2025年九年级数学中考三轮冲刺练习：二次函数的性质练习（含答案）

2025年九年级数学中考三轮冲刺练习二次函数的性质练习

一、选择题

1.已知关于x的二次函数、=/+2亦+3。2+3,当尤22时，y随x的增大而增大，且-2Wx

W1时，y的最大值为9,则a的值为（）

A.V2B.1C.1或-2D.-V2^V2

2.已知一个二次函数y^cvr+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，则下列结论

正确的是（）

X…-4-20246

y…-1192125219

A.当x<0时，y随尤的减小而减小

B.图象的开口向上

C.图象只经过第一，二，三象限

D.图象的对称轴为x=-2

3.无论Z为何实数，直线y=2fcc+l和抛物线y=/+x+A（）

A.有一个公共点

B.有两个公共点

C.没有公共点

D.公共点的个数不能确定

4.已知二次函数y=a（x-1）2-q（aW。），当-1时，y的最小值为-4,则a的值

为（）

11414

-源4-C-----

A.?23D.2M-3

5.如图，已知抛物线y=a7+6x经过等腰直角△OAB的三个顶点，点人在了轴上，点8是

A.2B.V2C.-2D.-V2

二、填空题

6.已知二次函数y=o?+6x+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表:

•・・

X…345678

y…-3114415041m・・・

则表格中m的值是

7.已知二次函数y=o?+bx+c(a>0)图象的对称轴为直线x=2,且经过点(-1,W)、(4,

”)，试比较大小：yiy2.(填“或“=”)

8.已知抛物线>=加/-如-4X+4,回答下列问题：

(1)无论相取何值，抛物线恒过定点和;

(2)当根<0且抛物线的顶点位置最高时，抛物线经过两点(2,yi),(n,”)，满足yi

<”，则〃的取值范围是.

9.抛物线y=f+bx+c的顶点为B,点A(xi,yi),点C(x2,y2)为抛物线上的点.若4

ABC是底角为30°的等腰三角形，且xi+x2=-b,则△ABC的面积

为.

10.已知函数y=/-6x+3,当左-4«/时，若y的最大值与最小值之差为8,则k=.

三、解答题

11.已知二次函数-4办+2(a为常数，且aWO).

(1)若函数图象过点(1,0),求。的值；

(2)当2WxW5时，函数的最大值为最小值为N,若M-N=12,求a的值.

12.已知抛物线y=ax1+bx+c(。>0),M(xi,yi),N(X2,y2)是抛物线上两点，抛物线

的对称轴是直线工=九

(1)当％=2时，

①直接写出人与〃满足的等量关系；

②若yi="，贝!Jxi+x2=.

(2)已知xi=/-3,12=什1,点C(x3,”)在抛物线上.当3VX3<4时，总有yi>”

>"，求才的取值范围.

13.在平面直角坐标系xOy中，点A/(xi,yi),NQxi,>2)是抛物线丁=/-2QX+C(〃>

0)上任意两点.

(1)直接写出抛物线的对称轴；

(2)若xi=4+1,x2=a+2,比较yi与>2的大小，并说明理由；

(3)若对于mVxiV根+1,m+1V%2+2,总有yiV”，求机的取值范围.

14.已知抛物线y=-7+6x+c(b,c为常数)的顶点横坐标是抛物线y=-7+4x+c顶点横

坐标的2倍.

(1)求6的值；

(2)点A(xi,yi)在抛物线y=-x2+4x+c上，点B(.xi+m,yi+f)在抛物线y=~jC'+bx+c

上.

①求f(请用含机，xi的代数式表示)；

②若无1=根+1且-1WXIW2,求f的最大值.

15.已知抛物线y=-/+云(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y=-7+2元的顶点横坐标

大L

(1)求6的值；

(2)点A(xi,声)在抛物线y=-x2+2x上，点B(xi+t,yi+h^在抛物线y=-/+6x

上.

(i)若h=3t,且xi》O,f>0,求//的值；

(ii)若=求/i的最大值.

参考答案

、选择题

题号12345

答案BABBC

二、填空题

6.已知二次函数〉=〃/+版+。中，函数y与自变量工的部分对应值如表:

x・・・345678…

y・・・-3114415041m…

则表格中m的值是14.

【解答】解：当％=5时，y=41,当x=7时，y=41,

对称轴为：直线x==6,

（4,14）和（8,m）关于直线x=6对称，

・••加=14,

故答案为：14.

7.已知二次函数（。>0）图象的对称轴为直线冗=2,且经过点（-1,yi）、（4,

"）,试比较大小：VI>V2.（填或“=”）

【解答】解：由题意，・・,抛物线对称轴是直线x=2,〃>0,

・•・抛物线上的点离对称轴越近函数值越小.

又・・・|-1-2|=3>|4-2|=2,

•\yi>y2.

故答案为：>.

8.已知抛物线丁=加%2-小-4X+4,回答下列问题：

（1）无论m取何值，抛物线恒过定点（0,4）和（1,0）；

（2）当机<0且抛物线的顶点位置最高时，抛物线经过两点（2,yi）,（九，”），满足yi

V”，则1的取值范围是7<n<2.

【解答】解：（1）由题意，^y=nv?-mx-4x+4=m（x2-x）-4x+4,

:•令？-x=0,贝Ux=0或x=l.

・••当％=0时，y=4；当x=l时，y=0・

，无论用取何值，抛物线恒过定（0,4）,（1,0）.

故答案为：(0,4),(1,0).

(2)由题意，对称轴是直线1=-募=宗

Vm<0,

・・・抛物线上的点离对称轴越近函数值越大.

又,「yiV”，

11

・・・|2-/>|〃一升

・•・-l<n<2.

故答案为：-1V〃V2.

9.抛物线y=W+fcc+c的顶点为9点A(xi,山)，点C(%2,”)为抛物线上的点.若4

V3

ABC是底角为30°的等腰三角形，且xi+%2=-b,则△ABC的面积为一.

-9-

【解答】解：由题意可知抛物线的对称轴为y轴，则b=0,

••y+c,

：.B(0,c),

设C(m,〃)，则A(-zn,〃)，如图，

・・・△ABC是底角为30°的等腰三角形，

・・BD=耳m,

OD=^-m+c,BPn=^-m+c,

把C的坐标代入y=x2+c得，—m+c=m2+c,

解得加=字，m=0(舍去)，

，AC=孥,BD=1,

人一,,112V31V3

AABC的面积为：一ZC•BD=一x-----x-=—.

22339

V3

故答案为：—.

10.已知函数y=W-6x+3,当左-4WxW左时，若y的最大值与最小值之差为8,则k=—7-

或3+2V2_.

【解答】解：当左时，-6x+3=(x-3)2-6,

分情况讨论如下：

①当左-4WxW%W3时，即发W3,

x=Z时，y取得最小值，此时y=F-6k+3；

x=/-4时，y取得最大值，此时y=（）1-4）2-6」-4）+3；

（左-4）2-61-4）+3-（A2-6fc+3）=8,解得：k=4,

\'k<3,

.,.k=4不符合题意；

②当左-4W3且上23时，即3〈人W7,此时最小值为y=-6,

当尤=%-4取得最大值时，y=（4-4）2-6（左-4）+3,

（火-4）2-6（4-4）+3-（-6）=8,

解得：k=7±2&,

•：3WkW7,7+2V2>7,

：.k=7+2&不符合题意；

：.k=7-2&符合题意；

当尤=左取得最大值时，y^k2-6k+3,

-6k+3-（-6）=8,

解得：k=3±2vL

由条件可知：k=3+2&符合题意，k=3-2&不符合题意，

：.k=3+2V2；

③当时，即%》7,

x=k-4时，y取得最小值，此时尸（4-4）2-6（左-4）+3；x=左时，y取得最大值,

此时y=S-6k+3；k1-6k+3-[（k-4）2-6（左-4）+3]=8,解得:k=6,

,:kA,

:.k=6不符合题意；

综上所述,当k-4WxW左时，若y的最大值与最小值之差为8"的值为7-2或或3+2/.

故答案为：7-2鱼或3+2鱼.

三、解答题

11.已知二次函数>=。尤2-4办+2（0为常数，且aWO）.

（1）若函数图象过点（1,0）,求a的值；

（2）当2WxW5时，函数的最大值为最小值为N,若M-N=12,求a的值.

【解答】解：（1）•••二次函数y=/-4办+2的图象过点（1,0）,

'.a-4〃+2=0,

••4=］；

(2)-4〃x+2=〃(x-2)2+2-4Q,

・••抛物线的顶点为(2,2-4〃)，

••x—'2时，-4Q,

当x=5时，y=25a-20Q+2=5Q+2,

当〃>0时，当2WxW5时，M=5o+2,N=2-4Q,

'：M-N=12,

：.5a+2-(2-4。)=12,

4

4--

3

当“VO时，当2W%W5时，N=5〃+2,M=2-4tz,

•:M-N=12,

：.2-4a-(5〃+2)=12,

4

4

3;4

坊--

33

12.已知抛物线y=a}T+bx+c(a>0),M(xi,yi),N(%2,”)是抛物线上两点，抛物线

的对称轴是直线x=£.

(1)当/=2时，

①直接写出b与〃满足的等量关系；

②若yi=y2,则xi+x2=4.

(2)已知xi=/-3,工2=什1，点。(%3,*)在抛物线上.当3<X3<4时，总有

>”，求才的取值范围.

【解答】解：⑴①•••仁一,=2,

・・2?=14。；

@*：M(xi,yi),N(X2,”)是抛物线上两点，

••M(xi,yi),N(X2,>2)关于对称轴对称，

・・,抛物线的对称轴为直线1=2,

/.X1+X2—4.

故答案为：4；

(2)由题意可知，M(xi,yi)在对称轴的左侧，N(X2,”)在对称轴的右侧，

•・,点C(X3,”)在抛物线上，3<X3<4,

・••点C(%3,”)关于对称轴的对称点为(2/-X3,"),

2t~4<2/-抬<2/-3,

当点C(X3,")在对称轴的左侧时，

・・,当3VX3V4时，总有山>”>”，

+解得5WW6；

当点C(尤3,”)在对称轴的右侧时，

:当3<后<4时，总有yi>*>y2,

••・{/建工4,解得1S；

：.t的取值范围是1W/W2或5W/W6.

13.在平面直角坐标系xOy中，点M(xi,yi),N(%2,”)是抛物线-2QX+C(〃>

0)上任意两点.

(1)直接写出抛物线的对称轴；

(2)若xi=〃+l,X2=〃+2,比较yi与y2的大小，并说明理由；

(3)若对于mVxi〈m+1,m+1VX2〈M+2,总有yiV”，求机的取值范围.

【解答】解：(1)抛物线>=以2-2QX+C(〃>0)的对称轴为：x=—2=1,

・・・抛物线的对称轴为直线x=l；

9

(2)：a>0f抛物线开口向上，对称轴为直线x=l；

：.M(xi,yi),N(X2,>2)都在对称轴右侧，

•・•当%>1时，y随x的增大而增大，且％1〈X2,

.'.yi<y2；

(3)Vm<xi<m+Lm+l<x2<m+2,

.2m+lx±+x22m+3

9•y\<yi,〃>0,

：.M(xi,yi)距离对称轴更近，xi〈x2,则MN的中点在对称轴的右侧,

1

解得：m>2«

14.已知抛物线y=-f+bx+c(。，c为常数)的顶点横坐标是抛物线y=-%2+4%+c顶点横

坐标的2倍.

(1)求b的值；

(2)点A(xi,yi)在抛物线y=-x2+4x+c上，点B(xi+m,yi+力在抛物线y=-/+/?x+c

上.

①求/(请用含出xi的代数式表示)；

②若xi=m+l且-1WxiW2,求t的最大值.

【解答】(1)解：Vy=-X2+4X+C=-(x-2)2+c+4,

・・・抛物线尸-W+4x+c顶点横坐标为2,

Vy=-*+bx+c的顶点横坐标为汽=且为抛物线y=-X2+4X+C顶点横坐标的2倍，

b

=2X2,

2

解得6=8；

(2)①二•点A(xi,yi)在抛物线丁=-X2+4X+C_b,点、B(xi+m,yi+力在抛物线y=-

j^+bx+c_b.b=3,

.*.yi=—+4xi+c,yi+£=-(xi+m)2+8(xi+m)+c,

.\t=-(xi+m)2+8(xi+m)+c-yi,

即/=-(xi+m)2+8(xi+m)+c-(—淄+4xi+c),

.•./=-m+4xi-2mxi+8m,

②•.”1=机+1,

'.t=-m+4xi-2mxi+8m

=-