2025年高考数学总复习《分类打靶函数应用与函数模型》专项测试卷及答案

2025年高考数学总复习《分类打靶函数应用与函数模型》专项测试卷

及答案

学校:___________姓名：班级：考号：

一题型01二次函数与幕模型

1.（2023•河北•校联考模拟预测）劳动实践是大学生学习知识、锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社

会、回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量

为x件时，售价为s元/件，且满足s=820-2x,每天的成本合计为600+20*元，请你帮他计算日产量为

件时，获得的日利润最大，最大利润为万元.

2.（2023•北京海淀•高三校考阶段练习）科学家在研究物体的热辐射能力时定义了一个理想模型叫“黑体”，

即一种能完全吸收照在其表面的电磁波（光）的物体.然后，黑体根据其本身特性再向周边辐射电磁波，

科学研究发现单位面积的黑体向空间辐射的电磁波的功率8与该黑体的绝对温度T的4次方成正比，即

B=。为玻尔兹曼常数.而我们在做实验数据处理的过程中，往往不用基础变量作为横纵坐标，以本

实验结果为例，8为纵坐标，以T"为横坐标，则能够近似得到（曲线形状），那么如果继续研究该实

验，若实验结果的曲线如图所示，试写出其可能的横纵坐标的变量形式.

3.（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况

加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）

2015年5月1日1235000

2015年5月15日4835600

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）

A.6升B.8升C.10升D.12升

4.（2023•河南平顶山•高三校联考阶段练习）折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延

时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为12cm,宽为10cm

的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕（线段）将纸片分为面积比为1：3的两部分，则折

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痕长度的取值范围是cm.

5.（2023•全国•高三专题练习）某单位计划建一矩形场地，现有总长度为100m的可作为围墙的材料，

则场地的面积S（单位：a?）与场地的长x（单位：m）的函数关系式为.

一^型02分段函数模型

6.（2017•上海）根据预测，某地第w（〃eN*）个月共享单车的投放量和损失量分别为4和4（单位：辆）,

3

其中a.=[5,+15'啜加,bn=n+5,第〃个月底的共享单车的保有量是前〃个月的累计投放量与累计损

失量的差.

（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；

（2）已知该地共享单车停放点第〃个月底的单车容纳量S“=T（〃-46>+8800（单位：辆）.设在某月底,

共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

7.（2018•上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上

班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S中x%（0<x<100）的成员自驾时，自驾群体的人

均通勤时间为

30,0<%,30

/（%）=1800（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受％影响，恒为40分钟，

2xH---------90,30<x<100

试根据上述分析结果回答下列问题：

（1）当X在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义.

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8.（2023•江苏苏州•高三统考期末）已知正四面体ABCD的棱长为1,P为棱上的动点（端点A、B除

外），过点尸作平面a垂直于A3,a与正四面体的表面相交.记AP=x,将交线围成的图形面积S表示为x

的函数〃尤），则S=/（x）的图象大致为（）

9.（2023•重庆南岸•高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全,

我校决定每天对教室进行消毒工作，己知药物释放过程中，室内空气中的含药量y（稣/加3）与时间f（〃）

成正比（0<r<；）；药物释放完毕后，y与1的函数关系式为>=（；）”"（a为常数，rw；）,据测定，当空

气中每立方米的含药量降低到0.5（mg/m3）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前分

钟进行消毒工作

C.60D.90

10.（2023•广东深圳•高三统考期末）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产

品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本o（x）万元.其中

X2+10x,0<x<40

=110000，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每

71x+---------945,%>40

、%

年利润的最大值为（）

A.720万元B.800万元

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C.875万元D.900万元

11.（2023•北京西城•高三统考期末）“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当

AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动.某地某天0~24时的空气质量指数》随时间f变化的

-10r+290,0</<12

趋势由函数y=，厂…，〜描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（）

56Vf-24,12<?<24

A.5小时B.6小时C.7小时D.8小时

12.（2023•山东临沂•高三统考期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水

价”.计费方法如下表：

每户每月用水量水价

不超过12m34元/n?

超过12m③但不超过18m36元/n?

超过18m③8元/n?

若某户居民上月交纳的水费为66元，则该户居民上月用水量为（）

A.13m3B.14m3C.15m3D.16m3

・题型03对勾函数模型

13.（2014•湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量尸（单位时间内经过测量点的

车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长/（单位：

米）的值有关，其公式为尸=276000".

（I）如果不限定车型，/=6.05,则最大车流量为辆/小时；

（II）如果限定车型，1=5,则最大车流量比（I）中的最大车流量增加一辆/小时.

14.（2023•山东济南•高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）近来汽油价格起伏较大，假设第一

周、第二周的汽油价格分别为力元/升，w元/升（租学〃），甲和乙购买汽油的方式不同，甲每周购买40元的

汽油，乙每周购买12升汽油，甲、乙两次购买平均单价分别记为生,出，则下列结论正确的是（）

A.弓=。2B.%>的C.%>4D.%,的大小无法确定

15.（2023•辽宁大连•高一大连八中校考期中）近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格

分别为。元/斤淮元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，

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甲、乙两次平均单价为分别记为叫，加2,则下列结论正确的是（

A.m[=m2B.mx>m1

C.m2>m{D.7%,的大小无法确定

16.（2023•湖南•高三校联考阶段练习）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800

平方米的矩形ABCD,为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，

则种植花卉区域的面积的最大值是（）

A.1208平方米B.1448平方米C.1568平方米D.1698平方米

17.（2023•广西南宁•统考二模）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年

管理费用为01万元，已知使用尤年的维修总费用为土上万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（）

D.10

18.（2023•河南洛阳•洛阳市第三中学校联考一模）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚、全面建成小康社

会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的

三件大事之一.某企业积极响应国家号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品.经过市场调

研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产x万件，需可变成本P（x）万元，当产量不足50万件时，

p（x）==；x3+60x；当产量不小于50万件时，。。）=101无+色史-1360.每件A产品的售价为100元，通

过市场分析，生产的A产品可以全部销售完.欲使得生产该产品能获得最大利润，则产量应为（）

A.40万件B.50万件C.60万件D.80万件

一题型.04指数函数模型

19.（2023•河南•高三内黄县第一中学校联考阶段练习）用指数模型：y=e°.描述累计一个池塘甲种微

生物的数量y随时间r（单位：天）的变化规律，则该池塘甲种微生物的数量增加到原来的3倍需要的时间

约为天.（ln3"10,结果精确到0.1）.

20.（2023•江苏徐州•高三校考开学考试）2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究

公司。》前发布的名为“CW/GTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关

注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，

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指数衰减的学习率模型为乙=4。看，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，%表示初始学习率，。表示

衰减系数，G表示训练迭代轮数，G。表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,

衰减速度为18,且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4,则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需

的训练迭代轮数至少为.（参考数据：修2。0.3010）

21.（2023•高一课时练习）将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为11.2m/s,这是第一次“打

水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的93%,若要使石片的速率低于

7.84m/s,则至少需要“打水漂”次.（参考数据：IRlnO.7=-0.357,ln0.93=-0.073）

22.（2023•全国•高三对口高考）某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理.该地2020年产生的生活

垃圾为20万吨，其中15万吨以填埋方式处理，5万吨以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量比前一年

增加1万吨，同时，因垃圾处理技术越来越进步，要求从2021年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是

前一年的4倍，若要使得2024年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的50%,则4的

值至少为.

23.（2023•福建厦门•高三厦门一中校考阶段练习）牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温

度为0；C,空气温度为%C,则t分钟后物体的温度6（单位：。满足：。%+（々若常数k=0.05,

空气温度为30℃,某物体的温度从120℃下降到40℃,大约需要的时间为.（参考数据：足3。1.1）

24.（2015•四川）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：°C）满足函数关系

y=e"+"e=2.718…为自然对数的底数，k、6为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的

保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是一小时.

一题型05对数函数模型

25.（2023•上海松江•高三上海市松江二中校考阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，

易放难收《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%,那么一年后是

（1+1%）365=1.01365；如果每天的“退步”率都是1%,那么一年后是（1-1%户5=0.99365,一年后“进步，，的是“退

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ini365（iniA365

步”的湍荻=[^]R481倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1000倍

需要经过的时间大约是天（四舍五入精确）（参考数据：lg2“0.3010,lg3=0.4771）.

26.（2023•北京房山•高三统考开学考试）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，

定义声压级Lp=20x”,其中常数po（po>O）是听觉下限阈值，P是实际声压.下表为不同声源的声压级：

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车106090

混合动力汽车105060

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为外凸，小，给出下列结论：①

012P2；②P2>1°P3；③。3=100。0；④Pl<1。。。2.则所有正确结论的序号是.

27.（2023•福建龙岩•高三上杭一中校考阶段练习）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或

发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌

起的泉水越高.已知听到的声强/与标准声强A）约为10*,单位：W/n?）之比的常用对数称作声强的

声强级，记作乙（单位：贝尔），即乙=炮：.取贝尔的/。倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊

泉”的声音强度y（单位：分贝）与喷出的泉水最高高度x（单位：米）之间满足关系式y=x+io,若甲游

客大喝一声的声强大约相当于100个乙游客同时大喝一声的声强，则甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最

高高度差为.

甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为20米.

故答案为：20.

28.（2023•江苏常州•高三华罗庚中学校考阶段练习）北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7

小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出

舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的

声强级d（x）（单位：dB）与声强x（单位：W/n?）满足关系式：d（x）=101g«.若某人交谈时的声强级

约为60dB,且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为IO'，则火箭发射时的声强级约为

dB.

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・k题型06函数模型的选择

29.(2023•陕西•高三校联考阶段练习)研究汽车急刹车的停车距离对汽车刹车设计和路面交通管理非常

重要，急刹车停车距离受诸多因素影响，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶速度，

设d表示停车距离，4表示反应距离，4表示制动距离，则d=4+4，如图是根据美国公路局公布的实验

数据制作的停车距离示意图.图中指针所指的内圈数值表示对应的车速v(km/h).根据该图数据，建立停车距

hh

离与汽车速度的函数模型.可选择模型①：d=av+A模型②："=42+加.模型③：d=qv+_.模型④：d=av2+~.

VV

(其中。,b为待定参数)进行拟合，则拟合效果最好的函数模型是()

VV

30.(2023•吉林•统考模拟预测)对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：(0.675,-0.989),

(1.102,-0.010),(2.899,1.024),(9.101,2.978),下列函数模型中拟合较好的是()

2

A.y=3xB.y=3*C.y=-(x-l)D.y=log3x

31.(2023•安徽•高三安徽省怀远第一中学校联考阶段练习)安徽怀远石榴(Pirnicagram)自古就有“九

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州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作

社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润

进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，

同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（）

(参考数据：1.015⑼“4.432,1g11x1.041)

x

A.y=0.04.xB.y=1.015-lC.y=tan扃-11D.j=logn（3J:-10）

32.（多选题）（2023•辽宁大连•统考三模）甲乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯特

其中正实数X。”分别为甲、乙两方初始实力，r为比赛时间；

x"），y（。分别为甲、乙两方》时刻的实力；正实数。分别为甲对乙、乙对甲的比赛效果系数.规定当甲、乙两

方任何一方实力为0时比赛结束，另一方获得比赛胜利，并记比赛持续时长为T.则下列结论正确的是（）

A.若x0>E且°=则x(t)>y(r)(0WKT)

B.若*。＞曲且。='则T=』ln

X。b

C.若”＞一，则甲比赛胜利

D.若马＞力,则甲比赛胜利

Yo\a

参考答案

W01二次函数与幕模型

1.（2023•河北•校联考模拟预测）劳动实践是大学生学习知识、锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社

会、回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量

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为X件时，售价为S元/件，且满足s=820-2x,每天的成本合计为600+20尤元，请你帮他计算日产量为

件时，获得的日利润最大，最大利润为万元.

【答案】2007.94

【解析】由题意易得日利润y=sxx-（600+20x）=.x（820-2x）-（600+20x）=-2（x-200）2+79400,

故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元，

故答案为：200,7.94.

2.（2023•北京海淀•高三校考阶段练习）科学家在研究物体的热辐射能力时定义了一个理想模型叫“黑体”，

即一种能完全吸收照在其表面的电磁波（光）的物体.然后，黑体根据其本身特性再向周边辐射电磁波，

科学研究发现单位面积的黑体向空间辐射的电磁波的功率B与该黑体的绝对温度T的4次方成正比，即

B=aT\。为玻尔兹曼常数.而我们在做实验数据处理的过程中，往往不用基础变量作为横纵坐标，以本

实验结果为例，8为纵坐标，以厂为横坐标，则能够近似得到（曲线形状），那么如果继续研究该实

验，若实验结果的曲线如图所示，试写出其可能的横纵坐标的变量形式.

【答案】射线B为纵坐标，以入为横坐标.

【解析】（1）因为B=b为玻尔兹曼常数.8为纵坐标，以〃为横坐标，因为x20,所以

B=ax（x>0）,所以曲线是一条射线；

（2）由于曲线的形状类似y=«,根据曲线可知可能的横纵坐标的变量形式：8为纵坐标，以为横坐标,

故答案为：B为纵坐标，以为横坐标.

故答案为：（1）射线；（2）8为纵坐标，以八为横坐标.

3.（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况

加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）

2015年5月1日1235000

2015年5月15日4835600

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）

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A.6升B.8升C.10升D.12升

【答案】B

【解析】由表格得到从5月1日到15日，该车加了48升的汽油，这段时间行驶的路程为35600千米-35000

千米=600千米，所以该车每100千米平均耗油量48+6=8（升）.

故选：B.

4.（2023•河南平顶山•高三校联考阶段练习）折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延

时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为12cm,宽为10cm

的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕（线段）将纸片分为面积比为1：3的两部分，则折

痕长度的取值范围是cm.

【答案】[10,13]

【解析】由题意得长方形纸片的面积为12x10=120（01?）,不妨设折痕将纸片分成两部分的面积分别为岳，

2

S2,且5]：$2=1:3,贝IJS|=30cm2,S2=90cm.

如图，其中AB=12cm,AN=10cm,

当折痕MN为图（1）所示的三角形一边时,

；孙=30

xy=60

设AM=xcm,AN=ycm,则0<x<12,解得

6<x<12

0<y<10

2

贝ijMN=f+V=炉+3600,

令t=x。,re[36,144],则/⑺=/+邛，r⑺=]_等丁1600,

当/e(36,60)时，/(/)<0,当/e(60,144)时，/(?)>0,

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故打。在[36,60]上单调递减，在[60,144]上单调递增，

X/(36)=136,7(60)=120,/(144)=169,故/⑺e[120,169],

故MVe[2病,13].

当折痕MN为图(2)所示的梯形一边时，

；(x+y)xl0=30

叫[。x+二y=6

设AM=xcm,DN=ycm,贝小0<x<12,<6,

0<y<12

贝U肱v2=(x-y)，100=(2x-6)2+100,0<x<6,

根据二次函数的性质可知，W2e[100,136),则MNe[10,2庖).

当折痕为图(3)所示的梯形一边时，

-(x+y)xl2=30

fx+y=5

设AM=xcm,BN=ycm,贝l卜0<x<10,解得<5,

0<y<10

贝[]叱=(》-»+144=(2》-5)2+144,0<x<5,

根据二次函数的性质可知，W2e[144,169),则肱Ve[12,13).

综上所述，折痕长度的取值范围为[10,13].

故答案为：[10,13]

5.(2023•全国•高三专题练习)某单位计划建一矩形场地，现有总长度为100m的可作为围墙的材料，

则场地的面积S(单位：n?)与场地的长龙(单位：m)的函数关系式为.

【答案】S=x(50-x)(0<%<50)

【解析】由于场地的长为加1,则宽为(50-无)m,由题意得S=x(50-x).易知x>0,50-x>0,所以自变

量x的取值范围为0<x<50.故所求函数的关系式为S=x(50-x)(0<x<50).

故答案为：5=%(50-%)(0<%<50)

■题鳖02分段函数模型

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6.（2017•上海）根据预测，某地第w（〃eN*）个月共享单车的投放量和损失量分别为％和久（单位：辆）,

其中为=尸”4+15,探"3,+5,第九个月底的共享单车的保有量是前〃个月的累计投放量与累计损

［一10〃+470,〃..4

失量的差.

（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；

（2）已知该地共享单车停放点第"个月底的单车容纳量S“=75-46）2+8800（单位：辆）.设在某月底,

共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量?

5/+15,啜(h3

【解析】（1）.ab=n+5

n-10n+470,n..4n

=5xl4+15=20

4

a2=5X2+15=95

4

a3=5x3+15=420

=-10x4+470=430

=1+5=6

3=2+5=7

%=3+5=8

"=4+5=9

.•.前4个月共投放单车为4+的+/+q=20+95+420+430=965,

前4个月共损失单车为伪+功+&+a=6+7+8+9=30,

该地区第4个月底的共享单车的保有量为965-30=935.

(2)令显然3时恒成立，

465

当〃..4时，有一10〃+470..扑+5,解得公竺巳，

11

.•.第42个月底，保有量达到最大.

当〃..4,｛4｝为公差为-10等差数列，而｛2｝为等差为1的等差数列，

.•.至U第42个月底，单车保有量为%+42x39+535-如组x42=43°+%39+535-@&42=8782.

2222

S42=-4x16+8800=8736.

•.•8782>8736,

第13页共31页

第42个月底单车保有量超过了容纳量.

7.（2018•上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上

班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S中x%（0<x<100）的成员自驾时，自驾群体的人

均通勤时间为

,30,0<%,30

1800（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，

2x+--------90,30<x<100

.尤

试根据上述分析结果回答下列问题：

（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（无）的表达式；讨论g（无）的单调性，并说明其实际意义.

【解析】解；（1）由题意知，当30Vxe100时，

/（x）=2%+^^-90>40，

X

即犬-65》+900>0,

解得x<20或x>45,

.-.xe（45,100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；

（2）当0<%,30时，

X

g(x)=30•x%+40(1-%%)=40-—；

当30cx<100时，

g(x)=(2x+-90)-x%+40(1-x%)=---—x+58；

x5010

40---1--0

,・g/⑺、=d*；

———x+58

[5010

当0<x<32.5时，g。)单调递减；

当32.5<x<100时，g(x)单调递增；

说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的;

有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；

当自驾人数所占比为32.5%时，人均通勤时间最少.

8.（2023•江苏苏州•高三统考期末）已知正四面体ABCD的棱长为1,P为棱上的动点（端点A、B除

外），过点P作平面a垂直于AB,a与正四面体的表面相交.记AP=x,将交线围成的图形面积S表示为x

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的函数"X）,则s=〃x）的图象大致为（）

【答案】C

【解析】取线段A3的中点。，连接OC、0D,

因为ABC.△ABD为等边三角形，。为A3的中点，则OCLAB,OD±AB,

OCcOD=O,OC、OOu平面OCD,上平面OC£>,

因为AB，平面a,所以，平面a与平面OCD平行或重合，

_1.O£）=OC=VAC2-OA2=—,

2

取CO的中点“，连接OM,则OMJ_CD,

22

_aOM=y/oC-CM=—,故S人"n」c»OM=@.

224

①当0<x<L时，平面a〃平面OCD,平面e［平面ABC=PE,

2

平面OCD|平面ABC=OC,；.PE〃OC,同理可知，PFHOD,EFUCD,

PEAEEFAFPF

所以,—=—,故LPEFsAOCD,

~OC~AC~~CDADOD

如下图所示:

贝=4尤2,则s=〃x)=0a

S/\OCDIAOJ

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②当X=；时，S=/t]=乎；

③当L＜X＜1时，平面二〃平面OCD,平面。平面ABC=PE,

2

平面OCDA平面ABC=OC，「.夕£〃0。，同理可知，PF//OD,EF//CD,

PEBE_EF_BFPF

所以,,故

~OC~~BC~~CD~~BD~6bAPEFS^OCD,

如下图所示:

则好

=4(1一无)2,则5=/(*)=夜(1_彳)2.

'△0(

,0<尤V—

2

综上所述,S=/(%)=,故函数〃尤）的图象如C选项中的图象.

故选：C.

9.（2023•重庆南岸•高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全,

我校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量y（加g/4）与时间r（2

成正比（。＜/＜（）；药物释放完毕后，y与，的函数关系式为＞=（；）”"（。为常数，rz；）,据测定，当空

气中每立方米的含药量降低到0.5（mg/m3）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前分

钟进行消毒工作

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A.30B.40C.60D.90

【答案】C

【解析】计算函数解析式，取/⑺=（；）T=g,计算得到答案.根据图像：函数过点、故

2x,0<?<—

2

y=/(0=,

1

,t>-

2

当时，取/⑺=（；）"；=；,解得f=l小时=60分钟.

故选：C.

10.（2023•广东深圳•高三统考期末）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产

品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产％万件该产品，需另投入成本以工）万元.其中

X2+10X,0<X<40

研%）=10000，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每

71XH-----------945,x>40

、x

年利润的最大值为（）

A.720万元B.800万元

C.875万元D.900万元

【答案】C

70x-^x2+10x+25),0<x<40

【解析】该企业每年利润为/（%）=<

70元-171x+&^-945+25],x>40

当0<xK40时，/(x)=-x2+60x—25——(x—30)2+875

在％=30时，/（力取得最大值875；

当x>40时，f（%）=920-^+12222^1<920-2^.12222=720

（当且仅当x=100时等号成立），即在x=100时，/（X）取得最大值720；

由875>720,可得该企业每年利润的最大值为875.

故选：C

11.（2023•北京西城•高三统考期末）“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当

AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动.某地某天0~24时的空气质量指数，随时间f变化的

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-10f+290,0<r<12

趋势由函数>=，厂〜\〜描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（）

56V?-24,12<r<24

A.5小时B.6小时C.7小时D.8小时

【答案】C

【解析】解:由题知，当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动，

即当AQI小于等于200时,适宜开展户外活动，

即"200,

-10r+290,0<?<12

因为yr,

-56Vr-24,12</<24

所以当0W/V12时,

只需-10/+290W200,

解得:94/V12,

当12<t424时，

只需56〃-244200,

解得:12<仁16,

综上：适宜开展户外活动的时间段为9W/W16,

共计7个小时.

故选:C

12.（2023•山东临沂•高三统考期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水

价”.计费方法如下表：

每户每月用水量水价

不超过12m34元/n?

超过12m3但不超过18m36元/n?

超过18m③8元/n?

若某户居民上月交纳的水费为66元，则该户居民上月用水量为（）

A.13m3B.14m3C.15m3D.16m3

【答案】C

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【解析】设用户的用水量为;m?,缴纳的水费为〉元，

当0WXW12时，y=4%e[0,48],

当12<xW18时，y=48+6（x-12）=6x—24e（48,84],

当x>18时，y=4xl2+6x6+8（x-18）=8x-60>84.

故若某户居民上月交纳的水费为66元，则用水量在（12,18]内，令6x-24=66,解得x=15.

故选：C.

■题蛰03对勾函数模型

13.（2014•湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量P（单位时间内经过测量点的

车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长/（单位:

76000v

米）的值有关,其公式为尸=

v2+18V+2OZ

（I）如果不限定车型，7=6.05,则最大车流量为辆/小时;

（II）如果限定车型，1=5,则最大车流量比（I）中的最大车流量增加一辆/小时.

【答案】1900,100

76000V76000

【解析】（I）F=

V2+18V+20/v+也+18

V

191--

v+—..27121=22,当V=1I时取最小值,

V

76000

F=1900,

v+国+18

V

故最大车流量为：1900辆/小时;

口、「76000v76000v76000

11）r------------------------------二-------------------------------=---------------------------

22

v+18v+20/V+18V+100v1100,]g

V

V+—..27100=20,

v

F„2000，

2000-1900=100（辆/小时）

故最大车流量比（I）中的最大车流量增加100辆/小时.

故答案为：1900,100

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14.（2023-山东济南•高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）近来汽油价格起伏较大，假设第一

周、第二周的汽油价格分别为m元/升，〃元/升（〃丘〃），甲和乙购买汽油的方式不同，甲每周购买40元的

汽油，乙每周购买12升汽油，甲、乙两次购买平均单价分别记为％,出，则下列结论正确的是（）

A.4=%B.ax>a2C.a2>a{D.%,出的大小无法确定

【答案】C

【解析】由题意得根>0,n>0,mwn,

40x22mn2mn/—

—rz777=-------<.—7ITITI

则q4。+40m+n2dlnn

mn

12次+12〃_m+n

>dmn,

12x22

所以%>%.

故选：C.

15.（2023•辽宁大连•高一大连八中校考期中）近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格

分别为〃元/斤7元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，

甲、乙两次平均单价为分别记为叫，加2,则下列结论正确的是（）

A.叫二加2B.叫〉加2

C.加2>叫D.叫，丐的大小无法确定

【答案】C

2x2022ab

===

【解析】甲购买猪肉的平均单价为：^20+20T^T^,

abab

,门入―,»AZ.i人、r6a+6bQ+Z7

乙购头t猪肉的平均单价