高中排列组合试题及答案

高中排列组合试题及答案姓名：____________________

一、单项选择题（每题2分，共20题）

1.从数字1到9中任取三个不同的数字，组成一个三位数，则不同的三位数的个数是：

A.36B.72C.144D.216

2.若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A和集合B的笛卡尔积中元素的个数是：

A.m+nB.mnC.m-nD.2mn

3.在5个不同的球中取出3个球，不同的取法共有：

A.5B.10C.15D.20

4.从1到10中任取5个不同的数字，能组成没有重复数字的五位数的个数是：

A.5040B.2520C.504D.252

5.在5个不同的球中取出3个球，取出的球可以是任意3个，不同的取法共有：

A.5B.10C.15D.20

6.若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，且A∩B中有k个元素，则A∪B中有多少个元素？

A.m+n-kB.m+n+kC.m-n+kD.m-n-k

7.在5个不同的球中取出3个球，取出的球必须包含某个特定的球，不同的取法共有：

A.4B.8C.10D.16

8.从1到10中任取5个不同的数字，能组成有重复数字的五位数的个数是：

A.5040B.2520C.504D.252

9.在5个不同的球中取出3个球，取出的球必须包含某个特定的球，不同的取法共有：

A.4B.8C.10D.16

10.若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则A∩B中有多少个元素？

A.m+n-kB.m+n+kC.m-n+kD.m-n-k

11.从1到10中任取5个不同的数字，能组成没有重复数字的五位数的个数是：

A.5040B.2520C.504D.252

12.在5个不同的球中取出3个球，取出的球可以是任意3个，不同的取法共有：

A.5B.10C.15D.20

13.若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A和集合B的笛卡尔积中元素的个数是：

A.m+nB.mnC.m-nD.2mn

14.在5个不同的球中取出3个球，取出的球必须包含某个特定的球，不同的取法共有：

A.4B.8C.10D.16

15.从1到10中任取5个不同的数字，能组成有重复数字的五位数的个数是：

A.5040B.2520C.504D.252

16.若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，且A∩B中有k个元素，则A∪B中有多少个元素？

A.m+n-kB.m+n+kC.m-n+kD.m-n-k

17.在5个不同的球中取出3个球，取出的球可以是任意3个，不同的取法共有：

A.5B.10C.15D.20

18.从1到10中任取5个不同的数字，能组成没有重复数字的五位数的个数是：

A.5040B.2520C.504D.252

19.若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A和集合B的笛卡尔积中元素的个数是：

A.m+nB.mnC.m-nD.2mn

20.在5个不同的球中取出3个球，取出的球必须包含某个特定的球，不同的取法共有：

A.4B.8C.10D.16

二、判断题（每题2分，共10题）

1.排列组合中，如果事件A和事件B不可能同时发生，那么它们的和事件A∪B的概率等于事件A的概率加上事件B的概率。（）

2.在排列问题中，如果有重复元素，则排列数是所有元素的全排列数除以重复元素的全排列数。（）

3.组合问题中，顺序不重要，所以两个元素的组合与这两个元素交换顺序后仍然是一个有效的组合。（）

4.在组合问题中，如果从n个不同元素中取出k个元素的组合数等于从n-k个元素中取出k个元素的组合数，那么n和k满足n=k。（）

5.从n个不同的球中取出r个球，如果没有放回地取出，那么取出的球是有序的。（）

6.在排列问题中，如果有重复元素，则排列数是所有元素的全排列数除以重复元素的全排列数乘以重复元素的排列数。（）

7.组合问题中，从n个不同元素中取出k个元素的组合数与从n-k个元素中取出k个元素的组合数相等。（）

8.如果从n个不同元素中取出r个元素的组合数是C(n,r)，那么从n个不同元素中取出r个元素的排列数是C(n,r)乘以r!。（）

9.在组合问题中，从n个不同元素中取出k个元素的组合数等于从n个不同元素中取出k个元素的排列数除以k!。（）

10.如果事件A和事件B互斥，那么它们的和事件A∪B的概率等于事件A的概率加上事件B的概率再减去1。（）

三、简答题（每题5分，共4题）

1.简述排列和组合的基本区别。

2.解释组合数C(n,k)的含义及其计算公式。

3.如何计算在有重复元素的排列问题中的排列数？

4.在求解排列组合问题时，如何判断是使用排列公式还是组合公式？

四、论述题（每题10分，共2题）

1.论述在解决排列组合问题时，如何处理元素重复的情况，并举例说明。

2.分析排列组合问题在实际生活中的应用，举例说明其在数学、计算机科学、统计学等领域的具体应用场景。

试卷答案如下：

一、单项选择题

1.B.72

解析思路：从9个数字中取3个数字组成三位数，第一位有9种选择，第二位有8种选择，第三位有7种选择，因此总共有9×8×7=504种组合，但由于三位数的顺序可以任意，所以实际排列数为504/3!（因为每个三位数可以旋转3!种方式得到不同的顺序），即504/6=84种不同的三位数。

2.B.mn

解析思路：笛卡尔积是由两个集合的所有可能的配对组成的集合，所以如果集合A有m个元素，集合B有n个元素，那么它们的笛卡尔积将有m×n个元素。

3.C.15

解析思路：从5个不同的球中取出3个球，可以通过组合公式C(5,3)计算，即5!/(3!×(5-3)!)=10，但由于取出的球是无序的，所以实际组合数为10/3!=15种。

4.A.5040

解析思路：从1到10中任取5个不同的数字，首先选择第一个数字有10种可能，第二个数字有9种可能，以此类推，直到第五个数字有6种可能。因此，总共有10×9×8×7×6=30240种可能，但由于五位数的顺序可以任意，所以实际排列数为30240/5!=5040种。

5.C.15

解析思路：与第三题类似，从5个不同的球中取出3个球，可以通过组合公式C(5,3)计算，即5!/(3!×(5-3)!)=10，但由于取出的球是无序的，所以实际组合数为10/3!=15种。

6.A.m+n-k

解析思路：集合A和集合B的并集A∪B包含所有在A或B中的元素，因此元素总数为A的元素数加上B的元素数减去A和B的交集元素数，即m+n-k。

7.A.4

解析思路：如果必须包含某个特定的球，那么首先选择这个特定的球有1种方法，然后从剩余的4个球中选择2个球，有C(4,2)种方法，即4!/(2!×(4-2)!)=6种方法，但由于取出的球是无序的，所以实际组合数为6/2!=3种，因此总共有1×3=3种不同的取法。

8.D.252

解析思路：从1到10中任取5个不同的数字，首先选择第一个数字有10种可能，第二个数字有9种可能，以此类推，直到第五个数字有6种可能。因此，总共有10×9×8×7×6=30240种可能，但由于五位数的顺序可以任意，所以实际排列数为30240/5!=5040种。但是，这包括了所有可能的数字组合，包括有重复数字的情况。因此，需要从总排列数中减去有重复数字的组合数。有重复数字的组合数是从剩余的5个数字中选择4个数字，有C(5,4)种方法，即5!/(4!×(5-4)!)=5种方法，但由于五位数的顺序可以任意，所以实际排列数为5/4!=5种，因此有重复数字的组合数为5040-5=5035种。

9.A.4

解析思路：与第七题类似，如果必须包含某个特定的球，那么首先选择这个特定的球有1种方法，然后从剩余的4个球中选择2个球，有C(4,2)种方法，即4!/(2!×(4-2)!)=6种方法，但由于取出的球是无序的，所以实际组合数为6/2!=3种，因此总共有1×3=3种不同的取法。

10.A.m+n-k

解析思路：与第六题相同，集合A和集合B的并集A∪B包含所有在A或B中的元素，因此元素总数为A的元素数加上B的元素数减去A和B的交集元素数，即m+n-k。

二、判断题

1.×

解析思路：事件A和事件B不可能同时发生时，它们的和事件A∪B的概率等于事件A的概率加上事件B的概率减去事件A和事件B同时发生的概率。

2.×

解析思路：排列问题中，如果有重复元素，则排列数是所有元素的全排列数除以重复元素的全排列数乘以重复元素的选择数。

3.√

解析思路：组合问题中，顺序不重要，所以两个元素的组合与这两个元素交换顺序后仍然是一个有效的组合。

4.×

解析思路：在组合问题中，从n个不同元素中取出k个元素的组合数等于从n-k个元素中取出k个元素的组合数，但这并不意味着n和k必须相等。

5.√

解析思路：从n个不同的球中取出r个球，如果没有放回地取出，那么取出的球是有序的，因为每次取球都会改变剩余球的数量。

6.×

解析思路：排列问题中，如果有重复元素，则排列数是所有元素的全排列数除以重复元素的全排列数乘以重复元素的选择数。

7.√

解析思路：在组合问题中，从n个不同元素中取出k个元素的组合数等于从n-k个元素中取出k个元素的组合数。

8.×

解析思路：如果从n个不同元素中取出r个元素的组合数是C(n,r)，那么从n个不同元素中取出r个元素的排列数是C(n,r)乘以r!，但这个陈述是错误的，因为排列数是C(n,r)乘以r!。

9.√

解析思路：在组合问题中，从n个不同元素中取出k个元素的组合数等于从n个不同元素中取出k个元素的排列数除以k!。

10.×

解析思路：如果事件A和事件B互斥，那么它们的和事件A∪B的概率等于事件A的概率加上事件B的概率，但不减去1。

三、简答题

1.排列和组合的基本区别在于顺序是否重要。排列问题中顺序重要，即不同顺序的排列被视为不同的排列；而组合问题中顺序不重要，即不同顺序的组合被视为相同的组合。

2.组合数C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的不同组合方式的数量。其计算公式为C(n,k)=n!/(k!(n-k)!），其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×...×1。

3.在有重复元素的排列问题中，首先计算所有元素的全排列数，然后除以重复元素的全排列数乘以重复元素的选择数。例如，如果有3个相同的球和2个不同的球，要排列成一行，总排列数为5!，但由于3个相同的球可以互换位置，所以需要除以3!，最终排列数为5!/3!。

4.在求解排列组合问题时，判断使用排列公式还是组合公式的方法是：如果问题涉及到顺序，即不同顺序的结果被视为不同，则使用排列公式；如果问题不涉及顺序，即不同顺序的结果被视为相同，则使用组合公式。

四、论述题

1.在解决排列组合问题时，处理元素重复的情况通常涉及使用排列公