2025年九年级中考数学二次函数压轴题：平行四边形存在性问题（含解析）

专题07平行四边形存在性问题

(2022•福山区一模)

1.如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),点8(3,0),与y轴负半轴交于点C,且

备用图

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求直线BC的函数表达式；

⑶若点尸是抛物线上一点，过点P作无轴交直线于点Q,试探究是否存在以点E,

D,P,。为顶点的平行四边形.若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

(2024秋•长沙期中)

2.如图，直线y=-；x+2与丁轴、x轴分别交于点8、点C,经过8、C两点的抛物线

y="2+6x+c与无轴的另一个交点为A(-l,0).

(1)求二次函数的解析式；

(2)点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当ABCP的面积最大时，求P点的坐标；

(3)在(2)的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q,当8、C、P、Q为顶点所构成的四

边形是平行四边形时，直接写出。的坐标.

(2024秋•阜阳期中)

3.如图，在直角坐标系中，二次函数y=gf+bx+c的图象与x轴相交于点人(-2,0)和点

3(6,0),与＞轴交于点C.

备用图

(1)求。、c的值；

(2)若点P是抛物线段上的一点，当△P3C的面积最大时求出点P的坐标，并求出APBC

面积的最大值；

⑶点尸是抛物线上的动点，作E/〃AC交x轴于点E,是否存在点E使得以A、C、E、F

为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，

请说明理由.

(2023•成都模拟)

4.如图1,已知二次函数丁=加+法一3的图象与无轴交于点A(-3,0),3(1,0),与y轴交

于点C.点。在y轴上，其坐标为(0,1).

图1

(1)求该二次函数的表达式;

(2)已知在线段AC下方的抛物线上有一动点P,直线尸C与直线3D交于点。，连接AQ,

AP.当442。的面积最大时，求点尸的坐标;

(3)在(2)条件下，将抛物线>=初2+版一3沿射线4。平移2四个单位长度，得到新的抛物

线(如图2),点R在新抛物线的对称轴上.在直线>=缶上有一点S,使得以点P,D,R,

S为顶点的四边形是平行四边形，求所有符合条件的点R的坐标.

(2023•怀远县校级模拟)

5.如图1,抛物线、=办2+汝+4(。40)与x轴交于点A(T,O),C(3,O),与y轴交于点8.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，抛物线的对称轴与BC交于点。，连接OD,点F在x轴上，抛物线上是否存在点

E,使得以。，F,D,E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标;

若不存在，请说明理由.

(2024春•莱芜区期中)

⑴求该二次函数的解析式；

(2)如图1,在x轴下方作x轴的平行线/,交二次函数图象于A、B两点,过A、B两点分别

作x轴的垂线，垂足分别为点。、点C.当矩形ABCD为正方形时，求A点的坐标；

(3)如图2,在(2)的条件下，作直线4C,动点尸从点A出发沿射线A8以每秒1个单位长

度匀速运动，同时动点。以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点。时立即

原速返回，当动点。返回到点A时，尸、。两点同时停止运动，设运动时间为f秒«>0).过

点尸向x轴作垂线，交抛物线于点E,交直线AC于点凡当以A、E、F、。四点为顶点的

四边形是平行四边形时，求才的值.

(2024•阳西县一模)

7.已知二次函数图象的顶点坐标为4L4),且与无轴交于点

⑴求二次函数的表达式；

⑵如图，将二次函数图象绕无轴的正半轴上一点P(%0)旋转180。，此时点4、8的对应点分

别为点C、D.

①连结AB、BC、CD、DA,当四边形ABCD为矩形时，求根的值；

②在①的条件下，若点M是直线x=上一点，原二次函数图象上是否存在一点。，使得以

点8、C、。为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点。的坐标；若不存在，请

说明理由.

参考答案：

1.(1)y=x2-2x-3

⑵y=i

(3)存在，点P坐标为(4,5)或(-1,0)

【分析】(1)先求得点C(0,3),再利用待定系数法求解即可；

(2)设出直线的函数表达式，再利用待定系数法求解即可；

⑶设点尸(。,6-2。-3),由轴交直线BC于点°,可知点0(。,。一3),因为尸。〃ED,

所以当PQ=ED时，四边形即尸。为平行四边形，据此即可求解.

【详解】(1)解：,••点A(-1,0),OC=3OA,

：.OC=3,

:.点、C(0,-3),

将点A(-1,0)、点、B(3,0)和点C(0,-3)代入抛物线,=依2+陵+~

0=a-b+ca=l

解得卜=-2,

可得<0=9Q+3Z?+C,

-3=cc=-3

该抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3；

(2)设直线BC解析式为>=履+6,将点2(3,0)和点C(0,-3)代入,

0=3k+bk=l

可得,解得

—3=bb=-3

...直线BC的函数表达式为y=X-3；

(3)存在,设点P(a,/-2”3),

.,.点。(口,。-3),

:抛物线的顶点为。，

点。(1,-4),

;点、E(1,0),

2

：.\PQ\=\yQ-yP\=\a-3c\,PQ//ED,

若EQP。为平行四边形，则PQ=EO,

:点。(1,-4),点、E(1,0),

/.ED=PQ=4,

M-3a卜4,

,•a?-3a=4—3a=—4,

当/一3。=4时，解得4=4,%=T；

当°2-3a=-4时，即6-3。+4=0,此时A=(-3)2-4xlx4=-7<0,无解.

.••4(4,5),6(-1,0),

...存在以点E,D,P,。为顶点的平行四边形，点尸坐标为(4,5)或(-1,0).

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式以及

二次函数图形问题，解题关键是利用数形结合思想将代数和几何图形结合起来.

-1,3

2.(1)y=—x~H—尤+2

22

(2)(2,3)

⑶(6,1)或(2,-1)或(-2,5)

【分析】(1)先求出点8,C的坐标，再利用待定系数法求解；

(2)先求出直线2C的解析式，作PZJLx轴于点交直线3c于点£,设点

尸(p，-)p2+|p+2],用含p的二次函数表示出ABCP的面积，即可求解；

(3)设点。的坐标为(4,%)，分点P在第一、二、四象限三种情况，利用平行四边形的

性质列方程，即可求解

【详解】(1)解：y=+2中，令尤=0,得y=2,

令y=0,贝！|-gx+2=0,解得x=4,

.•.8(0,2),C(4,0),

将A(-1,0),5(0,2),C(4,0)代入y=尔+6无+c,

a=—1

a-b+c=02

得一。=2,解得•c=2

16〃+4。+。=0b=2

[2

1.3

二二次函数的解析式为y=-]r+]X+2；

(2)解：设直线的解析式为y=s+",

将5(0,2),C(4,0)代入,得向+…,

n=2

解得1,

12

二直线BC的解析式为y=-1x+2.

如图，作尸DJLx轴于点交直线BC于点E,

二PE=—gp2+|.p+2_[_gp+2)=_gp2+2p,

So=g尸E.(2—4)=gx/+2p)x4=_p2+4p=_(p_2)2+4,

.•.当p=2时，S.PBC取最大值4,

i3i3

——p1+-p+2=——X22+-X2+2=3,

2222

尸点的坐标为(2,3)；

(3)解：设点。的坐标为(4,%),分三种情况,

x+x=x+x

当点。在第一象限时，QBpc

XQ+0=2+4

y0+2=3+0'

G=6

解得

%=1

点Q的坐标为(6,1)；

x+x=x+x

同理，当点。在第四象限时,QpBc

为+%=%+先

XQ+2=0+4

即

>Q+3=2+0

=2

解得

}

yQ=-

•・•点Q的坐标为（2,-l）；

x+x=x+x

当点。在第二象限时，＜QcBp

XQ+4=0+2

即＜

+0=2+3

XQ=-2

解得

%=5

二点Q的坐标为（-2,5）；

综上可知，点Q的坐标为（6,1）或（2,-1）或（-2,5）.

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，二次函数的最值，平行四

边形的性质等，第二问的关键是用二次函数表达出S/BC，第三问的关键是注意分情况讨论,

避免漏解.

1,

3.（l）y=—X--2.x—6

⑵与肥最大=学此时小苫］

⑶存在，尸（4,一6）或（2+2g,6）或（2-2b,6）

【分析】（1）利用待定系数法求解即可;

(2)方法一：连接OP,通过S△PBC=S四边形PBOC-S曲0C表示出函数关

系，利用函数的性质进行求解；方法二：作尸。」AB于0,交2C于点，苏-26),

S/BC=：POX08求得函数关系式，进行求解即可；

(3)分两种情况，当四边形ACEE为平行四边形时或当四边形AC跖为平行四边形时，利

用平行四边形的性质进行求解即可.

【详解】(1)解:把点人(一2,0)和点3(6,0)代入y=尤+。，

fl9

-x(-2)-2Z?+c=0

得；，，

—x6~+6b+c=Q

[2

解得

**•y=-—2.x—6；

-2

(2)解：当x=0时，y=-6,

/.C(0,-6),

CO=6,

方法一：如图1,

图1

连接0P,

设点疗-2m-6

SAPOC-~OC-x=^x6xm=3m,S"OP=：g|yp|=31一12c「

p—m+2m+6

2

S=-OB-OC=-x6x6=18

△DKCo/Cr22

•C_C_C

••64PBe-Q四边形PBOC口ROC

)—SMC

(SAPOC+SAPOB

=3m+3^--^-m2+2m+6j-18

2

=-|(m-3)+^,

27(15、

r.当祖=3时,S.PBC最大=3，此时尸0,一了J；

方法二：如图2,

作尸Q1A3于Q,交BC于点。，设BC解析式为：y=kx+t

/、/、\6k+t=Qk=l

•••8(6,0),C(0,-6),贝ij,，解得

\t=­b

・・・直线3c的解析式为：y=x-6f

D[m,m-6),

-"2吁612c

PD=(m-6)——m+3m,

(22

2

•'­S.PBC=^PD-OB=^6-\-^nr+3/TIj=-3)+y--

27/15、

...当m=3时，S.PBC最大=不，此时什3,一方卜

(3)解：如图3,

图3

当四边形ACRE为平行四边形时，AE//CF,

:抛物线对称轴为直线：x=2,C（0,-6）

点的坐标：（4,-6）

如图4,当四边形ACEF为平行四边形时，AC=EF,

作尸G_LAE1于G,

图4

AC\\FE,

：.ZCAO=ZFEG,

又ZAOC=NFEG=90°,

：.&AOC当AFEG,

FG=OC=6,

当y=6时，^x2-2x-6=6,

••芯=2+2*\/*7,&=2-2,\/^7,

.•.打（2+24,6）,鸟（2-2#,6）,

综上所述：*4,-6）或（2+2/6）或（2-2/6）.

【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数与面积问题，二次函数与特殊的

平行四边形，解题的关键是熟练掌握相关基础知识.

4.（l）y=x2+2x-3

⑵尸（匕3「力15、

（3）（1，一9+［血［或［1，?一；3）或［1，一?+|■应］

【分析】（1）将A,8的坐标代入二次函数解析式，建立方程组，求解即可；

（2）分别求出直线AC,即的解析式，可证AC〃3。，所以AACQ的面积=AACD的面

积，进而求△尸AQ的面积最大可转化为求APAC的面积最大；过点尸作轴交AC于

点E,表达AP4c的面积，利用二次函数的性质求解即可；

（3）由平移的性质可知，抛物线＞=。/+法+3沿射线AC平移20个单位长度，即向右平

移2个单位，向下平移2个单位，由此可得出新抛物线的解析式，可得出点R的横坐标，

根据平行四边形的性质，可分类讨论：当尸。是平行四边形的边时，当PD是平行四边形的

对角线时，分别求解即可，

【详解】（1）解：：二次函数〉=以2+版_3的图象与天轴交于点4（-3,0）,3（1,0）,

.f9a-3b-3=0

**Ia+b—3=0'

a=l

解得

b=2

该二次函数的表达为y=x2+2x-3；

（2）解：如图1,连接AO.

:抛物线与y轴交于点C,

，点C的坐标为（0,-3）.

设直线AC的函数表达式为y=kix+bi,

b、=—3

代入A（—3,0）和（0,-3）得

—3kl+"=()'

k1=-1

解得

b、=—3'

直线AC的函数表达式为y=-尤-3.

,/点B的坐标为（1,0），点D的坐标为（0,1）,

设直线的函数表达式为丁=左2%+优，

%=1

代入（1,0）和（0,1）得

?

k2+b2=0

k=—1

解得2

b2=1

直线8。的函数表达式为y=-x+l.

AC//BD,CD=l-(-3)=4,OA=3.

•二SjCQ=S/CD=—X4X3=6.

+=

S&APQ=S^APC+SAACQ=SAAPC^ACD8AApc+6

过点尸作PE轴交AC于点E,

设点尸的横坐标为t,

则尸（，,，2+2,一3）,E（t,—t—3）,

PE=—t2—3t.

•/A（-3,0）,C（0,-3）,

.♦.△APEoCPE[Wj的和为3,

…SjPQ=S^APC+6

=S&APE+S&CPE+6

=—x3x（-〃一3）+6

2

75

+一

8

T。，

.•.当/=一3时，△APQ有最大值，为"，产+2/—3=[_。]+2x[—。]一3=—"，

28I2)12)4

此时尸':一,)；

(3)解：由平移的性质可知，抛物线、=炉+2工-3=(；1+1)2-4沿射线47平移2夜个单位

长度，即向右平移2个单位，向下平移2个单位,

22

，平移后的抛物线为：yl=(x-l)-6=x-2x-5.

:点R在新抛物线对称轴上，

.「=1,

2x1

点R的横坐标为x=l.

若以点P,D,R,S为顶点的四边形是平行四边形，根据题意，需要分以下两种情况:

①当尸£)为平行四边形的边时，巧一%=覆-/或4-%=/-4,

解得％=：或%=一；.

:力一%%一％或%>f="f，

.---l=yR--42^i---l=--y/2-yR,

4242

195仄T191r-

•••%=_1+2,2或%=n,2

或丹4

②当PQ为平行四边形的对角线时，xp+xD=xR+xSf

/.—-+0=1+,

解得/=--，

55

:.S

22

15,

「1+1=力+

yR=_1+：3.

综上，若以点P,D,R,S为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为:

1,上+』或„1或(1，-瞿

422

【点睛】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的图象和性质，与抛物线有关的

动三角形的面积最值，平行四边形的存在性等问题，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的

思想解决问题.

48,

5.(l)y=-x-2+-X+4

(2)存在，"_虚,'|)或(1+a,"|］或11_5/^',_|"］或(1+逐,_*|)

【分析】(1)利用待定系数法即可求解；

(2)分两种情况讨论，①当以OF为平行四边形的一边时，②当以OP为平行四边形的对角

线时，利用平行四边形的性质求解即可.

【详解】(1)解:把点A(-l,0),C(3,0)代入y=+版+4(〃#0),

a-b+4=0

9〃+3Z?+4=0

4

a=—

3

解得。

b=0

[3

48

，抛物线的解析式为＞尤+4；

（2）解:存在,

抛物线、=-：/+9+4的对称轴为直线苫=二乎=1,点3（0,4）,

设直线8C的解析式为尸质+4,则弘+4=0,解得：k=-：,

4

直线BC的解析式为y=-尸+4,

:抛物线的对称轴与BC交于点D,

二点为O的坐标为卜,|；

当以。尸为平行四边形的一边时，此时DE〃。尸，即DE〃x轴，

解得：尤=1+Q或x=l-友，

•••点E的坐标为11-夜,|）或11+应,|

当以。尸为平行四边形的对角线时，此时。石也为平行四边形的对角线,

设点E的坐标为1九根+4，点尸的坐标为(〃,0),

n+0=1+m

八8/428八，

0+0=—+——m+—m+4

3I33J

m=1-瓜"2=1+巫

解得:或，

n=2—遍n=2+>/6

，点E的坐标为（1-后,-gj或11+指,-'I],

综上，点E的坐标为（1-3,：）或11+3,"Ij或或11+指,-'|].

【点睛】本题属于二次函数综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的对称性

质，一次函数解析式求解，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解

题的关键.

128

6.(l)y=——无

33

⑵4(2,—4)

⑶4或6或2+2近

【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A,8的坐标，进而可得出点C,。的坐标,

再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；

（3）由（2）可得出点A,B,C,。的坐标，根据点A,C的坐标，利用待定系数法可求出

直线AC的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求

出点E、尸的坐标，由AQ〃跳'且以A、E、F、。四点为顶点的四边形为平行四边形可得出

AQ=EF,分o<f<4,4<t<7,7<r<8三种情况找出AQ,跖的长，由AQ=跖可得

出关于/的-元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论.

【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：y=a（x-J^+k,

•.・顶点坐标为卜-号]

将原点的坐标代入上式得：0=。（0-4）2-?,

解得：«=

则抛物线的表达式为：^=1（X-4）2-y=|x2-|x;

（2）解：设直线/的表达式为：y=m,

[8

当丁=根时，m=—x2——x,

33

解得：x=4±J16+34,

・••点A的坐标为（4-J16+3加川）,点B的坐标为（4+J16+3加四）,

・••点D的坐标为（4-V16+3m,0），点C的坐标为（4+V16+3m,0）.

・・,矩形ABC。为正方形，

/.4+V16+3m-（4-J16+3zn）=m,

解得：叫=16（舍去），加2=-4.

m=-A,

即点A（2,-4）；

（3）解：以A、E、R。四点为顶点构成的四边形能为平行四边形.

由（2）可知：点A的坐标为（2,-4）,点8的坐标为（6,4）,点C的坐标为（6,0）,点。的坐

标为（2,0）.

设直线AC的解析式为y=kx+a{k丰0）,

代入（2,-4）,（6,0）,

[2k+〃=-4

得7，

6k+a=0n

k=l

解得

a=-6

・.・直线AC的解析式为y=兀一6.

当％=2+（时，y=~t2--t-4,y=x-6=t-4

339

二点E的坐标为一]一],点尸的坐标为（2+〃一4）.

•..以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQ〃所，

.■.AQ=EF,分三种情况考虑：

=（"4）一152

33

解得：乙=。（舍去），芍=4；

②当4<fW7时,

解得：6=4（舍去），〃=6；

③当7v，＜8时,

综上所述：当以A、E、F、。四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，方的值为4或6或

2+277.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形

的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性

质，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式：(2)利用正方

形的性质，找出关于根的方程：(3)分4<r<7,7<f<8三种情况，利用平行四

边形的性质找出关于/的一元二次方程.

7.(l)y=-(x-l)2+4(或、=-/+2无+3)

⑵①〃z=4,②存在符合条件的点。，其坐标为(工-21)或(2,3)或(12,-117)

【分析】(1)根据二次函数的图象的顶点坐标，设二次函数的表达式为y=a(x-iy+4,再

把3(-1,0)代入即可得出答案；

(2)①过点41