2025年中考数学一轮复习考前突破：规律探究（3大必考题型）60题（原卷版）

考前突破01规律探究（3大必考题型）60题

题型一：数式规律探究

题型二：图形规律探究

题型三：点坐标的规律探究

.精淮提分

题型一：数式规律探究

【中考母题学方法】

1.（2024・山东日照・中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，

在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字.现有一列数：2,4,进行第1次构造，得到

新的一列数：2,6,4,第2次构造后,得到一列数：2,8,6,10,4,...,第"次构造后得到一列数：2,再,％,马…，4/，

记%=2+再+3+X3+…+々+4.某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（）

A.«3=84B.2为偶数C.。"+i=3a“-6D.k=2n-l

2.（2024•宁夏•中考真题）观察下列等式：

第1个：1X2-2=22X0

第2个：4x3-3=32xl

第3个：9X4-4=42X2

第4个：16X5-5=52X3

按照以上规律，第〃个等式为.

3.（2024•山东潍坊.中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表.记qJ）为数表中第i行第/列位置的数

字，如%2）=4,%,2）=8,%,4）=22.若%“㈤=2024,则加=,n=.

T

1T5

14

lOfIlf12fl320

I

25<—24<—23<—22<—21

I

26f27f28f29f…

【中考模拟即学即练】

4.（2025•山东临沂•一模）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（。+。）""为非负整数）展

开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角〃.

（〃+匕）°=1

（a+力）=a+b

（a+Z;）2=a2+2ab+b2

（a+Z?）3=d+301b+3ab2+b3

（a+Z?）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+Z?4

322345

（々+6）5=05++io^&+10ab+5ab+b

1

11

121

1331

14641

15101051

则（a+b）2°24展开式中所有项的系数和是.（结果用指数嘉表示）

5.（2024・重庆江津•二模）一个四位自然数〃，如果满足各个数位上的数字互不相同，它的千位数字与个位

数字之差为2,百位数字与十位数字之差为2,则称这个数"为“双喜数”.对于一个“双喜数"，，记/伽）=行.例

“=6314,因为6—4=2,3-1=2,所以6314是“双喜数"，尸（6314）=*^=574.贝|/（8426）=；

若一个四位自然数优是"双喜数"，且粤是整数，则满足条件的根的最大值为.

6.（2024•湖北黄冈•模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图

表给出了（“+6）"展开式的系数规律.

1..........（4+人）°=1

11..........（fl+Z?）1=a+b

121（a+/＞）2=a2+2ab+b2

1331（a+Z?）=+3a~6++Z?'

当代数式V-9X2+27X-27的值为8时，则x的值为.

7.（2024-Lh东滨州•三模）如图，在RtAAOBi中，0A=。耳=1,ZA.OB,=90°,以用的斜边4用为

直角边作等腰直角三角形AAABI，再以Rta&A用的斜边4用为直角边作等腰直角三角形△AB/?,...同样

的作法，作下去可以依次得到一组等腰直角三角形44。耳，△&月星，^A3B2B3,△A4B3星，…，耳，

则第〃个等腰直角三角形△4,纥T纥的面积为.

8.（2024•重庆铜梁•一模）在中国文化中，"6"被视为完美的数字，因为它寓意和谐、顺遂和圆满，因此，"66"

可以被解读为双倍顺遂或更加完美.一个四位自然数加=砺，若各个数位上的数字均不为0.且满足|7

I=66.则称这个四位数M为"双顺数”.例如：对于9226,同92-26|=66,09226是"双顺数"；对于2689,

0|26-89|=63^66,回2689不是"双顺数”.则最大的“双顺数"是；如果将一个"双顺数"M=时

的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到四位数AT=/，并且规定:

"回="F.若与1是整数，则符合条件的〃的最小值是——

1

（•湖南岳阳•模拟预测）已知

9.20241=1,~1,贝（j

——+n'人」

an-l

10.（2023•辽宁锦州•三模）设VABC的面积为1,如图①，将边2C、AC分别2等分，、A?相交于

点O,AABO的面积记为跖；如图②，将边BC、AC分别3等分，BE-相交于点O,AABO的面积

记为§2；……，依此类推，贝US2023=

题型二：图形规律探究

【中考母题学方法】

11.（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个

图有4个三角形.第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形......按照此规律排列下去，第674个图

中三角形的个数是（）

△

△△△△

△△△△△△△

△△△△△△△△△

第1个第2个第3个

A.2022B.2023C.2024D.2025

12.（2024•山东济宁•中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形.第一幅图有1个正

方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形......按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（）

A.90B.91C.92D.93

13.（2024•四川巴中•中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案.若。4=1,则OG=（）

64

C.—D.2

2727

14.（2024•青海•中考真题）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有个火柴

15.（2024•西藏•中考真题）如图是由若干个大小相同的"O"组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了

2个9",第2个图案用了6个9",第3个图案用了12个"。"，第4个图案用了20个"。"，......,依照此

规律，第"个图案中的个数为（用含”的代数式表示）.

ooooo

OOOOooooo

OOOOOOOooooo

OOOOOOOOOooooo

第1个第2个第3个第4个

16.（2024•山东泰安・中考真题）如图所示，是用图形"。"和"•"按一定规律摆成的"小屋子”.按照此规律继续

摆下去，第个"小屋子"中图形"。"个数是图形"•"个数的3倍.

o

OOOO

OCDOOOOO

OOODOOCOOOOOOOO

oOOOOOOOOOooooo

OOOOOOOOooooo

ooOOOOOOOoo

OOOOooooo

(1)(2)(3)(4)⑸

【中考模拟即学即练】

17.（2024•浙江嘉兴•一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图

案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白枝有12

块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（）块

28.（2025•湖南娄底•一模）观察图形，若有六边形2024个，则需火柴棍根.

19.（2025•山西长治•模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的"<>"组成的，第1个图案中

有3个"O,第2个图案中有9个“弋〉"，第3个图案中有18个"弋，>"......按此规律，第"个图

案中有个（用含"的代数式表示）

题型三：点坐标的规律探究

【中考母题学方法】

20.（2023•山东烟台・中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以

点尸为位似中心作正方形尸AAA，正方形尸4AA，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，

其中正方形尸A4A的顶点坐标分别为尸（-3,o）,A（-2,1）/（TO）,A（-2,-1）,则顶点A。。的坐标为（）

A.（31.34）B.（31,-34）C.（32,35）D.（32,0）

21.（2024•湖北武汉•中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数》=/一3/+3了-1的图象，发现它

关于点（1,0）中心对称.若点4（。1，％）,4（02%），美（0.3,%），……，4（19%），4。（2,%。）都在函数

图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1,则%+%+%+……+W+%。的值是（）

B.-0.729C.0D.1

22.（2024•四川巴中•中考真题）如图,是用12个相似的直角三角形组成的图案.若。4=1,则OG=（）

A125百12564D,咨

B.----C.—

,64642727

23.（2023•山东东营•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线/:>=氐-6与X轴交于点4,以。4

为边作正方形点G在y轴上，延长G耳交直线/于点4，以G4为边作正方形432GG，点G在y

轴上，以同样的方式依次作正方形ABJGG，…，正方形402332023c2023C2022,则点与⑼的横坐标是.

24.（2023•黑龙江齐齐哈尔・中考真题）如图,在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在X轴上，OA=OB=4,

连接AB,过点O作，AB于点A,过点A,作1x轴于点Bi；过点Bt作用&，于点&,过点&作

4层，x轴于点B?；过点当作坊4LAB于点&,过点&作人3自，工轴于点层；…；按照如此规律操作下

去，则点&）23的坐标为.

k

25.（2024•山东青岛•中考真题）如图，点A，a，A，…，4，电为反比例函数丫=；优>0）图象上的点，其横

坐标依次为1,2,3,…,〃，”+1.过点A，A，A3，L，4作X轴的垂线，垂足分别为点耳,也,4，•••，%;过点4作

44,4用于点耳，过点&作4与，44于点鸟，…，过点4+1作A用纥，4%于点纥.记△ABH的面

积为耳,2\A坊43的面积为Sz，…,△44,4+1的面积为s“.

，51+S2+S3+--.+SM=

（用含〃的代数式表示）;

(2)当左=3时,Sj+S2+S34-----FSn=（用含〃的代数式表示）.

【中考模拟即学即练】

26.（2024•河北石家庄•二模）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯"运动，第1

次它从原点运动到点（1,0）,第2次运动到点（1,1）,第3次运动到点（2,1）...按这样的规律，经过第2024次运

动后，蚂蚁的坐标是（）

A.(1011,1010)B.(1011,1011)C.(1012,1011)D.(1012,1012)

27.（2024•山东威海•二模）如图，矩形。LBC为台球桌面示意图.小球起始位置在（3,0）处，沿图中所示的

方向击球，小球的运动轨迹如图所示，当小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置在（）

A.(0,3)B.(1,4)C.(5,0)D.(8,3)

28.（2024•新疆喀什•二模）如图，正方形ABCD的顶点AQ1）,3（1,0）,延长。C交x轴于点31,作正方形

DBCR,延长2G交x轴于点与，作正方形R星G2,…，按照这样的规律，点2期的纵坐标为（）

29.（2024•河南商丘•二模）在如图所示的平面直角坐标系中，有一个由等边三角形A3c和以A3为直径的

半圆组成的"冰淇淋"形图案，且点A,B在无轴上，点C在y轴上，AB=4,过点A作AD,AC交半圆于点

D,将该“冰淇淋"形图案绕点C逆时针旋转，每次旋转45。，则第98次旋转结束时，点。的坐标是（）

B,卜3君,1+2⑹

C.D.(-3A/3,-1-2A/3)

30.（2024•山东济宁•二模）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形Q4BC,边。A,OC分别在

无轴、y轴上，如果以对角线为边作第二个正方形038©,再以对角线。片为边作第三个正方形。耳32c2,

照此规律作下去，则点与口的坐标为（）

A.（21012,0）B,（21012,21012）C,（22024,22024）D.（-22O24,O）

31.（2024•河南洛阳•三模）如图，在平面直角坐标系中，大正方形A3。是由四个全等的直角三角形和一

个小正方形组成的"赵爽弦图"，正方形ABCD的中心与原点。重合，轴，正方形ABCD的面积为5,

正方形EFGH的面积为1,将ACDG绕点。顺时针旋转，每次旋转90。，则第2024次旋转结束时，点G的

坐标为（）

32.（2024•四川达州•二模）如图，在平面直角坐标系中，等边VAOB,点A的坐标为（T,。），每一次将VAOB

绕着点。顺时针方向旋转60。，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到第二次旋转后得

到"。鸟，…，依次类推，则点4。”的坐标为（）

A.(-22024,0)B.(-22023,0)C.(22024,22024V3)D.(22023,22023V3)

33.(2024•甘肃武威•三模)如图，点A(2,0),8(0,2),将扇形沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动

过程中点。的对应点依次记为点。1,点。2,点…，则Q。的坐标是()

A.(16+4%,0)B.(14+47,2)

C.(14+3£2)D.(12+3肛0)

34.(2024•河南漂河・二模)如图，弹性小球从点(0,2)出发，沿箭头所示方向运动，每当小球碰到矩形。4BC

的边时就会反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时对应点的坐标为(1,0),第2次

碰到矩形的边时对应点的坐标为(3,4)......则第100次碰到矩形的边时对应点的坐标为()

A.（1,4）B.（5,0）C.（5,4）D.（6,2）

35.(2024•河南南阳,三模)如图，点4(1,1),点A向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点4；

点4向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点4；点4向上平移4个单位，再向右平移8个单位,

得到点4;…按这个规律平移得到点A。。，则点A。。的坐标为()

B.（2",2100）

36.（2024・江苏盐城•三模）如图，平面直角坐标系中，△444必&44必444，-“都是斜边在％轴上的等腰

直角三角形，点4-2,0),4(-1,-1),4（0，。），…；则根据图示规律点&2025的坐标为（）

y八

「…「…十…-…—：5一…，；…,

■A8■",■

----------4■

匚…j.…一二一;…一:…--l---i.-.J

4。i；；

A.(-1012,0)B.(-1014,0)C.(-2,1012)D.(1014,0)

37.（2024•山东泰安•二模）含60。角的菱形42。与，AB2C2B3,A3B3C3B4,……，按如图所示的方式放置

在平面直角坐标系宜刀中，点A，4,A3,......,和点与，B2,B3,J54,......,分别在直线y=履和x轴上.已

可以依次求出点A,4，A3,则图中点A。2,的坐标是（）

B.(3X22023,A/3X22023)

C.3X22024,V3X22024

38.（2024•河南周口•模拟预测）如图,在平面直角坐标系中，四边形O4BC是菱形，NAOC=120。，点2

的坐标为（6,0）,点P在菱形Q4BC的边上，从点。出发以每秒2个单位长度的速度，沿A-8-CfO-A…

则第2024秒时，点P的坐标为（）

A.(3,2A/3)B.(4,-2A/3)C.(3,-2^)D.(4,273)

39.（2024,黑龙江绥化•模拟预测）如图，平面直角坐标系中，△444，△A4A，44L都是斜边

在X轴上,斜边长分别为1,2,3,...的等腰直角三角形，若的4人的顶点坐标分别为4（。，。），4，，，，

A（-1,0）,则依图中所示规律，点4侬的坐标为

40.（2024•四川内江•一模）如图，直线/:>=-氐，点4坐标为（-3,0）.过点A作X轴的垂线交直线/于点

耳，以原点。为圆心，。与长为半径画弧交尤轴负半轴于点4,记耳人的长为再过点&作X轴的垂线交

直线/于点与，以原点。为圆心，。生长为半径画弧交X轴负半轴于点43,记民&的长为。2,…，以此类推.那

么。2018的长为.

41.（2024•河南信阳•三模）将半径为1、圆心角为60。的扇形纸片AO3按如图所示的位置放于平面直角坐标

系中，现将扇形纸片AO3沿x轴正半轴向右作无滑动的连续滚动，点A依次落在x轴上的点4,儿，…的

位置上，则点AO24的横坐标为.

42.（2024•四川内江•二模）如图，一zAiA"（"为正整数）均为等边三

角形，它们的边长依次是2,4,6,2n,顶点A，&,4…,A,均在y轴上，点。是所有等边三角形的中

43.（2024•四川德阳•二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，04=08=4,连

接AB,过点。作。ALAB于点A，过点4作A4轴于点瓦；过点B］作耳&LAB于点入，过点人作

4与，苫轴于点与；过点与作坊4,A3于点4,过点A3作4鸟轴于点名;…；按照如此规律操作下

44.（2024•山东东营•模拟预测）含60。角的菱形A^C也，452GB3，423c3用，…，按如图所示的方式放

置在平面直角坐标系xOy中，点A>4>/…，和点片，B],ByB4,分别在直线y=履和x轴上.已

知4（2,0）,5（4,0）,则点4必的坐标是

45.（2024,山东枣庄•二模）在平面直角坐标系中，直线/：'=尤-3与x轴交于点A，如图所示依次作正方形

A4G。、正方形A/zGG、…、正方形AECCi，使得点444、…在直线/上，点G，c2,G、…在y

轴正半轴上，则点层物的横坐标是

46.（2024•山东德州•二模）如图，在平而直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图

中方向排列，第1个点的坐标为。，0）,第2个点的坐标为（2,0）,第3个点的坐标为（2,1）.…根据这个规

律，第2024个点的坐标为.

47.(2024•山东泰安•二模)如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中"-"方向排列，如

(0,1),(-1,2),(0,2),(1,2),(2,3),(1,3),(0,3),......，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是.

48.(2024,山东东营•二模)在直角坐标系中，点A从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标

依次为：4(i,o),A,。」)，A(-M),A(-LT),A(2,-1),4(2,2)...,则&期的坐标为.

八y

/16

A15

4

AnAu

3

44

—2-

VV44.

4M八

->

-3->1OX

45K4

A9F>--A-\Q---

>

43

A14

-4

49.(2024•山东泰安•二模)如图，在平面直角坐标系中，将沿％轴向右滚动到△△耳G的位置，再到

VA3C的位置依次进行下去，若已知点A(4,0),5(0,3),AB=5则G024的坐标为.

50.(2024•山东淄博•二模)如图，四边形。44。，瓦4不。2，刍4名。3，纥一14纥。〃都是

正方形，对角线。旦，纥T纥都在％轴上(〃是整数，且心1),点2，Q，。3,

BXB2,B2B3,B3B4,…,

k

04，Q,在反比例函数y=?》＞。)的图象上.若己知正方形OABQ的面积为2,则点e2024的坐标为.

51.（2024•山东泰安・二模）如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形44。，4昆4,43员打，…按如

图所示的方式放置,其中点4,4,4,…，4均在一次函数丁=履+6的图象上，点4，%用，…,里均在X轴上.若

点B］的坐标为（1,0），点B］的坐标为（3,0）,则点4024的坐标为.

52.（2024・广东珠海•三模）如图，在平面直角坐标系xOy内，动点M第！.次从点A/。（-3,-2）运动到Mx（—2,0）,

第2次运动到陷（-M）,第3次运动到M（°，3），第4次运动到机（1,2）,第5次运动到M（2,-l）,第6

次运动到M6（3,-2）,第7次运动到M1（4,0）......依此规律，第2024次运动到M2024的坐标是.

53.（2024・江苏盐城•模拟预测）在平面直角坐标系中，VAOB为等边三角形，点A的坐标为（1,0）.把VAOB

按如图所示的方式放置，并将VAO3进行变换：第一次变换将VAOB绕着原点。顺时针旋转60。，同时边长

扩大为VAO3边长的2倍，得到片；第二次旋转将片绕着原点。顺时针旋转60。，同时边长扩大

为“104边长的2倍,得到△儿叫，….依次类推，得到△怎23。%)23，则点&23的坐标为

动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运

动到点(-U),第2次接着运动到点(-2,0),第3次接着运动到点(-3,2),按这样的运动规律，经过第2024

次运动后，动点尸的坐标是.

yjk

(-1,1)

(-8,0)(-6,0)(-4,0)(-2,0)ox

55.(2024•山东东营•模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点8在x轴上，OA=OB=4,

连接48,过点。作于点％,过点劣作片瓦，x轴于点与；过点