高三数学复习第一篇专题突破专题一集合常用逻辑用语平面向量不等式复数算法推理与证明刺第2讲平面向量与复

第2讲平面向量与复数1/35考情分析2/35总纲目录考点一

复数考点二平面向量线性运算考点三

平面向量数量积（高频考点）考点四平面向量创新交汇问题3/35考点一

复数1.复数除法复数除法普通是将分母实数化,即分子、分母同乘分母共轭复数,

再深入化简.2.复数运算中惯用结论(1)(1±i)2=±2i,

=i,

=-i.(2)-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R).(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*).(4)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).4/35经典例题(1)(课标全国Ⅰ,3,5分)以下各式运算结果为纯虚数是

()A.i(1+i)2

B.i2(1-i)C.(1+i)2

D.i(1+i)(2)(课标全国Ⅱ理,1,5分)

=

()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i(3)(课标全国Ⅲ,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)点位于

(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限5/35答案(1)C(2)D(3)C解析(1)A.i(1+i)2=i×2i=-2;B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i;C.(1+i)2=2i;D.i(1+i)=-1+i,故选C.(2)

=

=

=2-i.故选D.(3)z=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以复数z在复平面内对应点为(-1,-2),

位于第三象限.故选C.6/35方法归纳1.与复数相关概念和复数几何意义相关问题解题思绪:(1)变形

分离出实部和虚部,把复数非代数形式化为代数形式.(2)依据条件,列

方程(组)求解.2.与复数z模|z|和共轭复数相关问题解题策略:(1)设出复数z代

数形式z=a+bi(a,b∈R),代入条件.(2)依据已知条件处理.7/35跟踪集训1.(江西五市部分学校第三次联考)已知i为虚数单位,复数z满足z(2+

i)=

,则z=

()A.-1-3iB.-1+3iC.1+3iD.1-3i答案

D因为z(2+i)=

,所以z=

=1-3i.8/352.(山西八校第一次联考)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=

()A.

B.

C.

D.2答案

C∵(1+i)z=2i,∴z=

=

=

=1+i.∴|z|=

=

.9/353.(江西南昌十校第二次模拟)已知复数z满足z+

=2(i为虚数单位),其中

是z共轭复数,|z|=

,则复数z虚部为

()A.1

B.iC.±iD.±1答案

D设z=a+bi(a,b∈R),则

=a-bi,由z+

=2可得2a=2,解得a=1,所以z=1+bi,由|z|=

=

,解得b=±1,选D.10/35考点二

平面向量线性运算(1)在用三角形加法法则时要确保“首尾相接”,结果向量是第一

个向量起点指向最终一个向量终点;在用三角形减法法则时要确保

“同起点”,结果向量方向是指向被减向量.(2)证实三点共线问题,可用向量共线来处理,但应注意向量共线与三点

共线区分与联络,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.(3)

=λ

+μ

(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1.11/35经典例题(1)(山东曲阜模拟)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),c=(2,3),若a+λb与c共线,则实数λ=

()A.

B.-

C.

D.-

(2)(河南中原名校3月联考)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2

DC,E为BC边上一点,

=3

,F为AE中点,则

=

()

A.

-

B.

-

C.-

+

D.-

+

12/35答案(1)B(2)C解析(1)解法一:a+λb=(2-λ,4+λ).因为a+λb与c共线,所以必定存在唯一

实数μ,使得a+λb=μc,所以

解得

解法二:a+λb=(2-λ,4+λ),由a+λb与c共线可知3(2-λ)=2(4+λ),解得λ=-

.(2)解法一:如图,取AB中点G,连接DG,CG,则易知四边形DCBG为平行

四边形,所以

=

=

-

=

-

,∴

=

+

=

+

=

+

=

+

,于是

=

-

=

-

=

-

=-

+

,故选C.13/35

解法二:

=

+

=

+

=-

+

=-

+

=-

+

+

+

(

+

+

)=-

+

.14/35方法归纳向量线性运算问题求解方法(1)进行向量线性运算时,要尽可能地将向量转化到同一个平行四边

形或三角形中,选取从同一顶点出发基本向量或首尾相接向量,运

用向量加、减法运算及数乘运算来求解.(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段百分比关系外,有时还需

要利用三角形中位线、相同三角形对应边成百分比等平面几何知识把

未知向量转化为与已知向量有直接关系向量来求解.15/35跟踪集训1.设D为△ABC所在平面内一点,

=3

,则

()A.

=-

+

B.

=

-

C.

=

+

D.

=

-

答案

A

=

+

=

+

=

+

(

-

)=

-

.故选A.16/352.在△ABC中,点O在线段BC延长线上,且|

|=3|

|,当

=x

+y

时,则x-y=

.答案-2解析∵

=

+

=

+

=

+

(

-

)=-

+

,∴x=-

,y=

,则x-y=-2.17/35考点三

平面向量数量积(高频考点)命题点1.平面向量数量积计算.2.求向量夹角及模.3.由条件求参数值或范围.18/351.数量积定义:a·b=|a||b|cosθ.(θ为向量a,b夹角)2.两个非零向量垂直充要条件若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.3.平面向量三个性质(1)若a=(x,y),则|a|=

= .(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|

|= .(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b夹角,则cosθ=

=

.19/35经典例题(1)(课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b

与a垂直,则m=

.(2)(课标全国Ⅱ理改编,12,5分)已知△ABC是边长为2等边三角

形,P为平面ABC内一点,则

·(

+

)最小值是

.答案(1)7(2)-

解析(1)∵a=(-1,2),b=(m,1),∴a+b=(m-1,3),又(a+b)⊥a,∴(a+b)·a=-(m-1)+6=0,解得m=7.20/35(2)设BC中点为D,AD中点为E,则有

+

=2

,则

·(

+

)=2

·

=2(

+

)·(

-

)=2( - ).而

=

=

,当P与E重合时, 有最小值0,此时

·(

+

)取最小值,最小值为-2

=-2×

=-

.21/35方法归纳求解向量数量积最值问题两种思绪(1)直接利用数量积公式得出代数式,依据代数式求最值.(2)建立平面直角坐标系,经过坐标运算得出函数式,转化为求函数最

值.22/35跟踪集训1.(课标全国Ⅰ理,13,5分)已知向量a,b夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+

2b|=

.答案2

解析由题意知a·b=|a|·|b|cos60°=2×1×

=1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b=4+4+4=12.所以|a+2b|=2

.23/352.(山东理,12,5分)已知e1,e2是相互垂直单位向量.若

e1-e2与e1+λe2夹角为60°,则实数λ值是

.答案

解析由题意不妨设e1=(1,0),e2=(0,1),则

e1-e2=(

,-1),e1+λe2=(1,λ).根据向量夹角公式得cos60°=

=

=

,所以

-λ=

,解得λ=

.24/35考点四

平面向量创新交汇问题平面向量常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等

式等知识交汇命题.25/35经典例题(课标全国Ⅲ理,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C

为圆心且与BD相切圆上.若

=λ

+μ

,则λ+μ最大值为

(

)A.3

B.2

C.

D.226/35解析分别以CB、CD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系,则A(2,

1),B(2,0),D(0,1).∵点P在以C为圆心且与BD相切圆上,∴可设P

.则

=(0,-1),

=(-2,0),

=

.又

=λ

+μ

,∴λ=-

sinθ+1,μ=-

cosθ+1,∴λ+μ=2-

sinθ-

cosθ=2-sin(θ+φ),其中tanφ=

,∴(λ+μ)max=3.答案

A

27/35方法归纳建立直角坐标系,把点坐标表示出来,则向量坐标就能够求出来,从

而平面向量四大常见问题:平行、垂直、夹角、模都能够套对应公

式处理.28/35跟踪集训(北京,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A坐标为(-2,0),O为原点,

则

·

最大值为

.29/35解析解法一:

·

表示

在

方向上投影与|

|乘积,当P在B点时,

·

有最大值,此时

·

=2×3=6.

解法二:设P(x,y),则

·

=(2,0)·(x+2,y)=2x+4,由题意知-1≤x≤1,∴x=1时,

·

取最大值6,∴

·

最大值为6.答案630/351.(课标全国Ⅱ,2,5分)(1+i)(2+i)=

()A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i随堂检测答案

B(1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i.故选B.31/352.(湖北武汉四月调研)设a是非零向量,λ是非零实数,则以下结论正

确是

()A.a与-λa方向相反B.|-λa|≥|a|C.a与λ2a方