内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题（含解析）

数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.过点且与抛物线有且仅有1个公共点的直线的条数为（）A.0B.1C.2D.33.复数在复平面内对应的点不可能在第（）象限.A.一B.二C.三D.四4.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为，则此圆锥的体积为（）A.B.C.D.5在钝角中，内角的对边分别为，且最大角，则的取值范围是（）A.B.C.D.6若，则的最小值为（）A.B.0C.1D.27.我们解不等式时，可以采用如下方法：等价于，即.根据以上思路求解：函数的最小值为（）A.0B.1C.D.8已知向量都是单位向量，且向量满足向量的夹角为，则的最大值为（）A.2B.C.D.3二､多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若函数的图象经过平移后可以得到函数的图象，则称函数与是“全等函数”.下列各组函数中.与是“全等函数”的是（）A.B.C.D.10.已知为正实数，，则下列说法正确的是（）A.B.的最小值为C.的最小值为12D.的最小值为11.数的进制是人们利用符号来计数的方法.我们在日常生活中习惯于采用十进制计数与运算，但是在其它领域中，其它进制计数方式也应用广泛，例如计算机处理数据时，采用的就是二进制方法.二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.若十进制数，其中，则对应的二进制数为.以下说法正确的是（）A.十进制数2025用二进制表示为B.满足中有且只有3个1的所有二进制数对应的十进制数的和为1275C.将对应的二进制数中1的个数记为，则D.将对应的二进制数中0的个数记为，令，则三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知，则__________.13.若一组数据的第75百分位数为12，则这组数据的第40百分位数为__________.14.已知函数.若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围是__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）如图所示，在空间几何体中，四边形为正方形，平面平面.（1）证明：平面.（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.16.（本小题满分15分）已知函数的图象在处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为.（1）求的值；（2）记的极大值点为，证明：.17.（本小题满分15分）甲､乙､丙三位同学组队参加一个闯关活动.每次只能派1个人参加闯关活动，每次闯关用时1分钟，如有必要则派下一个人继续参加闯关活动，直至三人中有两人闯关成功就视为团队“挑战胜利”，否则视为“挑战失败”.在已经确定“挑战胜利”或“挑战失败”时，活动立刻结束.已知甲､乙､丙各自能闯关成功的概率分别为，，，且假定每人能否闯关成功的事件是相互独立的.（1）若改变三个人先后参加闯关的顺序，团队“挑战胜利”的概率是否会发生变化？请说明理由.（2）为了使活动平均用时最少，三位同学应该以怎样的先后顺序参加闯关活动，并说明理由.18.（本小题满分17分）已知直线与椭圆交于两点在下方，在上方），线段的中点为，直线的斜率为（为坐标原点）.（1）求㮋圆的方程；（2）若射线与椭圆，直线分别交于两点，且成等比数列.（i）求点到直线的距离的最大值；（ii）当直线与轴垂直时，求的外接圆方程，19.（本小题满分17分）存在，对任意的，当时，正项数列都满足.，则称满足性质.例如：当时，，则等比数列满足性质；当时，，则数列不满足性质.已知数列同时满足性质.（1）证明：数列为等比数列；（2）已知，若数列满足：，其中.设为数列的前项和，记.①求的表达式（用含的式子表示）；②式判断与的大小关系，并说明理由.数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案ADCBDBDA【解析】1.因为，故“”是“”的充分不必要条件，故选A.2.过点可以作3条直线与抛物线有且仅有1个公共点，故选D.3.因为，所以它在复平面内对应的点为；，故点不可能在第三象限，故选C.4.设圆锥的底面半径为，母线为，则解得故圆锥的高，故此圆锥的体积，故选B.5.由钝角中的最大角为；故由余弦定理：，解得，故选D.6.，可以看作圆上的动点与定点连线的斜率；数形结合可知，故选B.7.由知；令，则，令，解得，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；由函数与复合而成，而在上单调递增；故在上单调递减，在上单调递增；所以，故选D.8.记，则；由题意：，故，故，故；且，故，即；故取最大值时，两点应该在直线的两侧，故四点共圆，则的最大值即为圆的直径；在中，由正弦定理：，故选A.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABCABDBCD【解析】9.对于A：，正确；对于B：，正确；对于C：，正确；对于D：的定义域为，而的定义域为，所以无论怎么平移两函数，图象都不可能重合，错误，故选ABC.10.由，知，故，故；故，故A正确；由知，故，故，故当时，取得最小值，故B正确；由，知，故，故，当且仅当时取等号；故的最小值为10，故C错误；，当且仅当时取等号；故的最小值为，故D正确，故选ABD.11.对于A：，故A错误；对于B：，其中中有且只有2个1，有种可能；所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现次，均出现次，所以对应的十进制数的和为，故B正确；对于C：，则，故，故，故，故C正确；对于D：共个数中所有的数转换为二进制后，总位数都为2026，且最高位都为1；而除最高位之外的剩余2025位中，每一位都是0或者1；设其中的数，转换为二进制后有个；在这个数中，转换为二进制后有个0的数共有个，故，故D正确，故选BCD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案【解析】12..13.将以外的数据从小到大排列：；因为，故第75百分位数为第8位数，即：从小到大的第8位数是12；显然，故，故将所有数据从小到大排列：；因为，故第40百分位数为.14.令；令得，故（显然；即：的所有解的乘积为1；数形结合：的解可看作函数的图象与直线的交点的横坐标；结合的图象可知：当时：函数的图象与直线没有交点；当时：函数的图象与直线有2个交点，即当时有2个解，且满足，故又单调递增，且，故，故.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）（1）证明：由四边形为正方形知；又，故；又，故；又平面平面，平面平面，所以平面.（2）解：由（1）知平面且，故互相垂直；以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系；不妨设，则，则，故；设平面的法向量是，则取，可得；设平面的法向量是，则取可得记平面与平面所成锐二面角为，则，故；故平面与平面所成锐二面角的大小为.16.（本小题满分15分）（1）解：，故；，故函数的图象在处的切线斜率为，即；由知，解得.（2）证明：由（1）知，定义域；令，则在上单调递减；由知存在，使得；当时，单调递增；当时，单调递减；故即为的极大值点；由，知，故，故，结论成立.17.（本小题满分15分）解：（1）若按某指定顺序参加活动，这三位同学各自能闯关成功的概率依次为，其中是的一个排列；则“挑战胜利”的概率，故改变三个人先后参加活动的顺序，“挑战胜利”的概率不会发生变化.（2）若按某指定顺序参加活动，这三位同学各自能闯关成功的概率依次为，其中是的一个排列；记活动用时为随机变量（单位：分钟），则，故数学期望；当时，；当时，；当时，；由知：甲、乙同学应该先参加前两次闯关活动.18.（本小题满分17分）解：（1）点差法：设，则；由两点在椭圆上：①，②；用①-②得：，即：，故椭圆的方程为.（2）（i）联立得；设，由韦达定理：，所以.由于为线段的中点，因此；若射线与椭圆，直线分别交于两点，知且射线的方程为，将其代入椭圆的方程，解得；由成等比数列知，故，故；因此，直线的方程为，所以直线恒过定点；故当直线时，点到直线距离的最大值.（ii）由（i）得，由直线与轴垂直知，代入整理得，故且，解得（舍去）或，所以，此时关于轴对称；此时直线，故；由于的外接圆的圆心在轴上，可设的外接圆的圆心为，因此，解得，故的外接圆的半径