2025年上海市高三数学二轮复习解答题：数列及其综合应用（6大题型）

解答题：数列及其综合应用

题型1等差数列与等比数列证明•“--一一一•题型4错位相减法求数列的前n项和

题型2分组转化法法求数列的前n项和o——数歹U及其综合应用——°题型5数列与不等式成立问题

题型3裂项相消法频列的前n项和题型6数列中的探究性问题

题型一：等差数列与等比数列证明

翦丽.......................

（23-24高三下•内蒙古包头•三模）已知数列｛为｝的前〃项和为S“，％=3,Sn=\+an+l.

（1）证明：数列6,-1｝是等比数列，并求S"；

⑵求数列的前〃项和

茏皿解黄指导.

判断数列是否为等差货等比数列的策略

1、将所给的关系进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的概念进行判断；

2、若要判断一个不是等差（等比）数列，则只需说明某连续三项（如前三项）不是等差（等比）数列即

可。

蔻叫＞要式训级

1.（24-25高三上•上海•期中）某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%,以后每年

5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为％,出，/，……

⑴写出0和久,并求出。向与巴之间的递推关系式；

（2）求证：数列｛%+40｝为等比数列，并求出数列｛%｝的通项公式.

2.（24-25高三上•山东淄博・月考）记S,,为数列｛即｝的前“项和，已知S“=^+〃2+l,〃wN*.

（1）求q+。2，并证明｛%+。“+1｝是等差数列；

⑵求邑..

题型二：分组转化法求数列的前n项和

龙龙》大题典例

（24-25高三上•北京・月考）已知｛%｝是各项均为正数的等比数列，4=1,且4，%,-3%成等差数列.

⑴求｛%｝的通项公式；

（2）求数列｛an-n\的前〃项和S„.

茏变》舞黄指导.

1、适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注

意在含有字母的数列中对字母的讨论.

2、常见类型：

（1）分组转化法：若斯=瓦±金，且｛父｝,｛金｝为等差或等比数列：

\b„,w为奇数,

（2）奇偶并项求和：通项公式为斯=的数列，其中数列｛4,｝,｛6｝是等比数列或等差数列。

〃为偶数

茏麓》变式训练

a-8,"为奇数

1.(24-25高三上•河北衡水・月考)已知数列｛4｝的前〃项和为S,,q=13,alt

n+13%,〃为偶数

(1)证明：数列｛外,TT2｝为等比数列;

(2)若$2计1=16〃+1469,求”的值.

2.(24-25高三上•海南海口・月考)已知数列｛。"｝是公差为3的等差数列，数列出｝满足4=1,瓦=(,

。/用+2+1=”或，

⑴求数列｛叫，也｝的通项公式；

⑵求数列｛(-DZ,+6“｝的前2〃项和火.

题型三：裂项相消法求数列的前n项和

龙麓》大题典例

(24-25高三上•湖北•期中)记S”是等差数列｛%｝的前"项和，%=2,且%-2,%-4,%-6成等比数例J.

(1)求和S“；

⑵若姬“=2,求数列他,｝的前20项和T20.

龙塞》避黄揖量

1、用裂项法求和的裂项原则及规律

(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.

(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相

消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项.

2、裂项相消法中常见的裂项技巧

------=—(------------

n(n+k)knn+k4»2-122M-12H+1

2H+1_11

n(n+1)(〃+2)2n(n+1)(〃+1)(〃+2)n2(n+l)2n2(n+1)2

n+1_1

"2(〃+2)2-4n(n+2),

(2n+1-l)-(2"-1)

(j)--------------------------------------------------------------------------------------------------------

(2"+1-1)(2"-1)一(2n+1-1)(2"-1)-2"-12"+1-1

龙龙》变式训练

1.(24-25高三上•广东深圳•模拟预测)若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一

个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列｛%｝是一个二阶等差数列，其中

%=l,a2=3,a3=6.

(1)求知及｛4｝的通项公式；

⑵设a=,求数列也｝的前n项和S“.

oCl——1

2.(24-25高三上•宁夏石嘴山・月考)已知数列｛5｝的首项为1,且a用=2q,("cN)

⑴求数列｛an｝的通项公式；

2〃一1

n

(2)若勿=7-力----n，求数列出n｝的前项和4.

(g+1)(。口+1)

题型四：错位相减法求数列的前n项和

茏能》大题典例

(24-25高三上•广东广州•模拟预测)己知数列｛叫的前〃项和公式为S“=3/一2"，数列也｝满足〃=4.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵若an=2"(%-4),求数列｛bn｝的通项公式.

篆能》避芽揖导.

1、解题步骤

展开S//也+出也+"'+a"-i也一1+%£①

乘公比qSn=alb2+a2b3+―+an.1bn+an-bn+l②

错位相减

①-②:得(1-9)5/。「61+。2也+…+呢1也-i+adn

f-I-

E，2+。2,%+…+a“r儿+1)

+,99(

=afbi+d(b2b3++bn)-an-bn^i3)

61+3(62+63+…+6n)-Gn，6n+i

求和*5

2、注意解题“3关键”

①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.

②在写出“S.”与“应”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“5“一设”的表达式.

③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q=l和qWl两种情况求解.

3、等差乘等比数列求和，令c,=(A”+B)-q",可以用错位相减法.

3

7；=(A+B)q+(2A+B)/+(3A+B)q+...+(An+B)q"①

+1

qTn=(A+B)『+(2A+B)/+(3A+B)q&+...+(AM+B)q"②

n+l23n

①-②得：(l-q)Tn=(A+B)q-(An+B)q+A(q+q+...+q).

整理得：M=(四+"-----。切"+i_("----------

q-lq—l(4-1)2q-l(^-l)2

龙麓》变式训练

1.(24-25高三上•贵州贵阳・月考)已知数列｛a“｝满足：?=2〃-10,数列｛.｝满足:

4吟+9+条=5"”N*.

⑴求数列步,|｝的前15项和几；

(2)求数列的前〃项和却

2.(24-25高三上•湖北•期中)已知｛4｝是公差不为0的等差数列，为=21,且4,k,生成等比数列，数

列也｝满足：%+1=4%-3,且4=2勾-1.

⑴求｛叫和也｝的通项公式；

(2)若，为数列｛言J的前〃项和，求

题型五：数列与不等式综合问题

龙塞》大题典例

(23-24高三下•河北邢台・二模)已知数列｛。,｝的前〃项和为S,,且邑=2%-1,(〃21).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

1111c

(2)求证：—+—+—++不＜2.

莪笼》舞；去揖号.

数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面：

一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题

来求解；

二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。

茏变》要式训您.

（24-25高三上•吉林•模拟预测）已知数列｛4｝的首项q=g,且满足4,+i设Y-

1.

⑴求证：数列也｝为等比数列;

⑵若:+"+）++”24,求满足条件的最小正整数〃.

2.（24-25高三上•辽宁•开学考试）已知S”为数列｛%｝的前〃项和，为数列也｝的前凡项和,

°,J2a,+1,"为奇数％

*=2%-犷"伪偶数3—5.

（1）求｛4｝的通项公式；

⑵若T2n-S2n<2025,求n的最大值；

11n3

⑶设,”=证明：＜

TS7.

2„~2n乙z=l4

题型六：数列中的探究问题

茏A土鹘粤例

(23-24高三下•福建•模拟预测)已知数列｛4｝的前〃项和为%4=1,数列圾｝满足丛=年，且。”也均

an

为正整数.

(1)是否存在数列｛〃“｝,使得｛〃｝是等差数列？若存在，求此时的S“；若不存在，说明理由；

(2)若々＞bn_x,求｛%｝的通项公式.

茏龙》舞黄揖导.

数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法:

①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行

求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解.对于研究不定方

程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：

①反设：设要证明的结论的反面成立.作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏.②

归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论.③存真：否定反设，从而

得出原命题结论成立.

为麓》变式训练

1.(24-25高三上•天津・月考)已知等比数列的前"项和为S“，且a"M=2S“+2(〃eN*).

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)在与与。用之间插入n个数，使这九+2个数组成一个公差为dn的等差数列.

21

⑴求数列｛4｝的通项及+D4；

k=\

(ii)在数列｛4｝中是否存在3项公&，©(其中机，鼠P成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的

3项；若不存在，请说明理由.

2.(24-25高三上•江苏无锡•期中)在下面〃行、〃列(〃eN*)的表格内填数：第一列所填各数自上而下构

成首项为1,公差为2的等差数列｛an｝；第一行所填各数自左向右构成首项为1,公比为2的等比数列｛.｝；

其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右

依次记为C”.

第1列第2列第3列第”列

第1行12222"~'

第2行359

第3行510

第”行2n-l

(1)求数列｛g｝通项公式；

(2)对任意的〃=N*,将数列｛an｝中落入区间［鬣,q“］内项的个数记为4“,

①求4和九的值；

②设数列｛54｝的前机项和卷；是否存在meN*,使得9(列+2)=5"31,若存在，求出所有机的值,

若不存在，请说明理由.

1.(24-25高三上•贵州铜仁•模拟预测)已知正项等差数列｛厮｝满足：卬=1且4，%，2%-1成等比数列.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)若数列｛.｝满足：2=2。"，"cN*,求数歹£4+2｝的前〃项和却

_为奇数

高三上•江苏镇江•模拟预测)已知数列｛｝满足％

2.(24-254=1,a,用=+4,〃为偶数

(1)记〃=%,，写出4，b2,证明数列也,｝是等差数列，并求数列｛2｝的通项公式;

⑵求｛%｝的前20项和.

3.(24-25高三上•湖南长沙•月考)已知数列｛%｝的前几项和为%q=1,满足2S,=叫…

⑴求知;

⑵若b”=3"q,求数列出｝的前一项和7”.

4.(24-25高三上•江西上饶•月考)设函数=数列｛%｝满足q=1,且=/(%),〃eN*.

(1)求证：数列卜］是等差数列；

⑵令bn=%1•%(〃22),4=3,S“=4+伪++2,若S“<”一；"对一切〃eN*成立，求最小正整数%的值.

5.(24-25高三上•江苏泰州•期中)已知数列｛4｝为等差数列，公差d*0,前〃项和为九出为q和生的

等比中项，5n=121.

(1)求数列｛为｝的通项公式；

⑵是否存在正整数加，n(3<m<n),使得工，—,，成等差数列？若存在，求出优，”的值；若不存在,

“3”帆

请说明理由;

加12

(3)求证：数列工不<£.

i=2$

6.（24-25高三上•山东青岛・月考）已知数列｛%,｝的前〃项和S“=g（l-a,乂〃eN*）.若2+〃,=31og卢，且

数列｛。“｝满足g

⑴求证：数列也｝是等差数列；

（2）求证：数列｛9｝的前〃项和（＜§；

⑶若cnV+/-1）对一切〃eN*恒成立，求实数t的取值范围.

而＞4照题.

1.（2024•全国•高考真题）已知等比数列｛。〃｝的前〃项和为S“，且2s“=3。,用-3.

⑴求｛4｝的通项公式；

⑵求数列｛S,｝的前”项和.

2.（2024•全国•高考真题）记S”为数列｛&J的前〃项和，已知4s“=3%+4.

（1）求｛5｝的通项公式；

⑵设2=（-1尸”,求数列｛%｝的前〃项和?；.

3.(2024・上海•高考真题)若/(x)=log“x(a>0,awl).

（1）丫=〃尤）过（4,2）,求人2尤—2）<〃x）的解集；

（2）存在x使得〃x+l）、〃办）、〃x+2）成等差数列，求。的取值范围.

4.（2024・天津・高考真题）已知为公比大于。的等比数列，其前〃项和为S“，且4=1,$2=%-1.

⑴求｛册｝的通项公式及5,；

（、[k,n—CL1.

⑵设数列也｝满足“=，其中左eN*.

十以<〃。ak+x

（i）求证：当〃=%+i（左6N*,且左>1）时，求证：bn_x>ak-bn-

（ii）求以.

i=i

解答题：数列及其综合应用

题型1等差数列与等比数列证明•“--一一一•题型4错位相减法求数列的前n项和

题型2分组转化法法求数列的前n项和o——数歹U及其综合应用——°题型5数列与不等式成立问题

题型3裂项相消法求数列的前n项和l--题型6数列中的探究性问题

题型一：等差数列与等比数列证明

发麓》X鹘典例

（23-24高三下•内蒙古包头•三模）已知数列｛为｝的前〃项和为S“，％=3,Sn=l+an+l.

（1）证明：数列6,-1｝是等比数列，并求S"；

⑵求数列的前〃项和

【答案】（1）证明见解析，S“=2"+l；⑵

【解析】（1）因为S,=1+4”又所以S"+「2S”+1=O,整理得S,+「1=2⑸一1）.

由题意得S「l=4-1=2,

所以数歹1]｛Sa-1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，故S"-1=2",即S“=2"+l.

⑵由⑴可…f"3,n=”1

当〃=1时,

当心2时，5=出，所以"+出+出+•♦♦+&>

n-1

综上，T=--

n31

龙能》舞:去指导.

判断数列是否为等差货等比数列的策略

1、将所给的关系进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的概念进行判断；

2、若要判断一个不是等差(等比)数列，则只需说明某连续三项(如前三项)不是等差(等比)数列即

可。

蔻观》变式训练

1.(24-25高三上•上海•期中)某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%,以后每年

5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为卬，出，死，……

(1)写出出和生，并求出«„+1与黑之间的递推关系式；

(2)求证：数列｛4+40｝为等比数列，并求出数列｛(｝的通项公式.

【答案】⑴出=12.5,%=6125,。用=三。"+2”)证明见解析，。“=50.以1-40

20(20J

【解析】(1)%=10,%=qx(l+5%)+2=12.5,

%=%x(l+5%)+2=15.125

21

a

-n+\=^x(l+5%)+2,：.an+i=—<7n+2

21c21/s、

(2)证明：*+4020%+-20s“+40)_21

cin+40%+40cin+4020

ax+40=50

｛4+40｝是以50为首项，为公比的等比数列.

"。图-40

an+40=50-

2.(24-25高三上•山东淄博•月考)记S.为数列｛即｝的前〃项和，已知S“=^+〃2+l,〃eN*.

(1)求弓+々，并证明｛%+。用｝是等差数列；

⑵求邑..

【答案】(1)4+%=6,证明见解析;(2)邑，=4"+2”

【解析】(1)当〃=1时，SI=q=?+1+1,

解这个方程：a「3=2,即$2,解得4=4.

当〃=2时，S2=at+a2=^-+4+1,

把4=4代入得4+g=申+5,

移项可得4-半=5-4,即与=1,解得生=2.

所以q+%=4+2=6.

由S/=m+1，可得S〃T=—+(〃-1)2+1(〃>2).

当〃22时，4=5"-51=今+〃2+1一(^±+5一1)2+1).

展开得。“=；■+”2+1-，冒—(I—2〃+1)—1.

整理得见=/一手+2”—1,移项得与=一^±+2/一1,即4,=-%T+4W-2.

那么a“+%=4〃-2(">2).

令2=。“+。用，则％=4(〃+1)-2=4〃+2,"_1=%_]+。“=4〃一2.

所以——2_1=(4〃+2)-(4〃-2)=4(常数).

所以｛%+%+/是等差数列.

(2)由%+。“_]=4w-2可得：$2“=(一+%)+(4+/)++(%+%“).

因为4+4+1=4"+2,所以=4(21)-2=81-2(左=1,2,,〃).

则$2“=6+区+22+?+(n~).

所以S「〃x6+”^x8.

22

展开得S2n=6n+4〃(〃-1)=6n+4n-4n=4n+2n.

题型二：分组转化法求数列的前n项和

茏能》大题典例

（24-25高三上•北京・月考）已知｛%｝是各项均为正数的等比数列，4=1,且《，%,-3%成等差数列.

（1）求｛4｝的通项公式；

⑵求数列也一科的前〃项和S,.

13「（1Y1M（1+H）

【答案】⑴％=,；⑵s,=51-匕J

【解析】（1）设等比数列｛4｝的公比为4＞。，且q=1,

因为q，a2,一3生成等差数列，贝（J2%=%-3。3，

即24=1—3/,解得4=；或4=—1（舍去）,

所以｛。“｝的通项公式为=lx&]'=

（2）由（1）可知：an—n=-―^—n,

贝2=（1-1）+&一-31+…=[l+；+g+…+,]―（1+2+3…

T2-2-UJ2

3-

3」(1Y1n(\+n\

所以

莪龙》期货揖号.

1、适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注

意在含有字母的数列中对字母的讨论.

2、常见类型：

（1）分组转化法：若斯=6”±c“，且｛b“｝,｛金｝为等差或等比数列：

\bn,"为奇数,

（2）奇偶并项求和：通项公式为斯=—4的数列，其中数列｛勿｝,｛6｝是等比数列或等差数列。

[Cn,〃为偶数

龙麓》变式训练

=,“-8,〃为奇数

1.（24-25高三上•河北衡水・月考）已知数列｛%｝的前"项和为S”,

'为偶数

⑴证明：数列他,1-12｝为等比数列;

⑵若$2"疝=16〃+1469,求〃的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）6

%-8,"为奇数

【解析】（1）因为4+i

3。”,〃为偶数

所以当”22,〃eN*时,

%T2=-12=3的“_2T2=3a(2,_3)+iT2=3(%“_3-8)-12=3(a2„_3-12),

即〃22,九eN*时，/a-12=3%-36,

又九=1时，—12=13—12=1,

所以数列｛/a-12｝为首项为1,公比为3的等比数列.

(2)由(1)知。21T2=3“T,所以外,1=3"~+12,

为奇数

又由%=；%便用，可得出”2=3T+4,"22/WN*，

[3a","为偶数

所以邑“+1=q+。2+%++。2.+”2"+1=("1+%++。2.+J+(2+“4++°2.)

=[3°+3++3"+12(n+l)]+(30+3++3"-1+4n)=+-^-+16/7+12=2x3"+16n+l1,

又邑"+1=16"+1469,所以2x3"+16〃+ll=16"+1469,整理得到3"=729,解得〃=6,

所以n的值为6.

2.（24-25高三上•海南海口・月考）已知数列｛%｝是公差为3的等差数列，数列出｝满足a=1,4=；,

anb,,+l+bn+l=nbn,

⑴求数列｛4｝,也｝的通项公式；

（2）求数列+6,｝的前2〃项和邑”.

【答案】（1）%=3"一1（2也“=3〃+|-上@『

【解析】（1）设数列｛&J的公差为〃/=3,

或+1+a+1=，%中，令”=1，有。也+%=4，代入4=1,b2=1,得q=2,

所以数列｛&J是首项为2,公差为3的等差数列，通项公式为%=2+3（〃-1）=3〃-1；

b1

将4=3〃-1代入44+1+2+1=〃2，得3泌〃+1=泌〃，〃EN*,故有谓"^二可，

bn3

因此｛5｝是首项为1,公比为g的等比数列，

(2)设c.=(-l)Z,=(T)"(3〃-l),

nc+c

为奇数时，nn+\=(一1)"(3〃_1)+(—l)"+i(3〃+2)=—(3〃一1)+(3,+2)=3,

-S2n=(C1+C2)+(C3+C4)++(。2〃-1+，2九)+(4+伪++电)

1-

33

=(3+3++3)+—=3n+

l22

3

题型三：裂项相消法求数列的前n项和

龙麓》大题典例

(24-25高三上•湖北•期中)记S“是等差数列｛4｝的前〃项和，％=2,且2-2,%-4,&-6成等比数列.

⑴求巴和S.；

(2)若b£=2,求数列他,｝的前20项和7M.

【答案】(1)%=2〃；S”+；⑵蠢=、■

【解析】(1)设等差数列｛%｝的公差为d,贝U4=2+(〃—l)d,

由(%-4)2=(%一2)(g—6),得(2d—2)~=d(3d—4),即屋—44+4=0，解得d=2,

所以=2w,.=

211

(2)由(1)知，S„=n(n+1),又2s,=2,贝岫,=^^=2(——-)

因止匕＜=2[(=-!)+(：_：)+(：―—+(-)]=2(1^―)，

122334nn+in+1

140

所以蜃=2"5)=五.

龙A』轮去揖号.

1、用裂项法求和的裂项原则及规律

(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.

(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相

消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项.

2、裂项相消法中常见的裂项技巧

(1)(2)—----=—(-------------)

n(ji+k)knn+k4n12-l22/1-12/1+1

1]/,、2n+l11

(4)--------=-----------

n(n+1)(〃+2)2n(ji+1)(〃+1)(〃+2)n2(n+l)2n2(〃+l)2

(6)/1---广=—(Jn+k-品)

〃2(〃+2)2-("+2)2Jy/n+k+y/nk

2"_(2m_1)_(2"_1)__J_______1

(2"+1-l)(2"-l)一(2"+1-1)(2"-1)-2"-1-2"+1-l

龙塞》至其训级

1.(24-25高三上•广东深圳•模拟预测)若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一

个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，己知数列｛4“｝是一个二阶等差数列，其中

a1—1,a?—3,Q3=6.

(1)求为及｛4｝的通项公式；

,一4〃,、

⑵设"I」「求数列也的前"项和5”.

2

【答案】a=〃+〃；(2)n+-----

22n+l

【解析】(1)由％=1,%=3,%=6,得〃2—%=2,。3-%=3,(〃3-。2)—(%—%)=1，

由数列也几｝是一个二阶等差数列，得｛。向-凡｝是以2为首项，1为公差的等差数歹U,

因止匕4+1_4=2+(〃-l)xl=〃+l,%=4+〃3=10,

当〃之2日寸，dn=Q[+(4—)+(%—%)++(0”—)=1+2+3++〃=-,

4=1满足上式，则4

所以｛即｝的通项公式是y1.

2

n+n

、〜、八/Sa-4n8Q24n21111、

(2)由(1)矢口，〃=---------=----n----------=2=1---------------=1+—(------------)

8。一4〃一1n2+n4/一1(2〃一1)(2〃+1)22n-l2n+l

0-------4n-1

2

所以北=〃+g[(i-3+(。一:)++(C111J

2335572n-l2n+l

1I.n

=n+—(l------)=n-\------.

22n+l2n+l

2.（24-25高三上•宁夏石嘴山・月考）己知数列的首项为1,且a“M=2q,（"cN）

（1）求数列｛an｝的通项公式；

2〃一1

（2）若2=;一八;----n，求数列｛g｝的前〃项和

a

\n+1）（为+1+1）

【答案】（1）%=2"工⑵看1-六

【解析】（1）因为数列｛斯｝的首项为1,且。的=2%（“eN*）,

所以数列｛即｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以凡=2"一；

（2）由（1）知凡=2"一，

、_2向1__1_

所以"=+1）（a,用+1）=Qi+D（20+1厂+]一2'+「

b一F1111111111

所以丁二------------1---------------------------------FH----------------------------------=-------------------------------=----------------------

"2°+12'+121+122+12n-1+l2"+120+12"+122"+1

题型四：错位相减法求数列的前n项和

...............................................

（24-25高三上•广东广州•模拟预测）已知数列｛%｝的前〃项和公式为S"=3/-2〃，数歹!]｛〃｝满足4=a,

（1）求数列｛为｝的通项公式；

⑵若an=2"（%-々），求数列出｝的通项公式.

【答案】⑴%=6"-5；（2）6“=8一铝

2

【解析】（1）由S“=3/-2"可得"22时，S„_1=3（«-l）-2（n-l）,

故%=S0—S“_]=3"~—2〃一13（〃一1）—2（〃—川=6"-5,

当〃=1时，4=3-2=1也符合要求，

故〃“=6〃-5,

（2）由q=2"（2+「2）可得%「2=（6〃一5）g,

故"22时，bn-bt=（bn-bn_t）+（bn_x-bn_2）++（4一,）=（6w-ll），+（6w-17）圭++7x!+lxg,

贝1；（2-々）=（6"-11白+（6〃-17）/7++7*£+1*\

乙乙乙乙乙

相减可得;（6“_bJ=-（6--ll）/+61/r++**+g，

故;（2-4）=-（6〃-1哈+6~+1，

1----

2

化简可得*2-4）=1+卷匚，故2=8-黑」，

当”=1时，4=4=1也符合要求，故2=8-空，

发A避黄指导.

1、解题步骤

,,，+

展开Sn=al-bx+a2b2^"an,l-bn.l+an-bn①

[乘公比gS/aj"+az'%+…+a»-i,鼠+酸[。+]②]

(•)—0错位相减

①-②:得(l-q)Sn=。14+。2也+…+@0-1心-1+呢心

为--I-

,+

~(ab2+a2b3+'"^an-i-bnan-bn+l)

+,99

=ai'bi+d(b2b3++bn)-anbn+i(3)

,,,

a1-61+</(62+63++6B)-an-6n4.1

求和

2、注意解题“3关键”

①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.

②在写出“SJ与飞射的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出』一必”的表达式.

③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比夕=1和两种情况求解.

3、等差乘等比数列求和，令的=（42+8）以"，可以用错位相减法.

3

Tn=(A+B)q+(2A+B)/+(3A+B)q+...+(An+B)q"①

23n+1

qT；=(A+B)q+(2A+B)q+(3A+B)q4+...+(An+B)q②

①一②得：(1一幻<=(A+-(A〃+B)qn+'+A(q2+q3+...+q").

整理得：〃岩+已-清产A

(4-1)2M

茏变》变式训练

1.(24-25高三上・贵州贵阳・月考)已知数列｛an｝满足：a„=2ii-10,数列｛g｝满足:

4+%+冬++且y=5n,neN*.

15525"T

⑴求数列｛E|｝的前15项和几；

(2)求数列的前“项和却

【答案】(1)130；

【解析】(1)因为%=2"-10»0,解得此5,

以H5=k|+|。2|++|卬51二一+%+4+4)+。5+“6++45

=兀-2s4=15”%)_2义4"％)=130.

(2)仇=5,++*=5〃，

当"22时，b}+y+^-++^^=5(〃-1)，

两式相减，得条=5,即勿=5".

又当〃=1时，仇=5符合题意，

an2n-10

所以2=5",力=二厂，

7；=(-8)X|+(-6)X^+

+(2ZJ-10)XI

n+l

故g[=(-8)xH+(-6)x

—++(2〃—10)xI

两式相减得；)

1?=(—8x[+2xg]+2xg]I++2x⑶-⑼噌「

2.(24-25高三上•湖北•期中)已知｛凡｝是公差不为0的等差数列，%=21,且%,生成等比数列，数

列也｝满足：%=土-3,且1=2%一1.

（1）求｛%｝和｛a｝的通项公式；

⑵若r,为数列［含］的前〃项和，求T”.

【答案】（1）%=6"-3,4=4"+l（〃eN*）；（2）7；=：-；.亨

【解析】（1）设｛4｝的公差为d（dwO）,因为％,电，生成等比数歹U，

所以=蜡，即（21—3d）（21+d）=（21—21）2,

整理有：42d=71，解得d=O（舍），d=6

所以q=&-3d=3,an+（«-l）＜i=6«-3；

因为%1=42-3,所以%-1=4（2—1）,

又l\=2q—1=5,4―l=4w0,

所以也-1｝为首项为4,公比为4的等比数列，

所以2一1=4",6“=4"+l（"cN*）

an6〃一3

（2）因为力=丁

6n3〃一

Ty-391563

n=二-----1----?++①,

4〃442434〃

139156n-96n—3

n2+3+4++-------+——7-@

4-4444〃4"1

1

两式相减，得：3T366666n—33/166〃一3

=——I--------1-----------1----------pH----=—+6x

4〃44243444〃4n+144〃+i

4

546n-3

4-2x4n--4^