2025年高考数学重难点复习特训：立体几何中的截面问题（七大题型）解析版

特训10立体几何中的截面问题(七大题型)

方法归纳

用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.此平面与几何体表面的交集

(交线)叫做截线.

1.作截线与截点的主要根据：

(1)确定平面的条件.

(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线.

(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

(4)线面平行的性质定理。

(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行.

2.立体几何图形中有关截面的做法：

①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。

②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二个确定的点；

③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个相邻平面的交线与截面的交点。

④面面平行的性质定理。

⑤若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平而找出棱上的交点；

若已知点在体内，则可通过辅助平面找出面上的交点，再找出棱上的交点.

正方体的基本斜截面:

锐危三角形等腰三角形

(1)(2)

题型归纳

目录:

♦题型01：三棱柱

♦题型02：四棱锥

♦题型03：棱台

♦题型04：侧棱垂直于底面

♦题型05：正方体、长方体

♦题型06：其他多面体

♦题型07：三棱锥

♦题型08:折叠问题

♦题型01：棱柱（含正方体）

1.（2023・辽宁抚顺•模拟预测）在直四棱柱/BCD-431GA中，底面/BCD为平行四边形，AB=2亚,

BC=544=4,cosZABC=~-过点B作平面截四棱柱所得截面为正方形，该平面交棱。。于点

10

,MD

跖则9r（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】先结合截面为正方形，借助中位线转化得到尸4M20c的关系，再利用余弦定理分别求解底

面对角线NC,2D,然后由垂直关系及截面正方形，借助长度相等，利用勾股定理建立尸40c的方程组，求

解转化即得所求比值.

如图，设截面分别交44-C。于点p,Q,

连接P。，BM,设交点。'，连接ZC,M）,设交点。,

由已知截面为正方形，则O'是氏W,尸。的中点，

底面48CD为平行四边形，则。是BO,/C的中点,

又PAHBB、,BBJ/CQ,则尸///C。，

则OO'是ABDM的中位线，也是四边形PNC。的中位线.

设尸4=x,CQ=y,

^MD=2OO'=PA+CQ=x+y,

^PB2=BQ2,得犬+8=/+5,

化简得尤?+3=必(*),且x<y,

由直四棱柱48co-451GA知，4/_L平面48cD,

又/Cu平面N8C7),则Z/_L/C

则四边形PACQ为直角梯形.

由得cosN3CD=回，

1010

在△BCD中，由余弦定理得助2=5+8-2x石x20x巫=9,

10

解得8。=3,同理可得/C=JT7,

如图，在直角梯形尸NCQ中，在C0上取点S,使CS=/P=x,

则QS=y-x.

由8M2=尸02,^MD-+BD-^PS1+QS2^AC1+QS-,

即(x+»+9=(了-才+17,化简得孙=2,

与（*）联立，解得x=l,>=2,

所以"0=3,贝!=

验证知，此时四边形为为正方形，满足题意.

DM〜

fflil------=3

JD、M

故选：B.

2.（2023•江西赣州•模拟预测）在直四棱柱池CD-4片GA中，底面/BCD是边长为2的正方形，侧棱

♦4=3,E是3C的中点，尸是棱CG上的点，且CF=；CG，过4作平面£，使得平面a〃平面/£凡则

平面C截直四棱柱/BCD-4月G。，所得截面图形的面积为（）

A.-B.—C.3D.M

22

【答案】A

【分析】根据四棱柱的几何性质以及面面平行的判定定理求解.

如图，取综£的中点在3月上取一点X,使得=月，连接如上图,

则A.MHAE,HMHEF,AXMCW=M,AE[\EF=E,AXM,HMu平面AXHM,

4E1,E/u平面/EF,.,.平面4£尸//平面4HM；

即过4点平行于平面/斯的平面截四棱柱48co-44GA的图形是三角形4HM,

其中=口耳=1,4H=V5,AtM=&,MH=血,

3

cosNM4H=4"+/#-HM=士1sinNMV/=\s,M„=^A.MA.HsinZMA.H=-,

11

2・A\M・A\H552ii'2

故选：A.

3.（2024・安徽安庆・三模）在正方体/3CD-44GA中，点瓦尸分别为棱/民/。的中点，过点瓦尸，。三

点作该正方体的截面，则（）

A.该截面多边形是四边形

B.该截面多边形与棱8巴的交点是棱8月的一个三等分点

c.4C,平面GE尸

D.平面48Q]//平面GE尸

【答案】B

【分析】将线段E尸向两边延长，分别与棱C8的延长线，棱的延长线交于G,”,连GG,。〃分别与棱

BPBG1

网,交于尸,。，可判断A；利用相似比可得右=亍=”可判断B；证明4CL平面BCQ即可判断

CCjCrCJ

C；通过证明4C,平面/耳。，可判断D.

【解析】对于A,将线段E尸向两边延长，分别与棱C8的延长线，棱。的延长线交于G,4,

连GG,。”分别与棱8片,交于尸,0,得到截面多边形GPEFQ是五边形，A错误；

对于B,易知△/跖和ABEG全等且都是等腰直角三角形，所以68=/尸=！5。，

2

BPBG\BP1

所以方T="=即■"=£，点尸是棱8及的一个三等分点，B正确；

CCjCrC3£)£)1J

对于c,因为4月，平面8CG4，8Gu平面8CC4,所以44,gq,

又BCJBC,44nge=耳，44,gCU平面4耳。，所以平面4&C，

因为4CU平面44C,所以4CL8C],同理可证4CL8。，

因为8。门8。]=8,8。,8。1<=平面8。]。，所以4CL平面BCQ，

因为平面与平面。刀尸相交，所以4c与平面GEF不垂直，C错误；

对于D,易知BCJIAD\,BD/IBQ1,所以&C，，4"，

又ADXcBR=，,AD1,BRuABR,所以4C，平面ABXD},

结合C结论，所以平面CHF与平面N42不平行，D错误.

故选：B.

♦题型02：棱锥

4.（2024•重庆渝中•模拟预测）在三棱锥尸-NBC中，AC=BC=PC=2,S.AC1BC,PC±ABC,过

点尸作截面分别交/C,BC于点瓦尸，且二面角P-跖-C的平面角为60。，则所得截面的面积最小值

为（）

【答案】B

【分析】由二面角的定义可得尸GC=60。，从而尸G=&8,CG=38,设CE=a,CF=b,由三角形的面积

33

Q

相等和基本不等式得到成再由三角形的面积公式即可求解.

【解析】过户作尸GLEF,垂足为G,连接CG,则由三垂线定理可得斯，CG,

/尸GC即为二面角尸-EF-C的平面角，

APGC=60°,PC=2,所以PG=*,CG=1,

33

设CE=a,CF=b,则EF=^a2+b2，

在三角形CE尸中，ab=—sja2+b2,

3

又正八国,所以ab士空向=4叵,

33

所以必2],〃=6=蛀时等号成立，

33

所以三角形尸跖的面积为Lx述义”7^二仍

233

Q

故截面PEF面积的最小值为］.

故选：B.

5.(2024•广西•模拟预测)在三棱锥k-N8C中，3%,平面E4C,VA=\,AB=AC=也,ZVAC=~,

点尸为棱上一点，过点厂作三棱锥忆-N3C的截面，使截面平行于直线KB和/C,当该截面面积取得

最大值时，CF=()

AMV17新V13

A.-----DR.-----U.---JnJ.-----

3423

【答案】C

【分析】通过作平行线作出题中的截面，并结合线面平行以及线面垂直说明其为矩形，利用三角形相似表

示出矩形的两边长，并求得其面积表达式，结合二次函数性质确定截面面积取得最大值时参数的值，解直

角三角形即可求得答案.

【解析】根据题意，在平面E4c内，过点尸作斯〃/C,交PC于点E；

在平面EBC内，过点£作EQ〃⑵，交3C于点。；

在平面以3内，过点下作E0〃出，交4B于点、D,连接。。，如图所示，

因为斯C,则△心设其相似比为左，即一=—=—=k,

则EF=Ck;

历

又因为以=1,AC=y/2,cosZVAC=—,

2

由余弦定理得，rC=jl+2-2xlx逝x^=l,则%C2+%42=/C2,

即FC_LE4.

又平面以C,VC,以u平面以C,所以BKLFC,BVLVA.

又AB=也,则3%=1,BC=①.

因为£0〃出，则△4TO-4NE8,则一=—=—,

AVABVB

AFVA-VF,,b,、，FDAF,,口一八，，

因为=------=\-k,所以==\-k,BPnFD—1—k,

VAVAVBVA

同理可得。E=1-左，即。£=ED,

因为FD//VB,则£0〃即，

故四边形EFD0为平行四边形；而E0u平面EFOQ,E8a平面瓦哨。,

故阿〃平面£阳。，同理/C//平面£尸。0,

即四边形EED0为截面图形；

又平面"C,防u平面E4C,则

又FD〃VB,所以尸D_LEF.

故平行四边形跖。。为矩形，贝！IS矩形.=次尸。=岳・（1-左）=-血［心力+与，

1W1

所以当A=5时，S矩物的2有最大值?，贝1」叩=左"=5，

在RtACiy中，CF=y/cV2+VF2=./1+^=—.

V42

故选：C.

【点睛】思路点睛：先作平行线作出题中的截面，再证明四边形瓦也＞0为符合题意的截面图形，结合线面

平行以及线面垂直说明四边形£阳。为矩形，利用三角形相似表示出矩形的两边长，并求得其面积表达式,

利用二次函数求出最值得解.

6.（2023•陕西西安・模拟预测）在三棱锥尸-/3C中，侧面为C是等边三角形，底面N8C是等腰直角三角

形，AB1BC,/C=PB=10,点“，N,E分别是棱E4,PC,的中点，过M,N,E三点的平面a截

三棱锥P-N8C所得截面为。，给出下列结论：

①截面。的形状为正方形；

②截面。的面积等于生但；

2

③异面直线R4与BC所成角的余弦值为农；

4

④三棱锥尸-/BC外接球的表面积等于彳°兀.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①④B.②③C.①③④D.②③④

【答案】C

【分析】根据三棱锥P-/BC的几何特征，取BC的中点为尸，利用线面垂直的判定定理即可证明截面。的

形状为正方形，且其面积等于25,即①正确，②错误；利用平面向量数量积以及余弦定理可求出异面直线

也与所成角的余弦值为交，可知③正确；利用垂直关系找出外接球球心位置，计算出半径即可得④正

4

确.

【解析】取8c的中点为尸，连接EF,NF,

因为点分别是棱尸区,PC,48的中点，所以MV//4C,EFHAC,可得MN//EF；

又MN=、AC=5,EF=-PB=5,即AGV=EF；

22

所以厂四点共面，且四边形好为平行四边形，

取/C的中点为。，连接PD,BD,如下图所示：

易知L/C,又是等腰直角三角形，且48/8C,所以=可得8OLZC；

又PDcBD=D,PRADu平面，所以/C_L平面尸AD；

易知P8u平面P8O,可得ZC_LP8；

又MEIIPB,EFHAC,所以尸，

旦ME=NF=%B=5,所以四边形为正方形，

2

即截面。的形状为正方形，所以①正确；

由正方形面积公式可知，四边形跖VM的面积为5x5=25,即②错误；

设PA=a,PB=S,PC=c>可得BC=c-b>

^yVXPA-BC=a-[c-b^=a-c-ba,

易知q-c=lOxlOxcos60°=50>a-b=10x10xcosZAPB

在△尸45中，PA=10,PB=10,AB=56,所以cos//一1°十"一[后）:40■=3,可得

2x10x102004

a-b=lOxlOxcos/APB=75;

a-c—b-a50—751y/2

所以3（加10=^^=1^=一季=一7，

所以异面直线期与8C所成角的余弦值为也，即③正确；

4

易知PD=5#>,BD=5,尸8=10,所以可得尸。_LBD；

又PD1AC,且8Dc/C=。，8£）,/Cu平面NBC,

所以PD_L平面/BC,

又尸Du平面上4C,所以平面上4C_L平面48C；

所以可得外接球球心。在尸。上，设。。=力，半径为五,

贝lJ/+52=（5百一=及2,解得〃=孚，尺=苧；

所以三棱锥尸-/3C外接球的表面积等于4成2=?*即④正确；

所有正确结论的序号是①③④.

故选:C

【点睛】方法点睛：关于球外接几何体的问题，首先根据几何体的结构特征，利用线面垂直判定定理等确

定球心位置，再利用半径相等列出等量关系即可计算出半径的大小.

♦题型03：棱台

7.（23-24高三上•河北廊坊・期末）如图所示，正四棱台/BCD-4与GA中，上底面边长为3,下底面边

长为6,体积为电1,点E在/。上且满足。E=2/£,过点£的平面&与平面O/C平行，且与正四棱台

2

各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（）

A.772B.8啦C.3G+4后D.4有+4友

【答案】D

【分析】首先过点4作于点”，结合已知得/〃=逆，由棱台体积公式得4»=逑，由勾股

22

定理得44=痴不而=3,再求出力9的长，最终根据相似三角形对应边成比例即可得解.

【解析】如图所示,

过点4作4〃，/c于点a,因为4G=3也,AC=6枝,

所以

2

则四棱台的高为4H，则四棱台的体积为:(32+62+3x6)xA,H=与2,

22

解得//=孚，所以侧棱长为AAX=^AH+AXH=3.

如图所示:

过。于点尸，/G，/。于点G,连接幺2,

6-33

由对称性可知DF=AG=——=—,GF=44=3,

22

39

所以北为一片于

而DDX=AAX=3,

所以L>F=H=当

所以NR=—+—=3A/3,同理=/'=3右,

44

分别在棱DC,DDX上取点N,M,使得DN:NC=DM:MD、=2:1,

易得ME=NM=—AR=26,EN=—AC=4g,

33

所以截面多边形的周长为4百+4后.

故选：D.

8.(22-23高三下•浙江绍兴•开学考试)在正棱台48co-44G2中，=24用,/4=6，屈为棱3c中

点.当四棱台的体积最大时，平面”3。截该四棱台的截面面积是()

A.巫B.3亚C.巫D.6夜

42

【答案】C

【分析】根据正四棱台的体积公式、结合基本不等式、线面平行的判定定理、梯形的面积公式进行求解即

可.

【解析】设/5=244=4X,上底面和下底面的中心分别为Q,。，该四棱台的高j。="，A.HLAC.

在上下底面由勾股定理可知，17(M2+(2X)2=^X,AO=^7(4x)2+(4.r)2=272x.

2222

在梯形中，A1A=AH+A[H?=>3=^2y[2x—^20+h=>h=3—2x,

所以该四棱台的体积为忆=:(16》2+/^口？+4，卜=]，〃，

匚ur、i“278422,278422(、.2\784(x~+x~43-2x2

所以,2=——x2-x2-h^=——x2-x2-3-2r2k_.-------------,

991尸9(3)

当且仅当/=3-2/,即x=l时取等号，止匕时/8=4,44=2,0,0=1.

取G2的中点N,连接2W、ND,显然有MNUD昌"DB,MVu平面N3CD,

8。u平面48cD,所以血W〃平面48cD,因此平面就是截面.

显然MN=；B\D[=6,BD=46.,

在直角梯形。1”石。中，ME=+(OE-OlM^=Vl+1=V2,

因此在等腰梯形BgCB中，MB=^ME2+EB-=J2+4=*>，

同理在等腰梯形AGCO中，DN=R,

在等腰梯形AffiDN中，MFI/DN,MGLBD,

她MF=病脚=4血-血=36,

所以梯形皿断的面积为与逑x^=乎

【点睛】关键点睛：根据基本不等式求出体积最大值，结合线面平行判定定理判断截面的形状是解题的关

键.

9.（22-23高二上•湖北荆州•阶段练习）用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积

之比为1:4,已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3,则棱台的上、下底面的距离为（）

A.12B.9C.6D.3

【答案】D

【分析】

根据棱锥的性质，用平行于棱锥底面的平面截该棱锥，截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方,

以此可得棱锥的高，进而得到棱台的高.

【解析】•••截去小棱锥的高为3,设大棱锥的高为队

根据截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，

则3?:*=1：4,..."=6,

.••棱台的高是6-3=3,即棱台的上、下底面的距离为3.

故选：D.

♦题型04：圆柱

10.（2022•河南新乡•三模）已知一个圆柱与一个圆锥的轴截面分别为正方形与正三角形，且正方形与正三

角形的边长相等，则该圆柱的体积与圆锥的体积的比值为（）

A.V3B.272C.2A/3D.出

【答案】C

【分析】设正方形与正三角形的边长为2,则可求出圆柱和圆锥的体积，从而可求得答案

【解析】设正方形与正三角形的边长为2,

则圆柱的体积为力XFX2=2",

圆锥的体积为包，

33

所以圆柱的体积与圆锥的体积的比值为2G.

故选：C

11.（23-24高二上•辽宁•阶段练习）如图，某圆柱的轴截面N3CO是边长为2的正方形，P,。分别为线段

BC,/C上的两个动点，E为罚上一点，且2£=1,则尸。+尸£的最小值为（）

。/'

✓X

3G3亚

~T~F

【答案】c

【分析】根据圆柱的结构特征采用将ABCE沿直线2C旋转到某个位置的方法，将线段和转化为一条线段的

长度问题，结合求解线段长度即得答案.

【解析】如图，连接EC,将ABCE沿直线2C旋转到ABCE的位置，

'BE

E

且在N3的延长线上.则

7T

由于圆柱的轴截面45cZ）是边长为2的正方形，故/B4c=/BC4=—,AEf=AB+BE1=2+1=3,

ff

则PQ+PE=PQ+PE>EQf当Q,P,/三点共线时取等号,

当£0,4。时，EQ最小,最小值为4月飞吊4=逑，

42

即尸。+PE的最小值为豆1,

2

故选：C

12.（23-24高三上•陕西•阶段练习）已知某圆柱的轴截面是边长为2的正方形/BCD,在该圆柱的底面内

任取一点E,则当四棱锥后-/BCD的体积最大时，该四棱锥的侧面积为（）

A.1+V2+A/5B.1+2V2+V5

C.1+V2+2V5D.V2+2V5

【答案】B

【分析】根据棱锥体积公式以及正方形438的面积为定值确定E点在底面上的位置，求出相关线段长,

根据棱锥侧面积公式即可求得答案.

【解析】如图，设圆柱的底面圆心为。，E为该底面上一点，底面半径为1,

E

四棱锥体积VE_ABCD=^SABCD-d,其中d为E到NO的距离，

因为正方形/BCD的面积为定值2义2=4,

所以当E为石的中点时，连接。£,此时OE为四棱锥E-4BCD的高，高最大,

此时四棱锥E-4BCD体积最大，

则/£_LOE,OE_L,OE=1,AE=DE=C，BE=CE=物+（回■=痣，

设圆柱的另一底面圆心为。一连接。也，则且=J（病2一产=石,

此时四棱锥£一/8。£1侧面积为S=!4D-OE+L42./E+i-CD-DE+l-^COE

2222

=—x2x1H—x2x+—x2x+—x2x=1+26~,

2222

故选：B

♦题型05：圆锥

13.（2024・四川绵阳•模拟预测）已知轴截面为正三角形的圆锥W的高与球。的直径相等，则圆锥

的体积与球。的体积的比值是.

【答案】f

【分析】设圆锥W的底面半径为r,球。的半径为R,由题意可得2A=/?=技，结合体积公式运算求解.

【解析】设圆锥MM'的底面半径为r,球。的半径为几

因为圆锥的轴截面为正三角形，可知圆锥7W的高力=6厂，

贝1|27?=〃=G厂，即R=火厂，

2

1八

可得圆锥W的体积匕=卜兀屋后=三兀/,

44

球。的体积匕=-7LR3=-KX

33

V33

V——Tir2

所以广3

拒33

——Tir

2

故答案为：I".

14.（22-23高二上•上海浦东新•期中）如图，圆锥。的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形，C为弧

上的一点，ZCPB=45°,£为线段尸8上的动点，则CE+OE的最小值为（）

D,立+

A.V2B.V3C.2

2

【答案】B

【分析】将空间图形进行翻折变化到同一平面，根据两点之间线段最短即可求解.

【解析】

pC

将APBC翻折到平面尸48内，得到如图所示平面四边形OBC'P,

因为=^尸/一尸2=1,所以尸/=尸3=血，

所以O尸=CM==1，所以ZBPO=45。,

又因为NCP2=45。,所以翻折后的图形中NOPC'=90°,

根据两点之间线段最短可知，CE+OE的最小值为OC=^OP2+PC2=73,

故选:B.

15.(23-24高二上•北京•期中)已知圆锥的底面半径为26，高为2,S为顶点，A,3为底面圆周上的两

个动点，则下列说法正确的是.

①圆锥的体积为8兀；

②圆锥侧面展开图的圆心角大小为岳；

③圆锥截面SAB面积的最大值为46；

④若圆锥的顶点和底面上的所有点都在一个球面上，则此球的体积为学兀.

【答案】①②④

【分析】根据题意求出圆锥的母线长，体积，侧面展开图的弧长，轴截面的面积，外接球体积，即可得出

结论.

【解析】•••圆锥的底面半径r=2囱，高为〃=2,

..•圆锥的母线长SA=SB=y/r2+h2=《2团+2?=4,

112

二圆锥的体积k兀X(26『X2=8TT,①正确；

设圆锥侧面展开图的圆心角大小为c,贝127ix2jj=ax4,a=百兀，②正确；

当圆锥截面”8为圆锥的轴截面时，止匕时"=S2=4,N3=4AQ,

则cosZASB="+板-次

又N4ffie（0,兀）,

2SASB

2兀

,\ZASB=—

3

-JT

则当=不时，圆锥截面&48面积的最大，

此时S“sB=；-S4S4sin4S8=gx4x4xl=8,故③错误；

圆锥的顶点和底面上的所有点都在同一个球面上，即为圆锥的外接球,

设圆锥的外接球半径为五,

由球的性质可知尺2=①一尺『+产，即尺2=(2-及y+(26『,

解得R=4,

所以外接球体积％=：成兀x4;等，④正确.

故答案为：①②④.

♦题型06：球

16.（2024•江苏徐州•模拟预测）对球面上的三个点，每两个点之间用大圆劣弧相连接，所得三弧围成的球

面部分称为“球面三角形”，这三个弧叫做球面三角形的边.若半径为2的球的球面上有一个各边长均为兀的

球面三角形，则该球面三角形的面积为（）

42

【答案】A

【分析】确定球面三角形与球表面积的关系，可求球面三角形的面积.

【解析】设球面三角形N3C.

因为球的半径为2,所以大圆周长为4兀，求的表面积为4兀x2?=16兀.

因为球面三角形的各边长均为兀，所以N/O8=N/OC=/8OC=9CP.

以。为球心，建立如图空间直角坐标系：

则球面三角形45。的面积就是球面在第一卦限内的部分，根据对称性，球面三角形45C的面积为球面面积

的为,X4TIX22=2兀.

88

故选：A

【点睛】关键点点睛：确定乙4。5=44。。=/8。。=9。后，关键是弄清楚球面三角形的面积和整个球的

表面积之间的数量关系.

17.（2024•江西宜春•模拟预测）在正六棱柱4BCQE尸-48£。1%片中，AA{=2AB=2,。为棱441的中

点，则以。为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（）

A.1H----3--7J1B.2H------71

37

C.-平卜D,[2+^].

【答案】D

【分析】根据题意，作图，分别求出球面与正六棱柱各个面所交的弧线的长度之和，可计算得到答案.

【解析】因为球。的半径为2,所以球O不与侧而/班及侧面/助4相交，

连接。。1，/£,必”4片.由题得。4=1，4G=44=6.所以。。=2,

所以球。与侧面BCC圈交于点G，c,与侧面或隹用交于点心，E.

在正六边形4耳中，易得4G1£2,因为CG，平面4出©*£,4Gu平面.

所以cq_L4G,又G2ncq=GC2,ccxu平面CDD、C、,

所以4cli平面CQDC，即OGI平面CDDC，且OG=6，又亚7左=1，OH=OC\=OC=2.

所以球O与侧面CDDC的交线为以cq为直径的半圆，同理可得球O与侧面的交线为以E4为直径

的半圆.

兀

由题易得/耳4G=2,则球。与上底面4片。。圈厅及下底面N3COE厂的交线均为1二个半径为百的圆.

36

所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为2x7^1+2x7x236=2+二二兀.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：根据球。的半径为2,判断球。只与侧而CD。©及侧面皮＞。&，上底面44G片

及下底面48co跖相交.

18.（23-24高二上•四川德阳•阶段练习）已知正三棱锥/-BCD的外接球是球。，正三棱锥底边8C=3,

侧棱48=26，点E在线段助上，且BE=DE，过点石作球。的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）

史,3兀C」里,4兀］D.隹,4兀

A.B.[271,3K]

444

【答案】D

【分析】设△BCD的中心为。।,球。的半径为R,在RtzX。。。中，利用勾股定理求出五，余弦定理求出。也,

再由勾股定理求出过点E作球。的截面，当截面与0E垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时,

截面面积最大.

【解析】如下图，设△BCD的中心为。一球。的半径为R,

连接OQ,OD,OXE,OE,则

22

OXD=3sinyx|=6,/。=yjAD-OxD=3,

在RtZkOQD中，T?2=（V3）2+（3-7?）2,

3

解得R=2,所以。。］=/。］—R=l,因为所以。£=1,

在ADEO［中，O［E=卜班）-2x^3xcos-^=~^,

所以CE=招工+C0；=［,过点£作球。的截面，

当截面与。£垂直时，截面的面积最小，

此时截面的半径为-。加=之,则截面面积为7TX（3］=-71,

24

当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4兀.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是过点£作球。的截面，当截面与。£垂直时，截面的面积最小，当

截面过球心时，截面面积最大.

♦题型07：组合体

19.（21-22高二上•湖南•期中）从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底

面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底

面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（）

A.4»—4B.4%C.4TI-2D.2万一2

【答案】c

【分析】先求出截面截圆柱所得的圆面的面积，再求出截面截正四棱锥所得的正方形的面积，从而得出答

案.

【解析】截面图形应为圆面中挖去一个正方形，且圆的半径是2,

则截面圆的面积为：47

设正四棱锥的底面正方形边长为。，贝1]2/=16,所以a=2行

正四棱锥的底面正方形的面积为（2行『=8

由圆锥中截面的性质，可得圆面中挖去一个正方形与正四棱锥的底面正方形相似

设圆面中挖去一个正方形的面积为S',正四棱锥的底面正方形为S

q's'1

则幺=幺=上，从而S'=2

S84

所以截面图形的面积为4万-2.

故选：C.

20.（2022•陕西西安・模拟预测）“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和

谐优美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几

何体（如图1）.如图2所示的“四脚帐篷”为“牟和方盖”的上半部分，点。为四边形48CD的中心，点尸为“四

脚帐篷”的“上顶点”，OP=1.用平行于平面ABCD的平面«去截“四脚帐篷”，当平面«经过0P的中点时,

截面图形的面积为.

图1图2

【答案】3

【分析】根据对称性，可得截面£的形状为正方形，利用勾股定理得正方形的边长即可求得面积.

【解析】根据对称性，可得截面&的形状为正方形.

D

取中点£,CD中点F,可知截面£尸尸为半圆.

截面a与弧EP交于点与尸O交于点N,N为尸。中点，

1A

所以NO=—,MO=PO=1,由勾股定理可得

22

所以截面正方形的边长为©义2=有，故其面积为（省/=3.

2

故答案为：3

21.（2021・全国•模拟预测）如图，正八面体R45co。的棱长为2,点E,F,〃分别是尸/,PB,的

中点，则过£,F,〃三点的平面。截该正八面体所得截面的面积等于

p

【答案】—

2

【分析】由班V//3得EF〃平面48。，同理口〃平面CZ)P,进而得

到平面a〃平面ABQII平面CDP,结合正八面体的对称性可知截面是

边长为1的正六边形，求出面积即可.

【解析】F,H分别是尸/,PB,8c的中点，

EFIIAB,又EFO平面ABQ,ABu平面ABQ,

EFH平面.同理得FHH平面CDP.

又平面ABQH平面CDP,EFTFH=F,

：.平面a〃平面ABQ//平面CDP.

设平面a与C0相交于点则“M//8。，

故M为C。的中点.同理得平面a也过。。，的中点，

结合正八面体的对称性，得截面是边长为1的正六边形，

其面积S=x1x1xsin60°^x6=~~-

故答案为：述

2

【点睛】确定多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的

两个截点即可连接成截线，从而求得截面.而截线与截点的主要依据主要有：

(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线.

(2)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

(3)如果一条直线平行于一•个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条

直线就和交线平行.

（4）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行.

22.（23-24高三上•云南昆明•阶段练习）正方体/3CD-44GA的棱长为2,/是棱片。上的一个动点（含

端点），则儿〃+MG的最小值为（）

A.4B.2+41C.V6+V2D.275

【答案】C

【分析】将绕C4翻折至与ACBC共平面，当A,M,G共线时，跖4+MQ最小.

【解析】由正方体的性质可得为等边三角形，边长为2亚，

ACQG为等腰直角三角形，其直角边长为2,

将下图中AACBI绕CB,翻折至与ACQG共平面，

因为C4=M=/q=2收，CCX=BXCX=2,所以A,M,Q共线时,

跖4+MG最小，此时可为5中点，则M4+MG最小值为0+指.

故选：C

23.（2024高三・全国•专题练习）如图，S-N8C是正三棱锥且侧棱长为“，两侧棱&4,SC的夹角为30。,E,尸

分别是S4SC上的动点，则三角形2跖的周长的最小值为（）

A.缶B.6aC.45aD.aa

【答案】A

【分析】通过展开平面以及勾股定理求得正确答案.

【解析】把正三棱锥沿S3剪开并展开，形成三个全等的等腰三角形：ASBC、ASCA、ASAB',

则N8S4=/8SC=ZASr=30°,ZBSB'=90°,

连接83',交SC于尸，交加于£,

则线段83'就是48跖的最小周长，又SB=SB'=a,

根据勾股定理，SB2+SB'2=BB'2=2a2,BB'=>/2a.

故选:A

24.（23-24高三下•全国•阶段练习）如图，在三棱锥尸一N8C中，AB=BC=42,BA1BC,PA=PB=PC=1,

点〃是棱3c上一动点，则9+M4的取值范围是（）

A.）6+26,4B.[2+V2,4]

C,严+94〕D,严+旧2+目

2J[2

【答案】A

【分析】把平面P3C展开，判断出当河与C重合时，PN+M4最大；PM+M4的最小值为4P,利用余弦

定理即可求解.

【解析】如图所示，把平面P8C展开，使/、B、C、P四点共面.

c

当M与3重合时，PM+MA=2+垃<4;

当M与C重合时，尸M+M4=2+2=4最大；

连结/P交3C于河|,由两点之间直线最短可知，当W位于时，PM+M4最小.

所以cosNABP=cos-+ZCBP=-sinZCBP=--—.

由余弦定理得：AP^ylAB2+BP--2ABBP-cosZABP

所以PA/+M4的取值范围为46+2币,4.

故选：A.

25.（2024•福建漳州,一模）如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个

圆石做成.磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移,

在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末.如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱

体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为64兀，则圆柱底面圆的半径为（）

A.4B.2C.8D.6

【答案】A

【分析】设圆柱底面圆的半径为r>0,则圆柱的高为「，结合圆柱的侧面积公式运算求解.

【解析】设圆柱底面圆的半径为厂＞0，则圆柱的高为r,

则石磨的侧面积为2x27trxr=647t,解得厂=4.

故选：A.

26.（21