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文档简介
热点12数列
明考情-知方向
三年考情分析2025考向预测
2024年数列的应用;等差数列的性质及求和公式;等比数列的性质;数列与
函数的综合;数列、不等式的应用
等差数列与等比数列的前n
2023年等差数列和等比数列的性质;等比数列的前n项和公式;数列与函数
项和;数列中的递推公式、
的综合应用
推理问题、数列的通项公式
2022年等差数列与等比数列的前n项和、数列极限的求法、数列中的递推公
等知识;数列与函数的综合
式、推理问题、数列的通项公式等知识;数列的应用、等比数列性质的应用;
数列的函数特性及应用。
热点题型解读
壁1等差数列的前1颜和
型5数列的求和_______________________
壁2等匕徽列的施颐和
型6数列的极限数列
题型3数列的应用
题型7数歹屿函暗合
题型4数列递演
题型1等差数列的前n项和
等差数列的前〃项和公式
已知量首项、末项与项数首项、公差与项数
=〃(。1+斯)
求和公式S=+n^^d
2nnax2
注意点:
⑴公式一反映了等差数列的性质,任意第左项与倒数第左项的和都等于首末两项之和.
!⑵由公式二知d=0时,"WO时,等差数列的前n项和a是关于n的没有常数项的“二次函数”.,
(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数.
C56
1.(2024・上海杨浦•一模)设无穷数列{%}的前〃项和为邑,且对任意的正整数",。用=",则
a
nz=lz=l
的值可能为()
A.-6B.0C.6D.12
2.(2024•上海)数列{%},an=n+c,S7<0,c的取值范围为.
3.(2022•上海)已知等差数列{4}的公差不为零,S”为其前”项和,若2=0,则E(z,=l,2,…,100)中
不同的数值有一个.
4.(2024・上海杨浦・二模)某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有2024根,每根圆钢的直径为10厘米.现
将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形(如图每一层的根数比上一层根数多1根),且为考虑安全隐患,
堆放高度不得高于:米,若堆放占用场地面积最小,则最下层圆钢根数为
2
8…8
•・
•••
5.(2024•上海宝山•二模)某区域的地形大致如图1,某部门负责该区域的安全警戒,在哨位。的正上方安
装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设1:警戒区域为空旷的扇环形平地4444;假设2:视探照灯为点
M,且距离地面20米;假设3:探照灯M照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯M以某一俯角从44+1侧
扫描到瓦瓦包侧时,记为一次扫描,此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环耳(左=1,2,3,…).由此,通过
调整”的俯角,逐次扫描形成扇环耳、邑、邑….第一次扫描时,光斑的长轴为跖,|。£|=30米,此时在
探照灯M处测得点尸的俯角为30°(如图2).记|44/=公,经测量知|44|=80米,且{4}是公差约为0.1米
的等差数列,则至少需要经过次扫描,才能将整个警戒区域扫描完毕.
6.(2024・上海・三模)已知两个等差数列2,6,10,202和2,8,14,200,将这两个等差数列的公
共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的各项之和为
7.(2024•上海普陀•一模)设及21,m>l,加、neN,等差数列{%}的首项q=0,公差dw0,若。加,
Z=1
则用的值为.
8.(2023•上海长宁•三模)已知数列{%}是等差数列,若
t同=。,刊=EI«i+2|=EI«i+3|=£冈+4|=2023,则数列{叫的项数〃的最大值是.
Z=1i=lZ=1Z=1Z=1
9.(2024・上海虹口・二模)已知等差数列{%}满足。2=5,%+7=2%.
(1)求{%}的通项公式;
(2)设数列出}前,项和为用,且b—,若股>432,求正整数机的最小值.
10.(2023•上海长宁•一模)已知等差数列{%}的前“项和为N,公差d=2.
(1)若品,=100,求{6}的通项公式;
(2)从集合{%,4,%,%,《,&}中任取3个元素,记这3个元素能成等差数列为事件A,求事件A发生的概率
尸⑷
题型2等比数列的前n项和
00❷式
等比数列的前〃项和公式
已知量首项、公比与项数首项、公比与末项
公式一
公式二
S〃=
求和公式
色(1—0
(夕一),&=1]
.i—q
1)
ficii(q=1)
注意点:
⑴用等比数列前〃项和公式求和,一定要对该数列的公比9=1和qWi进行分类讨论.
(2)公式一中的〃表示的是所求数列的项数(例如1+2+22+…+2"=—::;“)).
(3)公式二中的内表示数列的第一项,诙表示数列的最后一项(例如1+2+22+…+2"」I2>
1"."2024Ty$M*"w展友奠音质无£,一欣彦7枪威薮Q{«j南品/演菽'石11花££二:如
().
A.%>0B.4>0C.|S“|V同D.|S„|<|?|
2.(2024•上海普陀•二模)设。是数列{%}的前〃项和521/eN),若数列{4}满足:对任意的〃22,存
在大于1的整数机,使得(S“用)<0成立,则称数列{4}是"G数列”.现给出如下两个结论:①
存在等差数列{%}是"G数列";②任意等比数列{%}都不是"G数列".则()
A.①成立②成立B.①成立②不成立
C.①不成立②成立D.①不成立②不成立
3.(2024•上海奉贤•一模)已知数列{%,}不是常数列,前〃项和为工,a„>0.若对任意正整数〃,存在正
整数机,使得£,-册|<%,则称{4}是"可控数列现给出两个命题:
①若各项均为正整数的等差数列{0}满足公差4=3,则{g}是"可控数列";
②若等比数列{0"}是"可控数列",则其公比qe(0,1].
则下列判断正确的是()
A.①与②均为真命题B.①与②均为假命题
C.①为假命题,②为真命题D.①为真命题,②为假命题
4.(2024・上海长宁•二模)设数列{%}的前〃项和为若存在非零常数。,使得对任意正整数“,都有
2后=%+c,则称数列{%}具有性质。:①存在等差数列{%}具有性质。;②不存在等比数列{%}具有
性质0;对于以上两个命题,下列判断正确的是()
A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假
5.(2024・上海松江•二模)设S"为数列{aj的前〃项和,有以下两个命题:①若{6}是公差不为零的等差数
列且上eN,k>2,则HS…$21=0是%yq=0的必要非充分条件;②若{叫是等比数列且上eN,
k>2,则ES…耳=0的充要条件是为+/=o.那么()
A.①是真命题,②是假命题B.①是假命题,②是真命题
C.①、②都是真命题D.①、②都是假命题
6.(2024・上海•模拟预测)已知数列{%}不是常数列,前〃项和为反,且%>0.若对任意正整数",存在
正整数加,使得则称{%}是"可控数列现给出两个命题:①存在等差数列{%}是"可控数列";
②存在等比数列{。"}是"可控数列则下列判断正确的是()
A.①与②均为真命题B.①与②均为假命题
C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题
7.(2024•上海奉贤•三模)若数列{与}的前〃项和为S,,,关于正整数"的方程记为尸,命题
对于任意的“eR,存在等差数列{%}使得尸有解;命题对于任意的。eR,存在等比数列侬,}使得尸有
解;则下列说法中正确的是()
A.命题。为真命题,命题4为假命题;B.命题。为假命题,命题4为真命题;
C.命题0为假命题,命题4为假命题;D.命题。为真命题,命题4为真命题;
8.(2024・上海徐汇•一模)已知数列{4}的前”项和为邑,设乙=口(〃为正整数).若存在常数。,使得任
n
意两两不相等的正整数切,左,都有C+(/-左)4+(",儿=c,则称数歹U{g}为"轮换均值数列".现有下
列两个命题:①任意等差数列{《,}都是"轮换均值数列”.②存在公比不为1的等比数列{£}是“轮换均值数
列”.则下列说法正确的是()
A.①是真命题,②是假命题
B.①是假命题,②是真命题
C.①、②都是真命题
D.①、②都是假命题
9.(2023•上海)已知首项为3,公比为2的等比数列,设等比数列的前”项和为S“,则Sf=.
10.(2024•上海普陀•二模)设左,加,〃是正整数,S,是数列{%}的前"项和,%=2,S“=a“+i+l,若
〃7=S>(S-l),且/”{0,1},记/(加)=乙+4+.一+〃,则”2024)=.
Z=1
11.(2024•上海•三模)已知=2。田'-
;=0
⑴无穷等比数列也}的首项优=/,公比夕=&.求的值.
(2)无穷等差数列匕,}的首项G=%,公差[=&.求匕,}的通项公式和
12.(2024•上海宝山•一模)甲乙两人轮流掷质地均匀的骰子,每人每次掷画题.
⑴甲掷一次,求两颗骰子点数不同的概率;
⑵甲乙各掷一次,求甲的点数和恰好比乙的点数和大7的概率;
⑶若第一次掷出点数之和大于6的人为胜者,同时比赛结束;否则,由另一人继续投掷,直到比赛结束.例
如,甲乙先后轮流掷出的点数之和为:5、4、3、7,此时乙为胜者.设甲先投掷,求甲最终获胜的概率.
13.(2024・上海普陀•一模)设f>l,n>l,neN,若正项数列{4}满足),<。用<%,则称数列{%}具有
性质"尸⑴".
⑴设加21,%eN,若数列10,7,m,4,3具有性质"P(2)”,求满足条件的用的值;
(2)设数列{凡}的通项公式为+问是否存在,使得数列{%}具有性质"P(。"?若存在,求出满
足条件的/的取值范围,若不存在,请说明理由;
(3)设函数y=〃x)的表达式为/(x)=ln(ex-l)-lnx,数列{%}的前〃项和为,且满足%=j
«„+1=/(«„),证明:数列也}具有性质"尸(3)”,并比较S.与l-g的大小.
题型3数列的应用
:00混
II
1.给出数列的方式有多种,以递推公式的形式给出是很常见的情况,通常是转化为等差或等比数列求出通
项.常用方法为待定系数法、倒数法等方法.
2.(1)解应用问题的核心是建立数学模型.
II
(2)一般步骤:审题、抓住数量关系、建立数学模型.
(3)注意问题是求什么(〃,a”,S>).
注意:
i①解答数列应用题要注意步骤的规范性:设数列,判断数列,解题完毕要作答.
II
[②在归纳或求通项公式时,一定要将项数"计算准确.
■③在数列类型不易分辨时,要注意归纳递推关系.
i④在近似计算时,要注意应用对数方法,且要看清题中对近似程度的要求.
-
T(2023-±^百诟元莠薮前,二}商客函旧为英薮;~Sn/旗看三赢:泊/I熹定盛■薮k>2022软,
|SJ>|SM|,则下列各项中可能成立的是()
A•9',•*,Cl2n_],…为等差数列,%,«4,%,…,%,…为等比数列
a9
B.%,。3,。5,…,2n-\…为等比数列,a2,a4,a6,•••,出“,…为等差数列
a
C.%,a2,a3,•••,。2022为等差数列,2022,。2023,%,…为等比数列
D.%,a2,a3,■■■,02022为等比数列,。2022,。2023,,…为等差数列
2.(2022•上海)已知等比数列{凡}的前"项和为S”,前〃项积为7;,则下列选项判断正确的是()
A.若邑%>S?必,则数列{%}是递增数列
B.若写22>%必,则数列{。”}是递增数列
C.若数列{8}是递增数列,则出022…电021
D.若数列区}是递增数列,则%022…。2021
3.(2024•上海普陀•一模)设。>0且awl,k、加、〃都是正整数,数列{%}的通项公式为
,,-3(;;,〃)',记数列{%}中前左项的最小值为儿,由所有”的值所组成的集合记为A,若
集合A中仅有四个元素,则下列说法中错误的是()
A.当加=3时,a的取值范围是(1,6)B.不存在。和机的值,使得
C.当加=4时,。的取值范围是(3,6)D.存在。和小的值,使得生©4
4.(2024•上海虹口■一模)设数列{处}的前四项分别为生、外、/、④,对于以下两个命题,说法正确的是()•
①存在等比数列{叫以及锐角a,使{sina,cosa,tana}={%,%,%}成立.
②对任意等差数列{q,}以及锐角a,均不能使卜出口普0$/匕11£,疝£}={%,%,。3,。4}成立.
A.①是真命题,②是真命题B.①是真命题,②是假命题
C.①是假命题,②是真命题D.①是假命题,②是假命题
5.(2024•上海)q=2,2=4,%=8,=16>任意可,b2,",b,eR,满足
{af+aj11„i<y„4}={bt+11„i</,4},求有序数列b2,b3,“}有对.
6.(2024•上海)无穷等比数列{%}满足首项%>0,q>\,记/〃={x-y|x,"储,«2]|J[«n,%+/},
若对任意正整数〃,集合/〃是闭区间,则夕的取值范围是.
7.(2024・上海•模拟预测)记等差数列{%}的前〃项和为毛,%=6,则几=.
8.(2024・上海闵行三模)设工是等比数列{%}的前〃项和,若$3=4,&+%+&=8,则.
»6
9.(2024・上海・三模)已知有穷数列{4}的首项为1,末项为12,且任意相邻两项之间满足%+「。"€{1,2},
则符合上述要求的不同数列{与}的个数为.
10.(2024・上海•模拟预测)弓=2,%=4,%=8,%=16,任意伪awR,满足
{«,+aj\l<i<j<4}={b1+b]\\<i<j<^},求有序数列论也eA}有对.
1L(2024•上海・三模)设关于x的方程而於=《8>0)的从小到大的第,个非负解为为1=1,2,3,…),若数列
{七}是无穷等差数列,且上}在区间(1,2)中的项恰好比在区间[2023,2024]中的项少2项,则。的取值集合
为.
题型4数列递推式
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
00目©
1.(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第〃项斯与它的位置序号〃之间的关系,只要用序号代替公式中的",就可以求出
数列的相应项.
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第〃项,然后列出关于〃的方程.若方程的解为正整数,则是数列的一项;若方程无
解或解不是正整数,则不是该数列的一项.
2.递推公式反映的是相邻两项(或〃项)之间的关系.对于通项公式,已知〃的值即可得到相应的项,而递
推公式则要已知首项(或前几项),才可依次求得其他的项.若序号很大,则应考虑数列是否具有规律性(周
期性).
3.由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式.(只适用于选择题、填空!
题)
⑵迭代法、累加法或累乘法,递推公式对应的有以下几类:
①—斯=常数,或许+1—斯=/(〃)(/(九)是可以求和的),使用累加法或迭代法.
②即+i=pq〃Q?为非零常数),或许+1=/5)。〃(/5)是可以求积的),使用累乘法或迭代法.
@an+i=pan+q(pfq为非零常数),适当变形后转化为第②类解决.
4.由凡求通项公式an的步骤
(1)当n=\时,a\=S\.
(2)当〃三2时,根据S〃写出化简Q〃=S〃一S〃_i.
(3)如果Qi也满足当〃22时,斯=8〃-8力_1的通项公式,那么数列{斯}的通项公式为斯否则数
列{为}的通项公式要分段表示为
51,〃=1,
斯=,
Sn—Sn-l,心2.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1
1.(2024・上海嘉定•一模)已知数列{叫满足%+i=",(l-%)(〃=1,2,3,…),qe(O,l),给出以下四个结论:
①当厂=2时,存在有限个〜使得对任意正整数",都有%+D4
②当r=2时,存在q和正整数P,当〃〉尸时,a„+I-a„<^
③当r=3时,存在可和正整数P,当〃〉尸时,an+l=an
④当,=-3时,不存在用使得对任意正整数“,M«>3,者B有%>0
其中正确结论是().
A.①②B.②③C.③④D.②④
2.(2024•上海闵行•一模)已知数列{%}满足%+1=同+[+刃。"-1|,其中力为常数.对于下述两个命题:
①对于任意的2>0,任意的qeR,都有{©}是严格增数列;
②对于任意的彳<0,存在%eR,使得{%}是严格减数列.
以下说法正确的为()
A.①真命题;②假命题B.①假命题;②真命题
C.①真命题;②真命题D.①假命题;②假命题
3.(2023•上海徐汇・一模)在数列{%}中,%=2,且为=01+坨=("22),贝11%。。=.
4.(2024•上海虹口一模)己知项数为10的数列{%}中任一项均为集合{x|lVxV10,xeN}中的元素,且相
邻两项满足。“<a,l+1+3,n=1,2,-.9.若{《}中任意两项都不相等,则满足条件的数列{&}有个.
5.(2024・上海•二模)已知数列{%}共有5项,且满足:@)4=—,a5=;(2)<a2<a3<a4<a5;
66
③cos?(%)=sin/"),〃=1、2、3、4.则满足条件的数列{%}共有个
6.(2022•上海)数列{%}对任意〃eN*且"..2,均存在正整数ie[1,〃-1],满足。用=2°,-q,%=1,
出=3•
(1)求。,可能值;
(2)命题p:若生,出,…,如成等差数列,则%<30,证明P为真,同时写出p逆命题g,并判断命
题q是真是假,说明理由;
(3)若的为=3"',(机eN*)成立,求数列{%}的通项公式.
题型5数列的求和
有混
1.错位相减法
(1)一般地,如果数列{斯}是等差数列,{儿}是等比数列,求数列{斯也,}的前〃项和时,可采用错位相减
法.
I
(2)用错位相减法求和时,应注意:
!①要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.
i②在写出“S,”与“qS“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“Sn一
qSj的表达式.
2.分组求和的适用题型
一般情况下形如金=斯土耳,其中数列{为}与仍“}一个是等差数列,另一个是等比数列,求数列匕“}的前〃项
和,分别利用等差数列和等比数列的前〃项和公式求和即可.
3,倒序相加法求和适合的题型
一般情况下,数列项数较多,且距首末等距离的项之间隐含某种关系,需要结合题意主动发现这种关系,
利用推导等差数列前〃项和公式的方法,倒序相加求和.
4.并项求和法适用的题型
一般地,对于摆动数列适用于并项求和,此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论,有些摆动型的数列
也可采用分组求和.若摆动数列为等比数列,也可用等比数列求和公式.
5.裂项相消法求和
常见的裂项求和的形式:
n(n-\-k)k
②
③______22______=_1______1__
(2n+l)(2n+1+l)2"+l2,,+1+f
ri__________i
—————+1)(«+1)(«+2)_
n(n+1)(«+2)2
⑤;5^=4—标
@lnl-3=ln(n+1)—Inn;
n2(«+2)2l
⑧(一1)〃log3+1)]=(-1)M[log3«+log3(H+1)];
⑨(-
=(—1)〃匕〃1-12〃1+l)
注意点:
(1)裂项前要先研究分子与分母的两个因式的差的关系.
(2)若相邻项无法相消,则采用裂项后分组求和,即正项一组,负项一组.
(3)检验所留的正项与负项的个数是否相同.
1.(2022・上海•模拟预测)设G、&、•••、。“、…是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x轴的正半轴上,
且都与直线y=相切,对每一个正整数〃,圆C“都与圆C用相互外切,以乙表示圆C”的半径,已知匕}
为递增数列,若4=1,则数列{〃七}的前“项和为.
s
2.(2023•上海黄浦•三模)已知正项数列{%}的前”项和为S”,若2%5"=1+端,”,=厩罟,数列也}的
前〃项和为北,则下列结论正确的是.
①4<%;②代}是等差数列;③S.4eG;④满足北23的〃的最小正整数为10.
3.(2024・上海•模拟预测)已知/(无)=;尤2+;》,数列{%}的前”项和为S“,点(”,斗乂"€1<)均在函数
>=/(无)的图象上.
(1)求数列{%}的通项公式;
⑵若g(x)=',令”=g[晟](〃eN*),求数列也}的前2024项和蠢2小
II4\乙U4JJ
2
4.(2023・上海嘉定•一模)已知数列{与}的前〃项和为S“,Sn=n+n,其中”eN*.
(1)求{4}的通项公式;
(2)求数列jI的前n项和Hn.
l«A+iJ
5.(2023・上海静安•二模)已知各项均为正数的数列{。“}满足%=1,%=20小+3(正整数〃。2)
⑴求证:数列应+3}是等比数列;
(2)求数列{%}的前〃项和J.
题型6数列的极限
1.(2024•上海浦东新•三模)有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个,黑球2024-无化eN*).甲、乙两
人约定一种游戏规则如下:第一局中两人轮流摸球,摸后放回,先摸到白球者本局获胜但从第二局起,上
一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球,记第"局甲获胜的概率为4,则关于以下两个命题判断正确的是
()
①。1=4比—'且0”+|=(1-2月)%+“;
②若第七局甲获胜的概率不小于0.9,则上不小于1992.
A.①②都是真命题B.①是真命题,②是假命题
C.①是假命题,②是真命题D.①②都是假命题
2.(2024•上海虹口・二模)已知等比数列{4}是严格减数列,其前〃项和为=2,若%,24,3%成等差数
列,贝丹驾-
21
3.(2023・上海长宁•三模)在数列{%}中,%=1,且-------=0,设S,为数列{%}的前〃项和,贝!|
anan+\
limSn=
M—>+00-----------------------------------------'
4.(2023•上海浦东新•模拟预测)已知[4阕=1,当"N2时,4用是线段44-的中点,点尸在所有的线段
44M上,则|4尸|=.
5.(2024•上海•三模)已知数列{%}满足%<%+一点与(2"+1,%)在双曲线工-匕=1上,贝I]
7.(2023・上海嘉定•一模)已知平面上有"+2个点4,4,L,4,4+1,4+2,4(o,o),4(3,0),
<:O二,:0二>=]且即舄=|国工|,记4,的坐标为伍也),将4,加,4+2依次顺时针排列,
求(liman,limb\=
8.(2022•上海)已知在数列{%}中,&=1,其前〃项和为
(1)若{4}是等比数列,S2=3,求limS〃;
>00
(2)若{%}是等差数列,S2n...n,求其公差d的取值范围.
题型7数列与函数综合
!00与0
i.数列本身是一类特殊的函数,高考命题中常将数列与一次函数、指数函数、三角函数、不等式等知识
;综合在一起,在知识的交汇处命题,或与数阵、点列结合命题一些创新性问题.同时,以实际问题和古代;
:数学问题为背景的数列题也时有出现,难度中等或以上.
!2.通过此类问题,综合考查抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.
i______________________________________________________________j
1.(2024・上海•三模)某集团投资一工厂,第一年年初投入资金5000万元作为初始资金,工厂每年的生产
经营能使资金在年初的基础上增长50%.每年年底,工厂向集团上缴机(切>0)万元,并将剩余资金全部作
为下一年的初始资金,设第〃年的初始资金为氏万元.
⑴判断{4-2端是否为等比数列?并说明理由;
⑵若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用,则工厂在这一年转型升级.设加=2600,则该工厂在第几年
转型升级?
2.(2024•上海青浦•二模)若无穷数列{。,}满足:存在正整数T,使得。“+7=%对一切正整数〃成立,则称{为}
是周期为T的周期数列.
Tinit
⑴若。,=sin一+—(其中正整数”?为常数,判断数列{。,}是否为周期数列,并说明理由;
m3
(2)若%=a“+sina“("eN,〃Nl),判断数列{%}是否为周期数列,并说明理由;
(3)设也.}是无穷数列,已知%+1="+Sina。("eN,”21).求证:"存在可,使得{%}是周期数列”的充要条件
是"也J是周期数列
3.(2024•上海)已知/(x)=log。>0,aw1).
(1)若产=/(乃过(4,2),求〃2*-2)<〃x)的解集:
(2)存在x使得〃x+1)、/(ax),〃x+2)成等差数列,求。的取值范围.
4.(2023•上海)已知〃x)=/"x,在该函数图像「上取一点外,过点(%,〃%))作函数〃x)的切线,该切
线与V轴的交点记作(0,出),若。2>0,则过点(。2,/(%))作函数“X)的切线,该切线与y轴的交点记作
(0,a3),以此类推由,a4,直至0小0停止,由这些项构成数列{%}.
(1)设。„,(加..2)属于数列{。"};,证明:am=lnam_i-1;
(2)试比较am与am_x-2的大小关系;
(3)若正整数左.3,是否存在后使得为、出、«3.....对依次成等差数列?若存在,求出左的所有取值;
若不存在,请说明理由.
5.(2023•上海嘉定•一模)对于函数尸,把八无)称为函数尸〃x)的一阶导,令八x)=g(x),则将g(x)
称为函数y=的二阶导,以此类推L得到〃阶导.为了方便书写,我们将"阶导用"'(X)],表示.
⑴已知函数/(x)=e,+aln尤-1,写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.
(2)现定义一个新的数歹IJ:在y=/(x)取%=/⑴作为数列的首项,并将"'(1+〃)]“/21作为数列的第〃+1项.
我们称该数列为,=/(x)的""阶导数列"
①若函数g(x)=x"数列{2}是y=g(x)的"〃阶导数列",取乃/为{%}的前〃项积,求数列
的通项公式.
②在我们高中阶段学过的初等函数中,是否有函数使得该函数的"〃阶导数列"为严格减数列且为无穷数列,
请写出它并证明此结论.(写出一个即可)
6.(2024•上海闵行二模)已知定义在(0,+s)上的函数y=/(x)的表达式为/(x)=sinx-xcosx,其所有的
零点按从小到大的顺序组成数列{X„}(〃21,“eN).
⑴求函数y=/(》)在区间(o,兀)上的值域;
(2)求证:函数y=/(x)在区间(〃兀,(〃+1)71))上有且仅有一个零点;
⑶求证:兀<xn+I-xn<("+1".
7.(2023・上海金山•一模)若函数>=/(x)是其定义域内的区间/上的严格增函数,而y=是/上的严
X
格减函数,则称y=/(x)是/上的"弱增函数”.若数列{4}是严格增数列,而]是严格减数列,则称{4}是
"弱增数列
⑴判断函数y=lnx是否为(e,+8)上的"弱增函数",并说明理由(其中e是自然对数的底数);
(2)已知函数y=与函数y=_2x2-4x-8的图像关于坐标原点对称,若y=〃x)是[上的"弱增函数",
求〃一冽的最大值;
⑶已知等差数列{%}是首项为4的“弱增数列",且公差d是偶数.记{%}的前〃项和为其,设
是正整数,常数几2-2),若存在正整数上和加,使得上〉%>1且4=?;,求见所有可能的值.
8.(2024•上海徐汇•二模)已知各项均不为0的数列{叫满足。,+2。“=%%+吃+1(”是正整数),4=%=1,
«1
定义函数V=/,(x)=l+E77v(xNO),e是自然对数的底数.
k=\左!
(1)求证:数列,号红,是等差数列,并求数列{%}的通项公式;
(2)记函数y=g"(x),其中g"(x)=l-e-/(x).
(i)证明:对任意xNO,04g3(x)4九(x)-力(x);
,〃一I
(ii)数列色,}满足a=——,设1为数列也}的前〃项和.数列忆}的极限的严格定义为:若存在一个常数?,
an
使得对任意给定的正实数“(不论它多么小),总存在正整数加满足:当“2优时,恒有忆一刀〈“成立,则
称T为数列区}的极限.试根据以上定义求出数列区}的极限T.
限时提升练
(建议用时:60分钟)
一、填空题
1.(2024・上海•三模)数列包}满足。用=2%(〃为正整数),且出与。4的等差中项是5,则首项%=
2.(2024・上海•三模)若数列{%}是首项为1,公比为2的等比数列,记其前w项和为邑,则$4=.
3.(2024・上海•模拟预测)数列%N*)的最小项的值为.
4.(2024•上海奉贤•三模)若数列{0}满足对任意整数〃有£%=2〃2-〃成立,则在该数列中小于100的项
Z=1
一共有项.
8
5.(2024•上海浦东新•三模)已知数列{4}为等比数列,%=8,则£%=.
1=1
6.(2024・上海静安•一模)设色}是等差数列,%=-6,%=0,则该数列的前8项的和其的值为.
7.(2024•上海嘉定•一模)已知数列{5}的通项公式为a“=-〃+c,其中c为常数,设数列{%}的前〃项和为
S,,,若$6>$5且$6>$7,则c的取值范围为.
a1
8.(2024•上海徐汇・二模)已知数列{%}的前“项和为6",若(〃是正整数),则.
9.(2024・上海•三模)无穷等比数列{与}满足:%+&=1,%+%=;,则{%}的各项和为.
10.(2024•上海普陀•模拟预测)已知数列{%}的通项公式为凤=〃+1,£为数列{%}的前〃项和,若$2面<0,
则实数f的取值范围为.
11.(2024•上海•模拟预测)已知无穷数列{%}的前〃项和为工,不等式外%<0对任意不等于2的正整数〃
恒成立,且6s.=(%+1乂。,+2),那么这样的数列有个.
12.(2024•上海•模拟预测)无穷等比数列{。“}满足首项%>0应>1,记4=卜->卜,了€[%,%]口寓,。"/},
若对任意正整数力集合/”是闭区间,则q的取值范围是.
二、单选题
13.(2023•上海浦东新•三模)设等比数列{%}的前〃项和为邑,设甲:4<%<生,乙:母,}是严格增数列,
则甲是乙的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
14.(2023•上海杨浦♦一模)等比数列{%}的首项%=」,公比为4,数列抄,}满足"=logos%(〃是正整
64
数),若当且仅当〃=4时,色,}的前〃项和田取得最大值,则4取值范围是()
A.(3,20)B.(3,4)C.(2应,4)D.(20,38)
15.(2024・上海宝山•二模)数列{4}中,邑是其前"项的和,若对任意正整数”,总存在正整数加,使得邑=am,
则称数列{%}为"某数列"•现有如下两个命题:①等比数列{2"}为"某数列";②对任意的等差数列{%},总
存在两个"某数列”{a}和{g},使得。“=2+c”.则下列选项中正确的是()
A.①为真命题,②为真命题B.①为真命题,②为假命题
C.①为假命题,②为真命题D.①为假命题,②为假命题
16.(2024•上海长宁•一模)数列{%}为严格增数列,且对任意的正整数力都有乌田衿冬,则称数列{4}满
n+1n
足"性质Q".
①存在等差数列{%}满足"性质Q";
②任意等比数列{%},若首项4>0,贝!),“}满足"性质。";
下列选项中正确的是()
A.①是真命题,②是真命题;B.①是真命题,②是假命题;
C.①是假命题,②是真命题;D.①是假命题,②是假命题.
三、解答题
17.(2023•上海徐汇・一模)已知等差数列{%}的前”项和为工,%=2,$5=20.
(1)求数列{%}的通项公式;
⑵若等比数列出}的公比为q=g,且满足。4+,=9,求数列的前〃项和心
18.(2024•上海•三模)如图,已知正方体/BCD-44GA顶点处有一质点。,点。每次会随机地沿一条棱
向相邻的某个顶点移动,且向每个顶点移动的概率相同,从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一
次,若质点。的初始位置位于点N处,记点。移动〃次后仍在底面上的概率为匕.
D,
⑴求6;
(2)证明:数列是等比数列;若4>羽,求〃的最大值.
I,IZUZ4
19.(2023•上海杨浦•模拟预测)设>=〃x)是定义域为R的函数,如果对任意的为、
X?eR(X!*x2),|/(x1)-/(x2)|<|x1则称尸/㈤是"平缓函数
⑴若工(无)=;/(x)=sinx,试判断尸工(x)和发人(x)是否为"平缓函数"?并说明理由;(参考公
X+1
式:x〉0时,sinx<x恒成立)
⑵若函数歹=/(%)是〃平缓函数〃,且歹=/(%)是以1为周期的周期函数,证明:对任意的占、/£R,均
有|〃西)-/(%)|<3;
⑶设y=g(x)为定义在R上函数,且存在正常数4>1使得函数>=4g(x)为“平缓函数现定义数列
{z}满足:为=0,当=g(xi)(〃=2,3,4,…),试证明:对任意的正整数n,g(x„)<辔等.
20.(2023•上海金山•一模)已知三条直线小y=丘+犯。=1,2,3)分别与抛物线r:『=8x交于点4
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