2025年中考数学二轮复习：圆与相似三角形及三角函数综合训练（含解析）

2025年中考数学二轮复习专题：圆与相似三角形及三角函数综合训练

1.如图，必是OO的切线，切点为A,AC是。。的直径，连接OP交。。于E.过A点作

于点。，交。。于2,连接2C,PB.

(1)求证：尸8是O。的切线；

(2)求证：E为△E4B的内心；

(3)若COSNB4B=YULBC=1,求PO的长.

10

2.如图，在△ABC中，AB^AC,以AB为直径的O。分别交AC,BC于点。，£,点尸在

AC的延长线上，且NBAC=2/C8F.

(1)求证：BF是OO的切线；

(2)若OO的直径为3,sin/C2P=Yl,求BC和8尸的长.

3

3.如图，是。。的直径，点C为。。上一点，点P是半径。8上一动点(不与O,8重

合)，过点P作射线/，AB,分别交弦8C,食于。，E两点，在射线/上取点R使PC

=FD.

(1)求证：PC是O。的切线;

(2)当点E是前的中点时,

①若NA4C=60。，判断以。B,E,C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理

由；

②若tan/A8C=3,且A8=20,求OE的长.

4

4.如图，四边形A8C。内接于。。，BC为。。的直径，AC与交于点E,P为CB延长

线上一点，连接B4,且

(1)求证：PA为。。的切线；

(2)若AB=6,tan/AZ)B=3,求尸8长；

4

(3)在(2)的条件下，若AO=CD,求△COE的面积.

5.如图，AB为。0直径，尸点为半径OA上异于。点和A点的一个点，过P点作与直径

42垂直的弦C。，连接AD,作BE_LAB,OE〃AD交BE于E点,连接AE、DE、AE交

C。于尸点.

(1)求证：为。。切线；

(2)若。。的半径为3,sinZADP=A,求A。；

3

(3)请猜想尸尸与阳的数量关系，并加以证明.

6.如图，AB为O。的直径，C为。。上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E,AD

LEC交EC的延长线于点D交O。于凡于X,分别交O。、AC于M、N,

连接M3,BC.

(1)求证：AC平分/ZX4E；

(2)若COSA/=4,BE=1,

5

①求。。的半径；

②求尸N的长.

7.如图，在△ABC中，AB=AC,以A8为直径的。。与边8C、AC分别交于。、E两点,

过点。作。FLAC,垂足为点?

(1)求证：。尸是。。的切线；

(2)若AE=4,cosA=—,求。尸的长.

5

8.如图，已知8E是。。的直径，A为。。上（异于8、F）一点，。0的切线与F8

的延长线交于点M；P为AM上一点，尸8的延长线交。。于点C,。为BC上一点且B4

=PD,的延长线交。。于点E.

（1）求证：BE=CE；

（2）若ED、EA的长是一元二次方程/-5x+5=0的两根，求3E的长；

（3）若MA=6圾，sinZAW=-l,求A8的长.

9.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,49是△ABC的角平分线.以。为圆心，0C为

半径作O。.

（1）求证：是O。的切线.

（2）已知AO交。。于点E,延长AO交于点。，tanZ）=A,求胆的值.

（3）在（2）的条件下，设。。的半径为3,求A8的长.

10.如图1,AB为半圆。的直径，D为BA的延长线上一点，DC

为半圆。的切线，切点为C.

(1)求证：ZACD=ZB；

（2）如图2,N3DC的平分线分别交AC,3C于点E,F；

①求tan/CFE的值；

②若AC=3,8C=4,求CE的长.

11.已知，如图，A8是。。的直径，点C为。。上一点，。尸，BC于点尸，交。。于点E,

AE与BC交于点X,点。为0E的延长线上一点，且/ODB=NAEC.

(1)求证：8。是。。的切线；

(2)求证：CE2=EH・EA；

(3)若。。的半径为5,sinA=3,求8H的长.

5

12.如图，AB是。。的直径，点C是O。上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D,

直线。C与AB的延长线相交于点P,弦CE平分NACB,交42于点R连接BE.

(1)求证：AC平分ND4&

(2)求证：△PCP是等腰三角形；

(3)若tan/ABC=9,BE=7®,求线段PC的长.

3

13.如图1,A8为半圆的直径，。为圆心，C为圆弧上一点，垂直于过C点的切线，垂

足为。，A8的延长线交直线8于点E.

(1)求证：AC平分/D4&

(2)若AB=4,8为0E的中点，CFLAB,垂足为点F，求CF的长;

若竺=旦，求的值.

(3)如图2,连接。。交AC于点G,sin/E

GA4

14.【问题背景】

已知点A是半径为厂的。。上的定点，连接0A,将线段0A绕点。按逆时针方向旋转a

(0°<a<90°)得到。E,连接AE,过点A作O。的切线/,在直线/上取点C,使得

NC4E为锐角.

【初步感知】

(1)如图1,当a=60°时，NCAE=0；

【问题探究】

(2)以线段AC为对角线作矩形ABCZ),使得边AD过点E,连接CE,对角线AC,BD

相交于点F.

①如图2,当AC=2厂时，求证：无论a在给定的范围内如何变化，BC=CD+ED总、成立:

②如图3,当AC=4r,比=2时，请补全图形，并求tana及旭的值.

30E3BC

15.如图，是。。的直径，AC是一条弦,。是弧AC的中点，OELA8于点E,交AC

于点R交O。于点》，交AC于点G.

(1)求证：AF=DF.

(2)若sin/ABD=遮,求。0的半径.

25

H

16.如图，点A,B,C在。。上运动，满足AB2=BC2+AC2,延长AC至点。，使得/OBC

=/CAB,点E是弦AC上一动点（不与点A,C重合），过点E作弦A3的垂线，交AB

于点R交BC的延长线于点N,交O。于点M（点M在劣弧々上）.

（1）3。是。0的切线吗？请作出你的判断并给出证明；

（2）记△BDC,AABC,△AOB的面积分别为Si,S2,S,若S「S=（S2）2,求（tan。）

2的值;

（3）若。。的半径为1,设FE-FN'J14,1-=y,试求y关于x的函

BC'BNAE-AC

数解析式，并写出自变量X的取值范围.

17.如图，A8为。。的直径，C为。。上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为。.

（1）求证：AC平分/D48；

（2）若AD=8,tanZCAB=^_,求：边AC及A3的长.二八

18.如图，点。为以A8为直径的半圆的圆心，点、M,N在直径上，点尸，。在窟上,

四边形MNP。为正方形，点C在加上运动（点C与点P,。不重合），连接2C并延长

交的延长线于点。，连接AC交于点E,连接。。.

（1）求sin/AOQ的值；

（2）求幽的值；

MN

（3）令ME=x,直径AB=2R（7?>0,R是常数），求y关于x的函数解析式,

并指明自变量x的取值范围.

19.AB是。。的直径，点C是。。上一点，连接AC、BC,直线MN过点C,满足NBCM

=ZBAC=a.

（1）如图①，求证：直线MN是。。的切线;

（2）如图②，点0在线段5C上，过点。作DHLMN于点H,直线。〃交于点石、

F,连接Ab并延长交直线MN于点G,

NN

图①图②

连接CE,且CE=$,若。。的半径为1,cosa=3,求的值.

34

20.如图，四边形A8CD内接于O。，对角线AC为O。的直径，过点C作AC的垂线交

的延长线于点E,点产为CE的中点，连接DB,DC,DF.

(1)求NCZ5E的度数；

(2)求证：。尸是。。的切线；

(3)若AC=2低DE,求tan/AB。的值.

参考答案

1.如图，B4是O。的切线，切点为A,AC是O。的直径，连接。尸交O。于E.过A点作

ABLP。于点。，交O。于2,连接BC,PB.

(1)求证：P8是。。的切线；

(2)求证：E为△B42的内心；

(3)若cos/fi4B=H,BC=\,求PO的长.

10

A

【分析】（1）连接。8,根据圆周角定理得到/ABC=90°,证明得到

NOBP=/OAP,根据切线的判定定理证明；

（2）连接AE,根据切线的性质定理得到/抬E+/O4E=90°,证明EA平分NBW,根

据三角形的内心的概念证明即可；

（3）根据余弦的定义求出OA,证明△必OS^ABC,根据相似三角形的性质列出比例

式，计算即可.

【解答】（1）证明：连接。3,

为。。的直径，

/.ZABC=90°,

'：AB±PO,

J.PO//BC

：.AAOP^ZC,ZPOB^ZOBC,

OB=OC,

；./OBC=NC,

：.ZAOP^ZPOB,

在△AOP和△80尸中，

'OA=OB

<ZAOP=ZPOB>

PO=PO

:.AAOP出ABOP(SAS),

：.NOBP=/OAP,

为。。的切线，

：.ZOAP=90°,

：.ZOBP=9Q°,

是O。的切线；

(2)证明：连接AE,

:必为。。的切线，

：.ZPAE+ZOAE^90°,

,：AD1ED,

：.ZEAD+ZAED=9Q°,

\'OE=OA,

：.ZOAE^ZAED,

：.ZPAE=ZDAE,即EA平分/必。，

'：PA.PB为O。的切线，

平分NAP8

为△E4B的内心；

(3)解：'：ZPAB+ZBAC=90°,ZC+ZBAC=9Q°,

.•.ZE4B=ZC,

.■.cosZC=cosZB4B=,

10_

在Rt^ABC中，cos/C=K=」-=1^,

ACAC10

/.AC=VIo，AO=^^-,

2

：AR40S"8C,

.POAO

••-------二-------f

ACBC

•.•尸°=黑・AC=<—.T3=5.

DU1

【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定，

掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

2.如图，在△ABC中，AB^AC,以AB为直径的O。分别交AC,BC于点。，E,点、F在

AC的延长线上，且/BAC=2/C3R

(1)求证：是。。的切线；

（2）若。。的直径为3,sin/CBP=返，求8c和的长.

3

【分析】（1）连接AE,利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角

三角形两锐角相等得到直角，从而证明/42尸=90°.

（2）解直角三角形即可得到结论.

【解答】（1）证明：连接AE,

VAB是。。的直径，

AZAEB=90°，

，/1+/2=90°.

'：AB=AC,

：.2Z1=ZCAB.

■:NBAC=2NCBF,

：.Z1=ZCBF

：.ZCBF+Z2=90°

即/ABE=90°

是O。的直径，

直线2尸是O。的切线;

(2)解：过点C作CH±BF于H.

\"smZCBF=^-,Z1=ZCBF,

__3

sinZl=^L^-,

3

:在RtZXAEB中，ZA£B=90°,AB=3,

：.BE=AB-sinZl=3X运=后

3

'：AB=AC,ZAEB=90°,

:*BC=2BE=2^,

：sin/C8E=£=近，

BC3

：.CH=2,

'：CH//AB,

.CF=CH即CF―2

''AF而'CF+3y

：.CF=6,

，AF=AC+CP=9,

BF=22

VAF-AB=6圾.

【点评】本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质、勾股定理、直角所对的圆周角是

直角、解直角三角形等知识点.

3.如图，AB是OO的直径，点C为。。上一点，点P是半径。2上一动点（不与。，B重

合），过点P作射线分别交弦2C,它于E两点，在射线/上取点E使PC

=FD.

（1）求证：PC是的切线;

（2）当点£是食的中点时，

①若N8AC=60°,判断以0,B,E,。为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理

由;

②若tan/A2C=旦，且42=20,求。E的长.

4

【分析】（1）连接OC,证明。CUCF即可;

(2)①四边形80CE是菱形，可以先证明四边形BOCE是平行四边形，再结合半径相等

得证四边形BOCE是菱形，也可以直接证明四条边相等得到四边形B0CE是菱形;

②由三角函数概念得32=tan/A8C=旦，可求得AC=12,BC=16,由垂径定理可求出

BC4

BH；利用三角形面积公式求得PE=BH=8,再利用勾股定理或三角函数求得OP,BP,

DP,由尸。求出DE的长.

【解答】解：(1)证明：连接OC,：OB=OC,

；./OBC=NOCB,

'：PF±AB,

AZBPD=90°,

：.ZOBC+ZBDP=90°,

,:FC=FD

：.ZFCD^ZFDC

,：ZFDC=ZBDP

：.ZOCB+ZFCD=90°

：.OC±FC

.'.FC是。。的切线.

(2)如图2,连接。C,OE,BE,CE,

①以O,B,E,C为顶点的四边形是菱形.理由如下：

是直径，.-.ZACB=90°,

VZBAC=60°,.\ZBOC=120",

:点E是前的中点，

：.ZBOE=ZCOE=6Q°,

'：OB=OE=OC

:.△BOE,△OCE均为等边三角形，

：.OB=BE=CE=OC

四边形80CE是菱形；

②•.•AZ=tan/ABC=2,设AC=3怎BC=4k(E>0),

BC4

由勾股定理得AC2+BC2=AB2,即(34)2+(4k)2=2。2,解得k=4,

；.AC=12,BC^16,

丁点E是筋的中点，

J.OELBC,BH=CH=8,

：.OEXBH=OBXPE,即10X8=10PE,解得：PE=8,

由勾股定理得OP=^Qg2_pg2=yjQ2_g2=6,

：.BP=OB-OP=lO-6=4,

:更=tan/A8C=g,即DP=&BP=$~X4=3

BP444

:.DE=PE-DP=8-3=5.

图2

图1I

【点评】本题主要考查了圆的切线的判定定理、垂径定理的应用、等边三角形的性质、

菱形的判定定理、勾股定理、解直角三角形等，解题的关键是熟练掌握性质定理和判定

定理.

4.如图，四边形ABC。内接于O。，8C为的直径，AC与BD交于点、E,P为延长

线上一点，连接B4,且

(1)求证：外为。。的切线；

(2)若AB=6,tan/ADB=W,求PB长；

(3)在(2)的条件下，若AO=CD,求△<?/)£：的面积.

A

LroJBP

【分析】(1)连接OA,根据等腰三角形的性质得到/OA8=NO8A,根据圆周角定理得

到/C4B=90°,根据切线的判定定理即可得到结论；

(2)根据三角函数的定义得到AC=8,根据勾股定理得到+AB2=以求得

OB=5,过B作8FLAP于R设AP=4总BF=3k,求得2歹=殁，根据相似三角形的

5

性质即可得到结论；

(3)连接交AC于X,根据垂径定理得到A8=CW=4,得到0口=｛皿2应2=3'

根据相似三角形的性质得到DE=Q根据三角形的面积公式即可得到结论.

【解答】(1)证明：连接04

'：OA^OB,

：.ZOAB=ZOBA,

■:BC为Q)0的直径，

：.ZCAB=90°,

ZACB+ZABC^90°,

ZADB=ZACB=ZPAB,

：.ZPAB+ZOAB^90°,

：.ZOAP=9Q°,

为。。的切线；

(2)解：VZADB=ZACB,

tanZADB=tanNACB=岖=旦，

AC4

：AB=6,

：.AC=8,

•,-BC=VAC2+AB2=10,

；.0B=5,

过8作BFLAP于F,

•/NADB=NBAF,

tanZADB=tanZBAF——,

4

：.^AF=4k,BF=3k,

.,.AB=5k=6,

:.k=$,

5

5

'：OA±AP,BF±AP,

：.BF//OA,

:.△PBFSAPOA,

•.•BF二PB,

OAOP

18

.V_PB

PB+5'

7

(3)解：连接OO交AC于H,

\'AD^CD,

•••CD=AD-

：.OD.LAC,

；.AH=CH=4,

.•.OH=A/AQ2_AH2=3,

：.DH=2,

•■•CD=VCH2+DH2=2^5,

BD=*\/BC2-CD2=Vs,

/ADE=ABDA,/DAE=ZABD,

：.AADE^ABDA,

•.•AD二DE,

BDAD

-2A/5_DE

"4752V5)

：.DE=\[5,

，△CDE的面积=OE=工X2芯X&=5.

22

A

【点评】本题考查了切线的判定，解直角三角形，三角形的面积的计算，相似三角形的

判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

5.如图，AB为。。直径，尸点为半径上异于。点和A点的一个点，过尸点作与直径

垂直的弦CD,连接A。，作BE_LAB,OE〃AD交BE于E点、,连接AE、DE、AE交

CD于尸点.

(1)求证：OE为。。切线；

(2)若O。的半径为3,sin/AOP=工，求AD；

3

(3)请猜想尸尸与尸。的数量关系，并加以证明.

【分析】(1)解法一：如图1,连接OD、BD,根据圆周角定理得：ZADB=90°,则

ADLBD,OELBD,由垂径定理得：BM=DM,证明△BOE四△DOE,则NO£)E=/OBE

=90°,可得结论；

解法二：如图1,连接。。，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得：ZOAD=ZODA

=ZBOE=ZDOE,

同理得△BOE0ZiOOE(SAS),从而得结论；

(2)解法一：连接8Z),因为OP垂直于CD,由垂径定理可证得弧AC等于弧AD,Z

A3。等于/AZJP,由直角三角形中sin/A8O=/AOP=l可得，AD=^AB,可得

33

A。的长;

解法二：设AP=a,根据三角函数得：AD=3a,由勾股定理得：PD=2、&,在直角△

OPD中，根据勾股定理列方程可得：32=(3-a)2+(2&a)2,解出a的值可得A。

的值；

(3)先证明△AP/S/VIBE,得里由得或＞^,可得PD=

BEABBEOB

2PF,可得结论.

【解答】证明：(1)解法一：如图1,连接。。、BD,BD交OE于M,

,：AB是。。的直径，

/.ZADB=90°,ADA.BD,

,JOE//AD,

J.OELBD,

：.BM=DM,

\"OB=OD,

：./BOM=ZDOM,

•：OE=OE,

:.ABOE”丛DOE(SAS),

：.ZODE=ZOBE=90°,

.♦.OE为O。切线；

解法二：连接O。，则。4=00=02,

,JOE//AD,

：.ZOAD=ZODA=ZBOE=ADOE,

•：OE=OE,

:.丛BOE”丛DOE(SAS),

；./0DE=/0BE=9U°,

...DE为。O切线；

(2)解法一：如图1,

'：OA±CD,

•••AC=AD-

ZABD=ZADP,

/.sinZABZ)=sinZADP=—=—

3AB

VAB=6,

：.AD=—AB=2；

3

解法二：设AP=a,

VsinZAZ)P=-^-=A,

AD3

••AZ)=3〃，

・・・PD=、AD2Tp2r⑶)2_@2=2低,

•：0P=3-a,

：.0。2=。尸2+尸。2,

.*.32=(3-a)2+(2^2^)2,

9=9-6〃+〃2+8〃2,

n

<71=—,。2=0(舍)，

3

当a=2时，AZ)=3a=2,

3

：.AD=2；

(3)PF=FD,

理由是：VZAPD=ZABE=90°,ZFAF=ZBAE,

：.^APF^AABE,

.PFAP

"BE"AB'

•pF_AP*BE

"AB'

\'OE//AD,

：.ZBOE=ZPAD,

；/OBE=NAPD=90°,

：.AADP^AOEB,

.PDAP

"BF"OB'

AP£)=AP^BE

OB

\"AB=2OB,

:.PD=2PF,

：.PF=FD.

图1

【点评】本题考查了圆的综合问题，熟练掌握切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理,

垂径定理等知识点的应用，难度适中，连接8。构造直角三角形是解题的关键.

6.如图，A3为O。的直径，C为。。上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E,AD

LEC交EC的延长线于点D,AD交。0于F,FM±AB于H,分别交O。、AC于M.N,

连接MB,BC.

(1)求证：AC平分/D4E；

(2)若cosAf=9，BE—1,

5

①求O。的半径；

②求FN的长.

【分析】(1)连接0C,如图，利用切线的性质得OCLOE,则判断OC〃A。得到Nl=

Z3,加上/2=/3,从而得到/1=/2；

(2)①利用圆周角定理和垂径定理得到跨=前，ZM=ZCOE,设。。的半径为厂，然

后在RtAOCE中利用余弦的定义得到」一="1,从而解方程求出r即可；

r+15

②连接BF,如图，先在RtAAFB中利用余弦定义计算出4/=丝，再计算出CE=3,

5

接着证明然后利用相似比可计算出-V的长.

【解答】(1)证明：连接0C,如图，

;直线。E与。。相切于点C,

：.OC±DE,

：.OC//AD.

/.Z1=Z3

：OA=OC,

/.Z2=Z3,

.\Z1=Z2,

，AC平分ND4E；

(2)解：①•••AB为直径，

/.ZAFB=90°,

而DE±AD,

J.BF//DE,

：.OC±BF,

.••CF=BC«

：.ZCOE^ZM,

设O。的半径为r,

在Rt/XOCE中，cosZCO£=^=—,即」—=&,解得r=4,

0E5r+15

即。。的半径为4；

②连接BE如图，

在中，cos/E48=空，

AB

.•.AF=8XA=32.

55

在Rt/XOCE中，OE=5,OC=4,

；.CE=3,

'：AB±FM,

•••AM=AF-

；./5=N4,

,:FB〃DE,

Z5=ZE=Z4,

VCF=BC)

，N1=N2,

AAF^AAEC,

32

.FN=AF即理_=互

"CEAE'TV

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，

必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了垂径定理、圆周角定理和相

似三角形的判定与性质.

7.如图，在△ABC中，AB=AC,以48为直径的。。与边BC、AC分别交于。、£两点,

过点。作。FLAC,垂足为点足

（1）求证：OE是。。的切线；

【分析】（1）证明：如图，连接作。GLAC于点G,推出/ODB=NC；然后根据

DFLAC,ZZ）FC=90°,推出尸尸C=90°,即可推出。尸是。。的切线.

（2）首先判断出：AG=1AE=2,然后判断出四边形0G/7）为矩形，即可求出0月的值

2

是多少.

【解答】（1）证明：如图，连接。。，作OGLAC于点G,

OB=OD,

：.ZODB=ZB,

又・・・A8=AC,

：・NC=NB,

：・/ODB=/C,

VZ)F±AC,

/.ZDFC=90°,

：.ZODF=ZDFC=90°,

・・・。/是OO的切线.

(2)解：AG=—AE=2,

2

.•・OA=A。=春=5,

cosAA

5

0G=VOA2-AG2='

ZODF=ZDFG=ZOGF=900,

四边形OGFD为矩形，

:.DF=OG=421-

【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三

角形的应用，要熟练掌握.

8.如图，已知BE是。。的直径，A为。。上(异于8、F)一点，。0的切线与F8

的延长线交于点M；P为AM上一点，网的延长线交OO于点C,。为2c上一点且B4

=PD,A。的延长线交。。于点E.

(1)求证：BE=CE；

(2)若即、E4的长是一元二次方程x2-5x+5=0的两根，求3E的长；

(3)若MA=6圾，sinZAW=-l,求A8的长.

3

【分析】(1)连接04、0E交BC于T.想办法证明OE_L8C即可；

(2)由ED、EA的长是一元二次方程/-5x+5=0的两根，可得ED・EA=5,由△BED

sAAEB,可得些=更，推出BE2=DE-EA=5,即可解决问题；

AEEB

(3)作AH_LOM于H.求出AH、8”即可解决问题；

【解答】(1)证明：连接OA、OE交BC于T.

YAM是切线，

：.ZOAM^90°,

：.ZPAD+ZOAE^90°,

'：PA=PD,

：.ZPAD=ZPDA=ZEDT,

'：OA^OE,

：.ZOAE=ZOEA,

：.ZEDT+Z0EA^90°,

：.ZDTE=90°,

C.OELBC,

.1.BE=CE.

(2),:ED、EA的长是一元二次方程-5x+5=0的两根,

：.ED-EA=5,

,•,BE=EC«

NBAE=ZEBD,'：ZBED=ZAEB,

:.ABEDsdAEB,

.BE=DE

"AEEB，

：.BE2=DE-EA=5,

BE=yf5-

(3)作于X.

在Rt^AMO中，'：AM=6yf2,sinZM=A=P4,设OA=%，OM=3m,

3ON

9;JI2-加2=72,

••机=3,

：.0A=3.OM=9,

易知NO4〃=NM,

：.sinZOAH=^-=^,

OA3

/.OH=1,AH=2如.BH=2,

•'•^B=VAH2+BH2=V(272)2+22=2«-

【点评】本题考查切线的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定和性质、

锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，

属于中考压轴题.

9.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,A。是△ABC的角平分线.以。为圆心，OC为

半径作O。.

（1）求证：AB是。。的切线.

（2）已知A。交O。于点E,延长49交O。于点。，tanO=」，求上号的值.

2AC

（3）在（2）的条件下，设OO的半径为3,求的长.

【分析】（1）由于题目没有说明直线A8与。。有交点，所以过点。作OF_LA8于点E

然后证明OC=OB即可；

（2）连接CE,先求证/ACE=NODC,然后可知△ACEs△&£＞（:,所以处=^,而tan

ACCD

CD2

（3）由（2）可知，AC1=AE-AD,所以可求出AE和AC的长度，由（1）可知，40FB

sAABC,所以心理，然后利用勾股定理即可求得42的长度.

BCAC

【解答】（1）如图，过点。作于点R

平分/CA8,

OC±AC,OFLAB,

：.OC=OF,

...AB是OO的切线;

(2)如图，连接CE,

：班)是的直径，

：.ZECD^90°,

：.ZECO+ZOCD^90°,

VZACB=90°,

AZACE+ZECO=90°,

/ACE=NOCD,

\"OC=OD,

：./OCD=/ODC,

：.NACE=NODC,

9：ZCAE=ZCAE,

：.AACE^AADC,

・AECE

ACCD

VtanZZ)=—,

2

.CE1

CD2

.AE_1

••------♦

AC2

(3)由(2)可知：岖=』，

AC2

.,.设AE=尤，AC—2x,

,：AAC£^AAZ)C,

•.•AEAC,

ACAD

:.AC2=AE^AD,

(2x)2=x(x+6),

解得：x=2或x=0(不合题意，舍去),

；.AE=2,AC—4,

由(1)可知：AC=A歹=4,

ZOFB=ZACB=9Q°,

:/B=NB,

：.AOFB^AACB,

.BF=OF

"BC而’

设BF=a,

.•.8C=%

3

：.BO=BC-OC=^--3,

3

在RtABO歹中,

BO2=OF2+BF2,

・•.(里一3)2=32+/,

3

，解得：4=邈•或4=0(不合题意，舍去),

7

：.AB=AF+BF=^-.

7

【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明△ACES^ADC.本题涉及勾股定

理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，

对学生综合能力要求较高.

10.如图1,AB为半圆。的直径，。为54的延长线上一点，0c为半圆。的切线，切点为

C.

(1)求证：/ACD=NB；

(2)如图2,/BOC的平分线分别交AC,8C于点E,F；

①求tan/CFE的值；

【分析】(1)利用等角的余角相等即可证明.

(2)①只要证明即可.

②由得］£=£=处=3,再由△DCEsADBF,得型=匹，设

DBBCCD4BFDB

EC=CF=x,列出方程即可解决问题.

【解答】(1)证明：如图1中，连接0C.

9：0A=0C,

・・・N1=N2,

•・・8是。0切线，

・•・OC.LCD,

：.ZDCO=90°,

・・・N3+N2=90°,

9：AB是直径，

.'.Zl+ZB=90°,

(2)解：①♦:/CEF=/ECD+/CDE,/CFE=/B+NFDB,

9：ZCDE=ZFDB,NECD=/B,

；・NCEF=NCFE,VZECF=90°,

：.ZCEF=ZCFE=45°,

tanZCFE=tan45°=1.

②在R77XA3C中，9：AC=3,BC=4,

•'•^B=VAC2+BC2=5,

VZCDA=ZBDC,/DCA=ZB,

:ADCAs8DBC,

.DC=AC=DA=_3

"DBBCCDI)

•：/CDE=NBDF,/DCE=NB,

:.△DCEs^DBF,

里=里=3，设EC=CP=尤,

DB4

3

4-x4

=丝

7

."T

【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关

键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，学会用方程的思想思考问

题，属于中考常考题型.

11.已知，如图，是O。的直径，点C为。。上一点，OFLBC于点R交。。于点£,

AE与8C交于点X,点。为的延长线上一点，且

（1）求证：8。是。。的切线；

（2）求证：CE^=EH*EA；

（3）若O。的半径为5,sinA=2,求的长.

5

【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出/0D2=NABC,再证出/ABC+/Z）M=90°,

即/。8。=90°,即可得出8。是。。的切线；

（2）连接AC,由垂径定理得出前=箍，得出/CAE=/ECB,再由公共角/C应!=/

HEC,证明△CEAS^AEC,得出对应边成比例出也，即可得出结论；

EHCE

（3）连接8E,由圆周角定理得出/AEB=90°,由三角函数求出3E,再根据勾股定理

求出EA,得出BE=CE=6,由（2）的结论求出E//,然后根据勾股定理求出8H即可.

【解答】（1）证明：,；NODB=/AEC,ZAEC^ZABC,

：.ZODB=ZABC,

・.,OFLBC,

：.ZBFD=90°,

.'.ZODB+ZDBF=90°,

/.ZABC+ZDBF=90°,

即NC5D=90°,

：.BD±OB,

・・・5。是。。的切线；

(2)证明：连接AC,如图1所示：

・.,OFLBC,

・,・前卷

:・/CAE=NECB,

■:NCEA=NHEC,

:.XCEHSXAEC,

・

••-C--E-=EA",

EHCE

：.CEr=EH'EA-,

(3)解：连接BE,如图2所示：

是。。的直径，

AZAEB=90°,

：O。的半径为5,sinN2A£=E,

5

；.AB=10,BE=A3・sin/BAE=10Xg=6,

5

EA=VAB2-BE2=V102-62=8，

1•,BE=CE)

:.BE=CE=6,

,:CE2=EH・EA,

：.EH=吃=9

T2

在RtABEH中,

A

【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间

的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，

综合性强，特别是(2)(3)中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾

股定理才能得出结果.

12.如图，是的直径，点C是。。上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点。，

直线。C与AB的延长线相交于点P,弦CE平分交42于点R连接BE.

(1)求证：AC平分/D48；

(2)求证：是等腰三角形；

(3)若tan/A8C=9,BE=7五,求线段尸。的长.

3

【分析】(1)由尸。切。。于点C,AO与过点C的切线垂直，易证得OC〃A。，继而证

得AC平分/D4&

(2)可得NPFC=/PCF,即可证得PC=PR即是等腰三角形；

(3)首先连接AE,易得AE=BE,即可求得A3的长，继而可证得△/^〈^△尸口，又

由tanZABC=—,BE=7\/~29即可求得答案.

3

【解答】解：(1)・・・尸。切。0于点C,

・•・OCLPD.

XVAD1PD,

JOC//AD.

：.ZACO=ZDAC.

又「OC=OA,

：.ZACO=ZCAO,

：.ZDAC=ZCAO.

即AC平分ND43.

(2)'：ADLPD,

：.ZDAC+ZACD=90°.

又TAB为。。的直径，

ZACB=90°.

：.ZPCB+ZACD=90°,

：.ZDAC=ZPCB.

又丁ZDAC=ZCAO,

：.ZCAO=ZPCB.

TCE平分NAC8,

，ZACF=NBCF,

：.ZCAO+ZACF=/PCB+NBCF,

ZPFC=NPCF,

：・PC=PF,

「•△PC尸是等腰三角形.

(3)连接AE.

TCE1平分NAC8,

：•AE=BE，

•••AE=BE=7V2.

'.'AB为。。的直径，

ZAEB=90°.

在Rt^ABE中，AB=VAE2+BE2=14-

■:/PAC=NPCB,NP=NP,

：./\PAC^/\PCB,

•.•-P-C=-A-C-.

PBBC

XVtanZABC=—,

3

•.•-A-C-二4,

BC3

•.•PC=—4.

PB3

设PC=4比PB=3k,则在RtZXPOC中，PO=3k+l,OC=7,

,：PC1+OC2=OP2,

：.(4k)2+72=(3A+7)2,

.'.k—6(左=0不合题意，舍去).

；.PC=4k=4X6=24.

【点评】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、

勾股定理以及等腰三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意

掌握数形结合思想的应用.

13.如图1,AB为半圆的直径，。为圆心，C为圆弧上一点，垂直于过C点的切线，垂

足为D,A3的延长线交直线C。于点E.

(1)求证：AC平分NDAB；

(2)若AB=4,8为0E的中点，CFLAB,垂足为点R求CF的长;

(3)如图2,连接OO交AC于点G,若竺=与，求sin/E的值.

【分析】(1)连接OC,如图1,根据切线的性质得OCLOE,而根据平行线

的性质得OC〃A。，所以N2=N3,