2025年高考数学专项复习：导数的几何意义（切线问题）

导数的几何意义(切线问题)

知识回顾：

1、切线的定义：在曲线的某点A附近取点B,并使B沿曲线不断接近A.这样直线AB的极限

位置就是曲线在点A的切线.

(1)此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一

方面也可理解为一个动态的过程，让切点A附近的点向Z不断接近，当与Z距离非常小时，

观察直线AB是否稳定在一个位置上.

(2)判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数y=/

在(-1,-1)处的切线，与曲线有两个公共点.

(3)在定义中，点8不断接近Z包含两个方向，Z点右边的点向左接近，左边的点向右

接近，只有无论从哪个方向接近，直线Z5的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在

点A处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如歹=国在(0,0)处，

通过观察图像可知，当x=0左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为歹=-x,而当

x=0右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y=x,两个不同的方向极限位置不相

同，故y=|x|在(0,0)处不含切线.

(4)由于点8沿函数曲线不断向Z接近，所以若/(x)在Z处有切线，那么必须在/点

及其附近有定义(包括左边与右边)

2、函数f(x)在点X。处的导数［(X。)的几何意义是在曲线y=f(x)上点处的切线的斜率(瞬

时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程为y—"。)=7(x°)(x—X。).

3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点：

(1)函数的边界点：此类点左侧(或右侧)的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，

也就无从谈起极限位置.故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，

则断开处的边界值也不存在导数.

(2)已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数.例如前

1

面例子歹=国在（0,0）处不存在导数.此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只

需选点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可.

（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直x轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存

在.例如：>=正在（0,0）处不可导.

综上所述：（1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1.）（2）所谈的点不存在切线，（3）

中的点存在切线，但没有导数.由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数.

典例：

重难点题型突破1在某点的切线方程

例1.（1）、（2014•全国•高考真题（理））曲线y=在点（1,1）处切线的斜率等于（）.

A.2eB.eC.2D.1

2

（2）、（2021•全国高三月考（文））函数〃x）=21nx+7的图象在x=l处的切线方程为

7x

【变式训练1-1】.（2020•河南省实验中学高三二测）已知函数/（x）=a/+x+b,若函数

“X）在（0,/（0））处的切线方程为y=2x+3,则必的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式训练1-2】.（2020届四川省成都市高三第二次诊断）曲线y=%在点（1,0）处的

切线方程为（）

A.2x-y=0B.2x+y-2=0

C.2x+y+2=0D.2x—y—2,—0

【变式训练1-31（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）已知函数/（x）=lnx+x2,

则曲线y=/（%）在点（1,/。））处的切线方程为.

重难点题型突破2过某点的切线方程

2

例2.(1)、(2022•河南省淮阳中学模拟预测(理))已知/'(x)=；f一g,过原点作曲线

>=/(x)的切线，则切点的横坐标为()

A.2孤B.-2^2C.一次D.次

(2)、(2022•全国高三专题练习)已知曲线/(》)=/在点尸(1J⑴)处的切线也是曲线

g(x)=alnx的一条切线，则。=()

A.fB.-C.e2D.—

323

【变式训练2-1】.(2020•铜梁中学校高三期中)已知过点/(。,0)可作两条不同的直线与曲

线C:/(x)=x/相切，则实数。的取值范围是()

A.(-8,Y)U(O,+8)B.(0,+oo)

C.(-oo,-l)U(l,+<»)D.(-co,-l)

_.--lnx,0<x<1,

【变式训练2-2】(2016•四川•高考真题(文))设直线li，I2分别是函数f(x)=(,

图象上点P1，P-2处的切线，k与12垂直相交于点P,且11，b分别与y轴相交于点A,B,则

△PAB的面积的取值范围是

A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+8)D.(l,+o0)

3

重难点题型突破3综合问题

x+2

,x<0

例3.(1)、(2021•广东实验中学附属天河学校)己知k为常数，函数〃x)=x-1

|lnx|,x>0

若关于X的函数g(x)=/(x)-6-2有4个零点，则实数k的取值范围为.

(2).(2021•江西临川一中高二月考(理))已知函数〃x)=/+6x的图象在点处

的切线/与直线3x-y+2=0平行，若数列J的前〃项和为S“，则SZM的值为(

2021202020192018

-------C.-------D.-------

2022202120202019

/、IInx,x>1

【变式训练3-1】.(2021•全国)已知定义在R上的函数/(x)=L-，若函数

lx—X,XS1

左卜)=/(无)+ax恰有2个零点，则实数。的取值范围为()

A.(0,+co)u1--jB.[0,+oo)u1-j

c.[o,i)U(i,+°°)u1——1D.(-℃,-i)U(-i,o)u1—j

【变式训—・全国.高考真题(文))已知函数小)弋二；U，若"(X",

则a的取值范围是()

A.(-oo,0]B.(-oo,l]C.[-2,1]D.[-2,0]

4

练习：

1.（2022•吉林•长春吉大附中实验学校模拟预测）若直线y=h+b是曲线/（x）=e，-2与

g（x）=e*+2°22_2022的公切线，贝（］左=（）

10111012

B.1D.2022

10121011

2.（2022•福建泉州•模拟预测）若直线了=匕（》+1）-1与曲线y=e，相切，直线＞=白G+1）-1

与曲线＞=lnx相切，则上上的值为（）

2

A.yB.1C.eD.e

3.（2022•广东北江实验学校模拟预测）曲线＞=lnx+l在横坐标为1的点处的切线方程为（）

A.x+y-l=0B.x+y+l=0C.x+y=0D.x-y=0

r2

4.（2022•江西•南昌十中模拟预测（文））己知函数/（x）=xlnx——+tx-l（teR）有两个极值

e

点玉户2（占＜%），则下列说法错误的是（）

A./＞In2—1

B.曲线y=/（x）在点（e,/（e））处的切线可能与直线1-歹=0垂直

C./（再）＜。

4

D.x+x＞—xx

x2e］2

5.（2014・全国•一模（文））已知〃x）="3+3J+2,且=则实数q的值为（）

19161310

A.—B.—C.—D.—

3333

6.（2022•江西•南昌市实验中学一模（理））对于函数k/Xx）,若存在%,使〃/）=-/（f）,

则称点卜。,/伉））与点（fj（-x。））是函数/（x）的一对"隐对称点若函数

/、fInx,x＞0、一

/X=2c的图像恰好有2对"隐对称点”，则实数制的取值范围是（）

\-mx-mx,x＜0

A.（0,：］B.（0,l）u（l,+»）

C.（L+sjD.（l,+℃）

7.（2022•河南新乡•三模（理））若函数〃月=^+/+°的图象在点处的切线方程

为y=kx+2k,则〃=（）

A.1B.-1C.0D.2

4

8.（2021•榆林市第十中学高三月考（文））若直线/与曲线/（、）=-0相切，则直线/的

5

斜率的最大值为（）

In2,In2

A.—B.1-----

22

C.1D.In2

9.（2021•南昌市豫章中学高三开学考试（文））点P是曲线y=e'+x上的点，。是直线>=2x

上的点，贝”P0的最小值为（）

A.立B.也

55

C.V5D.275

InV

10.（2021•广东汕尾•高二期末）若直线y=x+l与曲线了=叫+。相切，贝日的值为（）

X

A.0B.-1C.1D.2

11.（2021•全国（理））已知函数/（x）=ae1nx+京，且曲线y=/（无）点（1，/⑴）处的切线

方程为y=3ex-2e,则实数。和。的值分别为（）

A.e,1B.1,eC.—,—1D.2e,—1

e

/、fInx,0<x<1

12.（2020•广西（理））设直线R。分别是函数/'x=,图象上点耳，已处

[~linx,x>1

的切线，且4与4垂直相交于点P，4,4分别与了轴相交于点A,B,则,g的面积的取

值范围是（）

..（（3-ln2）「（（3-ln2）2A

A.0,1B.0,^——C.——，+<冷D.(1,+8)

v744

\7\7

（llnx\0<x•%什

13.（2021•安徽省舒城中学（理））已知函数/'（尤）=、.，右7

[f（2e-x）,（?<x<2e,

尸屏）=〃幻-6有4个零点，则。的可能的值为（）

111

A.-B.1C.-D.-

42e

_12_2xx<0,

14.（2020•渝中区•重庆巴蜀中学）已知函数/'（%）=,/.）八若函数

ln（x+l），x>0.

2

g（x）=/（x）-如"冽+§有四个零点，则实数机的取值范围是()

A.B.e"

C.]|，"D.

6

、/、|log9>0

15.(2020•河北高三(理))已知函数/(x)=F2/、/八有两个零点，则实数k

x+(2-1M)x+2,xW0

的取值范围为()

A.k>2-2①或k=-^B.k<2-2叵或k=L

em2e

c.AT>2-2A/2D.左<2—2后或左=

eln2

16.（2021•安徽高二月考（理））已知函数/（x）=g（x）=31nx,若直线/与曲线

y=f（x）及y=g（x）均相切，且切点相同，求公切线/的方程为

17.（2021•山东烟台市•高二期末）了=/与y=ln（x+a）有一条斜率为2的公切线，则

a=.

18.（2021•河南许昌•（文））曲线〃x）=xlnx-x3在点（1,〃功处的切线方程为

19.（2020•全国（理））已知曲线>=6、在点（尤"e"）处与曲线y=lnx在点（匕，1吨）处的切线

相同，贝!］（再+1）（%-1）=.

,「一若关于X的方程“*）=履-4恰

Inx,x>12

有4个不相等的实数根，则实数左的取值范围是.

-V-_1_1

21.（2020•河南洛阳•高二期末（理））已知函数/。）=靖-］，下面四个结论：①函数〃x）

在其定义域上为增函数；②对于任意的a<0,都有③/（尤）有且仅有两个零点；

④若了=，在点处的切线也是y=lnx的切线，则％必是/（x）的零点，其中所有正

确的结论序号是.

22.（2022・海南•模拟预测）函数“尤）=山》+3在（1J⑴）处的切线与坐标轴围成的面积为

23.（2019•陕西•安康市教学研究室二模（理））奇函数/（x）=o?+a-2的图象在点（1J⑴）处

的切线方程为.

24.