2025年上海市高三数学二轮复习：数列（7题型+高分技法+限时提升练）

热点12数列

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2024年数列的应用；等差数列的性质及求和公式；等比数列的性质；数列与

函数的综合；数列、不等式的应用

等差数列与等比数列的前n

2023年等差数列和等比数列的性质；等比数列的前n项和公式；数列与函数

项和；数列中的递推公式、

的综合应用

推理问题、数列的通项公式

2022年等差数列与等比数列的前n项和、数列极限的求法、数列中的递推公

等知识；数列与函数的综合

式、推理问题、数列的通项公式等知识；数列的应用、等比数列性质的应用；

数列的函数特性及应用。

热点题型解读

壁1等差数列的前1颜和

型5数列的求和_______________________

壁2等匕徽列的施颐和

型6数列的极限数列

题型3数列的应用

题型7数歹屿函暗合

题型4数列递演

题型1等差数列的前n项和

等差数列的前〃项和公式

已知量首项、末项与项数首项、公差与项数

=〃（。1+斯）

求和公式S=+n^^d

2nnax2

注意点：

⑴公式一反映了等差数列的性质，任意第左项与倒数第左项的和都等于首末两项之和.

!⑵由公式二知d=0时，"WO时，等差数列的前n项和a是关于n的没有常数项的“二次函数”.，

（3）公式里的n表示的是所求等差数列的项数.

C56

1.（2024・上海杨浦•一模）设无穷数列｛%｝的前〃项和为邑，且对任意的正整数"，。用="，则

a

nz=lz=l

的值可能为（）

A.-6B.0C.6D.12

2.（2024•上海）数列｛%｝,an=n+c,S7<0,c的取值范围为.

3.（2022•上海）已知等差数列｛4｝的公差不为零，S”为其前”项和，若2=0,则E（z,=l,2,…，100）中

不同的数值有一个.

4.（2024・上海杨浦・二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米.现

将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，

堆放高度不得高于:米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为

2

8…8

•・

•••

5.（2024•上海宝山•二模）某区域的地形大致如图1,某部门负责该区域的安全警戒，在哨位。的正上方安

装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地4444；假设2：视探照灯为点

M,且距离地面20米；假设3：探照灯M照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯M以某一俯角从44+1侧

扫描到瓦瓦包侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环耳（左=1,2,3,…）.由此，通过

调整”的俯角，逐次扫描形成扇环耳、邑、邑….第一次扫描时，光斑的长轴为跖，|。£|=30米，此时在

探照灯M处测得点尸的俯角为30°（如图2）.记|44/=公，经测量知|44|=80米，且｛4｝是公差约为0.1米

的等差数列，则至少需要经过次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.

6.（2024・上海・三模）已知两个等差数列2,6,10,202和2,8,14,200,将这两个等差数列的公

共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为

7.(2024•上海普陀•一模)设及21,m>l,加、neN,等差数列｛%｝的首项q=0,公差dw0,若。加，

Z=1

则用的值为.

8.(2023•上海长宁•三模)已知数列｛%｝是等差数列，若

t同=。，刊=EI«i+2|=EI«i+3|=£冈+4|=2023,则数列｛叫的项数〃的最大值是.

Z=1i=lZ=1Z=1Z=1

9.(2024・上海虹口・二模)已知等差数列｛%｝满足。2=5,%+7=2%.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)设数列出｝前，项和为用,且b—,若股>432,求正整数机的最小值.

10.(2023•上海长宁•一模)已知等差数列｛%｝的前“项和为N，公差d=2.

(1)若品,=100,求｛6｝的通项公式；

(2)从集合｛%,4，%，%，《，&｝中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件A,求事件A发生的概率

尸⑷

题型2等比数列的前n项和

00❷式

等比数列的前〃项和公式

已知量首项、公比与项数首项、公比与末项

公式一

公式二

S〃=

求和公式

色（1—0

(夕一)，&=1]

.i—q

1)

ficii(q=1)

注意点：

⑴用等比数列前〃项和公式求和，一定要对该数列的公比9=1和qWi进行分类讨论.

（2）公式一中的〃表示的是所求数列的项数（例如1+2+22+…+2"=—：：；“））.

（3）公式二中的内表示数列的第一项，诙表示数列的最后一项（例如1+2+22+…+2"」I2>

1"."2024Ty$M*"w展友奠音质无£，一欣彦7枪威薮Q｛«j南品/演菽'石11花££二：如

（）.

A.%>0B.4>0C.|S“|V同D.|S„|<|?|

2.（2024•上海普陀•二模）设。是数列｛%｝的前〃项和521/eN）,若数列｛4｝满足：对任意的〃22,存

在大于1的整数机，使得（S“用）<0成立，则称数列｛4｝是"G数列”.现给出如下两个结论：①

存在等差数列｛%｝是"G数列"；②任意等比数列｛%｝都不是"G数列".则（）

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

3.（2024•上海奉贤•一模）已知数列｛%,｝不是常数列，前〃项和为工，a„>0.若对任意正整数〃，存在正

整数机，使得£,-册|<%，则称｛4｝是"可控数列现给出两个命题：

①若各项均为正整数的等差数列｛0｝满足公差4=3,则｛g｝是"可控数列"；

②若等比数列｛0"｝是"可控数列"，则其公比qe（0,1].

则下列判断正确的是（）

A.①与②均为真命题B.①与②均为假命题

C.①为假命题，②为真命题D.①为真命题，②为假命题

4.（2024・上海长宁•二模）设数列｛%｝的前〃项和为若存在非零常数。，使得对任意正整数“，都有

2后=%+c,则称数列｛%｝具有性质。：①存在等差数列｛%｝具有性质。；②不存在等比数列｛%｝具有

性质0；对于以上两个命题，下列判断正确的是（）

A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假

5.（2024・上海松江•二模）设S"为数列｛aj的前〃项和，有以下两个命题：①若｛6｝是公差不为零的等差数

列且上eN,k>2,则HS…$21=0是%yq=0的必要非充分条件；②若｛叫是等比数列且上eN,

k>2,则ES…耳=0的充要条件是为+/=o.那么（）

A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题

C.①、②都是真命题D.①、②都是假命题

6.（2024・上海•模拟预测）已知数列｛%｝不是常数列，前〃项和为反，且%>0.若对任意正整数"，存在

正整数加，使得则称｛%｝是"可控数列现给出两个命题：①存在等差数列｛%｝是"可控数列";

②存在等比数列｛。"｝是"可控数列则下列判断正确的是（）

A.①与②均为真命题B.①与②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

7.（2024•上海奉贤•三模）若数列｛与｝的前〃项和为S,,,关于正整数"的方程记为尸，命题

对于任意的“eR,存在等差数列｛%｝使得尸有解；命题对于任意的。eR,存在等比数列侬,｝使得尸有

解；则下列说法中正确的是（）

A.命题。为真命题，命题4为假命题；B.命题。为假命题，命题4为真命题；

C.命题0为假命题，命题4为假命题；D.命题。为真命题，命题4为真命题；

8.（2024・上海徐汇•一模）已知数列｛4｝的前”项和为邑，设乙=口（〃为正整数）.若存在常数。，使得任

n

意两两不相等的正整数切，左，都有C+（/-左）4+（"，儿=c，则称数歹U｛g｝为"轮换均值数列".现有下

列两个命题：①任意等差数列｛《,｝都是"轮换均值数列”.②存在公比不为1的等比数列｛£｝是“轮换均值数

列”.则下列说法正确的是（）

A.①是真命题，②是假命题

B.①是假命题，②是真命题

C.①、②都是真命题

D.①、②都是假命题

9.（2023•上海）已知首项为3,公比为2的等比数列，设等比数列的前”项和为S“，则Sf=.

10.（2024•上海普陀•二模）设左，加，〃是正整数，S,是数列｛%｝的前"项和，%=2,S“=a“+i+l,若

〃7=S>（S-l），且/”｛0,1｝，记/（加）=乙+4+.一+〃，则”2024）=.

Z=1

11.（2024•上海•三模）已知=2。田'-

；=0

⑴无穷等比数列也｝的首项优=/，公比夕=&.求的值.

（2）无穷等差数列匕,｝的首项G=%,公差［=&.求匕,｝的通项公式和

12.（2024•上海宝山•一模）甲乙两人轮流掷质地均匀的骰子，每人每次掷画题.

⑴甲掷一次，求两颗骰子点数不同的概率；

⑵甲乙各掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大7的概率；

⑶若第一次掷出点数之和大于6的人为胜者，同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到比赛结束.例

如，甲乙先后轮流掷出的点数之和为：5、4、3、7,此时乙为胜者.设甲先投掷，求甲最终获胜的概率.

13.（2024・上海普陀•一模）设f>l,n>l,neN,若正项数列｛4｝满足）,<。用<%,则称数列｛%｝具有

性质"尸⑴".

⑴设加21,%eN,若数列10,7,m,4,3具有性质"P（2）”,求满足条件的用的值；

（2）设数列｛凡｝的通项公式为+问是否存在，使得数列｛%｝具有性质"P（。"？若存在，求出满

足条件的/的取值范围，若不存在，请说明理由；

（3）设函数y=〃x）的表达式为/（x）=ln（ex-l）-lnx,数列｛%｝的前〃项和为，且满足%=j

«„+1=/（«„），证明：数列也｝具有性质"尸（3）”，并比较S.与l-g的大小.

题型3数列的应用

:00混

II

1.给出数列的方式有多种，以递推公式的形式给出是很常见的情况，通常是转化为等差或等比数列求出通

项.常用方法为待定系数法、倒数法等方法.

2.（1）解应用问题的核心是建立数学模型.

II

（2）一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型.

（3）注意问题是求什么（〃，a”,S>）.

注意：

i①解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答.

II

[②在归纳或求通项公式时，一定要将项数"计算准确.

■③在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系.

i④在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求.

-

T（2023-±^­百诟元莠薮前，二｝商客函旧为英薮;~Sn/旗看三赢：泊/I熹定盛■薮k>2022软，

|SJ>|SM|,则下列各项中可能成立的是（）

A•9',•*,Cl2n_],…为等差数列，%,«4,%，…，％，…为等比数列

a9

B.%,。3，。5，…，2n-\…为等比数列，a2,a4,a6,•••,出“，…为等差数列

a

C.%,a2,a3,•••,。2022为等差数列，2022,。2023，％,…为等比数列

D.%,a2,a3,■■■,02022为等比数列，。2022，。2023，，…为等差数列

2.（2022•上海）已知等比数列｛凡｝的前"项和为S”，前〃项积为7；,则下列选项判断正确的是（）

A.若邑%>S?必，则数列｛%｝是递增数列

B.若写22>%必，则数列｛。”｝是递增数列

C.若数列｛8｝是递增数列，则出022…电021

D.若数列区｝是递增数列，则%022…。2021

3.（2024•上海普陀•一模）设。>0且awl,k、加、〃都是正整数，数列｛%｝的通项公式为

，，-3（；；,〃）'，记数列｛%｝中前左项的最小值为儿，由所有”的值所组成的集合记为A,若

集合A中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（）

A.当加=3时，a的取值范围是（1,6）B.不存在。和机的值，使得

C.当加=4时，。的取值范围是（3,6）D.存在。和小的值，使得生©4

4.（2024•上海虹口■一模）设数列｛处｝的前四项分别为生、外、/、④，对于以下两个命题，说法正确的是（）•

①存在等比数列｛叫以及锐角a,使｛sina,cosa,tana｝=｛%,%,%｝成立.

②对任意等差数列｛q,｝以及锐角a,均不能使卜出口普0$/匕11£,疝£｝=｛%,%,。3，。4｝成立.

A.①是真命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题D.①是假命题，②是假命题

5.（2024•上海）q=2,2=4,%=8,=16>任意可，b2,"，b，eR,满足

｛af+aj11„i<y„4｝=｛bt+11„i</,4｝,求有序数列b2,b3,“｝有对.

6.（2024•上海）无穷等比数列｛%｝满足首项％>0,q>\,记/〃=｛x-y|x,"储，«2]|J[«n，%+/｝，

若对任意正整数〃，集合/〃是闭区间，则夕的取值范围是.

7.（2024・上海•模拟预测）记等差数列｛%｝的前〃项和为毛，%=6,则几=.

8.（2024・上海闵行三模）设工是等比数列｛%｝的前〃项和，若$3=4,&+%+&=8,则.

»6

9.（2024・上海・三模）已知有穷数列｛4｝的首项为1,末项为12,且任意相邻两项之间满足％+「。"€｛1,2｝,

则符合上述要求的不同数列｛与｝的个数为.

10.（2024・上海•模拟预测）弓=2,%=4,%=8,%=16,任意伪awR,满足

｛«,+aj\l<i<j<4｝=｛b1+b]\\<i<j<^｝,求有序数列论也eA｝有对.

1L（2024•上海・三模）设关于x的方程而於=《8>0）的从小到大的第，个非负解为为1=1,2,3,…），若数列

｛七｝是无穷等差数列，且上｝在区间（1,2）中的项恰好比在区间[2023,2024]中的项少2项，则。的取值集合

为.

题型4数列递推式

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

00目©

1.（1）利用数列的通项公式求某项的方法

数列的通项公式给出了第〃项斯与它的位置序号〃之间的关系，只要用序号代替公式中的"，就可以求出

数列的相应项.

（2）判断某数值是否为该数列的项的方法

先假定它是数列中的第〃项，然后列出关于〃的方程.若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无

解或解不是正整数，则不是该数列的一项.

2.递推公式反映的是相邻两项（或〃项）之间的关系.对于通项公式，已知〃的值即可得到相应的项，而递

推公式则要已知首项（或前几项），才可依次求得其他的项.若序号很大，则应考虑数列是否具有规律性（周

期性）.

3.由递推公式求通项公式的常用方法

（1）归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.（只适用于选择题、填空!

题）

⑵迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：

①—斯=常数，或许+1—斯=/（〃）（/（九）是可以求和的），使用累加法或迭代法.

②即+i=pq〃Q?为非零常数），或许+1=/5）。〃（/5）是可以求积的），使用累乘法或迭代法.

@an+i=pan+q（pfq为非零常数），适当变形后转化为第②类解决.

4.由凡求通项公式an的步骤

（1）当n=\时，a\=S\.

（2）当〃三2时，根据S〃写出化简Q〃=S〃一S〃_i.

（3）如果Qi也满足当〃22时，斯=8〃-8力_1的通项公式，那么数列｛斯｝的通项公式为斯否则数

列｛为｝的通项公式要分段表示为

51,〃=1,

斯=,

Sn—Sn-l,心2.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1

1.（2024・上海嘉定•一模）已知数列｛叫满足%+i=",（l-%）（〃=1,2,3,…）,qe（O,l）,给出以下四个结论：

①当厂=2时，存在有限个〜使得对任意正整数"，都有%+D4

②当r=2时，存在q和正整数P,当〃〉尸时，a„+I-a„<^

③当r=3时，存在可和正整数P,当〃〉尸时，an+l=an

④当，=-3时，不存在用使得对任意正整数“，M«>3,者B有%>0

其中正确结论是（）.

A.①②B.②③C.③④D.②④

2.（2024•上海闵行•一模）已知数列｛%｝满足%+1=同+[+刃。"-1|,其中力为常数.对于下述两个命题：

①对于任意的2>0,任意的qeR,都有｛©｝是严格增数列；

②对于任意的彳<0,存在%eR,使得｛%｝是严格减数列.

以下说法正确的为（）

A.①真命题；②假命题B.①假命题；②真命题

C.①真命题；②真命题D.①假命题；②假命题

3.（2023•上海徐汇・一模）在数列｛%｝中，%=2,且为=01+坨=（"22）,贝11%。。=.

4.（2024•上海虹口一模）己知项数为10的数列｛%｝中任一项均为集合｛x|lVxV10,xeN｝中的元素，且相

邻两项满足。“<a,l+1+3,n=1,2,-.9.若｛《｝中任意两项都不相等，则满足条件的数列｛&｝有个.

5.（2024・上海•二模）已知数列｛%｝共有5项，且满足：@）4=—,a5=；（2）<a2<a3<a4<a5；

66

③cos?（%）=sin/"），〃=1、2、3、4.则满足条件的数列｛%｝共有个

6.（2022•上海）数列｛%｝对任意〃eN*且"..2,均存在正整数ie[1,〃-1],满足。用=2°,-q,%=1,

出=3•

（1）求。,可能值；

（2）命题p：若生,出，…，如成等差数列，则%<30,证明P为真，同时写出p逆命题g,并判断命

题q是真是假，说明理由；

（3）若的为=3"',（机eN*）成立，求数列｛%｝的通项公式.

题型5数列的求和

有混

1.错位相减法

（1）一般地，如果数列｛斯｝是等差数列，｛儿｝是等比数列，求数列｛斯也,｝的前〃项和时，可采用错位相减

法.

I

（2）用错位相减法求和时，应注意：

!①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.

i②在写出“S,”与“qS“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn一

qSj的表达式.

2.分组求和的适用题型

一般情况下形如金=斯土耳，其中数列｛为｝与仍“｝一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列匕“｝的前〃项

和，分别利用等差数列和等比数列的前〃项和公式求和即可.

3,倒序相加法求和适合的题型

一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，

利用推导等差数列前〃项和公式的方法，倒序相加求和.

4.并项求和法适用的题型

一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动型的数列

也可采用分组求和.若摆动数列为等比数列，也可用等比数列求和公式.

5.裂项相消法求和

常见的裂项求和的形式:

n(n-\-k)k

②

③______22______=_1______1__

(2n+l)(2n+1+l)2"+l2,,+1+f

ri__________i

—————+1)(«+1)(«+2)_

n(n+1)(«+2)2

⑤;5^=4—标

@lnl-3=ln(n+1)—Inn；

n2(«+2)2l

⑧(一1)〃log3+1)]=(-1)M[log3«+log3(H+1)]；

⑨(-

=(—1)〃匕〃1-12〃1+l)

注意点:

(1)裂项前要先研究分子与分母的两个因式的差的关系.

(2)若相邻项无法相消，则采用裂项后分组求和，即正项一组，负项一组.

(3)检验所留的正项与负项的个数是否相同.

1.(2022・上海•模拟预测)设G、&、•••、。“、…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上,

且都与直线y=相切，对每一个正整数〃，圆C“都与圆C用相互外切，以乙表示圆C”的半径，已知匕｝

为递增数列，若4=1,则数列｛〃七｝的前“项和为.

s

2.（2023•上海黄浦•三模）已知正项数列｛%｝的前”项和为S”，若2%5"=1+端，”,=厩罟,数列也｝的

前〃项和为北，则下列结论正确的是.

①4<%；②代｝是等差数列；③S.4eG；④满足北23的〃的最小正整数为10.

3.（2024・上海•模拟预测）已知/（无）=；尤2+；》，数列｛%｝的前”项和为S“，点（”,斗乂"€1<）均在函数

>=/（无）的图象上.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵若g（x）=',令”=g［晟］（〃eN*）,求数列也｝的前2024项和蠢2小

II4\乙U4JJ

2

4.（2023・上海嘉定•一模）已知数列｛与｝的前〃项和为S“，Sn=n+n,其中”eN*.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）求数列jI的前n项和Hn.

l«A+iJ

5.（2023・上海静安•二模）已知各项均为正数的数列｛。“｝满足％=1,%=20小+3（正整数〃。2）

⑴求证:数列应+3｝是等比数列;

（2）求数列｛%｝的前〃项和J.

题型6数列的极限

1.（2024•上海浦东新•三模）有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球2024-无化eN*）.甲、乙两

人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上

一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第"局甲获胜的概率为4,则关于以下两个命题判断正确的是

（）

①。1=4比—'且0”+|=（1-2月）％+“；

②若第七局甲获胜的概率不小于0.9,则上不小于1992.

A.①②都是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题D.①②都是假命题

2.（2024•上海虹口・二模）已知等比数列｛4｝是严格减数列，其前〃项和为=2,若％,24,3%成等差数

列，贝丹驾-

21

3.（2023・上海长宁•三模）在数列｛%｝中，％=1,且-------=0,设S,为数列｛%｝的前〃项和，贝！|

anan+\

limSn=

M—>+00-----------------------------------------'

4.（2023•上海浦东新•模拟预测）已知［4阕=1,当"N2时，4用是线段44-的中点，点尸在所有的线段

44M上，则|4尸|=.

5.（2024•上海•三模）已知数列｛%｝满足％<%+一点与（2"+1,%）在双曲线工-匕=1上，贝I］

7.（2023・上海嘉定•一模）已知平面上有"+2个点4，4，L,4,4+1,4+2,4（o,o）,4（3,0）,

<：O二,：0二>=］且即舄=|国工|,记4,的坐标为伍也），将4,加，4+2依次顺时针排列,

求（liman,limb\=

8.（2022•上海）已知在数列｛%｝中,&=1，其前〃项和为

（1）若｛4｝是等比数列，S2=3,求limS〃；

>00

（2）若｛%｝是等差数列，S2n...n,求其公差d的取值范围.

题型7数列与函数综合

!00与0

i.数列本身是一类特殊的函数，高考命题中常将数列与一次函数、指数函数、三角函数、不等式等知识

;综合在一起，在知识的交汇处命题，或与数阵、点列结合命题一些创新性问题.同时，以实际问题和古代;

:数学问题为背景的数列题也时有出现，难度中等或以上.

!2.通过此类问题，综合考查抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.

i______________________________________________________________j

1.（2024・上海•三模）某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产

经营能使资金在年初的基础上增长50%.每年年底，工厂向集团上缴机（切>0）万元，并将剩余资金全部作

为下一年的初始资金，设第〃年的初始资金为氏万元.

⑴判断｛4-2端是否为等比数列？并说明理由；

⑵若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级.设加=2600,则该工厂在第几年

转型升级？

2.（2024•上海青浦•二模）若无穷数列｛。,｝满足：存在正整数T,使得。“+7=%对一切正整数〃成立，则称｛为｝

是周期为T的周期数列.

Tinit

⑴若。，=sin一+—(其中正整数”?为常数，判断数列｛。,｝是否为周期数列，并说明理由;

m3

(2)若%=a“+sina“("eN,〃Nl),判断数列｛%｝是否为周期数列,并说明理由;

(3)设也.｝是无穷数列，已知%+1="+Sina。("eN,”21).求证："存在可，使得｛%｝是周期数列”的充要条件

是"也J是周期数列

3.(2024•上海)已知/(x)=log。>0,aw1).

(1)若产=/(乃过(4,2),求〃2*-2)<〃x)的解集:

(2)存在x使得〃x+1)、/(ax),〃x+2)成等差数列，求。的取值范围.

4.(2023•上海)已知〃x)=/"x,在该函数图像「上取一点外,过点(％,〃％))作函数〃x)的切线，该切

线与V轴的交点记作(0,出)，若。2>0，则过点(。2，/(%))作函数“X)的切线，该切线与y轴的交点记作

(0,a3),以此类推由，a4,直至0小0停止，由这些项构成数列｛%｝.

(1)设。„,(加..2)属于数列｛。"｝；,证明：am=lnam_i-1；

(2)试比较am与am_x-2的大小关系；

(3)若正整数左.3,是否存在后使得为、出、«3.....对依次成等差数列？若存在，求出左的所有取值;

若不存在，请说明理由.

5.(2023•上海嘉定•一模)对于函数尸,把八无)称为函数尸〃x)的一阶导，令八x)=g(x),则将g(x)

称为函数y=的二阶导，以此类推L得到〃阶导.为了方便书写，我们将"阶导用"'(X)],表示.

⑴已知函数/(x)=e，+aln尤-1，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.

(2)现定义一个新的数歹IJ：在y=/(x)取%=/⑴作为数列的首项，并将"'(1+〃)]“/21作为数列的第〃+1项.

我们称该数列为，=/(x)的""阶导数列"

①若函数g(x)=x"数列｛2｝是y=g(x)的"〃阶导数列"，取乃/为｛%｝的前〃项积，求数列

的通项公式.

②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的"〃阶导数列"为严格减数列且为无穷数列,

请写出它并证明此结论.(写出一个即可)

6.(2024•上海闵行二模)已知定义在(0,+s)上的函数y=/(x)的表达式为/(x)=sinx-xcosx,其所有的

零点按从小到大的顺序组成数列｛X„｝(〃21,“eN).

⑴求函数y=/(》)在区间(o,兀)上的值域；

(2)求证：函数y=/(x)在区间(〃兀,(〃+1)71))上有且仅有一个零点；

⑶求证：兀<xn+I-xn<("+1".

7.(2023・上海金山•一模)若函数>=/(x)是其定义域内的区间/上的严格增函数，而y=是/上的严

X

格减函数，则称y=/(x)是/上的"弱增函数”.若数列｛4｝是严格增数列，而］是严格减数列，则称｛4｝是

"弱增数列

⑴判断函数y=lnx是否为(e,+8)上的"弱增函数"，并说明理由(其中e是自然对数的底数)；

(2)已知函数y=与函数y=_2x2-4x-8的图像关于坐标原点对称，若y=〃x)是［上的"弱增函数",

求〃一冽的最大值；

⑶已知等差数列｛%｝是首项为4的“弱增数列"，且公差d是偶数.记｛%｝的前〃项和为其，设

是正整数，常数几2-2),若存在正整数上和加，使得上〉%>1且4=?；,求见所有可能的值.

8.(2024•上海徐汇•二模)已知各项均不为0的数列｛叫满足。,+2。“=%%+吃+1(”是正整数)，4=%=1，

«1

定义函数V=/,(x)=l+E77v(xNO),e是自然对数的底数.

k=\左！

(1)求证：数列，号红，是等差数列，并求数列｛%｝的通项公式；

(2)记函数y=g"(x),其中g"(x)=l-e-/(x).

(i)证明：对任意xNO,04g3(x)4九(x)-力(x)；

,〃一I

(ii)数列色,｝满足a=——，设1为数列也｝的前〃项和.数列忆｝的极限的严格定义为：若存在一个常数？，

an

使得对任意给定的正实数“(不论它多么小)，总存在正整数加满足：当“2优时，恒有忆一刀〈“成立，则

称T为数列区｝的极限.试根据以上定义求出数列区｝的极限T.

限时提升练

(建议用时：60分钟)

一、填空题

1.（2024・上海•三模）数列包｝满足。用=2%（〃为正整数），且出与。4的等差中项是5,则首项％=

2.（2024・上海•三模）若数列｛%｝是首项为1,公比为2的等比数列，记其前w项和为邑，则$4=.

3.（2024・上海•模拟预测）数列%N*）的最小项的值为.

4.（2024•上海奉贤•三模）若数列｛0｝满足对任意整数〃有£%=2〃2-〃成立，则在该数列中小于100的项

Z=1

一共有项.

8

5.（2024•上海浦东新•三模）已知数列｛4｝为等比数列，%=8,则£%=.

1=1

6.（2024・上海静安•一模）设色｝是等差数列，％=-6,%=0,则该数列的前8项的和其的值为.

7.（2024•上海嘉定•一模）已知数列｛5｝的通项公式为a“=-〃+c,其中c为常数，设数列｛%｝的前〃项和为

S,,,若$6>$5且$6>$7,则c的取值范围为.

a1

8.（2024•上海徐汇・二模）已知数列｛%｝的前“项和为6"，若（〃是正整数），则.

9.（2024・上海•三模）无穷等比数列｛与｝满足：%+&=1，%+%=；，则｛%｝的各项和为.

10.（2024•上海普陀•模拟预测）已知数列｛%｝的通项公式为凤=〃+1,£为数列｛%｝的前〃项和，若$2面<0,

则实数f的取值范围为.

11.（2024•上海•模拟预测）已知无穷数列｛%｝的前〃项和为工，不等式外%<0对任意不等于2的正整数〃

恒成立，且6s.=（%+1乂。,+2）,那么这样的数列有个.

12.（2024•上海•模拟预测）无穷等比数列｛。“｝满足首项％>0应>1,记4=卜->卜,了€[%,%]口寓,。"/｝，

若对任意正整数力集合/”是闭区间，则q的取值范围是.

二、单选题

13.（2023•上海浦东新•三模）设等比数列｛%｝的前〃项和为邑，设甲：4<%<生，乙：母,｝是严格增数列，

则甲是乙的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

14.（2023•上海杨浦♦一模）等比数列｛%｝的首项％=」，公比为4,数列抄,｝满足"=logos%（〃是正整

64

数），若当且仅当〃=4时，色,｝的前〃项和田取得最大值，则4取值范围是（）

A.（3,20）B.（3,4）C.（2应,4）D.（20,38）

15.（2024・上海宝山•二模）数列｛4｝中，邑是其前"项的和，若对任意正整数”，总存在正整数加，使得邑=am,

则称数列｛%｝为"某数列"•现有如下两个命题：①等比数列｛2"｝为"某数列"；②对任意的等差数列｛%｝,总

存在两个"某数列”｛a｝和｛g｝,使得。“=2+c”.则下列选项中正确的是（）

A.①为真命题，②为真命题B.①为真命题，②为假命题

C.①为假命题，②为真命题D.①为假命题，②为假命题

16.（2024•上海长宁•一模）数列｛%｝为严格增数列，且对任意的正整数力都有乌田衿冬，则称数列｛4｝满

n+1n

足"性质Q".

①存在等差数列｛%｝满足"性质Q";

②任意等比数列｛%｝,若首项4>0,贝！）,“｝满足"性质。"；

下列选项中正确的是（）

A.①是真命题，②是真命题；B.①是真命题，②是假命题；

C.①是假命题，②是真命题；D.①是假命题，②是假命题.

三、解答题

17.（2023•上海徐汇・一模）已知等差数列｛%｝的前”项和为工，％=2,$5=20.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵若等比数列出｝的公比为q=g,且满足。4+，=9,求数列的前〃项和心

18.（2024•上海•三模）如图，已知正方体/BCD-44GA顶点处有一质点。，点。每次会随机地沿一条棱

向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一

次，若质点。的初始位置位于点N处，记点。移动〃次后仍在底面上的概率为匕.

D,

⑴求6；

(2)证明：数列是等比数列；若4>羽，求〃的最大值.

I，IZUZ4

19.(2023•上海杨浦•模拟预测)设>=〃x)是定义域为R的函数，如果对任意的为、

X?eR(X!*x2),|/(x1)-/(x2)|<|x1则称尸/㈤是"平缓函数

⑴若工(无)=；/(x)=sinx,试判断尸工(x)和发人(x)是否为"平缓函数"？并说明理由;(参考公

X+1

式:x〉0时，sinx<x恒成立)

⑵若函数歹=/(%)是〃平缓函数〃，且歹=/(%)是以1为周期的周期函数，证明:对任意的占、/£R，均

有|〃西)-/(%)|<3;

⑶设y=g(x)为定义在R上函数，且存在正常数4>1使得函数>=4g(x)为“平缓函数现定义数列

{z}满足：为=0,当=g(xi)(〃=2,3,4,…)，试证明:对任意的正整数n,g(x„)<辔等.

20.(2023•上海金山•一模)已知三条直线小y=丘+犯。=1,2,3)分别与抛物线r：『=8x交于点4