2025年高考数学总复习《数列》专项测试卷及答案

2025年高考数学总复习《数列》专项测试卷及答案

（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）

学校:姓名：班级：考号：

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知5“是数列｛aj的前〃项和，若％=1,S“=ga"+],则（）

A.数列｛4｝是等比数列B.数列｛%｝是等差数列

C.数列⑸｝是等比数列D.数列母｝是等差数列

2.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13,…，其中从第三

个数起，每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列｛凡｝称为“斐波那契数列”.若

把该数列｛%｝的每一项除以3所得的余数按相对应的顺序组成新数列抄“｝,则数列他,｝的前2024项和是（

A.2275B.2276C.2277D.2278

3.已知等比数列｛q｝的前”项积为S,,若Su=2",则〃（）

A.16B.8C.6D.4

4.已知数列｛%｝的前n项和为,an+1=S.+2”14=2,则S〃=()

A.("+1)2B.

C.D.n-T

2

3n-2tn+2,n<7_tz.

5.已知数列｛2｝通项公式为%二,右对任思〃cN*,都有a„+l>an,则实数t的取值范围

4n+94,n>7

是()

23Q-239、23

A.[3,+oo)B.e[—,-)cFz，5)D.

6.已知等差数列｛%｝中，4=100,公差d=—3,前〃项和为S〃，则下列结论中错误的是（

A.数列为等差数列

B.当〃二34时，S〃值取得最大

C,存在不同的正整数。儿使得S,=Sj

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D.所有满足弓+勺=1。1«</）的正整数仃中，当，,=17,/=18时，值最大

7.若数列｛%｝满足（〃eN*,d为常数），则称数列｛%｝为调和数列.已知数列为调和数

列，且才+X；+…+焉22=2022,则工9+兀2014的最大值为（）

A.V2B.2C.2V2D.4

8.已知数列｛%｝的首项4=：,且“用=三1，-+—+—<2025,则满足条件的最大整数〃=（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知数列｛4｝中，4=1,。用=a"+2"（"eN*）,则下列结论正确的是（）

A.a4=13B.｛4｝是递增数列C.al0<1000D.an+l=2an+1

10.已知S“是等差数列｛%｝的前〃项和，且%>0,%+4。<O，则下列选项正确的是（）

A.数列｛%｝为递减数列B.q<。

C.s”的最大值为跖D.儿>0

11.已知数列｛4｝满足q=1,-----=4+1-----,则电023的值可能为（）

Zan

12.对于任意非零实数x,y,函数满足〃x+y）=，且在（0,+一）单调递减,/（1）=1,

则下列结论正确的是（）

C.”无）为奇函数D.“X）在定义域内单调递减

第II卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.各项均为正数的等比数列｛4｝的前几项和为5“，且-4，：为，生成等差数列，若《i=l，则S,=—

14.设数列｛4｝的前"项和为S“，且nwN*,a.>a用,Sn<Ss.请写出一个满足条件的数列｛«„｝的通项公式

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10

15.已知数列｛%｝满足%=5,an+an+l=4n,则£4=.

i=\

16.已知数列｛%｝满足4=1,%M=2%+l(〃eN*),记数列7~沪一大的前”项和为若对于任

(4,+2)(%+2)

意“eN*,不等式4＞北恒成立，则实数4的取值范围为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.(10分)

已知数列｛4｝的前n项和为S“,且满足S“=/+1.

(1)求数列｛g｝的通项公式；

(2)若数列b„=,求数列也“｝的前2〃项和心.

18.（12分）

已知等差数列｛%｝的前n项和为S“,且%+4=16,S5=30.

(1)求数列｛见｝的通项公式;

111I

⑵求证：三+不+…+不＜1

19.(12分)

〃3

数列｛4｝前〃项和s〃满足4+1=25n+3,4=3,数列也｝满足a=iog31t.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式；

(2)对任意机eN*,将数歹U｛2｝中落入区间(m，因+J内项的个数记为曦，求数列｛%｝前加项和Tm.

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20.(12分)

已知数列｛%｝的前"项和为S,,且满足J=等％,4=1.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

2%,〃为偶数

⑵设数列也｝满足2=。“+2a、小在料，求数列也｝的前2〃项和七.

---------1-----n------2,〃不可缴

.a.见+2

21.(12分)

已知等比数列｛%｝的公比4>0,且4*1,首项q=1,前”项和为S”.

⑴若/2,且名为定值，求q的值；

(2)若%>%+]+2q,("eN*)对任意心2恒成立，求q的取值范围.

22.(12分)

设数列｛%｝的前w项和为S.,己知％=3,2Sn-3an+3=0.

(1)证明数列｛%｝为等比数列；

(2)设数列｛%｝的前〃项积为I,若叫”2幻⑸-2%+5)/.二对仟意“『N*恒成立,求整数九的最大值.

£1唱4"+1

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参考答案

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.己知S“是数列｛%｝的前〃项和，若4=1,Sn=^an+l,则（）

A.数列｛4｝是等比数列B.数列｛4｝是等差数列

C.数列⑸｝是等比数列D.数列6｝是等差数列

【答案】C

【解析】因5.=；〃向①可得，当〃上2时，②，于是，由①-②可得：—用一;。，，

即%=?%+「4%，可得^1=3,因％=1,在S“=9x中，取〃=1,可得%=2y=2,即&=2/3,

故数列｛里｝不是等比数列，选项A,B错误；

又因当〃wN*时，都有。用=S,+「S”,代入中，可得,=:⑸.「S,）,整理得：沪=3,

223〃

故数列｛s“｝是等比数列，即选项C正确，D错误.

故选：C.

2.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：U,2,3,5,8,13,…，其中从第三

个数起，每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列｛%｝称为“斐波那契数列”.若

把该数列｛4｝的每一项除以3所得的余数按相对应的顺序组成新数列他,｝,则数列｛2｝的前2024项和是（）

A.2275B.2276C.2277D.2278

【答案】C

【解析】1,1,2,3,5,8,13,…,

除以3所得余数分别为1,1,2,0,2,2,1,0；1,1,2,0,2,2,1,0...,

即也｝是周期为8的周期数列，

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因为2024=8x253,

b］+Z?2+,••+4=9,

所以数列也｝的前2024项和为253x9=2277.

故选：C

3.已知等比数列｛%｝的前〃项积为S,,若力=2",则的；=()

A.16B.8C.6D.4

【答案】B

【解析】设等比数列｛%｝的公比为4,则。%=41=吸，则％=2,

所以a4d==4=8.

q

故选：B.

n+l

4.已知数列｛4｝的前w项和为S“，an+1=Sn+2,4=2,贝”"=()

A.+B.(»+1)-2^

C.〃.2"TD.n-T

【答案】D

【解析】因为%M=S,+2"M,则S,+「S,=S”+2向，整理得箝一*=1,

又％=2,则11,

因此数列］上｝是首项为1,公差为1的等差数列，

q

则爰=l+(〃-l)xl=",所以s"="-2'.

故选：D.

5.已知数列｛%｝通项公式为%=］："一：7+2管7,若对任意“wN*,都有4田>。“，则实数，的取值范围

［4〃+94,几〉7

是()

23923923

A.tG［3,4-00)B.%®［五，2)C./£(五Q)D，［石，十°°)

【答案】C

2

【解析】当几£｛1,2,3,4,5,6｝时,an+i-an=3(n+l)一2,(〃+1)+2-3/+2优一2=6〃+3-2,>0恒成立，

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所以2t<6〃+3对〃e｛1,2,3,4,5,6卜恒成立，故2f<93fg,

又当〃>7,〃eN时，4=4〃+94为单调递增的数列，

故要使对任意〃wN*,都有见+1>。“，贝！］/>%，BP4x8+94>3x72-14f+2,

解得经与，

14

综上可得女华23卷9）,

故选:C

6.已知等差数列｛%｝中，^=100,公差d=-3,前"项和为S,,,则下列结论中错误的是（）

A.数列为等差数列

B.当〃=34时，S.值取得最大

C.存在不同的正整数"，使得S产S,

D.所有满足q+%=10Ki</）的正整数。中，当，=17,j=18时，。臼值最大

【答案】C

【解析】5,=叫+"（1"=-，2+垩〃,得2=-1〃+孚，数列［&］为等差数列，A正确；

"1222〃22InJ

当S”的对称轴为"=—20?3。33.8,因为“eN*,所以当“=34时，5“值取得最大，B正确；

6

203

因为当S,,的对称轴为九=>~33.8,且〃eN*,因此不存在整数对称点，即不存在不同的正整数,使得

6

S［=Sj,C错误；

由题可知（=103-3〃,%+%=103-3i+103-3/=101（i<j）,解得i+j=35,

%%=（103-3z）（103-3j）=10609+9ij-309（z+j）,化简可得4%=-9『+315i—206,

根据二次函数性质可知当，=17.5时，。臼取最大值，因为ieN*,所以当i=17,j=18时，值最大，D正

确.

故选：C.

7.若数列｛““｝满足一―一'=1（"cN*,d为常数），则称数列｛““｝为调和数列.已知数列［为调和数

列，且d+%；+%；H-----）君022=2022,则％9+%2014的最大值为（）

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A.0B.2C.2A/2D.

【答案】B

【解析】数列为调和数列，故心一片=d,所以优｝为等差数列，

由尤;+后+只+…+422=2022,所以(年+无盆卜2022=2022,

2

玉+%2022=2,以％9+*2014=2,X。+工2014=2N2%^%20149%^20：<1,

由于(％9+%2014)2=4+考014+2X9X2014=2+2%9^2014<4,

当且仅当%=%014时等号成立，故与+%2014的最大值为2,

故选:B

已知数列｛%｝的首项，且a。：

8.q=±„+i=77,-+—+<22,则满足条件的最大整数”=(

A.2022B.2023C.2024D.2025

【答案】C

3a12a+112所以-T

【解析】因为%+i五海，所以工;===五15

所以数列工-1是等比数列，首项为百T二§,公比为!,

[anJ53

所以'T'xtJlzxGJ，即《=2x]：+1，

而当“cN*时，S“单调递增,

又因为S2024=2025<2025，且S2025>2025，

所以满足条件的最大整数”=2024.

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故选：c.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知数列｛%｝中，4=1,。用=a“+2”（"eN*）,则下列结论正确的是（）

A.4=13B.｛%｝是递增数列C.%,<1000D.an+i=2an+\

【答案】BD

【解析】由,=%+2",可得翳=；.墨+；,则瑞一「；华一1）,

又由4=1,可得与_1=一（，所以数列]墨表示首项为-g,公比为g的等比数列，

所以紧1=-产=-（1，所以%=2"一1,

由&=2、1=15,所以A不正确；

由％包一%=2向一1-2"+1=2">0,即4M>。“，所以｛%｝是递增数列，所以B正确；

由％0=21°-1=1023>1000,所以C错误；

由为+1=2向-1,2a„+l=2-2--2+l=2"+1-l,所以%=24+1,所以D正确.

故选：BD.

10.已知S“是等差数列｛4｝的前"项和，且%>0,%+4）<。，则下列选项正确的是（）

A.数列｛4｝为递减数列B.«8<0

c.s”的最大值为跖D.514>0

【答案】ABC

【解析】设等差数列｛%｝的公差为力

由于丹>0,。5+%0<°，故％+。8=。5+。10<0，

贝I]%<。，B正确；

〃则数列｛““｝为递减数列，A正确，

由以上分析可知4,电，…，%>。，〃28时，an<0,

故S”的最大值为跖，C正确；

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百4=14（4；%）=14（%；q。）＜0,D错误，

故选：ABC

11.已知数列｛qJ满足q=1,才—=。用一一，则电侬的值可能为（）

ZZ〃〃+1an

【答案】AD

【解析】由守一/-=%+「'可得"""1="""用一1二(%%T(2%-4)=0,

22an+1an2an+lan

故44+1T=°或2。用一%=0,

当a“a“+iT=0时,则见。“+1=1,因此q=1,故=1,出＜磔=1，

2022

若2°田-%=0时，则｛%｝为等比数列，且公比为则%523=I

故选：AD

12.对于任意非零实数x,y函数〃x）满足+y）=2号'），且〃x）在（0,+e）单调递减，"1）=1,

则下列结论正确的是（）

2023

B.22023_2

Z=1

C.“X）为奇函数D./（x）在定义域内单调递减

【答案】AC

【解析］令x=y=；

所以是以=2为首项’2为公比的等比数列,

20232(1—22023)=22024

故27一2,故B错误;

Z=171-2-

由题意，函数“X）的定义域为（-8,0）U（0,+8）,关于原点对称,

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“x)/(-2龙)

令y=-2x,则/(-x)=

〃x)+/(-2x)'

/(-x)

令-x代换x，y,则/(-2尤)=

2/(-x)2

由两式可得f(-x)=------化简可得〃r)=V(x),所以/(X)为奇函数，故C正确;

因为〃x)在(0,+8)单调递减，函数为奇函数，可得f(x)在(-8,0)上单调递减，

但是不能判断"X)在定义域上的单调性，例如/(x)=J,故D错误.

X

故选：AC

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.各项均为正数的等比数列｛4｝的前"项和为S"，且-q,:小，%成等差数列，若q=1，则S4=

【答案】15

【解析】设等比数列｛q｝的公比为4,

因为-q,；出，〃3成等差数列，

3

以2x—Q?=-%+%，

3

以2xz%q=-a1+q/,

因为4=1,且各项均为正数，

所以解得q=2,

4

所以邑=二1-2三=15.

1-2

故答案为：15

14.设数列｛%｝的前〃项和为S„,且weN*,a,>an+1,S„<Ss.请写出一个满足条件的数歹U｛%｝的通项公式

【答案】8-77(答案不唯一)

【解析】因为"则数列｛%｝递减，又S“VS8,即Sg最大，所以4=8-〃符合.

故答案为：8-n(答案不唯一)

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15.已知数列｛。“｝满足。3=5,an+an+l=An,则.

Z=1

【答案】4082

【解析】因为%+。“包=4”,

所以+。2=4,。2+〃3=8,

又生=5,所以。2=3,%=1,

因为4+%+i=4〃，所以氏+1+4+2=4〃+4,

两式相减得"〃+2-"八-4，

所以｛%｝的所有奇数项成等差数列，首项为1,公差为4,

｛%｝的所有偶数项成等差数列，首项为3,公差为4,

〃一1

所以当w为奇数时，fl„=l+(^-+l-l)x4=2«-l,

V!—2

当〃为偶数时，为=3+(三一+1-l)x4=2"l,

综述：。〃=2几-1(neN*),

所以％=2x2'—l=2'+i—1,

211

ioO_9x?

所以Z&,=22-1+23-1+-..+2"-1=(22+23+-..+2“)-10=一^——10=212-14=4082.

i=i1-2

故答案为：4082.

16.已知数列｛4｝满足q=1,an+l=2an+l(n^),记数列7—沪~k的前〃项和为若对于任

(4+2)(+2)

意〃cN*,不等式上>(恒成立，则实数左的取值范围为

【答案】［―,+°°)

【解析】由题设。用+1=2(。“+1),而q+l=2,贝£4+1｝是首项、公比都为2的等比数歹

所以/+1=2",则4=2"-1,

所以4+1=2〃=」______1

(%+2)(%+2)(2"+1)(2吗1)2"+12K+1+r

ETI11111111*.

则小五r币+币一互1+…+a在〃eN上恒成立，

要使不等式左>北恒成立，只需左Ng,所以实数人的取值范围为g,+8).

第12页共17页

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.(10分)

已知数列｛%｝的前n项和为S,,且满足5“=+1.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵若数列由=(T)&,求数列｛2｝的前2〃项和笃

【解析】⑴因为S“=/+i,

当〃=1时，%=H=F+1=2,

当〃22时，Sn_1—+1,则=九?+1—(〃—1)—1=2〃—1,

2,n=l

当力=1时,=2几T不成立,所以。〃二

2n—l,n>2

—2,n=\

(2)由⑴可得a=(-

(-1)"x(2n-l),n>2

所以&=-2+3-5+7-9+11-13+...+(4〃-5)-(4〃-3)+(4〃-l)

=-2+(3-5)+(7-9)+(11-13)+...+[(4n-5)-(47i-3)]+(4n-l)

=-2-2(M-l)+(4n-l)=2w-l.

18.(12分)

已知等差数列｛4｝的前n项和为S“，且的+4=1635=30.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

111,

(2)求证：—+—+.

【解析】(1)设数列｛%｝的首项为%,公差为d.

,/、n(n—l)

L

则〃〃=%+(〃-l)d,Sn=nax+—^―d.

[2。]+6d=16[a.=2*

由%+R=16同=30,可得<0n%=2〃，“eN

[DOj+Wa=30[a=2

/、/、1111

⑵由(1),邑=2"+”5-1)=9+1),则£=而包=/丁？

第13页共17页

附---1--------1-------1------=----------1-----------1-------1-----;---------=]-------1------------p...-]----------------=]------------<]

双S|S2Sn1x22x3,i(n+l)223nn+\

19.（12分）

3

数列｛%｝前"项和S.满足«„+1=2s“+3吗=3,数歹|J｛〃｝满足么=log3%.

⑴求数列｛见｝和也｝的通项公式；

（2）对任意加eN*,将数列｛〃｝中落入区间（%4+i）内项的个数记为%,求数列｛g｝前加项和.

【解析】（1）q=3,a〃+i=2S〃+3①，当〃=1时，〃2=2SI+3=9,

当〃22时，=2Si+3②，

两式①.②得an+i-an=2an,即%=3ali,

其中%=9=3%,也满足上式，

故｛4｝是以3为首项，3为公比的等比数列，

故=q•3"T=3n；

a333n

^=log3y=log3—=3»-2；

⑵4,%）=（3b）,

令3"'<3"一2<3"'+1m>3m-1+j<n<3m+j,又“wN*，

故〃=3"i+1,3'i+2,…,3J则cm=r-3'i=2.3'i,

23加

故c:包=而7=3,所以｛%｝为等比数列，首项为9=2,公比为3,

所以王=2（1-3"）=3“_].

20.（12分）

已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且满足5“=丁为，4=1.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

2%,〃为偶数

（2）设数列｛。｝满足匕,尸%+2]4__2〃为奇数，求数列圾｝的前2"项和&.

anan+2'

【解析】（1）因为邑=17+*14，

第14页共17页

Yl

“22时，Sn_l=-an_l.

n

两式相减得工=-7，

an-l”T

a2_2〃3_3Lan_n

ax，22，'an_xn-1

相乘得詈=”,所以。”=〃(心2),

当〃=1时符合上式，

所以见=〃；

2",”为偶数

(2)bn=\n+2n

---------1----------2,〃为奇数

、nn+2

22j__1

当〃为奇数时2=1+—+1——--2=2

nn+2nn+2

=22+24+---+22n+2f+---1

I3352n-l2n+l

4(1—4")4〃

1-42n+l

4,,+1-44n

----------1--------.

32n+l

21.(12分)

已知等比数列｛%｝的公比4>0,且首项q=1,前w项和为S”

⑴若小2,且也为定值，求"的值;

(2)若S“M>4+1+2%(〃eN*)对任意”22恒成立，求q的取值范围.