2025年高考数学总复习《解三角形与平面向量》专项测试卷及答案

2025年高考数学总复习《解三角形与平面向量》专项测试卷及答案

（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）

学校:姓名：班级：考号：

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1•已知。=（1,-2）,=（m,1）9若a_L（a+。），则向量4在b上的投影向量为（）

A.(-3,1)D.(T,2)

2.在中，点。，E分别是AB,3C的中点，记AE=a，C£>=>，则AC=()

A.-(a-b\B.-(a-b\C.-a--bD.-(a-b\

3、/2、/233、/

JT

3.在ABC中，角A,民C所对的边分别为a,ac,已知b,a,c成等差数列，a=6,A=^,贝UABC的面积为

()

A.373B.9.73C.12D.16

4.在△ABC中，角AB,C的对边分别是a,b,c,若3a=48,A=2B,贝I]cosB=()

A.-B.-C.-D.-

3384

5.在-ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=|,a=^3,b=也,则此三角形的解的情

况是()

A.有一解B.有两解

C.无解D.有解但解的个数不确定

6.已知平面向量0,%均为单位向量，且“力=0，卜卜3,贝的最大值是（）

A.6B.3C.3+忘D.3-&

/7cosR

7.在.ABC中，内角A、B、C对应边分别为。、b、c,已知----=-b-2c,且角A的平分线AO交8C

cosA

于点。，AD=1,则2AC+3AB的最小值为（）

A.5+2#B.6+2新C.5+26D.6+2石

8.已知在ABC所在平面内，BD=2AB，E、F分别为线段AC、AD的中点，直线昉与3C相交于点G,

若DGL3C,贝|（）

第1页共24页

.3

A.tan/BAC的最小值为一

4

4

B.tan/A4c的最小值为§

3

C.tan/54c的最大值为:

4

4

D.tan/BAC的最大值为§

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知空间向量a=（—2,-1,1）,6=（3,4,5）,则下列结论正确的是（）

A.（2a+b）〃aB.5忖=若愀

C.a_L（5a+6b）D.a在6上的投影向量为1-±-g,-J

10.在中，内角A,3,C所对的边分别为a,6,c,下列与_ABC有关的结论，正确的是（）

什c,sor.,rb+2c2b+c.

A.若a=2,A=30。，则----------=-----------=4

siaB+2sinC2sinB+sinC

B.若OCOSA=ZTCOS3,则ABC是等腰直角三角形

C.若,ABC是锐角三角形，贝UcosA<sinB

D.若2OA+O8+30c=6>SA0C,SABC分别表示，AOC,ABC的面积，贝!ISAAOC：Sfc=1：6

11.如图，已知：。的内接四边形ABC。中，AB=2,BC=6,AD=CD=4,下列说法正确的是（）

A.四边形A3CD的面积为8百

B.该外接圆的半径为期

C.BOCD=-4

D.过。作。尸，3C交BC于尸点，则。OOP=11

12.在‘ABC中，内角A,B,C所对的边分别为“，b,c,且tanA=s吗+sm：,则下列结论正确的是

cosB+cosC

第2页共24页

兀

AA.A4=-

3

（6r\

B.sinB+sinC的取值范围是彳由

12

C.若。为边8c上中点，且AD=1,贝心的最小值为毡

3

D.若一ABC面积为1,则三条高的乘积的平方的最大值为3g

第II卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在圆的内接四边形ABCD中，AB=6,AD=3,CD=3,ZE4D=60°,贝|BC=.

14.某校数学建模社团对山西省朔州市的应县木塔的高度进行测量.如图，该校数学建模社团成员在应县木

塔旁水平地面上的处测得其顶点P的仰角分别是45和30,且测得NOAB=60,AB=140米，则该校

数学建模社团测得应县木塔的高度。尸=米.

15.在中，M是边BC的中点，N是线段的中点.设AB=“，AC=b，试用a,b表示AN为，

若ZA=J,ABC的面积为班，则AM-AN的最小值为.

O

16.如图，在圆内接四边形A3CD中，ZBAD=12Q,AB=AD=1,AC=2.若E为。的中点，则E4ZB

的值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.（10分）

第3页共24页

已知平面向量心b,同=2,忖=1,且0与)的夹角为三.

⑴求卜+2目；

⑵若a+2b与2a+劝(2eR)垂直，求2的值

18.(12分)

已知向量m=(sinx,l),〃=(V^cosx,-2),函数向x)=(1+办克.

(1)若玩〃力,求cos2%的值；

(2)若.ABC为锐角三角形，且〃A)=；,求tanB的取值范围.

19.(12分)

在，ABC中，内角A5C所对边的长分别为“，b,c,ZBAC=120°.

(1)若。?,求sin5.

(2)若。为BC边上的一点，且BC=6,A£>=2,3O=2Z)C,求上c.

20.(12分)

在，ABC中，内角AB,C所对的边分别为°,dc,且acosA+acos(B-C)=2而JCOS(兀-A)sinC.

(1)求角A的大小；

第4页共24页

⑵若点M为8C的中点，点N满足㈤V=gAC,AB=2,AC=6,点产为A"与BN的交点，求NMPN的余

弦值.

21.(12分)

在,ABC中，AC=y/3AB,且8C边上的中线AD长为1.

(1)若3C=2AB,求ABC的面积；

⑵若/ABC=2/ZMC,求BC的长.

22.(12分)

在—ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,6,c,且6=2A/^c=4acosB,2sin3cosC=--------——

a

⑴求。；

9

(2)若。为的中点，在4)上存在点尸，使得尸3・尸。=:，求cosNB尸C的值.

4

参考答案

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1•已知。=(1,-2),b=，若a_L(a+b),则向量4在人上的投影向量为()

A.(-3J)B.g-JC.D.(T,2)

【答案】B

第5页共24页

【解析】。=(1,一2),if=(m,l)，:.a+b=(l+/n,-l),

a-L(a+b),「.〃•(〃+/?)=1+冽+2=0,

解得根=-3,b—(—3,1)，

n.Ab(

向量a在b上的投影向量为*•与-5-3,1)/31

回*710~\2

闻网2

故选：B.

2.在,.ABC中，点。，E分别是AB,3c的中点，记AE=a，CD=b,贝UAC=(：

A.-[(a-b\B.-1(a-b\C.—]a——1bD.2-(a-b\

3、/2、/233、/

【答案】D

【解析】由题意可知，a=-(AB+AC\,b=-AB+CA=-AB-AC.

两式相减，得a-6=?AC,所以46=|卜一切.

故选：D.

7T

3.在,.ABC中，角A民C所对的边分别为。力,。，已知b,a,c成等差数列，a=6,A=j,则ABC的面积为

()

A.3GB.9A/3C.12D.16

【答案】B

【解析】因为4a,c成等差数列，可得b+c=2a,

TT

又因为a=6,A=§,

COSA/+C2"=S+C)J2小)3a2-2bc_1

由余弦定理得:

2bc2bc2bc-2

整理得3bc=3a2，即be=36,

所以的面积为S=—Z?csinA=—X36X^-=9A/3.

222

故选：B.

4.在△A5C中,角ABC的对边分别是a,b,c,若3a=44A=2B,贝|cosB=(

A-1B-1cID-1

【答案】B

第6页共24页

【解析】因为A=25,所以sinA=sin25=2sinBcosi5.

因为三=工，所以a_b所以COS2=£.

sinAsmB2sinBcosBsinB2b

因为3"m所以A：则8s八£4

故选：B

5.在一ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,A=pa=5b=叵,则此三角形的解的情

况是()

A.有一解B.有两解

C.无解D.有解但解的个数不确定

【答案】A

abZ?•sinA，义23,

【解析】由得sin8=

sinAsinB〃一百一2

又a>b,A=j,故8只能为锐角，即3=

故该三角形只有一解.

故选：A.

6.已知平面向量0,方均为单位向量，且.必=0，卜|=3,则k-a-b|的最大值是()

A.6B.3C.3+0D.3-72

【答案】C

【解析】依题意平面向量a，6均为单位向量，且〃力=0,

建立如图所示平面直角坐标系，设。=(1,0),6=(0,1),

设c=(尤,y),由忖=小小+.=3,/+y2=9,

所以点(x,y)在以原点为圆心，半径为3的圆上，

卜=k_(。+6)|=卜_(1,1)|表示以原点为圆心，

半径为3的圆上的点(x,y)与点(1,1)的距离，

所以，根据圆的几何性质可知：卜-。-4的最大值是3+0，

其中&是点(1,1)与原点的距离.

第7页共24页

/7COQR

C对应边分别为〃、b、c,已知空当=_0—2c,且角A的平分线An交5C

cosA

于点。，AD=1,贝U2AC+3AB的最小值为()

A.5+25/6B.6+2后C.5+2石D.6+2石

【答案】A

/7C0QR

【解析】因为------=-b-2c,所以，acosB=-bcosA-2ccosA,

cosA

由正弦定理可得一2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB-sin(A+B)=sinC,

因为A、CG(O,TI),贝iJsinC>0,所以，cosA=—；,可得A=与，

因为角A的平分线AD交BC于点。，AD=l,

I2冗1jr1Jr

由SABC=SABD+S.ACD>即jbcsin3-=2cADsin§+26-sin],

所以，叵be力(b+c),所以，空二+L1,

44bebe

_2Z?3c__2b3c

所以，2AC+3AB=26+3c=(26+3c)=5+—+—>5+2.

cbcb

=5+2#,

2+\/6

2b3cb=-----

当且仅当~b时,即当2厂时，等号成立,

be=b+c3+V6

3

故24。+3四的最小值为5+2#.

故选：A.

8.已知在ABC所在平面内，BD=2AB，E、P分别为线段AC、AD的中点，直线跖与3C相交于点G,

若DGL3C,贝U()

3

A-tan/BAC的最小值为a

第8页共24页

4

B.tan/BAC的最小值为§

3

C.tan/区4c的最大值为:

4

4

D.tan/A4c的最大值为§

【答案】D

【解析】

BD=2AB，且P为线段AO的中点，

13

所以AP=-A£>=—AB,

22

_13

则CB=CA+AB,EF=EA+AF=-CA+-AB,

设E6=tEF，

则CGMCE+EGuJcA+dLcA+OABK+LqCA+3rAB,

2122Jy2J2

且CB和CG共线，CB^CA+AB，

3

故G为线段防的中点，且CG=：C3,

4

所以。G=O5+5G=-2A5+L5C=-2A5+U5A+AC)=-2AB+!AC,

44、,44

且BC=AC—AB,若。G_LBC,

/\(91)92125

则5COG=AC—AB•——AB+-AC\=-AB+-AC——ABAC=0

'H44J4425

59-21-231-iI-I

即+-AC>-|AB|-|AC|,

39212

故cos/BACN1,当且仅当时，等号成立；

544

•••NBACeO］，当tanZBAC的最大时，即cos/BAC最小时，

第9页共24页

此时sinABAC=71-cos2ABAC=

_sinZBAC4

tanZBAC=-------------=-

cosABAC3

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知空间向量a=（-2,—1,1）,6=（3,4,5）,则下列结论正确的是（）

A.(2Q+Z?)〃QB,5忖=百忖

c.5a+6b)D..在)上的投影向量为(

【答案】BCD

-177

【解析】易知24+6=(-1,2,7),显然故A错误；

—2—11

易知：\a\=^(-2)2+(-1)2+12=跖忖=732+42+52=5应n5同=若忖,

故B正确;

易知5a+68=(8,19,35)na-(5a+6b)=-2x8+(-l)xl9+lx35=0,故C正确;

a-b力=青（3,4,5）=一323）,故D正确.

a在》上的投影向量可W，-5

\b\

故选：BCD

10.在一ABC中，内角ABC所对的边分别为a,4c,下列与_ABC有关的结论，正确的是（）

升c/onon,ib+2c2b+c.

A.右a=2,A=3。,贝!!•----------=-------------=4

siaB+2sinC2sinB+sinC

B.若acosA=/x:os3,则ABC是等腰直角三角形

C.若ABC是锐角三角形，则cosAvsinB

D.若2OA+O2+3OC=0，SAOC，SABC分别表示一AOC,一ABC的面积，则Zac:,△ABC=1：6

【答案】ACD

a

【解析】对于A中，因为。=2,A=30。，设外接圆的半径为R,可得2R=j,

sinAsin30

b+2c2b+ca

又由=4,所以A正确;

sinB+2sinC2sinB+sinCsinA

对于B中，因为优osA=Z?cos5,由正弦定理得sinAcosA=sin3cos3,即sin2A=sin25,

第10页共24页

jr

因为A,8e(0,兀)，可得2A=23或24+28=兀，即A=g或4+2=-,

2

所以ABC是等腰三角形或直角三角形，所以B不正确；

ITTT

对于C中，由〃1BC是锐角三角形，可得A+B>],即

TTTTTT

因为一ABC是锐角三角形，可得AeQg),[Be©]),

又因为y=cosx在(0,会为单调递减函数，所以cosA<cos]-“=sinB,所以C正确;

对于D中，如图所示，设AC的中点为V,BC的中点为。，

因为2OA+02+3OC=0，即2(OA+OC)+(OB+OC)=0,

可得2x20M+200=0，即20M=-。。，所以点。是MD上靠近M的三等分点，

所以点。到AC的距离等于。到AC的g,

又由B到AC的距离为点D到AC的距离的2倍，

所以。到AC的距离等于点B到AC距离的，

由三角形的面积公式，可得SABC=6SA℃,即5以小黑.=1：6,所以D正确.

故选：ACD.

11.如图，已知O的内接四边形ABC。中，AB=2,BC=6,AD=CD=4,下列说法正确的是()

A.四边形ABCD的面积为8石

B.该外接圆的半径为当

第11页共24页

c.BOCD=-4

D.过。作。尸，3c交3C于P点，则DO.£＞尸=11

【答案】ABC

【解析】对于A,连接AC,

4+36-3

cosB=

24

由于5+。=兀，所以cosB+cosO=0,故卫二Q+竺二Q=0,解得4。2=变，

32247

所以cos。=一,，cosB=—,所以sin3=sin。=

77

故SA”=-AB-BCsinB=-x2x6x^=^^,

A5c2277

vn1…4。332V3

Se——AD,DCsinD——x4x4x-----=--------,

ADnCr2277

故四边形ABC。的面积为竺"+%叵=8g,A正确;

77

(256

74cN〒—4亚

对于B,设外接圆半径为R,贝4万.3

故该外接圆的直径为匹，半径为型，B正确;

33

对于C,连接2D,过点。作OGLCD于点G,过点8作3ELCD于点E,

则由垂径定理得：CG=1CD=2,由于A+C=180,所以cosA+cosC=0,

第12页共24页

4+16—BD~16+36-BD~々R汨_r~二匚I、I「1匚匚i、1一‘八

即nn-----------1------------------=0，解得BD=2^7，所以cosC=—,所以。=60，

16482

且CE=BC-cosC=6xg=3,所以间=3-2=1,即80在向量CO上的投影长为1，

且EG与CO反向，故2。・。=一,4-14=-4,C正确；

对于D,由C选项可知：C=60,故m=C»sin6(T=4x曰=2右，且NCD尸=30。，

因为AT>=CD,由对称性可知：。。为/ADC的平分线，UlZODF=-ZADC-30°,

2

由A选项可知：COSNA£>C=-L,显然1/AOC为锐角，

72

痂1/sr11+cosZADC后O'2不

®cos—ZADC=J------------------=------，sm—ZADC=.1——=-------，

2V272V77

所以cosZODF=cosf-ZADC-30°]=cos-ZADC-cos30°+sin-ZADC-sin30°=—,

(2J2214

所以£>0・£)斤=,0,0耳85/00/=2卓x26x誓=10,D错误.

故选：ABC

sinB+sinC

12.在一ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且tanA=,则下列结论正确的是

cosB+cosC

)

,,71

A.A=-

3

什（6r\

B.sinB+sinC的取值范围是--,V3

I2）

C.若。为边BC上中点，且AD=1,则。的最小值为空

3

D.若ABC面积为1,则三条高的乘积的平方的最大值为3K

【答案】ACD

■rip.工,4sinB+sinCsinA

【解析】对于A项，由tanA=-------------=——7z得t=t

cosn+cosCcosA

第13页共24页

sinBcosA+sinCcosA=sinAcosB+sinAcosC，即sin(B-A)=sin(A-C),

因为A3,Ce(O,jr),则3-AA-Ce(-7i,7r),

若3—A+A-C=TT显然不符题意，或者3—A+A-C=-7T也不符合题意，

所以3—A=A-C,即2A=3+。=兀一4,所以A=g,故A正确；

对于B项，sinB+sinC=sinB+sin+^=-|sinB+cosB=>/3sin^B+^,

m、r八yj2兀/广||7C-7L5兀/广-I1•|y-»兀、,1

因为所以:+所以7<sin5+zWl,

3666216/

所以且<sinB+sinC〈石，即sinB+sinC的取值范围是中，百，故B错误；

2I2」

对于C项，由余弦定理知a?=fe2+c2-2feccosA=b2+c2-be，

又。为边5c上中点，所以2AO=A3+AC，

4

所以4AI)?u/^+H+MccosA，所以4=/+。2+历23历，所以历4耳，

当且仅当匕=c时，取得等号，所以a2=〃+c2-6c=4-26cN：,所以.=2叵，故C正确；

3mm3

222

对于D项，不妨设a、b、c三边上的高分别4、旬、瓦,则％=—,刈=/为=一，

abc

i496412

又S.=7bcsinA=l,所以bc=F，所以(4/z71y=FTT==，

273ab2c3a

根据余弦定理知。2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be>bc=-^=,所以与,

当且仅当b=c时，取得等号，故D正确.

故选：ACD

第II卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在圆的内接四边形ABCD中，AB=6,AD=3,CD=3,Z£L4D=60°,贝|BC=

【答案】3

【解析】连接如图：

第14页共24页

在△ABD中，因为AB=6,AD=3,ZBAD=60°

由余弦定理，得3£>2=.2+">2一2AB•ADCOS6（T=27，即8。=36

又因为N54D=60。，所以N38=180。—60。=120。，

在△BCD中，因为CD=3,80=3百，ZBCD=120°,

由余弦定理，得=BC2+CD2-2BC-CDCOS12°,

即27=3C2+9+33C,解得：BC=3.

故答案为：3.

14.某校数学建模社团对山西省朔州市的应县木塔的高度进行测量.如图，该校数学建模社团成员在应县木

塔旁水平地面上的AB处测得其顶点P的仰角分别是45和30,且测得NOAB=60,AB=140米，则该校

数学建模社团测得应县木塔的高度0P=米.

【答案】70

【解析】设OP=x米，则。4=x米，。8=百无米.

在4045中，Zft4B=60°,由余弦定理可得04=042+432_2OAA8.COS/OAB,

gP3x2=x2+1402-140x,即2/+140》一14。2=0,即（2x—140）（x+140）=0,解得x=70或x=-140（舍去）.

故答案为：70.

15.在ABC中，M是边BC的中点，N是线段的中点.设=AC=6,试用。，b表示AN为，

若ZA=1,ABC的面积为G，则AM-AN的最小值为_____.

6

第15页共24页

31

【答案】AN=-a+-b6

44

【解析】如图所示，.ABC中，NA=，

0

A

/

8,vMC

uuuri/Umuun

M是边BC的中点，N是线段BM的中点，则AM=5(AB+ACx),

AN=AM+MN=^AB+AC^+^CB=^AB+AC^+^AB-AC^=^AB+^AC,

31

AN=-a+-b-

44

由,ABC的面积为5ABe网，，si吟=&,得网.用=46,

^\AAM-AN=-(AB+AC}-\-AB+-AC\=-AB2+-AC2+-AB-AC

2、/(44J882

2

［网+打。「+；网W.底

巳旧I网阿+白4如X4

=2x@x4省+3

8

=6,

当且仅当国卜6网=26时取等号，

所以AM-AN的最小值为6.

31

故答案为：AN=-a+-b-6

44

16.如图，在圆内接四边形ABCD中，ZBAD=12Q,AB=AD=1,AC=2.若片为8的中点，则创.即

的值为.

第16页共24页

c

【答案】|3

【解析】由余弦定理知BO2=12+12-2xlxlx]-gj=3,所以BO=道,

由正弦定理得二空二=2=AC,所以AC为圆的直径，

sml20

所以COLAO,所以CO=VL从而CD=BD,

又/38=180-120=60,所以△■BCD为等边三角形；

以。为原点，以ZM所在直线为x轴，0c所在直线为y轴建立如下图所示的

平面直角坐标系：则A（l,0）,40,斗心?，助=卜-。，防=臣），

故函也=1一乎｝色吓李

3

故答案为：

2

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.（10分）

已知平面向量a,b,\a\=2,\b\=l,且。与方的夹角为,

⑴求卜+20；

第17页共24页

(2)若a+2b与2。+劝(2eR)垂直，求2的值

【解析】(1)同=2,恸=1,且d与方的夹角为。，

a-b=|a||/?|cos~=2xlx-i=l

卜+26卜J(a+2b了=4a.6+4,『=722+4xl+4xl2=2A，

(2)d+26与2。+肪(XeR)垂直，

(0+2b).(2。+彳6)=0,

即2同~+2彳忖+4a-b+Aa-b=Q,

即8+22+4+2=0,解得：A=—4.

18.(12分)

已知向量成=(sin无,1),拓=(百cosx,-2),函数/(x)=(方+5)•克.

(1)若戊〃力,求cos2%的值；

(2)若..ABC为锐角三角形，且〃A)=；,求tanB的取值范围.

【解析】(1)Vm//n,V3cosj;=-2sinx,贝！Jtanx=-；

2

11句2

222

c2.2cosx-sinx1-tanxI2I1

cos2x=cosx-sinx=^~：------------=——-------=——r^=一；

sinx+cosxtanx+1(Hl7

(2)/(x)=(m+n)-m=fsinx+\/3cossinx+(1-2)x1=sin2x+sinxcosx-1

=且sin2尤一」cos2x—工=sin12x—2

兀一,

22262

由〃4)=。,得sin(2A=J=l,

呜,715兀兀nn471

Me2Aqe,A2A--5'即于

666

。＜8＜今

因；ABC为锐角三角形，可得，解得?<5<弓,

7162

0<Ti~--B<—

32

第18页共24页

tanB>^,故tan8的取值范围为

[3J

19.（12分）

在...ABC中，内角A%C所对边的长分别为。，b,c,ZBAC=nO0.

⑴若/=》2++2,求sinB.

（2）若。为BC边上的一点，且BC=6,40=2,2。=2DC,求上c.

【解析】（1）由余弦定理,Wa2=Z?2+c2-2/?ccosZ.BAC,BPa2=b2+c2+bc.

22222

因为/=1b+-c,所以9〃+lc=b+c+bc,

3333

即2〃—3Z?c—2/=。，解得b=2c,b=-W（舍去），

2

将b=2c代入+；,中得〃=4c.

,币c2c

/7n------.........

由正弦定理，得.即V3一sin8，

sinABACsinB

2

所以sin5=H.

7

（2）由（1）知，b2+c2+bc=a2=36.

因为8D=2DC,

-2门2A21.2424

所以AD=-AB+-AC=-AB+-AC+-ACAB

<33J999

=-c2+-b2+-\AC\]AB\COS1200=-c2+-b2--

999I।।I999f

因为AT>=2,所以442+02一2匕0=36,

所以4〃+/—26c=£>2+。2+6。，解得Z?=c,

又4/+02_2儿=36,代入可得6=c=2石.

20.（12分）

在.ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosA+acos（jB-C）=2疯JCOS（兀-A）sinC.

第19页共24页

(1)求角A的大小;

（2）若点M为3C的中点，点N满足AN=gAC,A8=2,AC=6,点尸为A〃与BN的交点，求NMPN的余

弦值.

【解析】（1）由己知得-acos（8+C）+acos（3-C）=-2A/§/?cosAsinC,

即2asitiBsinC=-2y（3bcosAsinC-

由正弦定理得sinAsinBsinC=-y/isinBcosAsinC.

因为在11ABe中，sinB>0,sinC>0,所以tanA=-JL

因为4«0,兀），所以A=g.

（2）设AN=“,AB=b,所以AC=3a，

1131

因为M为届的中点，所以+=y+

又BN=a—b，

由⑴知，A=y,AB=2,AC=6,

3-2311-2

AM-BN=—a——a-b+—a-b——b=6+2—2=6.

2222

-I192~31~2

=r

AA/4/—QH—a•bT—ci=，7，

IV424

阿卜yla-2a-b+b2=屈=26,

AMBN6A/21

所以cosZMPN=cos{AM,BN）=