2025年九年级中考数学二次函数压轴题：二次函数与圆（含答案）

专题17二次函数与圆

定义：外接圆是指与多边形各顶点都相交的圆.特别地，三角形的外接圆是指过一个三角

形三个顶点的圆.外接圆的圆心是任意两边的垂直平分线的交点，这个交点被称为三角形

的外心.

性质：外接圆的圆心性质：三角形的外接圆的圆心是三角形任意两边的垂直平分线的交点,

这个交点被称为外心.

锐角三角形：锐角三角形的外心在三角形内部.

直角三角形：直角三角形的外心在斜边的中点上.

钝角三角形：钝角三角形的外心在三角形外部.

(2024春•开福区校级月考)

1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数图像与x轴交于(,)、(，),与y轴交于

⑴求二次函数的解析式；

(2)若平行于x轴的直线与抛物线交于M、N两点，与抛物线的对称轴交于〃点，若点〃

到x轴的距离是线段九W的万，求线段的长；

⑶抛物线的顶点为。，过定点0的直线>=区一"+3与二次函数交于£、RSE户外接圆

的圆心在一条抛物线上运动，求该抛物线的解析式.

(2024•兴化市二模)

2.已知二次函数7=/+6x+c与x轴交于"(TO),8(3,0)两点，与了轴交于点C.

1/33

J

备用图

5

（2）如图1,连接/C,BC,若点M在抛物线上，且"的横坐标为连接C",

//C3与48。朋•相等吗？请说明理由；

⑶如图2,点N是线段N3上任意一点3不与A,8重合），过点轴，交抛物

线于点“，连接/E,作的外接圆。尸，延长外交°P于点尸.试说明点尸在某条

定直线上.

（2024春•龙华区月考）

y=_x~+kx+k—

3.已知：二次函数.22.

（1）求证：不论人为何实数时，此二次函数与x轴总有交点；

」+日+」

⑵设左当二次函数22的图象与x轴的两个交点48间的距离为4时,

求此二次函数的解析式；

⑶在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C,过了轴上一点河（°，⑼作了轴的垂线/,当

加为何值时，直线/与△/sc的外接圆有公共点？

（2023•翠屏区校级模拟）

4.在平面直角坐标系中，将二次函数〉'以""〉。）的图象向右平移1个单位，再向下平移

2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与X轴交于点A、B（点A在点3的左侧），

°工=1,经过点A的一次函数了=履+以左3°）的图象与丁轴正半轴交于点C,且与抛物线

的另一个交点为。，△48。的面积为5.

⑴求抛物线和一次函数的解析式；

_j_

⑵点0是直线,一5上的一动点，连接FQ,设△OO尸外接圆的圆心为"，当

sin/°Q厂最大时，求点M的坐标（直接写答案）.

（2023秋•宿豫区校级期中）

5.定义：平面直角坐标系xQy中，过二次函数图象与坐标轴所有交点的圆，称为该二次

函数的坐标圆.

⑴已知点玖2,2）,以P为圆心，石为半径作圆，请判断。尸是不是二次函数

»=/一飘+3的坐标圆，并说明理由；

⑵已知二次函数＞-4x+4图象的顶点为a交＞轴于点c,则该二次函数的坐标圆的

圆心为尸在上；

（3）求APCM周长最小值.

（2023秋•雨花区期末）

6.如图，二次函数k*+6x+c的图象经过点'（TO），'（3,0）,点£为二次函数第一

象限内抛物线上一动点，即工工轴于点立，交直线8C于点尸，以斯为直径的圆。”与

BC交于点R.

3/33

y

(1)求6,c的值；

(2)当&EFR周长最大时，求此时E点坐标及AE尸五周长；

(3)连接CE、BE,当AERCSABRE时,求出E点坐标.

(2024•沂源县二模)

7.如图，己知二次函数了="，-2ox+c的图象与x轴交于N、2两点，其中/在2的

左侧，。/:。3=1:3；与y轴的正半轴交于点C；与一次函数＞=r+6的图象交于

2

tanZ.ADB=—

/、。两点，连接3.

⑴求6的值；

(2)求二次函数的关系式；

(3)在抛物线上是否存在点尸，使得以尸为圆心的圆与直线40和x轴都相切？若存在，求

出尸点横坐标；若不存在，请说明理由.

(2023秋•中山市期中)

8.如图，»关于x的二次函数3m图象的顶点为图象交x轴于

48两点，交y轴正半轴于点D.以N8为直径作圆，圆心为点C,定点E的坐标为(一3，°),

连接£，（m＞0）

⑴求用m表示的4瓦。三点坐标；

⑵当加为何值时，点M在直线助上？判定此时直线瓦）与圆的位置关系；

（3）当m变化时，用m表示的面积.

（2023秋•阜宁县期末）

9.在平面直角坐标系中，二次函数'-"X的图像经过点2）和点。（4,＜）,点

1c

y=—x+2

E是直线3的图像与二次函数图像在第一象限内的交点.

图①图②

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图①，若点M是二次函数图像上的点，且在直线CE的上方，连接“G0EME,

求四边形面积的最大值；

（3）如图②，经过“、B、C三点的圆交y轴于点尸（点尸与点C不重合），请直接写出点尸

的坐标.

（2024•龙湖区校级一模）

10.如图，二次函数＞=x2-6x+8的图象与X轴分别交于点/,8（点/在点2的左侧）,

直线/是对称轴.点尸在函数图象上，其横坐标大于4,连接尸4尸2,过点尸作PW/,

垂足为"，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与。”相切，切点为

5/33

⑵若以°M的切线长尸T为边长的正方形的面积与AP/3的面积相等，且不经过点

(工2),求尸M长的取值范围.

(2024•市中区校级模拟)

32,

y=—x+bx+c

11.二次函数4的图象经过点/(-1,0)和点C(0,-3)与x轴的另一交

点为点B.

(2)定义：在平面直角坐标系xQy中，经过该二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次

函数的坐标圆.问：在该二次函数图象的对称轴上是否存在一点。，以点0为圆心，

5I—3

—sjlOy=—x9+bx+c

6为半径作O0,使OQ是二次函数.4的坐标圆？若存在，求出点。的坐

标；若不存在，请说明理由；

⑶如图所示，点M是线段8c上一点，过点M作儿啰//y轴，交二次函数的图象于点P,

CM

以"为圆心，〃尸为半径作OM,当与坐标轴相切时，求出血的值.

参考答案:

](])y=+2x+3

⑵g±l

（3））=-212+4x+1

【分析】本题考查二次函数的综合题，涉及待定系数法求解析式，三角形外接圆，正切等

知识点；

（1）把根据“（T°）、8（3，°）设抛物线解析式为厂“（x+l）（x-3）,在把C（°，3）代入计算

即可；

（2）设点〃纵坐标为3”（如〃），N（〃，,然后根据点〃到x轴的距离是线段MN

工

的万，列方程计算即可；

（3）证明GEF是直角三角形即可得到GEF外接圆的圆心为线段昉的中点.

【详解】（1）•••二次函数图像与x轴交于“（T°）、8（3,0）,

•••设抛物线解析式为k"（x+l）（x-3）,

把C（0,3）代入y=a（x+l）（x-3）可得3=axlx（-3）,

解得好T,

••二次函数的解析式尸一（X+1）（〜3）=*+2X+3

⑵根据题意设设点”纵坐标为3"（如,N"，人）,

则加、〃是—一+2x+3=h两根

...m+n=2,mn=h-39△=2?-4（〃一3）之0即卜（4,

•・•点H到x轴的距离是线段的万,

|/z|=—MN=—|/n—w|

・•・22

2

h=^(m—"J=；(冽+_mn

h2=1X22-(/Z-3)

,-1±V17

h=-----------

解得2

1/33

AGV=2|/?|=V17±1

(3)'=-/+2》+3对称轴为直线OK：x=l,顶点D(l,4)

过E作£K_LOK于K,过尸作尸G_LDK于G,

设£@刀+20+3)、F(f,-f2+2f+3)

4-(-e2+2e+3)1

tanZDEK=—

EK\-e

/-I1

tanZ.FDG=-----=

DG4-(-/2+2/+3)/-I

...直线夕=区一左+3与二次函数交于£、F,

.»、/是依-左+3=-x?+2x+3两根，整理得’+(%一2六一%=0,

...e+/=2-左，ef=—k

e(e--t^=ef-(e+f^+\=-k-2+k+\=-\

...tanZDEK=tanZFDG

...ZDEK=ZFDG,

...ZDEK+ZEDK=90°

：./FDG+/EDK=90。,gpZFDE=90°f

・•.GEF外接圆的圆心为线段族的中点出,

..E(e,ke-k+3)F(f,kf-k+3^

(e+f左(e+/)

-------,--------------K-r.

・•.E尸的中点区坐标为I22

...e+f=2—k

’2-左k(2-k)\

R-左+3

2，-T~

7

k（2—k）

y=———^-k+32

令〔2，消去上得+4x+l,

GEF外接圆的圆心在一条抛物线上运动，求该抛物线的解析式为了=-2/+4x+1.

2.⑴尸*-2x-3

（2）相等；见解析

（3）点尸始终在直线》=1

【分析】⑴把“（T°）,'（3,0）两点代入〉=/+反+"由待定系数法即可求解；

2一叼

（2）由点3、C的坐标知，N/BC=45。,M的横坐标为3,则点（39人过点8作

了轴的平行线交CM于点〃，证明ABCH之ABC/（SAS）,即可求解；

（3）证明WNSAEBN,即嬴-而，设N（t,。），由题意得效-2”3）,可得

Z+1_NF

NE=-t2+2t+3,得出_»+2/+3-3-，求得湎=1,即可求解.

【详解】（1）解：把，（T°）,8（3，°）两点代入y=—+6x+c得，

fl-Z?+c=O

19+3b+c=0

jb=-2

解得

y—-2x-3.

(2)解：4cB=/BCM,理由：

把％=0代入昨f-2x-3得：y=-3,

,C(0,一3),

...8(3,0),

：.OB=OC,

3/33

ZABC=45°

5

・・・M的横坐标为3,

5_32

M5'一互

・.•点

过点3作歹轴的平行线交C"于点”,

设直线C"的表达式为：＞=Px+9,由点°、〃的坐标得,

夕=一3

p=—一

<3

解得〔”一3,

1。

y=——x-3

二直线CM的表达式为：3,

当x=3时，y=-4t

即BH=4=4B,

•••BC=BC,ZABC=45°=ZHBC,

.“BCb@ABCZ(SAS)

...ZACB=ZBCM；

♦❷♦♦

•:FB=FB,AE=AE,

/FAB=/FEB,/F=/ABE,

:AAFNS^EBN,

,AN_NF

…EN~NB.

设N(t，°),由题意可得£,"2T)

•.•EN_Lx轴，

•■•NE=-产+2'+3,

因为/(TO),5(3,0),

AN=t+1fBN=3—%,

.1+1_NF

—t2+2%+33—tf

/.NF,』+2/+3)=(t+1)(3-1)

整理得NF=1.

在x轴上，且尸在x轴上方，

二点尸始终在直线了=1上.

【点睛】本题主要考查了二次函数综合运用，涉及到三角形相似和全等、圆的基本性质等,

综合性强，难度适中.

3.(1)见解析；

123

y=—x-x——

⑵抛物线的解析式为-22.

⑶-2W机V2时，直线/与AABC的外接圆有公共点.

【分析】(1)利用判别式进行证明；

(2)利用根与系数的关系建立方程求人的值即可；

(3)判断出△/BC是等腰直角三角形，再由外接圆的性质求解即可.

本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理逆定理，三

角形的外接圆性质是解题的关键.

A=A:2-4x-*1-k--|=(^-1)2>0

【详解】(1)证明：•••212J,

••・不论人为何实数时，此二次函数与x轴总有交点；

5/33

11

_x9+kx+k——0

(2)解：当＞=°时，22,

.演+/=—2左xx-x2=2k-l

AB=^4公-4(2左-1)=4

解得左=T,

13

y=—x2-x——

・•・抛物线的解析式为22.

1X23

-X—X-------U

(3)解：当》=°时，22,

解得x=3或x=-l,

./(TO),8(3,0),

2z.\2-

1XX3=12

t/=2~~22^~^~

••・抛物线的顶点为C(『2),

...AC=242,8c=2拒，AB=4,

...△/2C是直角三角形，

・・・△/BC的外接圆圆心为(LO),半径为2,

・••-2V%V2时，直线/与A/BC的外接圆有公共点.

/［、20y——（x—I）2—2

【分析】（1）根据平移可求》二矶'—1）一2,将点A的坐标代入可求2,从而

可求8（3,0）,再由面积求出。的坐标，即可求解4。的解析式；

3

1/——

（2）”是。尸的中点，〃在直线,4上运动，可得N°。尸=/OM/,当〃。取得最小

值时，sinN°Q/的值最大，由此可得：当MQ垂直直线'一5时，M0取得最小值，进而

可求解.

【详解】（1）解：将二次函数歹=",（">°）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单

位，得到的抛物线解析式为，二°（xT）2-2,

•/OA=1

点A的坐标为(T，0),代入抛物线的解析式得，4a-2=0,

1

a=­

2,

—

y=-(x-l)2-2

二抛物线的解析式为2,即"22

y=-x2-x--=0

令y=0,则22,

解得：为=-1,*2=3

•••5(3,0).

AB=OA+OB=4,

的面积为5,

.SAABD='AB-yD=5

5

解得：玉=-2,超=4,

设直线的解析式为丁=丘+,则有

4k+b=-

-2

-k+b=Q

1J

解得：2,

11

y——x-\—

直线4。的解析式为22.

3

y=—

(2)解：如图，”是。尸的中点，M在直线4上运动,

7/33

sinZOQF=sinZ.OMH=-----=」一

OMOM,

二当。”取得最小值时，sin』。。厂的值最大,

MO=MQ,

・二当取得最小值时，sin/°Q厂的值最大，

1

17——

•••当MQ垂直直线,2时，MQ取得最小值，

，此时〃、。在二次函数的对称轴直线x=l上,

根据对称性，存在I「

故：I4）或I4；

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的外心，三角函数定义，二

次函数与圆的综合等，掌握二次函数的性质，运用转化思想是解题的关键.

5.（1）是，理由见解析

（2）线段/C的垂直平分线

（3）6

【分析】（1）先求得该二次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标，再利用两点坐标距离公

式和圆的定义判断三个点是否在。尸上，进而根据题中定义作出判断；

（2）根据题中定义和圆的定义，结合线段垂直平分线的性质，进而可得到结论；

（3）连接尸C,APO/的周长为。尸+P/+O/=OP+PC+O/NOC+。/,当点。、p、

。共线时取等号，进而可求解.

【详解】（1）解：是二次函数＞=x2-4x+3的坐标圆，理由为：

当x=0时，y=3,当y=0时，解方程x2_4x+3=0得占=1,赴=3

••二次函数y=x?-4x+3的图象与x轴的交点坐标为/。,0）,8（3,0）,与了轴的交点坐标

为。（。，3）,

..PA=J（2-1、+（2-0）2=V5PB=J（2—I、+（2-0）2=卡＞

PC=7（2-0）2+（2-3）2=y/5

J

.PA=PB=PC=y[5

,,，

故。尸是二次函数＞=x2-4x+3的坐标圆；

⑵解：旧知二次函数y=x2-4x+4=G-2）2图象的顶点为N,交y轴于点c,

该二次函数的坐标圆的圆心尸满足尸/=尸0,

・・.该二次函数的坐标圆的圆心P在线段AC的垂直平分线上，

故答案为：线段NC的垂直平分线；

（3）解：连接PC,则尸/=PC,

O\J!x

I

*

...△尸。4的周长为。尸+尸/+。4=。尸+PC+6MNOC+6M,当点。、尸、。共线时取等号，

J（2,。）C（0,4）

•9，

.-.OC=4,OA=2,

...A尸。/周长最小值为6.

【点睛】本题考查二次函数与圆的综合，涉及二次函数图象与坐标轴的交点、圆的定义、

最短路径问题、线段垂直平分线的性质、坐标与图形、两点坐标距离公式等知识，理解题

中定义，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.

6.（1产2,c=3

9/33

但”]9।9后

⑵点£的坐标为12'4人AEER的周长为^士丁

1+V55+Vs/i]5)

(3)点£的坐标为〔221或15'4)

【分析】⑴将/(T°>以3，°)代入y=f2+6x+c,解方程组即得；

(2)根据直径性质得/及S=90。，根据C(0,3),得OC=OB=3,得NC8O=NOC8=45。，

得/EFC=N℃B=45。,△瓦西为等腰直角三角形，当AER尸周长最大时，M最长，求

出直线8c解析式kf+3,设£(加，一布+2加+3),F(m,-m+3))得斯一[加总+七

3FF_9但")990

当2时，£尸取得最大值，4,点E的坐标为124L△£/次的周长为44.

(3)设£(私一疗+2机+3),根据AERCSABRE,得NCER=NEBR,当点R在8C上，

NCEB=90。,过点EN'y轴于N,过点3作BG'x轴交直线EN于点G,有

/CEN+/BEG=9。。,/CEN+4NCE=90。，得/BEG=/ECN,得ACNES^EGB,得

ENCN1+V5/1+逐5+逐

BGEG,得2,k),当点R在BC延长线上，有

NCEF=NFEB,延长EC交工轴于K,求出直线网的解析式了=(一加+2卜+3,当得

3,

d—,。]m=m-1+m=-d：，孚

【加一2人根据跖垂直平分线段3K,得2，得2,点(24人

【详解】(1)解：将"(T°>8(3，°)代入了=*+加+。，

J-l-Z?+c=0

彳导[-9+3b+c=0

[b=2

解得lc=3,

(2)•••£尸为。M的直径，

...ZERF=90°,

x=0时，y=一12+2x+3=3

,。(0,3)

,,，

...OC=OB=3,

：./CBO=NOCB=45。,

又..CO\TEH,

：/EFC=/0CB=A5。,

:.ER=FR,

.MERF为等腰直角三角形，

ER=FR=——EF

则2,

"ERF周长为ER+FR+EF=3+1)EF,

...当AER尸周长最大时，M最长；

设直线BC解析式为〉=任+1,

将CW)，8(3,0)代入,

(3k+d=0

得i"=3,

jk=-l

解得1"=3,

.•J=_x+3,

设片（冽,一冽2+2机+3）

贝IJ厂（加「加+3）,

3

m——

2

39

m=-EF=-

当2时，即取得最大值，4,

315

29T

，点E的坐标为

99万

EF+ER+FR='+^-

故△£)火的周长为44.

(3)解：设“%-加2+2%+3),

11/33

・..AERCS^BRE,

...ACER=AEBR,

当点火在5C上，«EB=90。,

过点EN,V轴于N,过点5作BG,x轴交直线EN于点G,

则ACNE=NG=90°,

.../CEN+/BEG=90。,

・•・/CEN+/NCE=90。,

.../BEG=ZECN,

...ACNESAEGB,

EN_CN

：JG=~EG,

m_-m2+2m

-m2+2m+33-m

1+V5

mx=

解得2（舍去）,

"1+A/55+VP

2'2,

当点R在8c延长线上,

延长EC交x轴于K,

设直线丛的解析式为V=P无+4,

Imp+q=-m2+2m+3

贝3=3,

\p=—m+2

解得la,

.y=（-加+2）x+3

,,，

3

x=

当…A时，m-2,

（机-2

VEFLBK,NCEF=/FEB,

...EF垂直平分线段SK,

3.

-------+3

m=m-2-

・•.2,

1

m=—

解得2,

E

•・•点

1+5+>/5]5)

综上所述，点E的坐标为I221或S'4).

【点睛】本题主要考查了二次函数与三角形综合.熟练掌握待定系数法求解析式，圆周角

13/33

定理推论，二次函数图象与性质，等腰直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，分类

讨论，是解题的关键.

7.⑴6=2

(2)y=一工2+2,x+3

(3)存在，2±0

【分析】

(1)根据二次函数-2"+c,则其对称轴为直线x=l,根据抛物线对称轴和

0/:08=1:3,即可求得点/、3的坐标分别为：(T°)、G°),从而得抛物线的表达

式为「="('+1)6-3),再由直线的表达式为广f+方，可得48/0=45。，过点

2

tan/ADB=—

8作88工/。于点，，根据3,故设加=2x,则。〃=3x,则

AH=BH=2x,则/3=2缶=4,则工=&,则AD=5x=5收，过点。作x轴的平行

线交过点/和y轴的平行线于点T,则A/。？为等腰直角三角形，则/7=7。=5,贝U

点。(4,-5),将点。的坐标代入抛物线表达式得：-5=“4+1)(4-3),求得：”一1.

即可求解；

(2)由(1)知，即求解；

(3)设点2拆一川+2机+3),分两种情况：当点p在了轴右侧时，先求得

PT

“”不,tanZ7^P=tan22.5°=——=V2-1AT=(41+\\PT

tan22.5°=V2-1,再根据AT，即«尸，所以

苏-2加-3=(应-以加+1),求解即可；当点p在y轴左侧时，同理可解.

【详解】(1)

解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线》=1,

・•・设点/、3的坐标分别为：(')、(’),则1一5。加一加)，解得：加=i,

则点/、3的坐标分别为：(‘)、()，

则抛物线的表达式为：7="x+l)(x-3),

如下图，设直线交y轴负半轴于E,过点3作么。于点凡

E（O,b）,

..0=网,。£=网,

.■OA=OE,

...4OE=90。，

...NOAE=NAEO=45°,

・・•BH1AD,

.../AHB=90。,

・・/ABH=/BAH=45°,

.・.AH=BH,

2

tanZ.ADB=—

V3,故设物=2x,贝Ij£＞，=3x,则/H=3〃=2x,

贝i]/5=2缶=4,贝0x=0,贝ijNO=5x=5及，

过点。作x轴的平行线交过点/和〉轴的平行线于点T,

则2OT为等腰直角三角形，则47=3=5,则点。（4,3）,

将点。的坐标代入抛物线表达式得：-5=“（4+1）（4-3）,解得：a=

则抛物线的表达式为：、=-丁+2丈+3,即6=2；

（2）

解：由（1）知，抛物线的表达式为：y=-f+2x+3；

则抛物线的表达式为：、=-丁+2%+3；

（3）

15/33

解：存在，

理由：设点小-苏+2机+3),

当点尸在y轴右侧时，如下图①,

图①图②

当以尸为圆心的圆与直线/。和x轴都相切，

则点p为NB4D的角平分线和抛物线的交点，

由（1）知：^DAB=45°,

而直线加和x轴的夹角为22.5°,

如上图②，设为等腰直角三角形，DA=CD,则NC=22.5。,

设AB=BD=x,则AD=yflx=CD,

tanC=—=—一l=tan22.5°

则CBx+yj2x,

设与x轴相切于7,连接P7,

.-.PTA-X,

PTr

tan/TAP=tan22.5°=——=<2-1

・•・AT

.AT=@+"T

•・•点尸在第四象限，

.•.加〉0,—m2+2m+3<0,

贝IPT=m2—2m—3,OT=m

..M（T，o）

.■OA=1,

...AT=OA+OT=m+\

m2—2m—3=—1）机+1）

m2-（42+1^1-（2+42^=0

解得：班=2+收，啊=T（舍去）

当点尸在y轴左侧时，则点尸所在的直线（n）和冽垂直,

同理可解得：叫=2-航，加2=T（舍去），

综上，P点横坐标为2土行.

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、一次函数的图象和性质、圆和

直线的位置关系等，有一定的综合性，难度适中.

8⑴N（-加,0）,£＞（6,可，）8（3加,0）

（2）机=1；相切

G2.

----m+<m<3)

2

S=<

出

—m2—m(m>3)

⑶[2

【分析】（1）根据X轴，＞轴上点的坐标特征代入即可求出4瓦。三点的坐标；

（2）待定系数法先求出直线的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系;

（3）分°〈加＜3时，当加＞3时两种情况讨论求得关于机的函数.

y=y[3m

【详解】（1）解：当天=°时，3m,

D@,也m）

当广。时，°=一£卜+加）。-3加）

再=-m,x2=3m

,/m＞0,

A（-m,0）,B（3m,0）

（2）解：设直线。石的解析式为＞=云+囱机，

17/33

把(-3,0)代入直线解析式得°=一3左+6加,

k=3

解得3

v=^-mx+y/3m

直线DE的解析式为.3,_

y=--^-(x+m)(x—3m)y=m

将3m'化为顶点式为3m3

J473、

Mm,-----m

3

7,

4731

Mm,-----my=mx+V3m

把I3)

代入3

可得33

,/m>0,

巫力m+C

33

解得加=1,

..C(tn,。)，CA=2m=1,

CE2=(m+3)2=m2+6m+9=16

根据勾股定理可得m=(加-O'+(°-岛j=荷=4

DE?=(-3-0)2机］=3"广+9=12

；.CD=E=2=CA,

二点。在圆C上,

222

CD+DE=4+3+9=16=CEr

:.ZEDC=90°

•・•直线。E与圆C相切;

SAFD=-AE-OD=-m(3-m')

(3)解：当0<加<3时，22

.$V3z/C

..3=---mH----m

22.

i,巧

S.AED=Q4E.OD=~^m(m-3)

当加〉T时,

V3235/3

s=—m--------m

22

工病+

<m<3)

2

S=v

G

—m2-m(m>3)

综上所述,[2

【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有轴，轴上点的坐标特征，抛物

线解析式的确定，抛物线的顶点公式和三角形的面积求法，切线的判定，勾股定理和勾股

定理的逆定理等等，注意分析题意分情况讨论.

25。

y——x2H—x+2

9.(1)33

21

⑵彳

小，-1

⑶

【分析】（1）利用待定系数法求解;

（2）将二次函数与一次函数解析式联立，求出点£的坐标，过点河作初“〃了轴，交直

1c

y——x+2

线3于点H,用代数式表示出质的长度，进而根据三角形面积公式及相关点的

坐标表示出四边形COE”的面积，即可求解；

（3）先求出二次函数与x轴的交点坐标，进而求出04和06,再根据圆周角定理得出

ZACO=ZABF,进而证明△欢次FOB,再根据相似三角形对应边成比例求出，

即可得到点尸的坐标.

25

【详解】⑴解：将«⑼和0任书代入了-⑪+尸+:

19/33

c=2

’16a+—+c=-2

得13

c=2

解得<I"_32

广二人1+2

，二次函数的解析式为33

(2)解：将二次函数与一次函数解析式联立，得:

25―

y=—X24—x+2

33

1.

y——x+2

3

—xH—5x+c2--l--%e+2

消去占得333

解得再=3,々=0,

v=--x3+2=l

当x=3时，3

二£(3,1).

1c

Ad//y~—x+2

如图，过点M作"“〃了轴，交直线.3于点〃,

m,--m2+—m+2jH\m,--m+2|

设l33九则I3人

25(\A2

HM=——m2+—m+2-——m+2=——m2+2m

.33I33

)

]12(321

S四边形COE肠=S.OCE+SACME=-x2x3+-xA/Hx3=-m+3m+3=-lm--I+—

321

m=———

，当2时，四边形COW面积取最大值，最大值为4；

(3)解：如图所示，连接瓦"

--X2+—X+2=0

当33时,

5+V735-V73

Xi—,Xn—

解得4-4

・"AW

NACO=ZABF,ZAOC=ZFOB,

:.AAOCSAFOB,

OA0C

OFOB,

V73-5

ZXZ=^_

OF月+5

即4

OF=-

解得2,

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数的

交点问题，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是掌握上述知识点，熟

练运用数形结合思想.

10.⑴月(2Q，8(4,0)

⑵/(2,0),8(4,0)1<PM<®或6<PM<2或PM>2

【分析】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理.

（1）令＞=°求得点42的横坐标即可解答;

⑵由题意可得抛物线的对称轴为直线》=3,设尸（〃?，〃"6〃?+8）,贝严（3,…6〃吐8）；

如图连接巾，则进而可得切线长尸T为边长的正方形的面积为（比一3）-71

1,

2

Sp.„=-ABPH=m-6m+?,

过点P作PH'x轴，垂足为可得’2;由题意可得

21/33

(m-3)2-r2=m2-6m+8

解得〃=1;然后再分当点M在点N的上方和下方两种情况解

答即可.

【详解】（1）解：令贝！］有：%2-6X+8=0,解得：x=2或x=4,

/（2,0）,2（4,0）

⑵解：••・抛物线过“（2，°）1（4,0）,

.•.抛物线的对称轴为直线》=3,

设尸（私疗-6加+8）,且相>也

M（3）,m2-6m+8）

如图：连接MT,则MT，尸7,

.PT2=PM2-MT2=（m-3>y-r2

・•・切线PT为边长的正方形的面积为（根一3）2一,，

过点?作加工工轴，垂足为“，则尸4=病一6加+8,

1

29

SAPrAADB=—r\4B-PH=m-6m+8

A2,

.（m-3）2-r2=m2-6m+S

>0,

：.r=\,

假设过点NG?）,则有以下两种情况:

①如图1：当点/在点N的上方，即

0A7/BHX

图1

-6%+8=3,解得：加=5或加=1,

...”7>4,

,-.m=5.

②如图2：当点M在点N的下方，即回（3」）,

0A、/HX

图2

-6机+8=1,解得：m-3+V2;

...〃z>4,

...m=3+V2.

综上，PM=m-3=2或5.

...当。M不经过点（3"）时，I<PM<也或血<PM<2^PM>2.

b，

11.（1）4,c=-3

23/33

3_5

(2)存在，圆心。的坐标为(5,6)

CMj_

⑶而值是2或§

【分析】(1)把点坐标代入解析式求解即可；

(2)先求出二次函数与坐标轴的交点坐标，在通过A48