高考数学复习第二章函数导数及其应用第16讲导数与函数的综合问题理

函数、导数及其应用第二章第16讲导数与函数综合问题1/37考纲要求考情分析命题趋势1.利用导数研究函数单调性、极(最)值，并会处理与之相关方程(不等式)问题．2.会利用导数处理一些简单实际问题.，全国卷Ⅰ，12T，全国卷Ⅲ，21T，四川卷，21T考查导数在研究函数中应用，并应用导数方法探求一些与不等式、函数、数列相关综合问题，题目难度较大.分值：12～14分2/37板块一板块二板块三栏目导航板块四3/371．生活中优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，普通地，对于实际问题，若函数在给定定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．2．利用导数处理生活中优化问题基本思绪4/373．导数在研究方程(不等式)中应用研究函数单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程根个数、不等式证实、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数单调性、极值与最值问题，利用导数进行研究．4．导数在综合应用中转化与化归思想常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数最值问题；(2)把证实不等式问题转化为函数单调性问题；(3)把方程解问题转化为函数零点问题．5/371．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．(

)(2)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c图象与x轴最多有3个交点，最少有一个交点．(

)(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)最小值大于0，则f(x)＞g(x)．(

)(4)“存在x∈(a，b)，使f(x)≥a”含义是“任意x∈(a，b)，使f(x)≥a”．(

)×√√×6/37C7/373．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)－g(x)最大值为(

)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)解析：设F(x)＝f(x)－g(x)，F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，∴F(x)在[a，b]上是减函数．∴F(x)在[a，b]上最大值为F(a)＝f(a)－g(a)．A8/374．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不一样零点，则实数a取值范围是________．解析：因为函数f(x)是连续，故只需要两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，得x＝±1，只需f(－1)f(1)＜0，即(a＋2)(a－2)＜0，故a∈(－2,2)．(－2,2)9/37f(a)＜f(b)10/37利用导数处理生活中优化问题四个步骤(1)分析实际问题中各个量之间关系，列出实际问题数学模型，写出实际问题中变量之间函数关系式y＝f(x)．(2)求函数导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0点函数值大小，最大(小)者为最大(小)值．(4)回归实际问题回答处理方案．注意：处理这类问题要依据实际问题意义确定出函数定义域．一利用导数处理生活中优化问题11/37【例1】某村庄拟修建一个无盖圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积相关，侧面建造成本为100元/平方米，底面建造成本为160元/平方米，该蓄水池总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r函数V(r)，并求该函数定义域；(2)讨论函数V(r)单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池体积最大．12/3713/3714/37二利用导数研究函数零点或方程根研究方程根情况，能够经过导数研究函数单调性、最大值、最小值、改变趋势等，依据题目要求，画出函数图象走势规律，标明函数极(最)值位置，经过数形结合思想去分析问题，能够使问题求解有一个清楚、直观整体展现．15/37【例2】已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x一个极值点．(1)求a值；(2)求函数f(x)单调区间；(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)图象有3个交点，求b取值范围．16/3717/3718/37三利用导数证实不等式利用导数证实不等式解题策略(1)证实f(x)<g(x)，x∈(a，b)，能够结构函数F(x)＝f(x)－g(x)，假如F′(x)<0，那么F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)<0，即证实了f(x)<g(x)．(2)证实f(x)>g(x)，x∈(a，b)，能够结构函数F(x)＝f(x)－g(x)，假如F′(x)>0，那么F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)≥0，由增函数定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)>0，即证实了f(x)>g(x)．(3)在证实过程中，一个主要技巧就是找到函数F(x)＝f(x)－g(x)零点，这往往就是处理问题一个突破口．19/3720/3721/37四利用导数研究恒成立(或存在性)问题利用导数研究不等式恒成立问题方法(1)由不等式恒成立求解参数取值范围问题常采取方法是分离参数求最值，即要使a≥g(x)恒成立，只需a≥g(x)max，要使a≤g(x)恒成立，只需a≤g(x)min.另外，当参数不宜进行分离时，还可直接求最值建立关于参数不等式求解，比如，要使不等式f(x)≥0恒成立，可求得f(x)最小值h(a)，令h(a)≥0即可求出a取值范围．(2)参数范围必须依靠不等式才能求出，求解参数范围关键就是找到这么不等式．22/37【例4】(·西宁模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x，g(x)＝xex.(1)求f(x)－g(x)极值；(2)当x∈(－2,0)时，f(x)＋1≥ag(x)恒成立，求实数a取值范围．23/3724/3725/3726/3727/3728/3729/371．做一个无盖圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱底面半径为(

)A．3 B．4C．6 D．5A30/3731/372．(·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一零点x0，且x0＞0，则a取值范围是(

)A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)C32/373．已知函数y＝x3－3x＋c图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.解析：设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.－2或233/37