2025年上海市高三数学二轮复习：基本不等式及其应用（11题型+限时提升练）

热点02基本不等式及其应用

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

不等关系与不等式、分式不等式，绝对值不等式的解分式不等式，基本不等式及其应用

法、一元二次不等式及其应用、基本不等式及其应用

热点题型解读

壁1不等式的性质

题型7基本不等式与嘉措I寸函数的综合应用

^^2分式不等式

壁8向前钻应用

_______________________________________________醒3绝对值不等式

遵9基本格式与三角函数和解三角形的综合应用呷营警

及其应用

逊4一元二^不攀C

[堂10基本不等式与导数的综合应用

壁5对数格式

题型11基本不敏与圆锥曲哪综合应用

壁6基本格式及其应用

题型1不等式的性质

1.比较大小的常用方法

⑴作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.

(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.

(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.

2.判断不等式的常用方法

(1)利用不等式的性质逐个验证.

(2)利用特殊值法排除错误选项.

(3)作差法.

（4）构造函数，利用函数的单调性.

石苏:上海厂工二二277工：:：不罚年薪植康茯西富

A.a+b2>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab2>ac2D.c^b>c^c

2.（2024•上海杨浦•二模）已知实数〃，b,c,d满足：a>b>O>c>df则下列不等式一定正确的是（）

A.a+d>b+cB.ad>beC.a+c>b+dD.ac>bd

3.（2024・上海闵行•三模）设。，b,c是不全相等的实数，随机变量4取值为。，b,c的概率都是g,随

机变量〃取值为“c,，———，的概率也都是二则（）

A.E团<E团,D[^]<D[rj]B.砒]=司切*。团团

C.E团<片团,砒]叫切D.矶司=土团,。团=。团

4.（2024・上海静安•二模）在下列关于实数以6的四个不等式中，恒成立的是.（请填入全部正确的

序号）

①62②Nab；（3）\a\—\b\<\a-b\-（4）a2+b2>2b-l-

题型2分式不等式

004©

分式不等式的解法：

基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程

中，变形的等价性尤为重要。

基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如上的形式；

gM

③同解变形：皿〉0o/(x)-g(x)〉0；皿<0o/(x)-g(x)<0；

g(x)g(x)

jf(x)-g(x)>0f(x)jf(x)-g(x)<Q

--------NUO\;--------SUO<;

g(x)[g(X)H0g(x)〔g(X)H。

2r-l

1.（2。24・上海闵行•一模）不等式的解集为一

2.（2023・上海普陀・曹杨二中校考模拟预测）不等式420的解集是______

X—1

题型3绝对值不等式

常见绝对值不等式的解法与结论：

①几个基本不等式的解集

(1)(2)|川>。(4>0)02>〃2_>。，或％<-〃；

(3)\x-m\<a(a>O)^a<x-m<a^m-a<x<a+m；(4)\x-m\>a{a>G)^c-m>a^x-m<-a<^c>m+a,'^lx<m-a.

②几种主要的基本类型

⑴|Ax)l>lg(x)l守(x)>g2(x)(平方法)；(2)|Xx)|>g(x)(g(x)>0)q(x)>g(x),或<x)<-g(x);

(3)次x)|<g(x)(g(x)>O)=g(x)勺(尤)<g(x);

(4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解.

1.(2023•上海)不等式|x-2|<l的解集为.

2.(2023•上海)不等式|x-l|,,2的解集为：.(结果用集合或区间表示)

3.(2024・上海静安一模)不等式|2x-l|<3的解集为_______.

4.(2024•上海•三模)已知集合4={即无一1]<1},8=卜；<1，，贝!]4口8=.

5.(2022・上海•模拟预测)已知函数/'⑺，甲变化：/U)-f(x-f)；乙变化："(x+f)-/(x)|,t>0.

⑴若”1,f(x)=2\/(x)经甲变化得到g(x),求方程g(x)=2的解；

⑵若/(x)=/,/(元)经乙变化得到无(无)，求不等式〃(x)4/(x)的解集；

⑶若/(无)在(-8,0)上单调递增，将/(无)先进行甲变化得到鼠犬)，再将以犬)进行乙变化得到"(无)；将/(元)

先进行乙变化得到v(x),再将V。)进行甲变化得到万式外，若对任意/>0,总存在4(x)=%(x)成立，求证:

于(x)在R上单调递增.

题型4一元二次不等式

100混

:一元二次不等式在求解时应当注意事项

（1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0,使二次项系数为正；

（2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式;

（3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；

（4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；

（5）写解集：根据图象写出不等式的解集。

T一石624王海徐汇•一模）不等式Y—4x+3<0的解集为…

2.（2024・上海奉贤一模）已知xeR,则不等式f一元+2>0的解集为.

3.（2024・上海崇明•二模）不等式双无-1）<。的解为.

题型5对数不等式

工”736江工海童石:三禳3苴如〉。73”丽7”厂

A.a2>b2B.2a<2b

loa>1b

C|DSi°Si

•a2<b-22

2.（2024・上海嘉定•一模）函数y=log2（x2-l）的定义域为.

题型6基本不等式及其应用

।-4

，1.几个重要的不等式的变形

@cr+b2>2ab（a,6GR）.；②9+022（a、6同号）；+"（a、6GR）.

abI2J2

已知x>0,y>0,则

:2.平均值不等式与最值

_s2

（1）若x+p=s（和为定值），则当x=y时，积盯取得最大值了

（2）若灯=夕（积为定值），则当x=y时，和x+p取得最小值25；

।

即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值;

i

两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。

1.（2024・上海静安•一模）若用f替换命题"对于任意实数〃，有屋20,且等号当且仅当d=O时成立"中的〃,

即可推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数

相等时成立”.则/=.

2.（2024・上海奉贤•三模）若a+6=1,则他有最大值为.

3.（2024・上海徐汇•二模）若正数0、6满足：=则2a+人的最小值为_____.

ab

4.（2024•上海奉贤•二模）某商品的成本C与产量4之间满足关系式。=。（4，定义平均成本心=心（夕），其

中心=詈，假设c（4）=；q2+i。。，当产量等于时，平均成本最少.

题型7基本不等式与幕指对函数的综合应用

i

i

1.（2024・上海普陀・模拟预测）函数y=log“（x+2）-1（。>0,且a*1）的图像恒过定点A,若点A在直线

mx+ny+2=0±,其中加>0,〃>0,则工+工的最小值为.

mn

2.（2024・上海嘉定•模拟预测）已知函数〃力=睡34若a<b,且则a+2b的取值范围

是.

3.（2024,上海闵行•三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，

毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今

天大致相同.若2"+2"=1，则（4"+1）（4"+1）的最小值为.

题型8基本不等式与平面向量的综合应用

1.（2024・上海金山•二模）已知平面向量入b>"满足:1|=由=1，ac=bc=l，则2%+丁的最小值

为.

2.（2024,上海•三模）空间中A3两点间的距离为8,设“巴鸟的面积为S,令％=|丽诃］,若火2%=3,

1=1

则S的取值范围为.

题型9基本不等式与三角函数和解三角形的综合应用

工“苍耘i：王海防片二葭一茹菌丁窠小区内有二双宛形成城ABCD,其中AB=40米，AD=20^,

分别为AB、CO的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为A、B,半径均为20米），其

余区域为草坪.现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段斯上，另外两

个顶点在线段CD上，则该游乐区面积的最大值为平方米.（结果保留整数）

2.（2024・上海宝山•二模）在AABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知

sin2A+sin2C=sin2B+sirL4sinC.

⑴求角8的大小；

（2）若AABC的面积为百，求4+c的最小值，并判断此时AABC的形状.

题型10基本不等式与导数的综合应用

L（2023•工港簧藩二稹）百而实薮Q",c满忌a+/+c=0营滔_/?c=3,丽裙c的敲殖范甬为.

2.（2024•上海•模拟预测）对于一个函数〃元）和一个点"（〃力）,令$（%）=（%-4）2+（〃力-牙,若

P（Xo，"X。））是S（X）取到最小值的点，则称尸是“在"X）的"最近点”.

⑴对于〃x）=:（x>0），求证：对于点M（0,0）,存在点尸，使得点尸是〃在“X）的"最近点”；

⑵对于/（力=匕/（1,0）,请判断是否存在一个点尸，它是"在〃x）的“最近点"，且直线MP与>=/（尤）在

点P处的切线垂直；

⑶已知y=/（%）在定义域R上存在导函数（（无），且函数g（x）在定义域R上恒正,设点-g（/））,

++若对任意的teR,存在点P同时是M，也在的“最近点"，试判断〃x）的单调

性.

3.（2023・上海宝山•二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体.如：方程丫=履+1中，当上取给定

的实数时，表示一条直线；当左在实数范围内变化时，表示过点（0,1）的直线族（不含，轴）.记直线族

2（a-2）x+4y-4a+a2=0（其中owR）为¥,直线族y=3/x-2/（其中/>（））为。.

⑴分别判断点4（0,1），*1,2）是否在中的某条直线上，并说明理由；

⑵对于给定的正实数/，点P（%,%）不在O的任意一条直线上，求为的取值范围（用无。表示）；

⑶直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上

每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.求O的包络和甲的包络.

题型11基本不等式与圆锥曲线的综合应用

1.（2024・上海・三模）将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系已知椭圆月:二+丁=1的左、右顶点分

2

别为A3,上顶点为。.

⑴若椭圆产:三+d=l与椭圆£在"一簇椭圆系"中，求常数s的值；

s2

⑵设椭圆G:5+V=40<%<1），过A作斜率为々的直线<与椭圆G有且只有一个公共点，过D作斜率为

心的直线4与椭圆G有且只有一个公共点，求当2为何值时，住|+但|取得最小值，并求其最小值；

22

⑶若椭圆H：5+q=l«>2）与椭圆E在"一簇椭圆系"中，椭圆H上的任意一点记为C5,%）,试判断

VABC的垂心”是否都在椭圆E上，并说明理由.

2.（2023・上海普陀•一模）设双曲线「：^-/=1（/>0）,点月是「的左焦点，点。为坐标原点.

⑴若r的离心率为叵，求双曲线「的焦距；

3

⑵过点^且一个法向量为3=&-1）的直线与「的一条渐近线相交于点〃，若必=g，求双曲线r的方

程；

（3）若$=&,直线/：kx-y+m=O（左>0,〃zeR）与「交于P,。两点，|丽+而|=4,求直线/的斜率上

的取值范围.

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、单选题

1.（2023・上海闵行•一模）下列不等式中，解集为｛x|-l<x<l｝的是（）

A.x2-345l<0B.|x|-l<0

2.（2023・上海静安•一模）若实数盼满足/+4/_刈=3,则（）成立.

A.xy>lB.x2+4y2<4

C.x+2y>-y/2D.x+2y<V2.

3.（23-24高三上•上海松江・期末）关于曲线〃：£+，=1,有下述两个结论：①曲线M上的点到坐标原

点的距离最小值是号；②曲线M与坐标轴围成的图形的面积不大于;，则下列说法正确的是（）

2/

A.①、②都正确B.①正确②错误C.①错误②正确D.①、②都错误

4.（23-24高三上•上海普陀・期中）已知｛4｝是等比数列，公比为4,若存在无穷多个不同的"（"6电7亚1）满

足。“+2<。”4。用，则下列选项之中，不可能成立的为（）

A.q>0B.<?<0C.@<1D.|^|>1

二、填空题

5.（2024・上海•模拟预测）已知xeR,则不等式炉-2尤-3<0的解集为.

6.（2024・上海杨浦,一模）不等式xJ+<20的解集为________.

x-1

7.（23-24高三上•上海普陀•阶段练习）若一元二次不等式办2+4x+2>0的解集是7则实数a

的值为.

8.（2023・上海•模拟预测）已知正实数a、。满足a+46=l,则必的最大值为.

9.（2024高三下,上海•竞赛）若正实数满足必=2a+b,则a+功的最小值是.

10.（23-24高二上•上海・期末）半径为R的球的内接正三棱柱的侧面积（各侧面面积之和）的最大值为.

11.（23-24高二上•上海•期末）已知直三棱柱ABC-A耳G中，AA=4,AB±AC,过点4的平面a分别交

棱AB,AC于点£>,E,若直线他与平面a所成角为60。，则截面三角形4。石面积的最小值为.

12.（24-25高三上•上海•期中）抛物线丁=4x的焦点为尸，准线为是抛物线上的两个动点，且满足

\MN\

^AFB=­n.设线段AB的中点M在准线/上的投影为N,则灯的最大值是_____.

3\AB\

13.（2024・上海长宁•二模）用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为兀立方米，则至少需

要平方米铁皮

14.（2024•上海普陀•二模）若实数。，人满足则2"+:的最小值为.

15.（24-25高三上■上海•期中）设a,6e[0,l],记S="了+1]+（1-。）（1-,则它的最大值和最小值的差

为.

16.（24-25高三上•上海•期中）已知实数4、x?、%、满足片+弁=2,尤；+£=2,xlx2+yly2=0,记

w=N+y-20|+%+%-,则w的最大值是.

17.（2024・上海•一模）已实数机、”满足疗+“24],则|2加+〃一2|+|6-的取值范围是.

三、解答题

4

18.（2024・上海静安■一模）设函数/（x）=x+—,xe（-8,0）5（）,+<»）.

x

⑴求函数y=〃x）的单调区间；

⑵求不等式〃x）<2x的解集.

19.（24-25高三上•上海奉贤,期中）已知函数y=的表达式为/（x）=x（办-21nx）（aeR）.

⑴当。=1时，求y=〃尤）的单调增区间；

⑵若当x>l时，〃X)>1恒成立，求。的取值范围;

574047

⑶证明:---+----+•H-->---2---1--n---l--0--1---2---.---

2x33x42023x2024

20.(23-24高三上•上海静安•期末)如果函数y=/(x)满足以下两个条件，我们就称>=/(尤)为乙型函数.

①对任意的xe(O,l),总有〃尤)>0；

②当玉>。,々>0,%+/<1时，总有了(玉+马)</(占)+/(%)成立.

(1)记g(尤)=/+g,求证：y=g(x)为L型函数；

(2)设6eR,记p(x)=ln(尤+力，若y=p(x)是L型函数，求6的取值范围；

⑶是否存在L型函数>=r(x)满足：对于任意的相«。,4),都存在x°e(O,l),使得等式=成立？请

说明理由.

21.(23-24高三上•上海•期中)已知椭圆/:=+9=1(常数。22),点A(a,1),8(-a,1)。为坐标原点.

a

⑴求椭圆离心率的取值范围；

⑵若尸是椭圆7上任意一点，OP=mOA+nOB，求m+”的取值范围；

⑶设"(占,y),女)是椭圆/上的两个动点，满足心”,koN=k(M-koB,试探究△沏的面积是否为定值,

说明理由.

热点02基本不等式及其应用

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

不等关系与不等式、分式不等式，绝对值不等式的解分式不等式，基本不等式及其应用

法、一元二次不等式及其应用、基本不等式及其应用

热点题型解读

壁1不等式的性质

题型7基本不等式与嘉措I寸函数的综合应用

^^2分式不等式

壁8向前钻应用

_______________________________________________醒3绝对值不等式

遵9基本格式与三角函数和解三角形的综合应用呷营警

及其应用

逊4一元二^不攀C

[堂10基本不等式与导数的综合应用

壁5对数格式

题型11基本不敏与圆锥曲哪综合应用

壁6基本格式及其应用

题型1不等式的性质

1.比较大小的常用方法

⑴作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.

(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.

(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.

2.判断不等式的常用方法

(1)利用不等式的性质逐个验证.

(2)利用特殊值法排除错误选项.

(3)作差法.

（4）构造函数，利用函数的单调性.

苏;上海厂工二二277工：:：不罚年薪植康茯西富

A.a+tr>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab1>ac1D.a2b>a2c

【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.

【解答】解：对于A,若|"<|c|,则选项不成立，故A错误；

对于3,a2=a2,b>c>

22

由不等式的可加性可知，a+b>a+c,故3正确.

对于C、D,若a=0,则选项不成立，故C、。错误.

故选：B.

【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题.

2.（2024・上海杨浦•二模）已知实数。，b,c,d满足：a>b>0>c>d,则下列不等式一定正确的是（）

A.a+d>b+cB.ad>beC.a+c>b+dD.ac>bd

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小

【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C.

【详解】对于ABD,取a=2,Z?=l,c=-2,"=-4,满足a>b>0>c>d,

、显a+d=—2<—l=b+c,ctd=—8<—2=be,cic=-4=bd,ABD；

对于C,a>b>O>c>d,则o+c>6+d,C正确.

故选：C

3.（2024・上海闵行•三模）设。，b,c是不全相等的实数，随机变量J取值为。，b,c的概率都是:，随

仃/士“〃+2023。b+2023cc+2023a1皿/、

机变量〃取值为，,的概率也都是a,则（）

A.E团<石团,D[^]<D[TJ]B.E©=E[〃],。团团

C.矶目<矶可，D[^]=D[,7]D.E©=E[〃],。团=。[川

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】作差法比较代数式的大小、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差

【分析】首先求出E团，设"，a+6+c）,从而得到。团，E团、。㈤，再利用作差法判断。©与。㈤

的大小关系，即可得解.

【详解】因为随机变量4取值为。，b,。的概率都是g,

回=g(a+/?+c),设％=；(Q+Z?+C),

则0团=；[„仅一户（

a2+b2+c2-6t+3t22

a+2023Z?b+2023cc+2023〃的概率都是:,

随机变量〃取值为

202420242024

尸「i1(a+2023Z?b+2023cc+2023〃

团E团=§H---------------H-------=----§---(-〃+/?+c),

202420242024

222

a+2023人Z?+2023cc+2023。

2024/+20241+20241

222

1a+2023Z?0+2023。c+2023。

++一6f+3/

3202420242024

由a,b,c是不全相等的实数,

222

a+2023Z?8+2023。c+2023。

++

202420242024

222

,2023b-J2023cj2023c-j2023。

++>0,

202420242024

Q+2023八2Z?+2023CY।c+2023a

+靖2024J2024J+l2024,回。团>。[切;

综上，E[^=E[TJ],D[^]>D[TJ].

故选：B.

4.（2024・上海静安•二模）在下列关于实数a、6的四个不等式中，恒成立的是.（请填入全部正确的

序号）

①a+b228^;②2JNab;（3）\a\—\b^a—b\-（4）a1+b2>2b—]■

【答案】②③④

【难度】0.65

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小、由基本不等式证明不等关系

【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证1。1-屹区I。-切即证2问网22他可判断③.

【详解】对于①，取a=T6=l,故①错误；

对于②，（一/4"一片+"：2abn0,故②正确；

对于③，当时习可，要证1口-1。区1。->，即证（同-|琳加〃-那2,

即卜『+|邸-2\a\\b\<a2+b2-2ab,即证2时同\2必，

而2时同22"恒成立，

当时<同时，问一|小0,,一中0,所以|0|一|6凶。一6|,故③正确.

对于④,"+/一2b+l=Y+0—1)2/0,所以储+从22。-1,故④正确.

故答案为：②③④.

题型2分式不等式

iuTi

I

\分式不等式的解法：

;基本思路：应用同号相乘(除)得正，异号同号相乘(除)得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程:

中，变形的等价性尤为重要。

:基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如上也的形式；

g(x)

③同解变形：皿〉00/。)■。)〉0；^<0<^/(x)-g(x)<0；

g(x)g(x)

f(x)jf(x)-g(x)>0f(x)jf(x)-g(x)<0

1--------2Us；-----SU<C=^><；

jg(x)[g(X)H。g(x)[g(X)H。

2r-1

L(2024・上海闵行•一模)不等式一7<0的解集为____.

x-1

【答案】目

【难度】0.94

【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式

【分析】将分式不等式等价转化为一元二次不等式，解得即可.

_11

【详解】不等式J<0等价于(x—l)(2x—l)<0,解得:<X<1,

x-12

所以不等式生?<0的解集为

x-1

故答案为：

2.（2023•上海普陀・曹杨二中校考模拟预测）不等式上20的解集是______

x-1

【答案】（i,y）U｛。｝

【分析】把分式不等式转化为从而可解不等式.

[x—lwO

【详解】因为上20,所以卜（二1）：。，解得尤>1或X=O，

x-11x-1/O

_o

所以不等r式的解集是（L心）U｛。｝.

故答案为：（I，HU｛O｝

题型3绝对值不等式

常见绝对值不等式的解法与结论：

①几个基本不等式的解集

2212

(1)\x\<a(a>0)<^c<a^a<x<a；(2)\x\>a(a>O)<^c>a^c>a,^lx<-a\

(3)\x-m\<a(a>O)<^a<x-m<a^m-a<x<a+m；(4)\x-m\>a(a>0)<=^c-m>af^lx-m<-a<^c>m+a,^x<m-a.

②几种主要的基本类型

⑴IAx)|>|g(x)|4(x)>g2(x)(平方法)；(2)|Xx)|>g(x)(g(x)>0)5x)>g(x),或<x)<-g(x);

(3)次x)|<g(x)(g(x)>0)og(x)勺")<g(x);

(4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解.

1.（2023•上海）不等式|x-2|<l的解集为.

【分析】原不等式可化为-1<彳-2<1,从而求出x的范围.

【解答】解：由|彳-2|<1可得，-I<x-2<1,

解得l<x<3,

即不等式的解集为（1,3）.

故答案为：（1,3）.

【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，属于基础题.

2.（2023•上海）不等式|x-l|,,2的解集为：.（结果用集合或区间表示）

【分析】运用|x|豹ho-aA?a,不等式2即为-2用於一12,解出即可.

【解答】解：不等式|》-1|,,2即为-2领k—12,

即为-®!k3,

则解集为[-1，3],

故答案为：[-1,3].

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查运算能力，属于基础题.

3.(2024・上海静安•一模)不等式|2xT|<3的解集为.

【答案】(T，2)

【难度】0.85

【知识点】解不含参数的一元二次不等式、平方法解绝对值不等式

【分析】将不等式转化成一元二次不等式求解即可.

【详解】由不等式|2%一1|<3,得(2X一1)2—9<0,即(2x+2)(2x-4)<0,解得一1(尤<2,

所以原不等式的解集为(-1,2).

故答案为：(T,2)

4.(2024•上海•三模)已知集合4={无版,8=[:<1，，贝.

【答案】(L2)

【难度】0.85

【知识点】几何意义解绝对值不等式、分式不等式、交集的概念及运算

【分析】首先解绝对值不等式与分式不等式求出集合A、B,再根据交集的定义计算可得.

【详解】由即一1<无一1<1,解得0<x<2,

所以A={X|x_l|<l}={x[0<x<2},

由一<1,即一<。，等价于(l-x)x<0,解得x>l或x<0,

XX

所以3=卜^<1，=(-8,0)。(1,+8),

所以Ac5=(l,2).

故答案为:(1,2)

5.(2022・上海•模拟预测)已知函数/(x),甲变化：乙变化：|/(x+r)-/(x)|,t>0.

⑴若"1,4x)=2',/(x)经甲变化得到g(x),求方程g(x)=2的解；

(2)若/(刈=/，/(无)经乙变化得到〃(无)，求不等式/z(x)V/(x)的解集；

⑶若/(元)在(-8,。)上单调递增，将/(无)先进行甲变化得到M(X),再将〃(元)进行乙变化得到"(无)；将/(元)

先进行乙变化得到v(x),再将v(x)进行甲变化得到4(x),若对任意/>0,总存在4。)=饱。)成立，求证:

于⑺在R上单调递增.

【答案】(l)x=2；

(2)(-8,(1-应)〃UK1+点)，，+8)；

⑶证明见解析.

【难度】0.4

【知识点】解含参数的绝对值不等式、解含有参数的一元二次不等式、简单的指数方程、定义法判断或证

明函数的单调性

【分析】(1)由题设可得g(x)=2i=2,求解即可.

(2)由题设有“2无+/区/，讨论尤<-；、尤2-；分别求解即可.

(3)将题设化为对于任意f>0存在I"(x+f)-/(%)]-[/(x)-/(x-r)]|=|f(x+Z)-/(x)\-\f(x)-f(x-t)\,

即可证结论.

【详解】(1)由题设，甲变化为/(X)-AxT),则g(x)=2'-2i=2，T,

回g(无)=21=2,解得尤=2.

(2)由题设,/?(x)=|(x+/)"—X-1=Z12x+t\,又九(x)V/(x),

0/|2x+r|<x2,

当2x+f<0,即x<-：时，则V+2tr+〃=(x+厅20,恒成立;

当2x+fN0,即时，贝1]/-2及+〃=。一。222/，解得：尤4(1一血"或尤NQ+&)九

综上，不等式解集为(-8,(1-0)HUO+血),,+8).

(3)由题设，u{x)=pllj\{x}^u{x+t)-u(x)|=|f(x+t)-2f(x)+f(x-t)\,

V(x)=|/(X+f)—f(x)I,则色(x)=v(x)-v(x-t)=\f(x+t)~f(x)I-|/(x)-/(x-f)|,

回当似无)=饱。)成立，/(无)在(-8,0)上单调递增,

0|[/(x+O-/(%)]-[f(x)-f(x-r)]Mf{x+0-/(x)I-1/(x)-/(x-oI,

/(x+t)-f(x)>f(x)-/(x-o

国对于任意t>0总存在成立,

f{x+t)>f{x}>f{x-t)

回/(X)在R上单调递增，得证.

【点睛】关键点点睛：第三问，利用绝对值的几何意义及区间单调性，结合任意/>0存在％(x)=4(x),判

断函数在实数域上单调性.

题型4一元二次不等式

i一元二次不等式在求解时应当注意事项

I

(1)化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0,使二次项系数为正；

(2)①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式;

i

(3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；

I

(4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；

(5)写解集：根据图象写出不等式的解集。

i

W72024•上海徐汇一模)不等式f-4x+3<0的艇囊…

【答案】。，3)

【难度】0.94

【知识点】解不含参数的一元二次不等式

【分析】通过因式分解利用一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】不等式炉-4彳+3<0化为(窜-1)(7<0,解得1<彳<3,

.•.不等式/一4彳+3<0的解集为。,3).

故答案为：(1,3).

2.(2024•上海奉贤•一模)已知xeR,则不等式d一工+2>0的解集为.

【答案】R

【难度】0.94

【知识点】解不含参数的一元二次不等式

【分析】利用二次函数的判别式的符号，判断不等式恒成立.

【详解】因为△=1-8=-7<0,所以不等式x+2>0的解集为R.

故答案为：R

3.(2024•上海崇明•二模)不等式x(x-l)<0的解为.

【答案】(0,1)

【难度】0.94

【知识点】解不含参数的一元二次不等式

【分析】利用一元二次不等式的求解方法可得答案.

【详解】因为x(x-D<0,所以0cx<1.

故答案为：(0,1)

题型5对数不等式

工“756五王褥王苏三禳V巨施厂反『屋"厂

A.a2>b2B.2a<2b

c.11D[0g,〃>]og7

22

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】比较对数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小、比较指数累的大小

【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，及函数单调性，即可求解.

【详解】a>b>0,

MUa2>b2,故A正确；

2">2J故B错误；

层>,故C错误;

log.^log,^故口错误.

22

故选：A.

2.（2024・上海嘉定•一模）函数y=log2（--l）的定义域为.

【答案】（f,T）U（l,—）

【难度】0.94

【知识点】求对数型复合函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式

【分析】利用对数函数的定义，列出不等式求解即得.

【详解】函数y=log2（--1）有意义,则无2一1>0,解得X<_1或X>1,

所以函数y=log。（尤?-1）的定义域为（-a）,-i）U（1,+°°）.

故答案为：（e,-i）U（L"）

题型6基本不等式及其应用

1.几个重要的不等式的变形

①片+片》2。匕（a、6ER）.；②?+022（a、6同号）；③［竺工矿）%、6CR）.

abI2J2

已知x>0,y>0,则

2.平均值不等式与最值

（1）若x+p=s（和为定值），则当x=y时，积盯取得最大值彳；

（2）若盯=夕（积为定值），则当x=p时，和x+p取得最小值2g；

即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值;

两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。

1.（2024・上海静安•一模）若用/替换命题“对于任意实数d，有屋20,且等号当且仅当&=0时成立"中的d,

即可推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数

相等时成立”.则/=.

【答案】Q加（答案不唯一，可以为扬-〃■或其它字母表示的表达式）

【难度】0.85

【知识点】基本不等式的内容及辨析

【分析】根据给定的信息，取正数。力，作差变形推导即可得解.

【详解】取正数。贝1]a+b-2«^=（6-扬y20,当且仅当a=人时取等号，

因止匕〃