

（2）如图，将直线心》=-gx向上平移2个单位长度后得到新的直线3点M在直线4上，设点”的横坐标

为《0。<4）.连接A",BM.

①求AABM的面积；

②当△锄〃是直角三角形时，求点M的坐标.

3.（2024・湖南•模拟预测）如图，反比例函数％=三图象与正比例函数%=依图象相交于点A（-1,2）与点8.

⑴试求反比例函数％='与正比例函数%=总的函数表达式及点B的坐标.

X

vn

(2)请直接写出一＞心的解集.

X

⑶现把%=质的图象绕。点顺时针旋转90。得到了%=依.试问在%=皈函数图象上是否存在一动点E,

使A①是以BE为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点E的坐标；如果没有，请说明理由.

题型五：特殊四边形存在性问题

【中考母题学方法】

【典例5】(2023,四川泸州,中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线/:y=Ax+2与无，》轴分别相

交于点A,B,与反比例函数y=:(x＞0)的图象相交于点C,已知。4=1,点C的横坐标为2.

⑴求3”?的值；

(2)平行于＞轴的动直线与/和反比例函数的图象分别交于点E,若以8,D,E,。为顶点的四边形为平

行四边形，求点。的坐标.

【变式5】(2023•甘肃兰州•中考真题)在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如

果点尸到直线EF的距离等于图形”上任意两点距离的最大值时，那么点尸称为直线EF的"伴随点”.

例如：如图1,已知点A(L2),8(3,2),P(2,2)在线段A3上，则点尸是直线防：》轴的"伴随点”.

直线所的“伴随点”时，求点尸的坐标；

⑵如图3,x轴上方有一等边三角形ABC轴，顶点A在，轴上且在BC上方，OC=5点、尸是VABC

上一点，且点尸是直线跖：x轴的"伴随点”.当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形ABC的边长；

⑶如图4,以4(1,0),3(2,0),C(2,l)为顶点的正方形ABC。上始终存在点p,使得点p是直线所：y=-x+b

的“伴随点”.请直接写出b的取值范围.

【中考模拟即学即练】

1.（2024•广东广州•一模）如图，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=4,OB=2,

⑴求点C的坐标和反比例函数的解析式；

（2）若点N为直线上的一动点（不与点。重合），在＞轴上是否存在点使以点A、M、C、N为顶

点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

2

2.（2023,广东广州,中考真题）已知点尸（加,〃）在函数＞=-最（尤＜0）的图象上.

（1）若租=-2,求"的值；

⑵抛物线丁=（%-m）（尤-〃）与X轴交于两点N（M在N的左边），与y轴交于点G,记抛物线的顶点为E.

①〃2为何值时，点E到达最高处；

②设AGMN的外接圆圆心为C,OC与y轴的另一个交点为凡当加+〃20时，是否存在四边形FGEC为平

行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由.