2025年九年级数学中考三轮冲刺练习：二次函数的性质（含答案）

2025年九年级数学中考三轮冲刺练习二次函数的性质练习

一、选择题

1.已知关于x的二次函数了="2+2°芯+3a2+3,当x'2时，y随x的增大而增大，且

-2WxWl时，y的最大值为9,则a的值为()

C.1或-2D.Y或显

2.已知一个二次函数y="2+6x+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，则下列结论

正确的是()

X.・・-4-20246

y.・・-1192125219

A.当x<0时，y随x的减小而减小

B.图象的开口向上

C.图象只经过第一，二，三象限

D.图象的对称轴为x=-2

3.无论人为何实数，直线y=2丘+1和抛物线y=x2+x+E()

A.有一个公共点

B.有两个公共点

C.没有公共点

D.公共点的个数不能确定

4.已知二次函数y=a(x-1)2-°(aWO),当-1WxW4时，y的最小值为-4,则a的

值为()

1—141—4

A.2八B.2或4C.3或4D.2小3

5.如图，已知抛物线y=a/+bx经过等腰直角△048的三个顶点，点/在x轴上，点、B

是抛物线的顶点，/。8/=90°,则6=()

A

C.-2D.一但

1/12

二、填空题

8.已知抛物线了=加/-mx-4x+4,回答下列问题：

（1）无论加取何值，抛物线恒过定点和;

（2）当加＜0且抛物线的顶点位置最高时，抛物线经过两点（2,为），（n,y2）,满足

yi＜y2＞则"的取值范围是.

9.抛物线y=/+6x+c的顶点为3,点/（xi，yi）,点C（必，＞2）为抛物线上的点.若4

A8C是底角为30°的等腰三角形，且xi+x2=-b,则△A8C的面积为

10.已知函数y=/-6x+3,当左左时，若y的最大值与最小值之差为8,则左=

三、解答题

11.已知二次函数y=ax2-4ax+2（a为常数，且a#0）.

（1）若函数图象过点（1,0）,求a的值；

（2）当2（xW5时，函数的最大值为M,最小值为N,若M-N=12,求a的值.

2/12

12.已知抛物线y=ax2+bx+c(a＞0),M(xp为)，N(初，＞2)是抛物线上两点，抛物线

的对称轴是直线工=九

(1)当，=2时，

①直接写出b与a满足的等量关系；

6)若＞1=＞2，贝!]11+工2=•

(2)已知Q=，-3,%2=汁1，点。(％3，为)在抛物线上.当3Vx3V4时，总有

乃＞为＞歹2，求t的取值范围•

13.在平面直角坐标系xQy中，点"(修，/)，N(》2,及)是抛物线

y=ax2-2ax+c(a＞0)上任意两点.

(1)直接写出抛物线的对称轴；

(2)若修=〃+1,l2=。+2，比较为与”的大小，并说明理由；

(3)若对于加＜%1＜加+1,加+1〈工2＜冽+2,总有为〈及，求冽的取值范围.

3/12

14.已知抛物线y=-x2+6x+c(b,c为常数)的顶点横坐标是抛物线y=-/+4x+c顶点横

坐标的2倍.

(1)求b的值；

(2)点/(所，ji)在抛物线夕=-X2+4X+C_L,点、B(xi+w,yi+Z)在抛物线

y—-x-+bx+c上.

①求t(请用含加，XI的代数式表示)；

②若尤1=机+1且-1WXIW2,求f的最大值.

15.已知抛物线y=-x2+&(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y=-/+2x的顶点横坐标

大1.

(1)求b的值；

2

(2)点/(芍，方)在抛物线^=-『+2x上，点8(xi+f,yi+h)在抛物线>=-x+bx

上.

(i)若力=3a且xi》O,t>0,求〃的值；

(ii)若干=/1-1,求〃的最大值.

4/12

参考答案

一、选择题

题号12345

答案BABBC

二、填空题

6.已知二次函数y=tu：2+6x+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表:

X.・・345678・・・

y.・・-3114415041m・・・

则表格中m的值是14.

【解答】解：当x=5时，y=41,当x=7时，y=41,

_5+7_

对称轴为：直线2-6,

/.(4,14)和(8,m)关于直线x=6对称,

••YYl~~14,

故答案为：14.

7.已知二次函数(a>0)图象的对称轴为直线x=2,且经过点(7,为)、

(4,以)，试比较大小：vi>V9.(填或“=”)

【解答】解：由题意，•••抛物线对称轴是直线x=2,。>0,

抛物线上的点离对称轴越近函数值越小.

又1-2|=3>|4-2|=2,

故答案为：>.

8.已知抛物线>=加/-mx-4x+4,回答下列问题：

(1)无论加取何值，抛物线恒过定点(0,4)和(1,0)；

(2)当加<0且抛物线的顶点位置最高时，抛物线经过两点(2,为)，(n,y2),满足

ji<y2-则”的取值范围是-1<〃<2.

【解答】解：(1)由题意，,.'y—mx2-mx-4x+4—m(x2-x)-4x+4,

x2-x=0,贝Ux=0或x=l.

.,.当x=0时，y—4；当x=l时，y—0.

5/12

...无论加取何值，抛物线恒过定（0,4）,（1,0）.

故答案为：（0,4）,（1,0）.

—m1

（2）由题意，对称轴是直线工—一赤一2.

抛物线上的点离对称轴越近函数值越大.

又：为<、2,

11

.,.|22|>|n2|.

，-1<„<2.

故答案为：-

9.抛物线V=x2+6x+c的顶点为3,点/（X1，为），点C（X2，改）为抛物线上的点.若4

且

A8C是底角为30°的等腰三角形，且xi+x2=-b,则△A8C的面积为

【解答】解：由题意可知抛物线的对称轴为/轴，则6=0,

•=X~~H'C,

：.B（0,c）,

设C（加，〃），则/（-冽，〃），如图，w

,••△45。是底角为30°的等腰三角形，

BD3m,

OD3加+&即〃3加十0,

£

把C的坐标代入y=/+c得，3m+c—m2+c,

B

解得m,m—0（舍去），

_2£_1

：.AC~3,BD3,

112j31.亘

-AC-BD=-x——X—=

.•.△48C的面积为：2233-V.

目

故答案为：

10.已矢口函数y=/-6x+3,当左-4WxW4时，若v的最大值与最小值之差为8,则左=—

7—2^^或3+2-^/2.

【解答】解：当k-4Wx《k时，>=/-6x+3=（%-3）2-6,

6/1；

分情况讨论如下：

①当左-左W3时，即左W3,

x=左时，y取得最小值，此时了=启-6左+3；

x=笈-4时，y取得最大值，止匕时＞=（4-4）2-6（左-4）+3；

（左-4）2-6（左-4）+3-（衿-6左+3）=8,解得：k=4,

\'k＜3,

.,#=4不符合题意；

②当左-4W3且栏3时，即3WZ7,此时最小值为y=-6,

当x=64取得最大值时，y=（后-4）2-6（后-4）+3,

（左-4）2-6（左-4）+3-（-6）=8,

解得：k=7+2^/2,

:3WkW7,7+2电＞7,

.•.k=7+2⑫不符合题意；

.•.k=7-2但符合题意；

当x=4取得最大值时，y=启-6左+3,

k2-6左+3-（-6）=8,

解得：k=3土2瓢,

由条件可知：卜=3+2但符合题意，卜=3—2但不符合题意，

./=3+2也

③当3W左-4WxW左时，即左》7,

%=《-4时，y取得最小值，此时y=（左-4）2-6（左-4）+3；x=左时，y取得最大值,

此时y=/-6左+3；庐-6左+3-[（左-4）2-6（左-4）+3]=8,解得：k=6,

:栏7,

.,.k=6不符合题意；

综上所述，当左-4W尤W左时，若V的最大值与最小值之差为8,左的值为7—2根或

3+2@

故答案为：7—2隹或3+2低.

三、解答题

11.已知二次函数y=ox2-4办+2（a为常数，且aWO）.

（1）若函数图象过点（1,0）,求a的值；

7/12

（2）当2W无W5时，函数的最大值为最小值为N,若"-N=12,求°的值.

【解答】解：（1）.••二次函数y=a/-4ax+2的图象过点（1,0）,

/.a-4。+2=0,

_2

：・a3；

（2）\9y=ax2-4ax+2=。（x-2）2+2-4。，

・••抛物线的顶点为（2,2-4a）,

••x~2时，y=2-4Q,

当x=5时，y=25a-20q+2=5a+2,

当q>0时，当2WxW5时，M=5a+2,N=2-4a,

U：M-N=n,

：.5a+2-（2-4a）=12,

_4

**•ci3；

当qVO时，当2WxW5时，N=5a+2,M=2-4a,

U：M-N=n,

：.2-4a-（5〃+2）=12,

_4

:・a3；

44

・•“的值为§或一5

12.已知抛物线歹（a>0）,M（%1，为），N（%2，>2）是抛物线上两点，抛物线

的对称轴是直线I=九

（1）当，=2时，

①直接写出b与Q满足的等量关系；

8）若刃=为，贝ll、1+%2=4.

（2）已知修=%-3,工2=什1，点。（%3,为）在抛物线上.当3V工3<4时，总有

为>为>丁2，求，的取值范围.

b

【解答】解：⑴①・・・「一五一2,

••b~~~4。；

②（xi，为），N（x2,y2）是抛物线上两点,

'.M（X1，为），N（X2，夕2）关于对称轴对称，

8/12

:抛物线的对称轴为直线尤=2,

/+叼_

2,

•.X1+X2=4.

故答案为：4；

（2）由题意可知，M（xi，乃）在对称轴的左侧，N（冷，72）在对称轴的右侧,

;点C（X3,.3）在抛物线上，3<X3<4,

.•.点C（右，为）关于对称轴的对称点为⑵-叼,为），

It-4<2f-X3<27-3,

当点C（叼，为）在对称轴的左侧时，

,/当3<》3<4时，总有为>73>以，

（t—3<3

2t-4N1+1,解得5W/W6；

当点C（无3,为）在对称轴的右侧时，

,/当3<X3<4时，总有为>为，

（t+1<3

...任一3<2t-4r解得gW2；

：.t的取值范围是1W1W2或5WW6.

13.在平面直角坐标系xOy中，点M（xi，为），N5,为）是抛物线

y—ax2-2ax+c（a>0）上任意两点.

（1）直接写出抛物线的对称轴；

（2）若xi=a+l,无2=°+2，比较乃与丝的大小，并说明理由；

（3）若对于加ZM+1<X2<"?+2,总有为<如求"2的取值范围.

—2a

【解答】解：（1）抛物线-2ax+c（a>0）的对称轴为：工一2a一1,

...抛物线的对称轴为直线x=l；

（2）Va>0,抛物线开口向上，对称轴为直线x=l；

：.M（xi，为），N（尤2,拉）都在对称轴右侧，

:当x>l时，y随x的增大而增大，且X1<X2，

•'•乃〈及；

（3）m+l<X2<ni+2,

2m+1xi+x22m+3

------<------<------

222

9/12

•・力〈/，。〉0，

：.M（xi，为）距离对称轴更近，xi<x2,则"N的中点在对称轴的右侧,

1

>-

解得：m2.

14.已知抛物线歹=-J+bx+c(乩。为常数)的顶点横坐标是抛物线y=-、2+4x+c顶点横

坐标的2倍.

(1)求6的值；

(2)点4(xp为)在抛物线歹=-X2+4X+C_b,点、B(xi+m,力+力在抛物线

y=-N+bx+c上.

①求，(请用含加，xi的代数式表示)；

②若%i=m+l且-1W2,求t的最大值.

【解答】(1)解：・・)=-X2+4X+C=-(x-2)2+C+4,

抛物线歹=-X2+4X+C顶点横坐标为2,

b

-x=--

,.)=-N+fcr+c的顶点横坐标为2,且为抛物线歹=-/+4%+c顶点横坐标的2倍，

b

-=2x2

・・・2,

解得6=8；

(2)①・・,点4(xi，乃)在抛物线歹=-/+4x+c上，点3(xi+m,为+力在抛物线

y=-j^+bx+c±.6=8,

.•.乃——“1+4jq+c,为+/=~(%i+m)2+8(%i+m)+c,

.*./=-(%i+m)2+8(xi+m)+。-乃，

即£=-(%i+m)2+8(%i+m)+c-(~x\4xi+c),

t=-m2+4%i-2加xi+8冽,

②•.,修=加+1,

:・t=-m2+4%i-2mxi+8m

=-m2+4(m+1)-2m(m+1)+8m

=-3m2+10m+4

V-^2,

-1W机+1W2,

10