27.2.3+相似三角形应用举例课件人教版九年级数学下册+

第二十七章相似27.2相似三角形27.2.3相似三角形应用举例1.能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.(重点)2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.(难点)学习目标新课讲解

知识点1利用相似三角形测量高度据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.新课讲解例1如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.解：∵太阳光是平行的光线，因此∠BAO=∠EDF.又∵∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF.∴，∴=134(m).因此金字塔的高度为134m.新课讲解结论测高方法一：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.表达式：物1高：物2高=影1长：影2长新课讲解想一想：AFEBO┐┐还可以有其他测量方法吗？OBEF=OAAF△ABO∽△AEFOB=OA·EFAF平面镜新课讲解结论测高方法二：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.新课讲解

知识点2利用相似三角形测量宽度例2

如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽PQ.PRQSbTa新课讲解PQ×90=(PQ+45)×60.解得PQ=90.因此，河宽大约为90m.解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST.PRQSbTa∴，即

，还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？45m90m60m新课讲解结论测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.课堂小结利用相似解决有遮挡物问题利用相似三角形测量宽度相似三角形的应用举例利用相似三角形测量高度当堂小练1.小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为()A.45米B.40米

C.90米

D.80米2.小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶()A.0.5mB.0.55mC.0.6mD.2.2mAA当堂小练3.如图，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光源的反射光线，并测得AB＝10cm，BC＝20cm，PC⊥AC，且PC＝24cm，则点光源S到平面镜的距离SA为

.12cm当堂小练4.

如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点，使得CD∥AB.若测得CD＝5m，AD＝15m，ED=3m，则A、B两点间的距离为

m.ABEDC20运用相似三角形的性质求线段长在实际生活中的应用运用相似三角形的性质解决实际问题的步骤：(1)在实际问题中构建两个三角形；(2)根据已知条件证明这两个三角形相似；(3)运用相似三角形的对应边成比例求未知线段的长．1．(人教9下P41、北师9上P105)某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某同学的身高为1.5米，影子长1米，旗杆的影子长是6米，则旗杆的高度是(

)A．9米 B．8米C．6米 D．4米A相似三角形的实际应用类型及方法(1)利用相似三角形的性质计算不能直接到达的河的宽度；(2)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度．①方法1：利用阳光下的影子(如测量旗杆的高度)；②方法2：利用标杆(如测量古塔的高度)；③方法3：利用镜子的反射(如测量旗杆的高度)．A．5m B．7mC．7.5m D．21m2．(人教9下P43)如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，与树距15m，那么这棵树的高度为(

)B小结：注意物理模型中的事实，如入射角等于反射角.3．【例1】(跨学科融合)如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm，球目前在E点位置，AE＝60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置，则CF的长为

．

169cm

4．【例2】(人教9下P41、北师9上P91)如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的距离AB．解：∵AB⊥BC，CE⊥BC，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD∽△ECD，∴AB∶CE＝BD∶CD，即AB∶50＝120∶60，∴AB＝100．答：两岸间的距离AB为100米．小结：构造相似三角形，用可测线段的长度求解实际生活中不好（或不可）测量线段的长度.5．【例3】(人教9下P40改编)(2024石家庄模拟)如图，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．

答案图小结：常过点作某线的垂线，构造直角三角形及相似三角形.6．(跨学科融合)(人教9下P43、北师9上P104改编)(2023深圳一模)如图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，则该古城墙的高度为

．

8米7．(人教9下P40)(2024广西模拟)如图，为了估计河的宽度，我们在河对岸选定一个目标点O，在近岸取点A，C，使O，A，C三点共线，且线段OC与河岸垂直，接着在过点C且与OC垂直的直线上选择适当的点D，使OD与近岸所在的直线交于点B．若测得AC＝30m，CD＝120m，AB＝40m，求河的宽度OA．

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