2025年九年级中考数学三轮冲刺练习《图形的相似》综合问题（含解析）

2025年九年级中考数学三轮冲刺练习图形的相似综合问题

1.在Rt^ABC中，NACB=90°,点〃为A3的中点，点尸是线段CM上一动点，过点厂

作DELCM分别交边CA,CB于点D,E.

(1)如图1,求证△CDES^CBA；

(2)如图1,若DE=CM,求证：BC=2DC；

ADBE

(3)如图2,若点尸为CM的中点，求—+二的值.

2.如图1,在矩形ABC。中，点E为4。边上不与端点重合的一动点，点尸是对角线BD

上一点，连接BE,AF交于点。，且N48E=ND4E

【模型建立】

(1)求证：AFLBE-,

【模型应用】

1

(2)若AB=4,AD=6,DF=/,求AE的长；

【模型迁移】

AF

(3)如图2,若矩形A8C。是正方形，DF=次1,直接写出一的值.

2AD

图1

3.某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究:

(1)如1,在正方形A3CZ)中，E,尸分别是A3、4。上两点，连接。E,CF,若AE=

DF,求证：△AED之△DFC；

(2)在(1)的条件下，求证：DELCF-,

(3)如图2,在矩形ABCD中，过点C作CE_L8。交于点E,若tcmNDCE=宗求

rr

77?的值；

BD

(4)如图3,在四边形A8CD中，NA=NB=90°,E为AB上一点,连接。E,过点C

作。E的垂线交瓦)的延长线于点G,交A。的延长线于尸，且A8=5,AO=3,CF=6,

求。E的长.

图1图2图3

4.如图，在正方形ABCD中，点M是边2C上的一点(不与8、C重合)，点N在边。

延长线上，且满足NMAN=90°,联结MN,AC,MN与边交于点E.

(1)求证：AM-AN；

(2)如果/CAO=2/7VA。，求证：AM2=AC'AE；

CMOM

(3)MN交AC点。，若­=k,则二；=(直接写答案、用

BMON-------------------------------------

含左的代数式表示).

5.如图，在正方形ABC。中，点E在CA的延长线上，将△ABE绕点8顺时针旋转90°至

/XCBG,EG与AD交于点、F,与BC延长线交于点X,已知AE=4,EF=6.请解答以下

问题：

(1)/BCG的度数是

(2)求证：8G2=BC・BH；

(3)求GH的长.

6.如图1,E为凸四边形ABC。内一点，ECLCD,分别连接AC,DE,已知：ZBAC=Z

EDC,ACLBC.

(1)求证：△ABCs^DEC；

RF

(2)连接BE,求证：tan/BAC=卷；

(3)如图2,延长BE交A。于点R连接CR若NBAC=30°,AF^l,CF=3,求

BF的长.

图1图2

7.如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作出UOE于/点,

交CD于G点.

(1)求证：ABGCSADGF；

GF

(2)若点G是。C中点，求法的值.

8.模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，

能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程.

【模型探究】

1

探究1.如图①，点。是△ABC中8C上的一点，且过点2作瓦?〃AC交

AD的延长线于点R则=.

AC

探究2.如图②，在△ABC中，ZBAC=90°,AB^AC./D4E=45°,交.BC于点、D、

E.求证;A/=DE。BE.

【模型应用】

如图③，点E为正方形ABC。边A。的中点，连结8E,作/班F=45°,交CD于点F,

9.如图,在菱形ABCD中,连结对角线AC,点E在边A8上，过点E作E尸〃BC交AC于

点、F,连结。E交AC于点G.

(1)若NB=105°,求NCDE的度数.

(2)若AC=15,AE=2BE,求GP的长.

E

BC

(3)求证：GA2=GF-GC.

10.如图，在△ABC中，AB=AC=6,BC=8,点。是BC边上的一个动点，点E在AC上,

点。在运动过程中始终保持N1=NB,设2。的长为尤(0<x<8).

(1)求证：ADCEsAABD；

(2)求尤为何值时，CE最大?

(3)直接写出x为何值时，△A£>E为等腰三角形?

11.如图，在RtZXABC中，NA=90°,AB=3,AC=4,。是线段AC上的点，且满足tan

ZADB^3,将线段绕点。逆时针旋转90°得到。E,连结CE.

(1)求证：ACXCE；

EF

(2)连结。E交线段BC于点F求一的值;

1

(3)点P在直线AC上，当tazi/DBP=齐寸，求AP的长.

12.△ABC中，ZABC=90°,BDVAC,点£为8。的中点，连接AE并延长交8C于点凡

且有AF=CF,过F点作FH±AC于点X.

(1)求证：AADEs^CDB；

(2)求证：AE=2EF；

(3)若FH=W,求BC的长.

13.如图，矩形4BCD中，AB=mBC,E是AB上一点，连结DE,过点。作OFLOE交直

线8C于点凡连结所交C。于点G,作交EP于点M,交直线A3于点N.

DF

(1)若7"=1,求--值.

DE

(2)设tan/BPE=A.

1PC

①若/£=最求F的值.(用含机的代数式表示)

NMG

②若△OMG的面积为Si,的面积为S2,求f1的值.(用含机，上的代数式表示)

S2

14.正方形ABCD边长为2,点E在边BC上.将△ABE沿AE翻折至△AER延长EF交

C£＞于点G,连接AG.

(1)如图1,求证：ZDAG^ZFAG；

(2)当点E是BC中点时，

①如图2,求tan/CGE的值；

②如图3,连接加取血中点。连接。尸并延长交8于点M.求丽的值.

图1图2图3

15.如图，AD//BC,点E在边AB上.

AEDF

(1)如图1,点P在边C£)上，若一=一，求证：EF//BC-,

ABDC

⑵如图2,若2E=AD=%B=”C=1,点M在边2C上，DM,CE相交于点N,

已知CZ>2=Z)M・ON,ZCEM=ZDMC.

①判断四边形A即〃)的形状;

②求线段CD的长.

16.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点尸在射线4。上运动，以2尸为直角边向

右作RtZXPB。，使得/BPQ=90°,BP=2PQ,连接C。.

(1)若△ABP与△8P。相似，贝!JAP=；

(2)当AP=2时，求CQ的值；

(3)求C。的最小值.

17.如图，在正方形A8C。中，M为BC边上一动点(点〃不与3,C重合)，连接。AL

将线段DM绕点M逆时针旋转90°得到线段MN,连接B。、BN、DN,DN交AB边于

点P.

(1)如图1,求证：4DCMsADBN；

CMPN

(2)如图2,设---=X,---=V,

BMDP,

①当x=l时，请探究得出y的值;

②求出y与x之间满足的关系式.并解决问题：如图3所示，连接MP,若4B=2

当/PMN=30°时，求CM的长.

图1图2图3

18.如图，菱形A2CZ)中，/4=60°,点£在对角线20上，且BE=3DE,点F为边AB

上一动点，作/五£尸=60°,交BC于点尸，交AB延长线于点G.

(1)求证：AEEBsAGFE；

(2)连接PF,求证：是等边三角形；

EF

(3)连接PR延长尸E交C。于点。，连接P。，当△PEQ与△BEP相似时，求丁的值.

备用图

参考答案

1.【解答】(1)证明：・・・DEJ_CM,

：.ZCDF+ZDCF=90°,

•・・NACB=90°,点M为AB的中点，

1

：.CM=BM=^AB,

；・NB=/BCM,

'：ZBCM+ZDCF=90°,

ZCDF=ZBCM=ZB,

又,：/BCA=/DCE,

•••△CDEsACBA；

(2)证明：由(1)可知，CM=^AB,ACDE^ACBA,

•：DE=CM,

1

：.DE=^AB,

.DCDE1

•・BC~AB~2

即BC=2DC；

(3)解：过点A作APLCM于点尸，过点3作BQ,CM交CM延长线于点。，如图2,

•；DE工CM,APLCM,BQLCM,

：.AP//DE//BQ,

tADPFBE_FQ

,•CD-CF'CE~CF'

・・•点M为AB的中点，

：.AM=BM,

VZAMP=ZBMQ,ZQ=ZAPM,

在△AM尸和△5MQ中,

/-AMP=乙BMQ

Z-APM=(Q,

AM=BM

：.AAMP^ABMQ(A4S),

；・PM=QM,

・・•点尸为CM的中点，

1

ACF=FM="M,

ADBE

----+—

CDCE

_PFFQ

=CF+~CF

_PF+FQ

二CF

_PF+PF+PM+QM

=CF

2(PF+PM)

CF

2FM

=~CF~

=2.

2.【解答】(1)证明：・・,矩形ABC。,

AZBAZ)=90°,

ZABE+ZAEB=90°,

,?ZABE=ZDAF,

：.ZZ)AF+ZAEB=90°,

ZAOE=90°,

：.AF.LBE；

(2)解：•・•四边形ABCZ)是矩形，

：.AB//CD,

：.ZABF=ZGDF,NBAF=NDGF,

AABFs^GDF,

.AB丝

••—,

DGDF

1

：.DF=^BF,

11

：.DG=^AB=/4=2,

・・•四边形ABC。是矩形，

ZBAE=ZADG=90°,

・.•ZABE=ZDAF,

：.AABE^ADAG,

.ABAE

•.=,

DADG

VAB=4,AZ)=6,DG=2,

.4AE

.•一=,

62

4

'•AE=于

4

故答案为：—;

(3)解：•・,正方形ABC。，

工NABF=ZGDF,NBAF=ZDGF,

：.△ABFs^GDF,

9ABBF4F

,•DG~DF~GF'

'：DF=^BF,

ABBFAF

•••—_—_—_乙o,

DGDFGF

设正方形ABCD的边长为a,则AB=AD=a,

1

:・DGAF=2GF,

/.AG=y/AD2+DG2=J.+gq)2=当。，

VAF=2GF,

••AF=^AG=0,9

V5L

a

tAF-V5

*ADa3

V5

故答案为：一.

3

3.【解答】(1)证明：由正方形可知/4=/尸。。=90°,AD=CDf

在△AEZ)与△。尸C中，

AE=DF

Z.A=乙FDC,

AD=CD

：.AAED^ADFC(SAS)；

(2)证明：由正方形性质可知NAZ)E+NA&)=90°,

VAAED^ADFC(AAS),

：.ZDFC=ZAED,

：.ZDFC^-ZADE=90°,

J.DE1.CF；

(3)解：如图2,设瓦)与CE交于点G,

由条件可知NA=N&)C=90°,AB=CD,

PCELBD,

：.ZDGC=90°,

：.ZCDG+ZECD=90°,NADB+/CDG=90°,

：.ZECD=ZADB,

图2

VZCDE=NA,

:.ADECS^ABD,

.CEDEDE

••BD~AB~CD'

...._DE_3

・tCLTiZn-urCzE7=4,

.CE3

••BD—4；

(4)解：如图3,过点C作CXLAF交AB的延长线于点H,图3

由条件可知/6=///=/4=/8=90°,

四边形ABC8为矩形，

：.AB=CH,NFCH+NCFH=NDFG+NFDG=90°,

:./FCH=/FDG=/ADE,ZA=ZH=90°,

：./\DEA^/\CFH,

DEAD

CF~CH

DEAD

CF~AB"

DE3

65

18

：.DE

4.【解答】(1)证明：・・•四边形ABC。是正方形，

：.AB=AD,ZCAD=45°=ZACB,ZBAD=90°=NCDA=NB,

ZBAM+ZMAD=90°,

■:NMAN=9U°,

ZMAD+ZDAN=90°,

ZBAM=/DAN,

'：AD=AB,ZABC=ZADN=90°,

・•・AABM^△AONCASA),

：.AM=AN；

(2)证明：U：AM=AN,ZMAN=90°,

：.ZMNA=45°,

VZCAD=2ZNAD=45°,

:•/NAD=225°,

：.ZCAM=ZMAN-ZCAD-ZNAD=22.5°,

:・NCAM=/NAD,ZACB=ZMNA=45°,

・•・AAMC^AAEN,

.AMAC

AE~AN'

：.AM*AN=AC9AE,

'：AN=AM,

:.AM2=A^AE；

(3)解：如图，过点M作M/〃AB交AC于点R

设BM=a,

CM

*.*----=k=k,

BM

BC=(Z+l)a,

即AB=CD=BC=(Z+l)a,

'：MF//AB//CD,

MFCMk

AB~CB~1+k'

MF=ka,

OMMEkak

ON~CN~(/c+l+l)a—k+2

,k

故答案为：-~~

k+2

5.【解答】（1）解：•「△ABE绕点3顺时针旋转90°至△C5G,

；.BE=BG,NEBA=/GBC,AABE^ACBG,

:四边形ABC。是正方形，

ZABC=90°,

：AC是正方形ABCD的对角线，

；./BAC=45°,

.•.ZBAE=180°-ZBAC=135°,

•/4ABE咨ACBG,

.•.NBCG=NBAE=135°,

故答案为：135°；

(2)证明：:△ABE绕点8顺时针旋转90°至ACBG,

:./EBA=NGBC,

：.ZEBA+ZABG^ZABG+ZGBC=ZABC=90°,

：.ZEBG=90°,

又；BE=BG,

:./BGE=45°,

：./BGH=135°,

在aBCG和△BGH中，NGBC=NHBG,NBCG=NBGH=135°,

:.丛BCGs丛BGH,

.BCBG

••=,

BGBH

：.BG2=BC'BH；

(3)解：,:ABCGsABGH,

:.ABAES/\BGH,

；.NBEA=NH,

,四边形ABC。是正方形，AC是正方形ABC。的对角线，AE=4,EF=6,

：.AD//BH,ZDAC^ZBCA^45°

：./H=NEFA,Z£AF=135°,

:.NBEA=/EFA,NEAF=NBAE,

：./\BAE^/\EAF,

,ABAE42

''BE-EF―6-3’

设AB=2x,BE=3x,

则有4B=BC=2x,BE=BG=3x,

在直角三角形BEG中，由勾股定理得：EG=„+BG2=或BE=342x,

在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC=y/AB2+BC2=2<2x,

：.EC=AE+AC=2缶+4,

：NBCG=135°,

：.ZHCG^45°,

AZECG=180°-NBCA-NHCG=90°,

在Rt/XECG中，由勾股定理得：EG2=CG2+EC2,

由旋转可知CG=AE=4,

A42+(2缶+4)=(3缶尸

解得：勺=4"4",%2=4T2-4V7(负值，舍去)，

：

.EC=AE+AC=242x4”竺+4=36+^^

.京—254T2+4V7_24+12/14

••EG-37v2szX一,

又TA尸〃CH,

.EHEF63

••EC-ZE-4-2’

-ru_3nr-54+12/14

••EH-EC-,

."54+1271424+12714.

..GruH=EcHu—EG=------g----------------g------=6.

6.【解答】(1)证明：E为凸四边形A5CD内一点，EC-LCD,ACLBC,ZBAC=ZEDC,

：.ZACB=ZECD=90°,

AABC^ADEC；

(2)证明：由(1)知：△ABCS^DEC,

.BCAC_

••=,

CECD

.BC££

••—,

ACCD

VZACB=ZECD=90°,

ZBCE=ZACD=90°-NACE,

ABCE^AACD,

.BCBE

••—,

ACAD

在RtAABC中，tan^LBAC=器

.BE

・・tcurZ-BAC=彳D；

(3)解：ZBAC=30°,A尸=1,CF=3,如图2,过点。作CG±

CF,则NGCF=NAC5=90°,

：.ZBCG=ZACF=90°-ZACG,

,:ABCEsAACD,

:.ZCBE=ZCAF9

.•.△BCGS^ACF,

.BGCGBC

"AF~CF~AC图2

R「r5

9：tan^BAC=tan30°=券=号,

.BGCGV3

••1-3-3'

：.BG=Y，CG=V3,

在直角三角形CTG中，由勾股定理得：FG=VCG2+CF2=2V3,

：.BF=BG+FG=寺.

7.【解答】（1）证明：：四边形ABC。为正方形，且E是边2C延长线上一点，BFLDE

于/点,

:.NBCG=NDFG=90°,

又•：NBGC=/DGF,

.SBGCsADGF；

（2）解：'：ZDCE^ZDFG^90°,NCDE=NFDG,

:.△DCEs^DFG,

由（1）得△BGCsADGF,且点G是。C中点，

.GFDFDF1BC

"CE~DC~2DG—2.BG'

设8C=2a,则CG=a.

在RtABCG中，由勾股定理得：BG=<BC2+CG2=V4a2+a2=证>a,

GF1BC12aV5

故--=_----=_XL=--.

CE2BG245a5

8.【解答】【模型探究】

探究1.解：\'BF//AC,

：ABDFs丛CDA,

.BFBD

••—，

ACCD

'：BD=Qc,

.BF1

••—―,

AC2

1

故答案为：-；

2

探究2.证明：在RtZXABC中，

VAB=AC,

ZB=ZDAE=45°.

又•:NAEB=NBEA,

：.AADE^ABAE.

.AEDE

••—,

BEAE

:.AC=DE・BE；

【模型应用】解：.四边形ABC。是正方形，

.•.AD=AB=BC=2,ZBAC^ZACB^45°,ZABC=90°,

；.AC=V2AB=2V2,

,/点E为正方形ABCD边A。的中点，

1

：.AE=^AD=1,

：.BE=7AB2+4£2=Vs,

,:AD〃BC,

：.AAMEsfMB,

.EMAEAM

"BM~BC~CM'

EM1

•#•—―,

BM2

・2-/5＞八/_4A泛

・・，C7VZ=，

VZMBN=ZBCM=45°,NBMN=NCMB,

:.ABMNs^CMB,

.BMCM

,•MN~BM

2V54A/2

・_3______3_

•・MN~2尺

3

.・.MA/NfAT=

o

5V2

故答案为：——.

6

9.【解答】(1)W：VZB=105°,AD//BC,

・・・NAW=75°,

•：DA=DE,

：.ZAED=ZBAD=75°,

ZADE=30°,

由菱形对角相等可得/4。。=/3=105。，

：.ZCDE=1Q5°-30°=75°.

(2)解：VEF/7BC,

AEAF

•••—_—_乙n,

BEFC

又・「AC=15,

2

：.AF=^AC=10,

由EF〃5C,可得△AEFs/\ABC,

.EFAE2

•・BC~AB~3f

XVBC=AZ),

.EFEF2

••BC~AD~39

'JEF//AD,

:•XGEFsXGDA,

EFGF2

AD~AG~3

9

故GF=gaF=4.

(3)证明：由菱形性质知NZMC=NA4C,

5L'：EF//AD,

：.ZDAC^ZAFE,

：.NBAC=ZAFE,

：.AE=EF.

U：DC//AB,

：.AAGEsACGD,

.GCDCADAD

99GA~AE~AE~EF9

,、…4GAD

由(2)中知—=—，

GFEF

.AGGC

•.二,

GFGA

.\GA2=GF-GC.

10.【解答】(1)证明：如图，

VZAZ)C=Zl+Z2=ZB+Z3,Z1=ZB,

・・・N2=N3.

又,.,A3=AC,

：・NB=/C,

:.ADCEsAABD；

(2)解：VADCE^AABD,

8-x

■CE—,BP—=

''BDABx6

・_12I_1zAY2I8

・・CE=一召X乙+可%=一不(％—4)+3

；.CE有最大值，

当尤=4时，CE有最大值;

⑶解：当x=2或尤=4寸，△")£为等腰三角形.理由如下:

①当D4=Z)E时，

：N2=N3,NC=/B,

在△£)(?£和△AB。中，

22=Z3

Z-C=Z-B,

、DA=DE

：.ADCE^AABD(AAS),

.\DC=AB=6,BP8-x=6,

解得x=2.

②当£A=E£>时，ZDAE=Z1=ZB=ZC.

：.ADAC^AABC.

DCAC8-x6

.....-------,即........——

ACBC68

解得久=于

③当AZ)=AE时，点。与点B重合，点E与点C重合，止匕时x=0.

或当AO=AE1时，Z1^ZAED>ZC,

VZ1=ZB=ZC,

：.AD=AE情况不成立.

综上所述，当尤=2或%=(时，△&£>£为等腰三角形.

11.【解答】(1)证明：在Rt^ABC中，NA=90°,

AD

9：t^ADB=芳=3,A5=3,

：.AD=1,CD=AC-AD=3f

由旋转的性质得：DB=DE,

：.ZADB+ZABD=ZADB+ZCDE=9Q°,

・•・ZABD=ZCDE,

在△A3。和△CDE中，

AB=CD

Z-ABD=乙CDE,

DB=DE

：.AABD^ACDE(SAS),

ZDCE=ZBAD=90°,

J.AC.LCE；

(2)解：如图2,过点D作。G〃AB交BC于点G,

.'.△CDG^ACAB,

•DG__C_D

••—，

ABCA

由(1)知CE〃AB,CE=AD=lf

J.DG//CE,

:・&CEFsXGDF,

EFcE

•----

，

一oFDG

EF14

即-

--9---

DF-9

4

.EFEF4

"ED~EF+DF~13'

•;BD=ED,

.EF4

••—,

BD13

(3)解：在中，BD=y/AD2+AB2=V10,

①当点尸在点。下方时，

如图3,连结过点尸作于点M,

在RtAPBM中,tan^DBP=器=

设则BM=2a,

在RtAPDM和RtAADB中,

5nPMABc

tanNADB=两=而=3,

11

：.DM=^PM=^a,

•；BD=DM+BM,

/.VTO=a+2a,

解得a=yV10,

□

APM=1V10,

在RtAADB中,sin^PDB=需=言=^V10,

在RtAPDM中,sin^PDB=黑，

PM3/—

・•・一=—Vio,

DP10

,„-J10..V103rm10

：.DP==PMn=§xyV10=7,

3

：.AP=DP-AD=^,

②当点尸在点。上方时，

如图4,连结尸2,过点尸作PAaBD交8。的延长线于点N

PN

在RtAPBN中，tan乙DBP=薪=

设PN=b,则BN=2Z?,

NADB=NNDP,

丁・tanNADB=tanNNDP,

•PN__A_B_2

DNAD

：.DN=^PN=坊,

\BD=BN-DN=2b-^b=^b=V10,

Q

•・PN=b=|V10,

.*/ADB=/NDP,

u

.sinZADB=sinZNDP9

PNAB3/—

—=—=—V

DPBD10

*.DP=^x|V10=2,

,.AP=DP+A£)=3,

3

综上所述：AP的长为］或3.

12•【解答】证明：(1)-JBDLAC,FH±AC,

：.ZADE^ZCDB^90°,BD//FH,

'：AF^CF,

；./DAE=NDCB,

在AADE与/XCDB中，

NADE=NCDB,ZDAE^ZDCB,

：.△ADEs^CDB；

(2):点E为2。的中点，

1

:・DE=BE=^BD,

:AADE^ACDB,

eADDE1

••CD-DB-2’

设AO=〃(〃>0),则0)=2〃，AC=AD^CD=3a,

VFH±AC,AF=CF,

13

：.AH=CH=^AC=

又,：BD//FH,

AEADa

•,•—-―--1—-乙O，

EFDH-a

2

即AE=2EF；

(3)解：由(2)知，AE=2EF,

2

：.AE=^AF,

YBD〃FH,

：.AADE^AAHF,

.DEAE

••=,

FHAF

解得：DE=—2―,

：.BD=2DE=竽，

VZABC=90°,BDLAC,

：.ZBAC+ZABD=ZBAC+ZC=90°,

ZABD=ZC,

VZADB=ZBDC,ZABD=ZC,

：.AABDS/^BCD,

・ADBD

••—,

BDCD

由(2)知，设AD=b(Z?>0),贝lJCZ)=2b,

・・・CD=2Z?=孚

在RtABCD中,BC=y/BD2+CD2=J(竽/+(孚/=4.

13.【解答】解：(1)•・,矩形ABC。，AB=mBC,

ABCD

：.—=—=m,ZEDF=ZAZ)C=90°,

BCAD

：.ZADE=ZCDF=90°-NEDC,

'：ZDAE=ZDCF=90°,

・•・△AD—△CDF,

.DFDC

—=—=m=1；

DEAD

(2)①・・・£)M_LER

:.NDMG=NFCG=90°,

•:/DGM=NFGC,

：.NMDG=NCFG,

tciTiZ-MDG=tciTiZ-CFG=0支=tcinZ-EFD=~=FM'

MG_J_

MF2m"

MF

即---=2m,

MG

MG+FG

=2m,

MG

♦・1+而=2m,

FG

----=2m—1；

MG

DC

②由（1）得二=—=m,ZEDF=90°,

DEAD

DFDM

tanZ-DEM=tan乙DEF=DE=m=EMftQ.TiZ-GDM=力时=k,

,MGMGDM

9EM~DMEM~

：CD//AB,

,•丛DMGs丛NME,

e=（器』"

14.【解答】（1）证明：：正方形ABC。是正方形,

：.AB=AD,ZB=ZD=9Q,

由翻折变换的性质可知A8=ARZB=ZAFE=90°,

：.AF=AD,ZAFG=ZD=9Q°,

VAG=AG,

RtAAG£>^RtAAGF(HL),

：.ZDAG=ZFAG；

(2)解：①由(1)可知△AGO之ZVIGR

：.GD=GF,

・・・石是BC的中点，

：.BE=CE=EF=1,

设GO=GF=x,

在RtZXCGE中，EG12=CG2+EC2,

(l+x)2=(2-x)2+l2,

••X-7Z,

24

-2---

CG3

EC13

-

-C---

tanZCGE3=G4

-

3

-

②如图3中，连接5RC4F,3/父AE于点J,过点尸作m_L3C于点H.

VAB=2,BE=\,ZABE=90,

•\AE=Vl2+22=V5,

由翻折变换的性质可知，AB=AF=2,BE=EF=1,

・・・AE垂直平分线段5R

：.BJ=JF,

11

•；iAB・BE=/AE・BJ,

22

.A1x22V5

••即=7T=『

・PZ74后

・・BF=k，

VZFBC+ZABF=90°,ZABF+ZBAE=90°,

图3

:・/BAE=/FBC,

tanZFBC=tanZBAE,

.CFBE

••=,

BFAB

.CF1

工运=5，

~"5"

・「口2V5

■­CF=—

11

♦：—BF，CF=mBC・FH,

22

.・诙j

・•・CH=VCF2-FH2=

23

：.EH=CE-CH=1-j=|,

'：OE//FH//CM9

3

#OFEH53

''FM~CH~~2

5

15.【解答】（1）证明：连接。E并延长OE,交C8的延长线于点G,

9：AD//BC,

：.AADEsABGE,

.AE_竺

••—,

BEEG

AEDEAEDE

----------=-----------，即---=---,

AE+EBDE+EGABDG

ttAEDF

*AB~DC

.DEDF

••—■,

DGDC

；/EDF=NGDC,

:.ADEFS/\DGC,

：.ZDEF=ZDGC,

：.EF//GC,EF//BC.

(2)解：①四边形ABM。是平行四边形；理由如下:

如图2,延长胡，CD相交于点P,

11

'：AE=AD=^AB==BC=1,

：.AB=2fBC=3,

9：AD//BC,

：・APADs4PBC,

PAADrrP41

--=---,即-----=一

PBBCPA+23

：.PA=1,

：.BP=BE+AE+AP=1+1+1=3.

'：CD1=DM*DN,

.CD_DN

・'DM~CD'

•：/CDN=NMDC,

:•△CDNsAMDC,

：.ZDCN=ZDMC,

•；NCEM=NDMC,

：.ZDCN=ZCEM,

J.EM//CD.

:.ABEMsABPC,

BMBElBM1

-=---,即---=一,

BCBP33

：.BM=AD,

'：AD//BM,

，四边形ABMD是平行四边形.

②延长BA,相交于点P,如图3,

"：/\PAD^/\PBC,

.PDPA1

"PC~PB~3,

1

：.PD=i?C,

2

ACD=，PC，

'：ABEM^ABPC,图3

MEBMME1

---=,即=一,

CPBCPC3

1

：.ME=^PC,

.MEi

••—7——,

CD-PC2

3

,:EM〃CD,

:.AEMNsACDN,

.ENEM1

••CN—CD~2

没EN=a,则CN=2〃，EC=EN+CN=3a,

VZMEC=ZNMC,ZECM=ZMCN,

:.AECMs^MCN,

CMEC23a

•一=一，即一=一,

解得a=第，

.".EC=3a=V6.

延长A4,CD相交于点P,过点E作EQLBC于点。，

设MQ=x,贝i|BQ=BM-MQ=1-x,CQ=QM+MC=x+2,

在RtZXBE。中，由勾股定理得：EQ1=BE2-BQ2,

在Rt/XCE。中，由勾股定理得：EQ1=EC1-CQ1,

.".BE1-B^=EC1-CQ2,

：.I2-(1-X)2=(遍)2—(%+2)2,

1

解得x=3,

•\MQ=弓，BQ=l—x=^,

在RtABEQ中,由勾股定理得：EQ=^BE2-BQ2=卜一(刍2=字，

在RtAEQM中，由勾股定理得：EM=JEQ2+MQ2=J(^)2+(1)2=乎,

..ME1

•——，

CD2

2

/.CD=2EM=1V6.

16.【解答】解：(1)•・,四边形A5CD是矩形，

ZA=90°,

：.ZBPQ=ZA=90°,

•・•AABP^ABPQ相似，

APPQ_^APPB

--=---或--=---，

ABBPABPQ

VAB=6,BP=2PQ,

.AP1_^AP

—=一或—=2,

626

・・・AP=3或AP=12,

故答案为：3或12；

(2)解：过点。作于点“，与BC交于点、N,

则NA=NPMQ=NCNQ=90°,AB=MN=6,

'：ZBPQ=90°,

NAPB+/MPQ=ZMPQ+ZPQM=90°,

NAPB=NMQP,

AAPB^AMQP.

.APABBP

••MQ~MP~PQ'

设贝!jNQ=6-x,

♦：BP=2PQ,AP=2,

26

•••一—一―_乙o,

XPM

，x=l,MP=3,

：.CN=DM=AD-MP-AP=8-3-2=3,

；・CQ2=。储+。解=52+32=34,

ACe=V34;

(3)由(2)得，△APBs^MQP,

.APABBP

99MQ~MP~PQ'

设MQ=x,贝!JNQ=6-x,

・：BP=2PQ,

AP6

•••——一乙o,

xMP

.'.AP=2x,MP=3,

：.CN=DM=AD-MP-AP=8-3-2x=5-2x,

：.CQ1=QN1+CN1=(6-x)2+(5-2x)2,

一（16、2।49

一5（工一号）+亏，

当x=当时，CQ2的最小值为w，

**•CQ长的最小值为《―•

17.【解答】（1）证明：如图1中，过点N作NHLC8交C3的延长线于点H.

：MD=MN,ZDMN=90°,

,・ADMN是等腰直角三角形，

•・NMDN=45°,

••四边形A5CZ)是正方形，

・.CD=CB,ZC=ZABC=90°,ZBDC=ZDBC=45°,

：NHLCH,

•・NH=NDCM=9U°,

/ZNMH+ZDMC=90°,ZDMC-^-ZCDM=90o,

•・NNMH=/CDM,

：MD=MN,

•.ADCMWAMHN(A4S),图1

•・CD=MH