2025年九年级数学中考三轮冲刺练习：圆的证明与计算（含答案）

2025年九年级数学中考三轮冲刺练习圆的证明与计算

一、选择题

1.如图所示，是O。的直径，弦BC交AD于点E,连接AB,AC,若NBAD=30°,

则的度数是（）

A.50°B.40°C.70°D.60°

2.如图，某玩具品牌的标志由半径为1Cm的三个等圆构成，且三个等圆002,003

相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（）

121212

A.—ncmB.—TicmC--^ncmD.Ticm

43

3.如图，四边形ABC。内接于O。,E为8C延长线上一点.若/。。£=65°,则

的度数是（)

A.65°B.115°D.140°

第3题图

4.若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于（）

A.60°B.120°C.135°D.150°

5.如图，O。是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E,AE=DE,BC=CE,过点。作OF

LAC于点R延长交BE于点G,若。E=3,EG=2,则AB的长为（）

A.4V3B.7C.8D.4V5

二、填空题

6.如图，B4与O。相切于点A,尸。交。。于点8,点C在E4上，且CB=CA.若。4=5,

阴二12,则CA的长为.

7.“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，

不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”转化为现在的数学语言表

达就是：如图，C。为O。的直径，弦AB_LCD,垂足为E,CE=1寸，48=10寸，则

直径CD的长度为寸.

8.如图，在△ABC中，AB=AC=6c〃z,NA4c=50°,以42为直径作半圆，交BC于点、D,

交AC于点E,则弧。E的长为cm.

9.如图，边长为近的正方形ABC。内接于OO,分别过点A,。作O。的切线，两条切线

交于点尸，则图中阴影部分的面积是.

10.如图，AABC内接于O。且/ACB=90°,弦CO平分NACB,连接AO,BD.若A8

=5,AC=4,则BZ)=，CD=.

第8题图第9题图第10题图

三、解答题

11.如图，△AC。内接于OO,直径AB交CD于点G,过点D作射线DF,彳吏得NADF=

ZACD,延长。C交过点B的切线于点E,连接8c.

(1)求证：。/是。。的切线；

O

(2)若Cr)=]CG,BE=3CE=3.

①求DE的长；

②求OO的半径.

12.如图，AB,CD为。。的直径，点E在加上，连接AE,OE,点G在BO的延长线上,

AB=AG,NEAD+NEDB=45°.

(1)求证：AG与。。相切；

-1

(2)若BG=4A/5,sinZ-DAE=5，求DE的长./-----、

13.如图，。。是△ABC的外接圆，48为直径，点。是△ABC的内心，连接并延长交

O。于点£,过点E作O。的切线交AB的延长线于点足

(1)求证：BC//EF-,

1

(2)连接CE,若。。的半径为2,s出乙4EC=2，求阴影部分的面积(结果用含n的式

子表示).

14.如图，△ABC为O。的内接三角形，为。。的直径，将△ABC沿直线翻折到△

ABD,点。在。。上.连接CD交AB于点E,延长BZ),CA,两线相交于点P,过点

A作。。的切线交BP于点G.

(1)求证：AG//CD-,

(2)求证：R\1=PG-PB；

1

(3)若sinNAPZH的PG=6.求tanNAGB的值.

PGDB

15.如图，OO为aABC的外接圆，弦CDLAB,垂足为E,直径2尸交CO于点G,连接

AF,AD.若AB=AC=5,BC=2V5.

(1)证明：四边形AOGP为平行四边形；

BG

(2)求大的值；

AD

(3)求sin/CAO的值.

参考答案

1.【解答］解：如图，连接5。,

〈AO是。。的直径,

ZABD=90°,

9：ZBAD=30°,

AZADB=90°-30°=60°,

AZACB=ZADB=60°,

故选：D.

2.【解答］解：如图，连接O1A,O1A,O\B,O3B,O1C,O3C,O1O2,0103,O2O3,

则△0302,△01803,△。2。。3,△010203是边长为1的正三角形,

所以，S阴影部分=3S嫩形OMA

与607rxl2

=3x—厂

="21(,cm2、),

故选：C.

3.【解答】解：・・・N0CE=65°,

ZDCB=180°-ZDCE=1SO°-65°=115°,

•・•四边形ABC。内接于（DO,

AZBA£>+Zr>CB=180°,

AZBAD=65°,

ZBOD=2ZBAD=2X65°=130°,

故选：C.

4.【解答】解：设圆锥的母线长为R,底面圆的半径为「，这个圆锥侧面展开图的圆心角

为n,

•・,圆锥的侧面积是底面积的3倍,

x2nrXZ=3irr2,

2

..cTITII

•2nr=180)

nnx3r

BP2irr=

180

・"=120,

即这个圆锥侧面展开图的圆心角等于120。.

故选：B.

5.【解答］解：如图，连接C。，在仍和△OEC中,

/-A=乙D

AE=ED，

Z-AEB=乙DEC

：.AAEB^ADEC(ASA),

:・EB=EC,

•：BC=CE,

：・BE=CE=BC,

：.AEBC为等边三角形,

：.ZACB=60°,

如图，作于点M,

•・•OFLAC,

：.AF=CF,

・・•△防。为等边三角形，

：.ZGEF=60°,

ZEGF=30°,

,:EG=2,

：.EF=1,

9：AE=ED=3,

：.CF=AF=4,

・・・AC=8,EC=5,

:・BC=5,

VZBCM=60°,

AZMBC=30°,

rcF5

BM=WCM二号,

11

：.AM=AC-CM=芫,

：.AB=y]AM2+BM2=J(^)2+(竽尸=7.

故选：B.

二、填空题

6.【解答】解：连接。C,

与。。相切于点A,

：.ZOAP^90°,

'：OA^OB,OC=OC,CA=CB,

:.△ONgXOBC(SSS),

：.ZOAP=ZOBC=90°,

在Rt/XOA尸中，OA=5,PA=n,

：.0P=ylOA^+AP2=7s2+122=13,

VAOAC的面积+40CP的面积=4OAP的面积,

111

：.-OA9AC+^OP9BC=1O4・AP,

222

・•・OA-AC+OP-BC=OA•AP,

.\5AC+13BC=5X12,

10

：.AC=BC=苛，

故答案为：?.

7.【解答】解：连接04,

设。。的半径是一寸，

•・,直径CDLAB,

：.AE=1AB=3x10=5寸，

：CE=1寸，

：.0E=(r-1)寸，

VOA2=OE2+AE2,

222

：.t=(r-1)+5,

r=13,

直径CD的长度为2r=26寸.

故答案为：26.

8.【解答】解：连接OE,0D,

•；OD=OB,

:・NB=/ODB,

VAB=AC,

AZB=ZC,

：・NC=NODB,

：.OD//AC,

：.ZEOD=ZAEO,

9：OE=OA,

：.ZOEA=ZBAC=50°,

：.ZEOD=ZBAC=50°,

'：OD=^AB=^x6=3(cm),

的长=5,既3="(cm).

loU6

9.【解答】解：连接。4,OD,

VAP,PO是。。的切线，

：.ZOAP=ZODP=90°,

•・•四边形ABC0是正方形，

ZAOD=90°,

\'OA^OD,

，四边形OAPD是正方形，

'：AD=V2,

0A=$AD=1,

图中阴影部分的面积=正方形。4尸。的面积-扇形AOD的面积=1X

故答案为：1—%

10.【解答】解：:△ABC内接于OO且/ACB=90°,

.••A8为。。的直径，

ZADB=90°,

.•.ZDAC+ZDBC=180°,

:弦CD平分/ACB,

：.ZACD=ZBCD=45°,

：.AD=BD,

\'AB=5,AC=4,

：.CB^3,AD^BD=1V2,

如图把△AC。绕D逆时针旋转90°得到△OBE,

：.ZDBE=ZDAC,BE=AC,

：.ZDBC+ZDBE=1i0°,

，C、B、£三点共线，

ADCE为等腰直角三角形，

：.CE=AC+BC=1,

三、解答题

11.如图，△AC£）内接于OO,直径交C£）于点G,过点。作射线。凡使得

ZACD,延长。C交过点2的切线于点E,连接8C.

（1）求证：。尸是。。的切线;

(2)CD=|CG,BE=3CE=3.

①求DE的长；

②求O。的半径.

【分析】（1）连接。。，证明/。。6=90°,即可得出。尸是的切线;

（2）①连接2。，证明△JBCESZ\Z）8E,得出。E的长；②通过勾股定理得出BG的长,

再利用△AOGs/^CBG,得出AG的长,从而得出直径的长度，由此得出。。的半径.

【解答】（1）证明：连接OD

•?ZADF=ZACD,ZAOD=2ZACD,

：.2ZADF^ZA0D,

设/4。/=尤，则NAOO=2x,

\"OA^OD,

：.ZOAD=ZODA=-^2-=90°-%,

ZODF=ZODA+ZADF=90°-x+x=90°,

・・・。尸是OO的切线；

(2)解：①连接5。，

9

：BE=3CE=3f

：.CE=1,

・・・55是切线，

ZABE=90°=ZCBE+ZABC,

VZABC+ZBAC=9Q°,/BAC=/BDC,

：・/CBE=/BDC,

•・・NE=NE,

:•△BCEs^DBE,

・BECE

••—,

DEBE

・31

••=—，

DE3

：.DE=9；

②・・・。石=9,

'：CD=DE-CE=8,

o

CD=|CG,

CG=3,DG=5,

：.GE=CG+CE=4,

在RtABGE中,BG=y/GE2-BE2=V42-32=V7,

ZBCG=/DAG,ZBGC=NOG4,

・・・丛ADGs丛CBG,

.AGDG

••—,

CGBG

.AG5

；，T=后

;.AG=〒V7,

1q2?

：.AB=AG+BG=宁夕+夕=与夕，

【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本性质，切线的性质，圆周角定理，相

似三角形的性质与判定等，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

12.如图，AB,CZ）为。。的直径，点E在加上，连接AE,OE,点G在8。的延长线上，

AB^AG,ZEAD+ZEDB=45°.

（1）求证：AG与。。相切；

【分析】（1）根据圆周角定理得到/即8=/助2,求得/AW=45°,根据等腰三角形

的性质得到NB=45°,求得NB=/G=45°,根据切线的判定定理得到结论；

（2）如图，连接CE,根据圆周角定理得到/DEC=9Q：解直角三

角形即可得到结论.

【解答】（1）证明：：/石。'NE4B所对的弧是同弧，

：.ZEDB=ZEAB,

'：ZEAD+ZEDB=45°,

：.ZEAD+ZEAB=45°,

即/A4D=45°,

,：AB为直径，

AZADB=90°,

：.ZB=45°,

'：AB^AG,

：.ZB=ZG=45°,

.\ZGAB=90°,

为。。的直径，

；.AG与OO相切；

（2）解：如图，连接CE,

•?ZDAE,NDCE所对的弧是同弧，

ZDAE=ZDCE,

,：DC为直径，

：.ZDEC^9Q°,

在RtADEC中，sinZ£）CE=sin/.DAE=3=器，

：BG=4有，NB=45°,NBAG=90°,

：.AB=mBG=2V10=DC,

：.DE=DCsin^DAE=2V10x1=

【点评】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握切线的

判定和性质定理是解题的关键.

13.如图，。。是△ABC的外接圆，为直径，点。是AABC的内心，连接并延长交

O。于点E,过点£作O。的切线交A2的延长线于点?

（1）求证：BC//EF；

（2）连接CE,若。。的半径为2,s讥NAEC=±,求阴影部分的面积（结果用含n的式

子表示）.

A

0

【分析】（1）连接0E,交8C于点G,根据等腰三角形的性质得到NO4E=N0E4,由

D为4ABC的内心，得到NO4E=NC4E,求得OE//AC,根据圆周角定理得到NAC5

=90°,求得N3GO=90°,根据切线的性质得到/正。=90°,根据平行线的判定定

理得到结论；

（2）连接8E,根据三角函数的定义得到NAEC=30°,求得NA3C=NAEC=30°,求

得班'=0£；7@1160°=2A/3,根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.

【解答】（1）证明：连接OE,交5C于点G,

：.ZOAE=ZOEAf

又,：D为AABC的内心，

：.ZOAE=ZCAE,

：.ZOEA=ZCAE,

：.OE//AC,

又・・・A5为。。的直径，

AZACB=90°,

：.ZBGO=90°,

又♦：EF为OO的切线且OE为。。的半径,

：.ZFEO=90°,

：.ZBGO=ZFEO,

J.BC//EF；

1

(2)解:U：sinz-AEC=

ZAEC=30°,

ZABC=ZAEC=30°,

：.ZBOE=60°,ZEFO=30°,

••・EF=OE・tan60。=2后

-

:・S阴影部分=SAEF。S扇形BOE

1cc/7T60XTTX22

=2X2X28--我一

=2V3

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的

外接圆与外心，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键.

14.如图，AABC为。。的内接三角形，A8为。。的直径，将△ABC沿直线翻折到△

ABD,点。在。。上.连接CD,交AB于点E,延长BZ),CA,两线相交于点P,过点

A作。。的切线交BP于点G.

(1)求证：AG//CD；

(2)求证：PA2=PG'PB；

1

(3)若sinNAPZ)=[PG=6.求tan/AGB的值.

【分析】(1)根据折叠可得AB，。，根据切线定义可得AGLAB,即可求证；

(2)根据题意证明即可得证；

(3)根据题意设AZ)=m则AP=3a,根据折叠的性质可得AC=AO=m可求出PC,

进而求得根据/AG8=90°-ZGAD^ZDAB,即可求解.

【解答】(1)证明：•••将△ABC沿直线翻折到

：.AB±CD,

为。。的直径，AG是切线，

：.AG±AB,

：.AG//CD；

(2)证明：••明G是切线,

：.AG±ABf

TAB为。。的直径，

/.ZADB=90°,

ZABD=90°-ZDAB=ZGAD,

;由折叠可得NA30=NA8C,

：.ZCBD=2ZABD,

•・,四边形ADBC是。0的内接四边形，

.,.ZB4Z)=180°-NCAD=NDBC=2NABD,

：.APAG=APAD-ZGAD=2ZABD-ZABD=ZABD,

又「ZAPG=ZBPA,

：.AAPG^ABM,

APPG

•・•一=—,即R\2=PG9PB；

BPPA

Ani

(3)解：*：sinZAPD=罪=东

设AD=m则AP=3〃，

：.PD=y/AP2-AD2=2V2a,

.,ADqV2

・"2zA尸Dn°=而=初=彳,

•・•由折叠可得AC=AD=a,

PC=B4+AC=3。+〃=4。，

:在RtAPCB中,tan乙CPB=需=1，

：.BD=CB=孝PC=42a,

\'AD±BD,GALAB,

：.ZAGB=90°-ZGAD^ZDAB,

tan/.AGB=tan乙DAB==A/2.

【点评】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形,

锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键.

15.如图，O。为△ABC的外接圆，弦COLAB,垂足为E,直径3P交C。于点G,连接

AF,AD.若A8=AC=5,BC=2V5.

(1)证明：四边形AOGF为平行四边形;

BG

(2)求77的值；

AD

(3)求sinNCAO的值.

C

【分析】(1)根据圆周角定理得到NA4b=90°,根据平行线的判定定理得到C0〃AR

推出NAZ)C=N3GO,得到AO〃GR根据平行四边形的判定定理得到结论；

BE2

(2)设5E=羽得到AE=A3-BE=5-x,根据勾股定理得到以=2,AE=3,得到一=一,

AE3

根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；

(3)过点。作OH_LAC于"，根据勾股定理得到CE=