高三数学二轮复习第一篇专题突破专题二函数与导数刺第2讲基本初等函数函数与方程

第2讲基本初等函数、函数与方程第1页考情分析第2页总纲目录考点一

基本初等函数图象与性质考点二函数零点考点三函数实际应用第3页考点一

基本初等函数图象与性质1.指数与对数式七个运算公式(1)am·an=am+n;(2)(am)n=amn;(3)loga(MN)=logaM+logaN;(4)loga

=logaM-logaN;(5)logaMn=nlogaM;(6)

=N;(7)logaN=

.(a>0且a≠1,b>0且b≠1,M>0,N>0)第4页2.指数函数与对数函数增减性指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)增减性分0<a<1和a>1两种情况,当a>1时,在定义域内都为增函数,当0<a<1时,在定

义域内都为减函数.第5页经典例题(1)(课标全国Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)=lnx+ln(2-x),则

()A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)图象关于直线x=1对称D.y=f(x)图象关于点(1,0)对称(2)(天津,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f

,b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c大小关系为

()A.a<b<c

B.b<a<c

C.c<b<a

D.c<a<b第6页答案(1)C(2)C解析(1)函数f(x)=lnx+ln(2-x)=ln[x(2-x)],其中0<x<2,则函数f(x)由f(t)=

lnt,t(x)=x(2-x)复合而成,由复合函数单调性可知,x∈(0,1)时,f(x)单调

递增,x∈(1,2)时,f(x)单调递减,则A、B选项错误;t(x)图象关于直线x=

1对称,即t(x)=t(2-x),则f(x)=f(2-x),即f(x)图象关于直线x=1对称,故C选

项正确,D选项错误.故选C.(2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴a=-f(-log25)=f(log25),而log25>log24.1>2>20.8,且y=f(x)在R上为增函数,∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),即a>b>c,故选C.第7页方法归纳研究指数、对数函数图象应注意问题(1)指数函数、对数函数图象和性质受底数a影响,处理与指数、对

数函数尤其是与单调性相关问题时,首先要看底数a范围.(2)研究对数函数性质,应注意真数与底数限制条件.第8页跟踪集训1.(课标全国Ⅰ,8,5分)若a>b>0,0<c<1,则

()A.logac<logbc

B.logca<logcbC.ac<bc

D.ca>cb

答案

B∵0<c<1,∴当a>b>1时,logac>logbc,A项错误;∵0<c<1,∴y=logcx在(0,+∞)上单调递减,又a>b>0,∴logca<logcb,B项正确;∵0<c<1,∴函数y=xc在(0,+∞)上单调递增,又∵a>b>0,∴ac>bc,C项错误;∵0<c<1,∴y=cx在(0,+∞)上单调递减,又∵a>b>0,∴ca<cb,D项错误.故选B.第9页2.(课标全国Ⅱ,8,5分)函数f(x)=ln(x2-2x-8)单调递增区间是

(

)A.(-∞,-2)

B.(-∞,1)

C.(1,+∞)

D.(4,+∞)答案

D由x2-2x-8>0可得x>4或x<-2,所以x∈(-∞,-2)∪(4,+∞),令u=x2-2x-8,则其在x∈(-∞,-2)上单调递减,在x∈(4,+∞)上单调递增.又因为y=lnu在u∈(0,+∞)上单调递增,所以y=ln(x2-2x-8)在x∈(4,+∞)上单调递增.故选D.第10页3.(四川成都第二次模拟)已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)反函数

图象经过点

.若函数g(x)定义域为R,当x∈[-2,2]时,有g(x)=f(x),且函数g(x+2)为偶函数,则以下结论正确是

()A.g(π)<g(3)<g(

)

B.g(π)<g(

)<g(3)C.g(

)<g(3)<g(π)

D.g(

)<g(π)<g(3)答案

C∵函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)反函数图象经过点

,∴

=

,∴a=

,∵g(x+2)是偶函数,∴g(-x+2)=g(x+2),∴g(3)=g(1),g(π)=g(4-π),∵4-π<1<

,又当x∈[-2,2]时,g(x)单调递减,∴g(4-π)>g(1)>g(

),即g(

)<g(3)<g(π),故选C.第11页考点二

函数零点函数零点与方程根、函数图象关系函数F(x)=f(x)-g(x)零点就是方程f(x)=g(x)根,即函数y=f(x)图象与

函数y=g(x)图象交点横坐标.第12页经典例题(1)已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)

零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=

()A.1

B.2

C.3

D.4(2)(课标全国Ⅲ,12,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,

则a=

()A.-

B.

C.

D.1第13页答案(1)B(2)C解析(1)∵2<a<3<b<4,∴f(1)=loga1+1-b=1-b<0,f(2)=loga2+2-b<0.又∵f(3)=loga3+3-b,loga3>1,-1<3-b<0,∴f(3)>0,即f(2)f(3)<0,故x0∈(2,3),即n=2.故选B.(2)由函数f(x)有零点得x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解,即(x-1)2-1+a(ex-1+e-x+1)=0

有解,令t=x-1,则上式可化为t2-1+a(et+e-t)=0,即a=

.第14页令h(t)=

,易得h(t)为偶函数,又由f(x)有唯一零点得函数h(t)图象与直线y=a有唯一交点,则此交点

横坐标为0,所以a=

=

,故选C.第15页方法归纳1.确定函数零点惯用方法(1)解方程法;(2)利用零点存在性定理;(3)数形结合,利用两个函数图象交点求解.2.利用函数零点情况求参数值或取值范围方法(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数值域(最值)问题.(3)转化为两熟悉函数图象位置关系问题,从而构建不等式(组)求

解.第16页跟踪集训1.(河南焦作模拟)已知函数f(x)满足:①定义域为R;②∀x∈R,都有f(x+2)=f(x);③当x∈[-1,1]时,f(x)=-|x|+1.则方程f(x)=

log2|x|在区间[-3,5]内解个数是

()A.5

B.6

C.7

D.8第17页答案

A画出y1=f(x),y2=

log2|x|图象如图所表示,由图象可得所求解个数为5.第18页2.已知函数f(x)=cos

,g(x)=2-

|x-2|,x∈[-2,6],则函数h(x)=f(x)-g(x)全部零点之和为

()A.6

B.8

C.10

D.12第19页答案

D函数h(x)=f(x)-g(x)零点之和可转化为f(x)=g(x)根之和,

即转化为y1=f(x)和y2=g(x)两个函数图象交点横坐标之和.又由函数g(x)=2-

|x-2|与f(x)图象均关于x=2对称,可知函数h(x)零点之和为12.

第20页考点三

函数实际应用1.应用函数模型处理实际问题普通程序

⇒

⇒

⇒

2.函数相关应用题常见类型及解题关键(1)常见类型:与函数相关应用题,经常包括物价、旅程、产值、环境保护

等实际问题,也可包括角度、面积、体积、造价最优化问题.(2)解题关键:解答这类问题关键是准确建立对应函数解析式,然后运

用函数、方程、不等式和导数相关知识综合解答.第21页经典例题(1)某企业为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该企业

年整年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入研发资金比上一

年增加12%,则该企业整年投入研发资金开始超出200万元年份是

()(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)A.

B.

C.

D.(2)某工厂某种产品年固定成本为250万元,每生产x千件该产品需另

投入成本为G(x)(单位:万元),当年产量不足80千件时,G(x)=

x2+10x;当年产量大于80千件时,G(x)=51x+

-1450.已知每件产品售价为0.05万元.经过市场分析,该工厂生产产品能全部售完,则该工厂在

这一产品生产中所获年利润最大值是

万元.第22页解析(1)设第n(n∈N*)年该企业整年投入研发资金开始超出200万

元.依据题意得130(1+12%)n-1>200,则lg[130(1+12%)n-1]>lg200,∴lg130+(n-1)lg1.12>lg2+2,∴2+lg1.3+(n-1)lg1.12>lg2+2,∴0.11+(n-1)×0.05>0.30,解得n>

,又∵n∈N*,∴n≥5,∴该企业整年投入研发资金开始超出200万元年份是.故选

B.(2)设年利润为L(x)万元.∵每件产品售价为0.05万元,∴x千件产品答案(1)B(2)1000第23页销售额为0.05×1000x=50x万元.①当0<x<80时,年利润L(x)=50x-

x2-10x-250=-

x2+40x-250=-

(x-60)2+950,∴当x=60时,L(x)取得最大值,且最大值为L(60)=950;②当x≥80时,L(x)=50x-51x-

+1450-250=1200-

≤1200-2

=1200-200=1000,当且仅当x=

,即x=100时,L(x)取得最大值1000,因为950<1000,∴当产量为100千件时,该

工厂在这一产品生产中所获年利润最大,最大年利润为1000万元.第24页方法归纳处理函数实际应用题两个关键点(1)认真读题,缜密审题,准确了解题意,明确问题实际背景,然后进行科

学地抽象概括,将实际问题归纳为对应数学问题.(2)要合理选取参数变量,设定变量之后,就要寻找它们之间内在联络,

选取恰当代数式表示问题中关系,建立对应函数模型,最终求解

数学模型使实际问题获解.第25页跟踪集训1.某电脑企业在甲、乙两地各有一个分企业,甲分企业现有某型号电脑

6台,乙分企业现有同一型号电脑12台.现A地某单位向该企业购置该

型号电脑10台,B地某单位向该企业购置该型号电脑8台.已知从甲

地运往A、B两地每台电脑运费分别是40元和30元.从乙地运往A、B

两地每台电脑运费分别是80元和50元.若总运费不超出1000元,则调

运方案种数为

()A.1

B.2

C.3

D.4第26页答案

C设总运费为y元,甲地调运x台电脑至B地,则剩下(6-x)台电

脑调运至A地;乙地应调运(8-x)台电脑至B地,调运12-(8-x)=(x+4)台电脑

(0≤x≤6,x∈N)至A地.则总运费y=30x+40(6-x)+50(8-x)+80(x+4)=20x+960,∴y=20x+960(0≤x≤6,x∈N).若y≤1000,则20x+960≤1000,得x≤2.又

0≤x≤6,x∈N.∴0≤x≤2,x∈N.∴x=0,1,2,即有3种调运方案.第27页2.(湖北七市(州)联考)某工厂产生废气经过过滤后排放,过滤过

程中废气污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)关系为P=P0e-kt.假如

在前5小时消除了10%污染物,那么污染物降低19%需要花费时间

为

小时.答案10解析前5小时污染物消除了10%,此时污染物剩下90%,即t=5时,P=0.9

P0,则(e-k)5=0.9,∴e-k=

=0.

,∴P=P0e-kt=P0(0.

)t.当污染物降低19%时,污染物剩下81%,此时P=0.81P0,代入得0.81=(0.

)t,解得t=10,即需要花费10小时.第28页1.函数y=

定义域为

()A.

B.

C.(1,+∞)

D.

∪(1,+∞)随堂检测答案

A要使函数有意义,需满足

解得

<x<1.第29页2.已知函数f(x)=

-log2x.在以下区间中,包含f(x)零点区间是

()A.(0,1)

B.(1,2)C.(2,4)

D.(