4.1认识三角形第3课时-2024-2025学年七年级数学下册同步课件（北师大版）

4.1认识三角形

第4章

三角形第3课时学习目标1.理解三角形的高线、中线、角平分线，并能在具体的三角形中画出它们；（重点）2.通过画图、折纸等，探究三角形的三条中线的位置关系，了解三角形的重心；（重点）3.探究三角形的三条角平分线、三条高线所在的直线的位置关系.（难点）三条边都不相等的三角形等腰三角形新课导入复习回顾2.三角形的三边关系:三角形任意两边之和

.

三角形任意两边之差

.

大于第三边小于第三边1.三角形按边分类腰和底不等的等腰三角形等边三角形(三边都相等的三角形）新课导入情境引入

如图所示，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点D的运动过程中，观察点D或线段AD有哪些特殊的位置。说说你的想法并与同伴进行交流。在点D的运动过程中，特殊位置有：点D运动到BC的中点，运动到线段AD与BC垂直，或运动到AD平分∠BAC.新课讲授

探究一：三角形的中线在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线.1.三角形中线的概念BACE如图，

AE是BC边上的中线.

2.几何语言表达：新课讲授ACBFEDO则AB边上的中线是：

;

BC边上的中线是：

;

AC边上的中线是：

.1.如图，点D、E、F分别是边BC、AC、AB上的中点.CFBEAD新课讲授(2)钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？画一画，折一折，并与同伴进行交流．锐角三角形的三条中线交于一点.钝角三角形和直角三角形的三条中线也交于一点.(1)在纸上画一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎样的位置关系？与同伴进行交流．操作·交流

也可以利用数学软件探索任意三角形三条中线的位置关系.新课讲授(3)如图，用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，怎样确定这个点的位置吗？

作出三角形卡片的边上的三条中线，它们的交点的位置就是支点的位置.新课讲授三角形的三条中线交于一点,这个点称为三角形的重心．铅笔支起三角形卡片的点就是三角形的重心！三角形的中心都在三角形的内部，如图，点O就是△ABC的重心．O知识归纳三角形中线的性质：新课讲授2.在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.BACD提示：将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差.7cm新课讲授1.三角形角平分线的概念：12ABCD

在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.

探究二：三角形的角平分线注意:三角形的中线,角平分线都是一条线段！2.几何语言表达：新课讲授3.如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠ADB的度数是

.BDCA解析：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，

∴∠DAC＝∠BAD＝34°.

在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－36°－34°＝110°.110°新课讲授

请你探究三角形的三条角平分线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流．思考·交流分别画出锐角三角形、钝角三角形和直角三角形的三条角平分线：新课讲授知识归纳三角形角平分线的性质三角形的三条角平分线交于一点．在每个三角形中，3条角平分线都在三角形的内部.BCAO新课讲授

探究三：三角形的高线ABCF三角形高线的概念：

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.如图,线段AF是△ABC的的高.也可叙述如下：①AF是△ABC的BC边上的高；②AF⊥BC,垂足为F；③点F在BC上，且∠AFB=∠AFC=90°.要标明垂直的记号和垂足的字母.高是一条垂线段！ABCABC

请你探究三角形的三条高线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流．思考·交流ABC新课讲授DDFOEDEF新课讲授知识归纳三角形高线的性质：锐角三角形直角三角形钝角三角形高在三角形内部的数量高之间是否相交高所在的直线是否相交三条高所在直线的交点的位置三角形的三条高的特征：311相交相交不相交相交相交相交三角形内部直角顶点三角形外部三角形的三条高所在的直线交于一点.新课讲授4.作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(

)方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．D典例分析例1：如图所示，在△ABC中,AD,BE分别是△ABC,△ABD的中线.(1)若△ABD与△ADC的周长之差为3,AB=8,求AC的长;解:(1)因为AD为BC边上的中线,所以BD=CD.所以△ABD与△ADC的周长之差=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC.因为△ABD与△ADC的周长之差为3,AB=8,所以8-AC=3,解得AC=5.(2)若S△ABC=8，求S△ABE.

典例分析例2：如图所示，在△ABC中,∠B=90°，AD是△ABC的角平分线，且∠C=4∠BAD，求∠ADC的度数.解:因为∠B=90°,所以∠BAC+∠C=90°.因为AD是△ABC的角平分线,所以∠BAC=2∠BAD.因为∠C=4∠BAD,所以2∠BAD+4∠BAD=90°.所以∠BAD=∠CAD=15°.所以∠C=60°,则∠ADC=180°-∠CAD-∠C=180°-15°-60°=105°.典例分析例3：如图所示,在锐角三角形ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高，CD,BE交于点P,∠A=50°,求∠BPC的度数.解:因为CD,BE分别是AB,AC边上的高,所以∠ADC=∠BEC=90°.因为∠A=50°,所以∠ACD=40°,则在△PEC中,∠CPE=90°-40°=50°.所以∠BPC=180°-∠CPE=180°-50°=130°.学以致用2.如图所示，在△ABC中，D,E,F是BC边上的三点,且∠1=∠2=∠3=∠4,则AE是哪个三角形的角平分线(

)A.△ABE B.△ADFC.△ABC D.△ABC,△ADF1.如图所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是(

)A.DE是△ABC的中线B.BD是△ABC的中线C.AD=DC,BE=ECD.DE是△BCD的中线AD学以致用4.如图所示,在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，则∠ADE的度数是(

)A.45° B.54° C.40° D.50°3.如图所示，AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为25cm,AB比AC长6cm,则△ACD的周长为(

)A.19cm B.22cm C.25cm D.31cmAC学以致用5.若一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的顶点,则这个三角形是(

)A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形B6.如图所示,AD⊥BC于点D,那么图中以AD为高的三角形有(

)A.3个 B.4个C.5个 D.6个D学以致用8.如图所示，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，它们交于点O.若△ABD的面积是6，则△ACF的面积是

.

7.如图所示，在△ABC中，CE是△ABC的中线，BD是△ABC的角平分线，若AB=3cm，∠A=70°，∠ACB=60°,则∠ABD=

°,AE=

cm.

251.56学以致用9.如图所示，∠CBD=∠E=∠F=90°，则线段

是△ABC中BC边上的高.

10.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC.若∠1=30°,∠2=20°，则∠B=

°.

AE50学以致用11.如图所示,已知△ABC的周长为21cm,AB=6cm,BC边上的中线AD=5cm,△ABD的周长为15cm,求AC的长.解:因为AB=6cm,AD=5cm,△ABD的周长为15cm,所以BD=15-6-5=4(cm).因为AD是BC边上的中线,所以BC=8cm.因为△ABC的周长为21cm,所以AC=21-6-8=7(cm).学以致用12.如图所示,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=2BD,BE=CE.设△ADC的面积为S1,△ACE的面积为S2.若S△ABC=6,求S1-S2的值.

学以致用13.如图所示,在△ABC中,∠A=62°,∠B=74°,CD是∠ACB的平分线,点E在AC上,且DE∥BC,求∠EDC的度数.解:在△ABC中,因为∠A=62°,∠B=74°,所以∠ACB=44°.又因为CD是∠ACB的平分线,所以∠ACD=∠BCD=22°.因为DE∥BC,所以∠EDC=∠BCD=22°.学以致用14.如图所示，在△ABC中,∠ACB=90°,∠1=∠A.(1)试说明CD是△ABC的高;(2)如果AC=8,BC=6,AB=10,求CD的长.解:(1)因为∠ACB=∠1+∠ACD=90°,∠1=∠A,所以∠A+∠ACD=90°,所以∠ADC=90°,即CD⊥AB,所以CD是△ABC的高.

15.已知AD是△ABC的高,∠BAD=70°,∠CAD=20°,求∠BAC的度数.解:分以下两种情况:(1)如图①,若高AD在△ABC的内部,则∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.(2)如图②,若高AD在△ABC的外部,则∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°.综上所述,∠BAC的度数为90°或50°.学以致用课堂小结认识三角形3三角形的中线概念:在三角形中