2025年上海市高三数学二轮复习：导数（7题型+高分技法+限时提升练）

热点13导数

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2024年基本不等式、极值、最值、导数的应用

2023年导数的综合应用导数的综合应用

2022年极限及其运算

热点题型解读

题型1导数的概念与几何意义

/力耀2曼的■算

题型3利用导数研究函数的单调性

导数题型4利用导数研究函数的最值

题型5利用导数研究函数的极值

题型6利用导数研究函数的恒成立、能成立

题型7利用导数研究函数的零点

题型1导数的概念与几何意义

00日

i.导数的概念

（1）函数y=*龙）在X=xo处的导数记作，（X0）或y1=%.

於o+Ax）~/（X0）

（祝）=栖）a=蛔Ax

L

（2）函数y=/（x）的导函数（简称导数）

f（3=1B―AT^-

2.导数的几何意义

函数>=/）在x=xo处的导数的几何意义就是曲线y=段）在点尸（xo,人配））处的切线的斜室，相应的切线方i

I程为,"一/Txo）==（xo）（x—xo）.

II

3.在点处的切线与过点的切线的区别

（1）在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.

；（2）过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.

II

1.（2023・上海青浦•一模）若函数y=/（x）在x=x0处的导数等于。，则|加/国+［&一©）的值为

Ax

（）.

A.0B.。C.2aD.3。

,,、』、_,一声、ln（A+4）-21n2

2.（2023・上海闵行•二模）lim—----------------=______________.

川h

3.（2024•上海静安•二模）已知物体的位移d（单位：m）与时间，（单位：s）满足函数关系d=2sinf,则

在时间段fe（2,6）内，物体的瞬时速度为hn/s的时刻/=（单位：s）.

4.（2024•上海•模拟预测）某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深8cm,上口宽6cm,若以3cm3/s的

匀速往杯中注水，当时间为3s时，酒杯中水升高的瞬时变化率是cm/s

5.（2024・上海静安•一模）已知物体的位移d（单位：m）与时间”单位：s）满足函数关系［=5siW-2cosf,

则该物体在，=时刻的瞬时速度为（m/s）.

6.（2024•上海三模）设曲线/（"=改+6和曲线g（x）=cos，+c在它们的公共点P（0,2）处有相同的切线,

则加+c的值为.

7.（2024•上海虹口•一模）2024年10月30日"神舟十九号"载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入

新阶段.在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次.已知"神舟十九

号”飞船船体实际长度为X,且在照片上飞船船体长度为肌比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照

物飞船上升了".假设该记者连按拍照键间的反应时间为3并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时

速度，则拍照时飞船的瞬时速度为.（用含有〃、h、m、/的式子表示）

8.（2022•上海）已知函数y=〃x）为定义域为夫的奇函数，其图像关于x=l对称，且当xe（0,1］时，

=,若将方程/（%）=%+1的正实数根从小到大依次记为国,马，'3，%〃，则Hm（x〃+i-％）=.

n—>co

9.（2024・上海崇明•一模）定义：若曲线G和曲线C?有公共点尸，且曲线G在点尸处的切线与曲线G在点

尸处的切线重合，则称G与。2在点P处"一线切”.

(1)已知圆。-〃)，必=/&>0)与曲线y=x2在点(1,1)处"一线切"，求实数。的值;

(2)设/(x)=，+2x+a,g(x)=ln(x+l),若曲线了=/(x)与曲线y=g(x)在点尸处"一线切"，求实数。的值;

⑶定义在R上的函数>=/(x)的图象为连续曲线，函数>=/(x)的导函数为y=/'(x),对任意的xeR,都

|//(x)|>|/(x)|

成立.是否存在点尸使得曲线>=〃尤)sinx和曲线了=1在点尸处"一线切"？若存在,请求

|/W|<V2

出点。的坐标，若不存在，请说明理由.

题型2导数的计算

-

1.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

Hx)=C(C为常数)f«=0

f(x)=xa(a^R,且aWO)f(x}=axa~l

fix)=sinxf'(x)=COSX

於)=cosXf(x)=~sinx

y(x)=QX(Q>0,且QWI)f(x)=ax\na

/W=ex/。)=更

fix)=logaX(6Z>0,且QW1)f'(x)

xlna

rd

/(x)=lnx

X

2.导数的运算法则

若/(x)，g'(x)存在，则有

师)士gaxr=f(%)土g'(》)；

[/(x)g(x)]'=f(X)g(x)+/?X)g'(%)；

।।

■黑.J(x)g(；)：%)g，(x)(g(x)#O)；J

[g(x)]-

[如)]'=cf'(x).

I_______________________________________________________________________________J

1.(2025・上海•模拟预测)设定义域为R的函数y=〃x),函数y=〃x)的导函数是歹=/(尤).对于

£>=(-1,1),函数y=/'(x)在。上存在极值点.记

，

S={/(x)|VxeJD,/(l)(x-l)+/(l)</(x)<r(-l)(x+l)+/(-l)}.贝!JS中的函数y=/(x)一定不具有的

性质是()

A.41)=〃。)

B.「⑴=「(」)

c.函数y=/(x)在。上为严格增函数

D.函数了=/(x)(xe£>)是偶函数

2.(2024・上海•模拟预测)现定义如下:当尤e(〃,〃+l)时(〃eN),若〃尤+1)=/(x),则称/(x)为延展函数.

已知当xe(O,l)时，g(x)=e，且"x)=/，且g(x),〃(x)均为延展函数,则以下结论()

(1)存在了=履+。(左beR,左620)与y=g(x)有无穷个交点

(2)存在丁=履+“左。©R大。R0)与y=〃(x)有无穷个交点

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立.

3.(2024・上海嘉定•二模)已知曲线>=上有一点尸(2,0,则过尸点的切线的斜率为.

4.(2024・上海金山•二模)设〃x)=x3+ax2+x(aeR),若:=/(x)为奇函数,则曲线9=/。)在点(0,0)处

的切线方程为.

5.(2024•上海闵行•二模)函数>=4-x在x=l处的切线方程为.

X

6.(2024•上海•模拟预测)设〃为大于2的自然数，将二项式(l+x)"=£(C%«)两边同时求导，可以得到一

k=0

些特别的组合恒等式“(1+尤广=£(比上1),结合课本中杨辉三角研究方法，可以得到£俨《)=.

k=\k=\

7.(2024•上海奉贤•三模)已知〃x)=/-cosx,若非零整数凡。使得等式(/("+6))'=(/(s+d»恒成立,

则2+与得所有可能得取值为.

ca

8.(2024・上海•一模)(1)在用“五点法"作出函数＞=1-sinx,xe[0,2可的大致图象的过程中，第一步需要将

五个关键点列表，请完成下表：

X0

-sinx0

1一sin%1

(2)设实数a＞0且awl,求证：(ax)=ax\na；(可以使用公式：(e*)=e")

(3)证明：等式/+依2+加+。=(工一再)(彳-工2)卜-尤3)对任意实数了恒成立的充要条件是

%+/+%3=~a

x1x2+x2x3+工3再=b

XxX2X3=-c

9.(2024•上海奉贤•三模)若定义在R上的函数＞=/(x)和y=g(x)分别存在导函数广④和g，(x).且对任意

X均有了'(X)2g'(x),则称函数y=是函数y=g(x)的"导控函数我们将满足方程/'(x)=g'(x)的X。称为

"导控点”.

⑴试问函数N=x是否为函数y=sinx的“导控函数”？

211

(2)若函数y=§工3+8x+l是函数y=]工3+6尤?+cx的“导控函数"，且函数y=1x3+&r2+cx是函数y=4x2的

"导控函数"，求出所有的“导控点"；

⑶若0(x)=e*+左尸，函数V=q(x)为偶函数，函数V=0(x)是函数y=q(x)的"导控函数"，求证："左=1"的

充要条件是“存在常数。使得O(x)-q(x)=c恒成立".

题型3利用导数研究函数的单调性

-4

1.函数的单调性与导数的关系

条件恒有结论

f«>0/（x）在区间（a,6）上单调递增

函数v=/（x）在区间

f«<o於）在区间（a,6）上单调递减

（Q,6）上可导

/(x)=0段）在区间（a,6）上是常数函数

2.利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数人x）的定义域；

第2步，求出导数，（x）的零点;

第3步，用，（x）的零点将以）的定义域划分为若干个区间，列表给出，（x）在各区间上的正负，由此得出

函数>=Ax）在定义域内的单调性.

1.（2024・上海虹口・二模）已知定义在R上的函数的导数满足/Uvg'（x）,给出两个命题：

①对任意eR,都有（*2）忖/（石）-g&）|；②若g（x）的值域为［加，闵J（T）=加，〃1）=四,

则对任意xeR都有/（耳=g（x）.

则下列判断正确的是（）

A.①②都是假命题B.①②都是真命题

C.①是假命题，②是真命题D.①是真命题，②是假命题

TT

2.（2024・上海奉贤•二模）如图，在等腰梯形/8C。中，AD//BC,AD=\,BC=m（m>D,N4BC=§点E

是线段42上的一点，点尸在线段DC上，器DF=:.

命题①：若AE=^EB,则而.通随着/的增大而减少.

命题②：设坐=x,若存在线段EF把梯形ABCD的面积分成上下相等的两个部分，那么x>曰"=/（》）

一AB2m

随着X的增大而减少.

A.命题①不正确，命题②正确B.命题①，命题②都不正确

C.命题①正确，命题②不正确D.命题①，命题②都正确

3.(2024•上海浦东新•三模)已知g(无为偶函数，若=则”.

4.(2024・上海•三模)若函数f(x)=Tx3+3x在(a,a+2)上存在最小值，则实数0的取值范围是.

4

5.(2024•上海静安•一模)设函数=尤+-,尤e.

⑴求函数＞=/(无)的单调区间；

(2)求不等式f(x)＜2x的解集.

6.(2024・上海•三模)设函数7=/(x)定义域为Z.若整数SJ满足/(s)/«)40,则称s与/"相关"于九

⑴设/'(xH尤+1|-2,xeZ,写出所有与2"相关”于/的整数；

(2)设＞=/(x)满足：任取不同的整数sJe[U0],s与/均“相关”于九求证：存在整数〃ze[l,8],使得

m,m+l,m+2都与2024"相关"于九

(3)是否存在实数使得函数/(x)=(l+⑪)e*+(a+l)x-l,xeZ满足:存在x()eZ,能使所有与x0"相关"

于/的非零整数组成一个非空有限集？若这样的。存在，指出/(尤。)和。的大小关系(无需证明)，并求出。

的取值范围；若这样的。不存在，说明理由.

7.(2024・上海普陀•二模)对于函数y=〃x),xe。[和〉=g(x),XED2,设2口2=。，若x2&D,

且X产乙,皆有|/（网）-/（々）|4巾（网）-8（x2）卜＞0）成立，则称函数y=/（x）与y=g（x）"具有性质H。）".

⑴判断函数〃》）=/,小口,2］与8（乃=2工是否“具有性质以2）”,并说明理由;

（2）若函数/（尤）=2+f,X€（0,1］与81）」“具有性质劭）”，求t的取值范围；

X

⑶若函数/（好=3+21!1.3与夕=g（x）"具有性质〃⑴"，且函数y=g（x）在区间（0,m）上存在两个零点为，

X

x2,求证X；+x；＞2.

8.（2024・上海奉贤•一模）若函数y=/（x）的图象上存在上个不同点6、鸟、L、々（左N2,左eN）处的切线

重合，则称该切线为函数＞=/（x）的一条无点切线，该函数具有左点切线性质.

⑴判断函数＞=，-2国，xeR的奇偶性并写出它的一条2点切线方程（无需理由）；

⑵设/（x）=e'-lnx,判断函数y=/（x）是否具有左点切线性质，并说明理由；

闭设8（工）=3牍+2工，证明：对任意的加23,机eN,函数y=g（x）具有加点切线性质，并求出所有相应

的切线方程.

9.(2024•上海虹口，一模)设aeR,Fa(x)=〃尤)-e@-l,a)U+1).若函数V=/⑺满足£⑺>0

X—U

恒成立，则称函数y=/(x)具有性质P(a).

⑴判断y=situ是否具有性质尸(0),并说明理由；

(2)设〃x)=eJx,若函数y=〃x)具有性质产⑷，求实数。的取值范围；

⑶设函数y=〃x)的定义域为R,且对任意aeR以及都有月(a-l)<£(a+l).若当x<0时,

恒有〃无)<0.求证：函数y=/(x)对任意实数a均具有性质P(a).

10.(2024・上海)对于一个函数/(外和一个点祖(〃,6),定义5(；0=0-0)2+(/^)-。)2,若存在玖毛,/(%)),

使s(x0)是s(x)的最小值，则称点P是函数〃x)到点M的“最近点”.

(1)对于〃x)=L(x>0),求证：对于点M(0,0),存在点尸，使得点尸是/(x)到点M的“最近点”；

(2)对于〃x)=e"请判断是否存在一个点尸,它是/(x)到点M的“最近点”，且直线与f{x}

在点P处的切线垂直；

(3)已知/(x)存在导函数f'{x},函数g(x)恒大于零,对于点M(f-1,，点峪(f+1,>(f)+g(。),

若对任意feA,存在点尸同时是〃x)到点根与点AG的“最近点”，试判断的单调性.

题型4利用导数研究函数的最值

:—4

1.函数次x）在区间［a,句上有最值的条件：

；如果在区间［a,6］上函数y=/（x）的图象是一条连续丕断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

2.求函数y=/（x）在区间⑷切上的最大（小）值的步骤：

!①求函数y=/（x）在区间（a,6）内的极值;

；②将函数的各极值与端点处的函数值也），血）比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小

值.

3.求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，

从而得到函数外）的最值.

I_______________________________________________________________________________J

1.（2024・上海静安二模）已知实数ae（0,6）,记/⑶=.若函数＞=在区间［0,2］上的最小值

为-2,贝U。的值为.

2.（2024•上海黄浦•二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段CE,D尸与分别以

OC,O。为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段48上的动点，点。为线段/民CD的中

点，点瓦厂在以为直径的半圆弧上，且NOCE,/OZ）下均为直角.若/8=1百米，则此步道的最大长度为

百米.

3.（2024•上海,三模）中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形.如图，将一根截面为

圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x,与承载重力的方向平行的高度

为y,记矩形截面抵抗矩用=：孙L根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y

O

的最佳之比应为.

4.（2024・上海•模拟预测）如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边/处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，

且位于离河岸40km的3处，河岸边。处与/处相距50km（其中两家工厂要在此岸边建一个

供水站C,从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，间供水站C建在岸边距离/

处.km才能使水管费用最省？

B

5.(2024・上海嘉定•二模)已知常数用eR,设/(x)=lnx+g,

⑴若加=1,求函数＞=/(x)的最小值；

(2)是否存在0＜再＜马＜毛，且a，x2,X3依次成等比数列，使得/'(王)、/■(%)、/。3)依次成等差数歹皿

请说明理由.

⑶求证："加40"是"对任意A%e(O,+s),占＜%，都有了(")＞"飞卜""2)”的充要条件.

2xx-x2

6.(2024・上海•三模)设函数了=/(无)的定义域为D,对于区间/=［应如/=。)，当且仅当函数了=/(无)满

足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间/是了=/(x)的一个"美好区间

性质①：对于任意％",都有/(不)€/；性质②：对于任意x°e/,都有〃X。)任/.

⑴已知/(X)=T+2X,xeR.分别判断区间［0,2］和区间［1,3］是否为函数了=/(x)的“美好区间”，并说明

理由；

(2)已知"X)=；V--3x+12(xeR)且机＞0,若区间［0,词是函数了=/(无)的一个“美好区间"，求实数加的

取值范围；

⑶已知函数，=/(x)的定义域为R,其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意。＜6,都有

f(a)-f(b)＞b-a.求证：函数y=f(x)存在"美好区间"，且存在％eR,使得/不属于函数y=f(x)的

任意一个“美好区间

7.(2024・上海嘉定•一模)设A为非空集合，函数/'(x)的定义域为。.若存在使得对任意的xe。均有

/(x)-/(x0)e^,则称/(%)为函数/(X)的一个A值，％为相应的A值点.

⑴若“=[-2,0],〃力=52.证明：%=2析+；兀，丘Z是函数/(无)的一个A值点，并写出相应的A值；

(2)若/=[0,+8)，/@)=-》若3=尤2+工+1.分别判断函数/卜"@)是否存在人值？若存在，求出相应的A

值点；若不存在，说明理由；

⑶若*=(f,0],且函数/(无)=lnx+办2(aeR)存在A值，求函数/(x)的A值，并指出相应的A值点.

8.(2024・上海长宁•二模)设函数>=的定义域为D,若存在实数k，使得对于任意xeD,都有/(x)V4,

则称函数y=/(x)有上界，实数人的最小值为函数y=/(x)的上确界；记集合M={/(x)y=券在区间

(0,+司上是严格增函数};

2

(1)求函数V=——-(2<x<6)的上确界；

x-1

32

(2)^/(x)=x-Ax+2x\wceMx,求A的最大值；

⑶设函数y=〃x)一定义域为(0,+司；若/(尤"〃2,且>=/(x)有上界，求证：/(x)<0,且存在函数

>=/(无)，它的上确界为0;

9.(24-25高三上•上海•期中)若定义在R上的函数母=/(0和y=g(x)分别存在导函数月(x)和g").且

对任意实数x,都存在常数上,使任(x)z炫'(x)成立,则称函数y=/(x)是函数y=g(x)的“"控制函数",

称左为控制系数.

(1)求证：函数/(x)=2x是函数g(j)=sinx的"2-控制函数"；

(2)若函数/卜)=一一一4/72/-20x是函数g(x)=e，的"左一控制函数"，求控制系数左的取值范围；

⑶若P(x)=e*+加右，函数y=q(x)为偶函数,函数y=p(x)是函数y=q(x)的"1-控制函数",求证:"加=1"

的充要条件是"存在常数c，使得p(尤)-q(x)=c恒成立

10.(2023•上海)已知函数/(x)=--(a+l)/+x,g(x)=kx+m(其中a.0,k,m&R),若任意xe[0,

1]均有f(x),g(x),则称函数〉=g(x)是函数y=〃x)的“控制函数”，且对所有满足条件的函数〉=g(x)在

x处取得的最小值记为7(%).

(1)若a=2,g(x)=x,试判断函数y=g(x)是否为函数y=/(x)的“控制函数”，并说明理由；

(2)若°=0,曲线y=/(x)在》=’处的切线为直线y=〃(x),证明：函数y=/z(x)为函数y=/(x)的“控

制函数”，并求了,)的值;

(3)若曲线＞=/(%)在％=%,%£(0,1)处的切线过点(1,0),且C£[%0，1],证明：当且仅当C=%0或0=1

时，f(C)=f(c).

题型5利用导数研究函数的极值

i.函数的极小值

函数y=/(x)在点x=a处的函数值/(a)比它在点x=。附近其他点处的函数值都小，f(a)=0；而且在点x

=a附近的左侧(x)<0,右侧f(x)>0,则a叫做函数y=/(x)的极小值点，大a)叫做函数了=小)的极小值.

2.函数的极大值

函数>=兀0在点x=6处的函数值负6)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f(Z>)=0；而且在点x

=b附近的左侧/'(x)>0,右侧7I'(x)<0,则b叫做函数夕=加)的极大值点，叫做函数y=/(x)的极大值.

3.极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.

4.根据函数的极值(点)求参数的两个要领

(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.

(2)验证：求解后验证根的合理性.

________________________________________________________________________________________________」

1.(2024.上海.三模)已知函数.y=/(x)的定义域为(0,2),则下列条件中，能推出1一定不是N=/(x)的

极小值点的为()

A.存在无穷多个尤(0,2),满足〃/)〈/⑴

B.对任意有理数(0,1)"1,2),均有

C.函数y=/(x)在区间(0,1)上为严格减函数，在区间。,2)上为严格增函数

D.函数夕=/(x)在区间(0,1)上为严格增函数，在区间(1,2)上为严格减函数

2.(2024•上海青浦,二模)如图，已知直线歹=区+加与函数V=/(x),xe(O,+e)的图象相切于两点，则函数

>=/卜)一日有().

A.2个极大值点，1个极小值点B.3个极大值点，2个极小值点

C.2个极大值点，无极小值点D.3个极大值点，无极小值点

3.(2024・上海・三模)已知函数/(x)=在R上无极值，贝匹的取值范围是

4.(2024・上海徐汇•一模)设aeR,/(x)=x2+"+lnx,若函数>=/(无)存在两个不同的极值点，则。的取

值范围为.

2

5.(2024•上海•一模)已知/(》)=0山。+1)+彳r-》，函数N=/(x)的导函数为y=/'(x).

(1)当。=1时，求了=/(尤)在x=2处的切线方程；

(2)求函数了=/"(尤)的极值点；

(3)函数y=/(x)的图象上是否存在一个定点(加,")(加刀€(0,+00)),使得对于定义域内的任意实数%(修*机)，

都有/(%)=-M+〃成立？证明你的结论.

6.(2024•上海•三模)已知〃x)=e，-ax-l,aeR,e是自然对数的底数.

⑴当“=1时，求函数V=/(x)的极值；

(2)若关于x的方程/(X)+1=0有两个不等实根，求a的取值范围；

(3)当。＞0时,若满足/(W)=/'卜2)(再＜X2),求证：Xj+x2＜21na.

7.(2023・上海青浦•一模)设函数工(的=行+彘工(其中。是非零常数，e是自然对数的底)，记

Z,(x)=/L(x)("22,〃eN*).

⑴求对任意实数x,都有力(无)=力-(X)成立的最小整数〃的值(〃22,〃eN*)；

⑵设函数g“(x)=/；(x)+力(无)+…+/,(x),若对任意"23,neN*,V=g"(x)都存在极值点尤=乙，求证：

点4kg”(^„))(«23,"eN*)在一定直线上，并求出该直线方程；

⑶是否存在正整数后(左＞2)和实数X。，使%(%)=力-(%)=0且对于任意〃eN*,f“(x)至多有一个极值点,

若存在，求出所有满足条件的左和毛，若不存在，说明理由.

题型6利用导数研究函数的恒成立、能成立

I

1.分离参数法解决恒(能)成立问题的策略

(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

(2)a为(x)恒成立Qa27(x)max;

aq(x)恒成立Qa0(x)min;

a//(X)能成立Qa4/(x)min；

aW/(X)能成立QaWj(x)max.

2.“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价

变换有

对于某一区间/

(l)Vxi,X2^I,/[xi)>g(x2)<=^/(x)mm>g(x)max.

(2)VxiG/l,Bx2^h,y(xi)>g(X2)<=v(x)min>g(x)min.

<

(3)3X1G/1,Vx2d/2,i/(Xl)>g(X2)^/(X)max>g(X)max.

1.(2024.J箍普陀•二植已向aeR,若关宇x而太至1£今一2把-,-%>0加解集市有口板有一个负奖数，

则。的取值范围是.

2.(2024•上海普陀•一模)设0>6>0,函数了=/(x)的表达式为〃x)=x-g+lnx,若f(a)=f(b),且

关于x的方程尸+ax+2ab\+\x2-ax+2ab\=2小的整数解有且仅有4个，贝I]。的取值范围是.

3.(2024.上海虹口•二模)已知关于x的不等式(Inr-砌[,?一(左+3卜+4卜0对任意xe(O,+<»)均成立,则

实数k的取值范围为.

4.(2023•上海宝山・一模)已知函数-办-a,aeR.

⑴判断函数/(x)的奇偶性;

(2)若函数尸(x)=x・/(x)在x=l处有极值，且关于x的方程产(耳=加有3个不同的实根，求实数小的取值

范围；

⑶记g(x)=-e工(e是自然对数的底数).若对任意芯、起€[0同且不>马时，均有

|/(再)-/(%)|<|g(%)-g(%)|成立，求实数°的取值范围.

5.(2023・上海闵行・三模)已知函数/(x)=e*+eT+(2-b)x,g(x)=ax2+b,(a,beR).

(l)g(l)=/(O),g，(l)=/(O),求实数a,6的值；

(2)若。=1,6=2,且不等式/(x"彷，卜-工+2)-2对任意xeR恒成立，求上的取值范围；

⑶设6=2,试利用结论砂+/2/+2,证明：若40,L040胃)，其中〃Z2,〃eN*,则

/(sin^)-/(cos6>„)+/(sin6»2)-/(cos6>„_1)+---+/(sin^_1)./(cos6*2)+/(sinQ)•/(cos〃)>6〃.

6.(2024•上海杨浦・二模)函数＞=/")、y=g(x)的定义域均为R,若对任意两个不同的实数。，b,均

有〃a)+g(6)＞0或〃6)+g(a)＞0成立*则称＞=/⑺与〉=g(x)为相关函数对.

⑴判断函数f(x)=x+l与g(x)=-X+1是否为相关函数对，并说明理由；

(2)已知/(%)=eA与g(x)=-x+人为相关函数对，求实数k的取值范围；

⑶已知函数V=与y=g(x)为相关函数对，且存在正实数对任意实数xeR,均有求

证：存在实数加,"(加＜〃)，使得对任意xe(叽〃)，均有〃x)+g(x”-4

7.(2024•上海•模拟预测)已知函数/(x)=sinx,g(x)=H+贴*0).

⑴若直线V=g(x)是曲线y=/⑶在(71,0)处的切线，求g(X)的表达式；

(2)若任意x”XzeR且无产元2,有|g(/(xJ)-g(/(X2))区后2"(g(xJ)_〃g(x2))|恒成立,求符合要求的数对

(左力)组成的集合；

⑶当6=0时，方程〃g(x))=g(/(x))在区间［0,2兀)上恰有1个解，求左的取值范围.

8.(2024・上海徐汇•一模)已知定义域为。的函数y=f(x),其导函数为＞=/'(x),若点(%,%)在导函数

了=/(龙)图象上，且满足,(尤())/(%)20,则称/为函数了=/(尤)的一个"类数"，函数了=/(x)的所有

"T类数”构成的集合称为“T类集

⑴若/'(x)=sinx,分别判断l和,是否为函数＞=/(》)的"T类数"，并说明理由；

(2)设＞=/'(x)的图象在R上连续不断，集合"=k"'(无)=0}.记函数y=“X)的"类集"为集合S,若

SuR,求证：M蛊；

⑶已知〃x）=-Lcos（0x+0）（0>O）,若函数y=/（x）的"T类集”为R时"的取值构成集合A,求当9©/

CO

时。的最大值.

9.（2024・上海长宁•一模）双曲余弦函数coshx=厘土^,双曲正弦函数3由u=吐"

22

⑴求函数coshx=二的单调增区间；

2

（2）若函数>=cosh2x-asinhx在［0,+切）上的最小值是:，求实数a的值；

⑶对任意工©&8$1132（：0殳+侬？恒成立，求实数加的取值范围.

题型7利用导数研究函数的零点

---------------------------------------------------

1.利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数的单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的

个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.

2.含参数的函数的零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，则可将参数分离出来后，用x表示

参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数.

3.涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻

找函数在给定区间内的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围.

1.(2023・上海静安■二模)已知函数/(x)=；x2-(a+l)x+alnx.(其中。为常数)

⑴若。=-2,求曲线/=在点(2)(2))处的切线方程；

(2)当。＜0时，求函数＞=/(x)的最小值；

⑶当04。＜1时，试讨论函数＞=/(x)的零点个数，并说明理由.

2.(2023•上海浦东新•二模)设P是坐标平面xOy上的一点，曲线「是函数＞=/(无)的图象.若过点尸恰能

作曲线「的左条切线("eN),则称尸是函数＞=/(无)的"左度点".

⑴判断点0(0,0)与点4(2,0)是否为函数y=lnx的1度点，不需要说明理由；

(2)已知0＜〃?＜兀，g(x)=sinx.证明：点3(0,兀)是y=g(x)(O＜x(加)的0度点；

(3)求函数y=V-X的全体2度点构成的集合.

3.(2024•上海黄浦•二模)若函数＞=/(x)的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数

＞=/(无)的图象的"自公切线"，称这两点为函数y=/(x)的图象的一对"同切点”.

⑴分别判断函数工(x)=sinx与启x)=lnx的图象是否存在"自公切线”，并说明理由；

(2)若aeR,求证：函数g(x)=tanx-x+a(xe(《q))有唯一零点且该函数的图象不存在"自公切线"；

(3)设〃eN*」(x)=tanx-x+mi(xe(-H))的零点为七,,求证："存在se(2?t,+功，使得点(gsins)

与Csin。是函数y=sinx的图象的一对，同切点，”的充要条件是"，是数列｛%｝中的项

4.(2024•上海•模拟预测)对于函数了=/(无)的导函数了=/'(x),若在其定义域内存在实数X。和/，使得

/(%)=厅(%)成立，则称y=/(x)是“卓然”函数，并称f是〉=/(力的"卓然值”.

⑴试分别判断函数>=/+1，xeR和y=J,xe(O,+8)是不是"卓然"函数？并说明理由；

(2)若〃x)=sinx-"?是"卓然"函数，且"卓然值"为2,求实数优的取值范围；

⑶证明：g(x)=e*+x(xeR)是"卓然"函数，并求出该函数"卓然值"的取值范围.

限时提升练

(建议用时：60分钟)

一、填空题

1.(22-23高三下•上海黄浦•开学考试)已知函数/(刈=2/(3八-72+向，则/(1)=.

2.(2023•上海普陀・模拟预测)函数y=sin2x+2sinx的最大值为.

3.(2023•上海嘉定三模)设函数J=/(x),xeR的导函数是/'(x),/(-x)+/(x)=x2,当x>0时，［(x)>x,

那么关于。的不等式〃2-°）-/伍）22-2°的解是.

4.（2023・上海•模拟预测）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为仇斜坡终点

距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为（L025-cos。），要使游客从斜坡底走到斜坡顶

端所消耗的总体能最少，则。=.

5.（2023・上海青浦・一模）已知三个互不相同的实数。、b、c满足a+b+c=l,a2+b2+c2=3,贝U。加的取

值范围为.

6.（2023•上海普陀•一模）设函数/（力=温-2/,若对任意e（0,1）,皆有lim小上工色上巴士&>0成

5。X-Xg

立，则实数。的取值范围是.

7.（2023・上海嘉定•一模）对于函数/（无）=2前2工-Inx+lna,若对于任意的xe（0,+oo）,/（x）20恒成立，

求a的取值范围__________.

8.（2024•上海闵行•二模）对于任意的％、x2eR,且%>。，不等式卜”-可+|111马-切>。恒成立，则实数。的

取值范围为.

12

9.（2024•上海・三模）已知函数/（x）=d+2x,若机>0,«>0,且〃2加=〃0）,则—+—的最

mn

小值是______

（27r7IT、

10.（23-24高三上■上海•期中）若函数/（x）=sin尤+OCOSX在[3■,李■）上是严格单调函数，则实数a的取值

范围为.

11.（2023•上海徐汇・三模）设定义域为R的函数/（x）的导函数为/'（x）,对任意的xeR有

/（x）-/（-X）=2sinx恒成立，且/'3>COSX在（0,+8）上成立.若/]!■-/1-/（/）>cost-sin；,则实数/的取

值范围为.

12.（2025・上海•模拟预测）如图所示，尸是一处观景台，A、8分别为观景区域的边界，未教星工程队计划

修建MO与NO两条道路.已知尸与。的距离为1km,且N40P=2NBOP,为了便于工程队测量观景台的观

景效果，现给出如下假设：假设1：观景台的观景范围为四边形/心。；假设2：观景台尸、道路M9与NO

均处于同一平面内，其中0<NM9N<7t；假设3:PA1MO,尸3_LN0.当四边形4PBO的面积为最大值时，

则AMON=.（结果精确至0.01。）

二、单选题

13.（2024・上海•三模）正方形区域。由9块单位正方形区域拼成，记正中间的单位正方形区域为D对于O

边界上的一点尸，若点0在。中且线段尸0与。有公共点，则称。是尸的"盲点"，将尸的所有“盲点"组成

的区域。「称为P所对的"盲区对于。边界上的一点若在。边界上含M在内一共有七个点所对的“盲

区”面积与相同，就称M是皖级点"；若在。边界上有无数个点所对的“盲区”面积与。材相同，就称M

是一个“极点对于命题：①。边界正方形的顶点是"4级点”；②。边界上存在"极点说法正确的是（）

□r□

□E□

□L_□

A.①和②都是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题D.①和②都是假命题

14.（2024•上海•三模）在区间/上,/'（无）＞0是函数y=/（x）在该区间严格增的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

15.（2023・上海嘉定•一模）已知f（x）=sinx+hix,定义极值点数列：将该函数的极值点从小到大排列得到

的数列，对于任意的正整数〃，判断以下两个命题：（）

甲：此数列中每一项都在（2hi+〃兀,2左兀+〃兀+兀），左eZ中.

乙：令极值点数列为｛%｝,则-三一2/7兀-1|｝为递减数列.

A.甲正确，乙正确B.甲正