2025年高考数学重难点复习特训：奔驰定理与四心问题【五大题型】学生版+解析

重难点14奔驰定理与四心问题【五大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1奔驰定理】...........................................................................3

【题型2重心问题】...........................................................................4

【题型3垂心问题】...........................................................................5

【题型4内心问题】...........................................................................5

【题型5外心问题】...........................................................................6

►命题规律

1、奔驰定理与四心问题

奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三

角形的面积和“四心”相关的问题有着重要作用；四心问题是平面向量中的重要问题，是高考的热点内容,

在高考复习中，要掌握奔驰定理并能灵活运用，对于四心问题要学会灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1奔驰定理】

1.奔驰定理

〉〉〉9

如图，己知尸为△ABC内一点，且满足+心尸3+友尸C=0,则有△APB、AAPC,△BPC的面

积之比为九3%：丸.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用

平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.

【知识点2四心问题】

1.四心的概念及向量表示

(1)重心的概念及向量表示

①重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1.

②重心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC重心—京+丽+记=6.

③重心坐标公式：设A(xi,“)，8(x2,刃)，C(x羽")，则ZVIBC的重心坐标为p(-+彳+X3,\.

A

(2)垂心的概念及向量表示

①垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心.

②垂心的向量表示：如图，在△ABC中，点、P为AABC垂心令工•蔗=透=K•*.

(3)内心的概念及向量表示

①内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心.

~AB

②内心的向量表示：如图，在△ABC中，三角形的内心在向量R所在的直线上，点?为^

ABC内心旬研~PC+\BC\-~PC+\CA\-~PB=Z.

(4)外心的概念及向量表示

①外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的

距离相等.

②外心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC外心—|春|=|方|=|正

2.三角形的四心与奔驰定理的关系

〉〉〉

(1)0^/\ABC的重心：S^BOC'.S^COA：SAAOB=1：1：10OA+OB+OC=0.

—>—>—>->

(2)0是△ABC的垂心：S△Bo/S△COA：SAAOB=tanA:tanB:tanCOtan^4OA+tanBOB+tanCOC=0.

(3)0是△ABC的内心：SABOWS△CQA'-SAAOB=a:b:c^aOA+bOB+cOC=0.

(4)0是△ABC的外心：

—>—>—>->

=

S^BOC-S^COA-S^AOBsin2A:sin2B:sin2Csin2AOA+sin2805+sin2coe=0.

►举一反三

【题型1奔驰定理】

【例1】（2024高三.全国.专题练习）己知点A,B,C,尸在同一平面内，PQ=^PA,QR=^QB,RP^^RC,

则SMBC：SAPBC等于（）

【变式1-11（23-24高一下•广西南宁・期末）己知。为△A8C内一点，且满足3瓦？+40B+50C=2AB+3BC+

CA,则迎磔=（）

S^ABC

2133

A.-B.-C.-D.-

5445

【变式1-2]（23-24高一下.湖北•期中）奔驰定理：已知。是△力BC内的一点，ABOC,AXOC,AAOB的

面积分别为％,SB，SC,则£-市+SB・砺+Sc•瓦=6.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，

因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设。为三角形力BC内一

点，且满足：OA+20B+30C=3AB+2BC+CA,则①磔=()

S&ABC

【变式1-3]（23-24高三上•河南南阳•期中）奔驰定理：已知。是/ABC内的一点，ABOC,AAOC,440B的

面积分别为丛，SB，SC，则以•耐+SB•砺+S。•击=6.“奔驰定S”是平面向量中一个非常优美的结论,

因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若。是

锐角/4BC内的一点，A,B,C是A4BC的三个内角，且点。满足耐•布=砺•反=瓦・布，则必有（）

B.cosA•0A+cosB•OB+cosC•OC=0

C.tanX•OA+tanB•OB+tanf-OC=0

D.sin2Z•OA+sin2B•OB+sin2c•OC=6

【题型2重心问题】

【例2】（2024.贵州六盘水•三模）已知点。为△力BC的重心，AC=AOA+^OB,贝lU+〃=（）

A.-3B.-2C.1D.6

【变式2-1]（2024.陕西西安.一模）已知点P是△力BC的重心，则（）

----->1----->1----->----->1----->1----->

A.AP=-AB+-ACB.AP=-AB+-AC

6644

C.AP=-'AC+-~BCD.AP=-AB+-BC

3333

【变式2-2X23-24高一下•四川巴中•阶段练习）已知点G为AABC的重心，D,E分别是力B,4C边上一点，O,G,E

三点共线，F为BC的中点，若方=4而+〃荏，贝畤+工的最小值为（）

A[i

927

A.6B.7C.-D.—

22

【变式2-3]（2024高一下.上海.专题练习）设点。是△ABC所在平面内一点，则下列说法错误的是（）

A.若瓦？+而+反=6,则。为AABC的重心；

B.若（瓦？+砺）•万=（砺+方）•丽=o,则。为AaBC的垂心；

C・若儒+静•近=。喘H则△力BC为等边三角形；

D.若瓦？+2砺+3沆=6,则ABOC与△ABC的面积之比为SABOC：SAABC=1:6.

【题型3垂心问题】

【例3】（23-24高一下.上海浦东新•期中）。是平面上一定点，A,B,C平面上不共线的三个点，动点P满

足9=讪+4+中囱，AeR,则P的轨迹一定通过△ABC的（）

\\AB\cosz.ABC\AC\cosZ-BCAJJ

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【变式3-1]（23-24高一下•广东东莞•期末）已知在ZkABC中，。是△ABC的垂心，点P满足：3赤=1m+

|0B+20C,则A/IBP的面积与ATIBC的面积之比是

A.-2B.3-C.3-D.1-

3452

【变式3-2]（23-24高一下.山东•期中）设H是△ABC的垂心，且3无？+4而+5沅=6,则cos4AUB的值

为（）

V30V5「^V70

AA.oD.U.D.

105614

【变式3-3]（2024高三下.全国.专题练习）如图，已知。是△力BC的垂心，且瓦？+2赤+3反=6,贝!]

tanZ_R4C:tanZ_ABC:tan/ACB等于（）

C.2:3:4D.2:3:6

【题型4内心问题】

【例4】（2024.四川南充.三模）已知点尸在△力BC所在平面内，若丽.（备;-隽）=丽.（篙-鬻）=0,

\AC\\AB\y|BC|\BA\y

则点尸是△ABC的（）

A.外心B.垂心C.重心D.内心

【变式4-1]（23-24高一下•四川成都•期末）已知点。是AdBC的内心，AB=4,AC=3,CB=ACA+/1C0,

则2+〃=（）

447

A.-B.-C.2D.-

333

【变式4-2]（2023高三•全国•专题练习）在^ABC中，若sin/BAC•PA+sin^ABC•PB+sin乙4cB-PC=0,

贝U点P是△ABC的（）

A.重心B.内心C.垂心D.外心

【变式4-3]（2024高三.全国.专题练习）在A/IBC中，|希|=2,\AC\=3,\BC\=4,。是AZBC的内心，

且而=AAB+（1BC,贝！U+IJ.=（）

A.—B.—C.-D.-

101099

【题型5外心问题】

【例5】（23-24高一下.天津北辰・期中）。为△48C所在平面内一点，且满足（瓦？+旃）•瓦？=（而+瓦）•

CB=（OC+OA）-AC,贝I」。是△48。的（）

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【变式5-1]（23-24高三下•新疆•阶段练习）在AABC中，AC=2^7,。是△ABC的外心，M为8C的中点，

AB-AO=8,N是直线OM上异于M、。的任意一点，则前•阮=（）

A.3B.6C.7D.9

【变式5-2]（2024高三・江苏•专题练习）已知。为ZMBC的外心,若4（0,0）,B（2,0）,4C=1,NB4C=120。,且

AO=AAB+[iAC,则2.+〃=（）

213

A.-B.2C.1D.—

36

【变式5-3]（2024•辽宁抚顺•模拟预测）在锐角三角形ABC中，A=60°,AB>AC,〃为△ABC的垂心，

AH-AC=20,O为△ABC的外心，且京.刀=£|而|•|而贝!J8C=（）

A.9B.8C.7D.6

►过关测试

一、单选题

1.（2024•全国•二模）点O,P是AABC所在平面内两个不同的点，满足加=市+而+方，则直线OP经过

△48C的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

2.（23-24高一下•河南安阳•期末）已知。是A4BC内的一点，若△BOC,AAOCA40B的面积分别记为S],52,S3,

则Si・6？+S2•砺+S3•玩=6.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定

理如图，己知。是AABC的垂心，且瓦？+2砺+3而=6,则1211乙84。计211乙48。:1211乙4。8=（）

A

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

3.（23-24高一下.安徽合肥.阶段练习）点尸是锐角AABC内一点，且存在46R,使方=4（南+左），则

下列条件中，不能判断出AABC为等腰三角形的是（）

A.点P是△ABC的垂心B.点P是△ABC的重心

C.点P是AaBC的外心D.点P是AABC的内心

4.（2024.安徽.三模）平面上有AaBC及其内一点。，构成如图所示图形，若将AOAB,AOBC,△。乙4的

面积分别记作Sc，Sa，Sb,则有关系式Sa•市+Sb•赤+Sc•反=6.因图形和奔驰车的log。很相似，常

把上述结论称为“奔驰定理”.已知△力BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足a•瓦＜+6•4+c•

OC=0,则。为△力BC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

5.（23-24高一下•上海奉贤・期中）设。为AABC所在平面内一点，满足瓦＜+2砺+2反=6,则AABC的

面积与ABOC的面积的比值为（）

A.6B.-C.—D.5

37

6.（23-24高一下・甘肃.期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美

的结论.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，XBMC,LAMC,△4MB的面积分别为S，SB,Sc,且

SA-MA+SB-~MB+Sc-~MC=。.若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0,贝Ucos/AMB=（）

A

7.（23-24高三上•辽宁沈阳•阶段练习）已知AaBC,/是其内心，内角4B,C所对的边分别a,6,c,贝U（）

A.万=工（荏+硝B.AI^—+—

J

3vaa

C.由=W+金D.万=透+区

a+b+ca+b+ca+ba+c

8.（23-24高一上.安徽黄山・期末）。为三角形内部一点，Q6、c均为大于1的正实数，且满足a瓦5+6丽+

cOC=CB,右S/OZB、S40ZC、S〃OBC分别表示/。48、404C、的面积，则Sd04B：S4O4c：S4OBc为（）

A.（c+l）:（b-l）:aB.c-.b-.aC.:岛岛D.c?©/

二、多选题

9.（23-24高一下•山东枣庄.阶段练习）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理:

三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直

线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点。、G、X分别是△ABC的外心、重心、垂心,

且M为的中点，则（）

A.OH=0A+0B+OCB.S^ABG=S^BCG=S^ACG

C.AH=30MD.AB+AC=40M+2HM

10.（23-24高一下•福建莆田•期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非

常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知

B

M是AA8C内一点，ABMC,KAMC,△AMB的面积分别为%,SB,Sc,且2•拓？+S•丽+Sc•耐=

0.以下命题正确的有（）

BC

A.若邑:SB：Sc=1:1:1,则M为AAMC的重心

B.若M为△ABC的内心，则BC•质？+4C•丽+4B•标=6

C.若M为△4BC的外心，贝!!（记+丽）•同=（丽+标）•丽=（放+前）=0

D.若M为△ABC的垂心，3前彳+4初+5前=6,贝！Jcos乙4MB=江

6

11.（23-24高一下•山东枣庄•期中）点。在AABC所在的平面内，（）

A.若动点P满足而=雨+4仪祟不+^J）（4>0）,则动点P的轨迹一定经过△ABC的垂心

\|i4B|sinF|i4C|sinC/

B.若动点P满足加=m+4（%>0）,则动点P的轨迹一定经过△ABC的重心

\|i4B|cosB\AC\cosCJJ

C.若204+0B+3。。=0,S4Aoc，S—BC分别表示△4。。，△ABC的面积，贝！JS—oc：SMBC=1：6

D.已知△ABC三个内角4B,C的对边分另U是a,b,c,-0A+b-OB+c-0C=0,贝U点。为△ABC

的内心（内切圆圆心）

三、填空题

12.（23-24高一.全国•课后作业）已知。是平面上一个定点，A,B,C是平面上三个不共线的点，动点尸

满足条件加=01+4猾+谷）（几6（0,+8））,则点P的轨迹一定通过小ABC的心.

13.（2024・四川成都•一模）已知G为A4BC的重心，过点G的直线与边力B,4C分别相交于点P,Q,若丽=|布,

则ZL48c与2MPQ的面积之比为.

14.（2024高一下.四川宜宾.竞赛）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图

形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已

知。是△ABC内一点，△8。。公2。。公4。8的面积分别为545735（;,则S4•Ul+Sp•砺+S©•反=6.若。是

△ABC锐角内的一点，4B,C是A/IBC的三个内角，且。点满足而•砺=砺•反=瓦•瓦5,则下列说法

正确的是.（填序号）

①。是△ABC的外心；@^BOC+A=TT；

|0B|:\0C\=cosX:cosB:cosC；@tanX-OA+tanS-OB+tanC-OC=0

四、解答题

15.(2024高三.全国.专题练习)根据“奔驰定理”，解决以下问题：

(1)点。为△4BC内一点，若SA4OB：SABOC：SA40c=4:3:2,设4。=/MB+求实数2和4的值;

(2)若。为ANBC的外心，证明：smZAOA+sin2B0B+sin2C0C=0.

16.(23-24高一下•山西大同•期中)在AABC中，角4B,C所对的边分别为a,6,c,H是△力BC内的一点，且

AH=-AB+-AC.

43

(1)若H是△ABC的垂心，证明：7c2-7/)2=。2；

(2)若H是△ABC的外心，求NB4C.

17.(23-24高二上•上海闵行•期中)在/力BC中，AC=2,BC=6,乙4cB=60。，点。为44BC所在平面

上一点，满足。C=+nOB6R且m+ri力1).

mn

(1)证明:COCA+CB；

m+n-1m+n-1

(2)若点。为ZL4BC的重心，求很、〃的值;

(3)若点。为2MBC的外3求机、〃的值.

18.(23-24高一下.广东梅州•期末)欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、

变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献.1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》

中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上(这条直线被称为三角形的欧拉线)，此外，外

心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半.为证明以上结论，我们作以下探究:

如图，点。、G、H分别为△ABC的外心、重心、垂心.

(2)求证：OG=^(OA+OB+OC)；

⑶求证：OH=OA+OB+0C.

注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1；

②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直；

③外心：三条中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等.

19.(23-24高一下•山西•阶段练习)奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车logo

相似，因此得名.如图，P是△ABC内的任意一点，角A,B,C所对的边分别为m6,c,总有优美等式：

(1)若尸是△4BC的内心，26=3a=4c,延长AP交8c于点。，求笫

(2)若尸是锐角AABC的外心，A=2B,PB=xPA+yPC,求x+y的取值范围.

重难点14奔驰定理与四心问题【五大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1奔驰定理】...........................................................................3

【题型2重心问题】...........................................................................4

【题型3垂心问题】...........................................................................5

【题型4内心问题】...........................................................................5

【题型5外心问题】...........................................................................6

►命题规律

1、奔驰定理与四心问题

奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三

角形的面积和“四心”相关的问题有着重要作用；四心问题是平面向量中的重要问题，是高考的热点内容,

在高考复习中，要掌握奔驰定理并能灵活运用，对于四心问题要学会灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1奔驰定理】

1.奔驰定理

如图，己知尸为△ABC内一点，且满足九万1+心越+友记=3,则有△APB、AAPC,△BPC的面

积之比为友”:九.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用

平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.

【知识点2四心问题】

1.四心的概念及向量表示

(1)重心的概念及向量表示

①重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1.

②重心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC重心分再+剧+》=6.

③重心坐标公式：设4(X1,州)，8(X2")，C(X3J3)，则△ABC的重心坐标为p(M+,+X3,M+片+乃

(2)垂心的概念及向量表示

①垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心.

②垂心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC垂心一五1•诟=诟=春•记.

(3)内心的概念及向量表示

①内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心.

党-Xc所在的直线上，点尸为△

②内心的向量表示：如图，在△A3C中，三角形的内心在向量M

AB+AC

->

ABC内心0|万卜PC+\BC\-PC+\CA\-PB0

(4)外心的概念及向量表示

①外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的

距离相等.

②外心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△A8C外心台|春|=|而|=|记

2.三角形的四心与奔驰定理的关系

---->---->----->

(1)。是AABC的重心：BOC：SACOA:SXAOB=1:1:10OA+OB+OC=0.

—>—>—>->

(2)。是△ABC的垂心：S^BOC'-S^COA-S^AOB=tan^4:tan5:tanC<=>tanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

(3)0是△ABC的内心：SWBOC：SACOA：SAAOB=a:b:c0aoA+bOB+cOC=0.

(4)。是△ABC的外心：

S^BOC-S^COA''S^AOB=sin2A:sin2S:sin2Csin2AOA+sin2505+sin2COC=0.

►举一反三

【题型1奔驰定理】

［例1］（2024高三・全国・专题练习）已知点A,B,C,P在同一平面内，PQ=^PA,QR=^QB,RP=^RC,

则S—BC：SAPBC等于（）

【解题思路】先根据向量的线性运算得到4方+6PB+9PC=0,然后再利用奔驰定理即可求解.

【解答过程】由丽=［而可得：PR-PQ=l（PB-PQ）,

整理可得：~PR+-PQ=-~PB+-PA,

33x39

由而=1近可得前=1屈-而），整理可得：而=-1宿

所以一］无=］而+|而，整理得：4PA+6PB+9PC=0,

由奔驰定理可得：SAABC'APBC=(4+6+9):4=19:4,

故选：B.

【变式1-1]（23-24高一下•广西南宁•期末）已知。为△ABC内一点，且满足3+4赤+5元=2^4B+3BC+

CA,则如些=（）

S^ABC

2133

A.-B.-C.-D.-

5445

【解题思路】由题意可得4瓦？+5痂+3方=6,方法一：延长加至H点，令丽=（瓦？+?砺=|丽，从

而可得4三点共线，进而可求解；方法二：利用奔驰定理求解即可.

【解答过程】因为3刀+40B+50C=2AB+3BC+CA,

所以3市+40B+50C=2（0B-Ol）+3（OC-OB）+（OA-OC）,

K|J4O1+5OB+3OC=0.

方法1：•••4OA+5OB=3CO,^-OA+-OB=-CO,

999

延长而至H点，令丽=（瓦5+,而=：而，即4H,8三点共线，

则S"OB=吧=±

、S&ABCHC4

方法2：由奔驰定理，SB℃5℃§°B=4:5:3,故整=高=；

故选B.

【变式1-2]（23-24高一下•湖北•期中）奔驰定理：已知。是△ABC内的一点，4B0C,△40C,AdOB的

面积分别为丛，SB，SC,则丛•瓦I+SB•砺+Sc•赤=6.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,

因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设。为三角形力BC内一

点，且满足：0A+20B+30C=3AB+2BC+CA,则2些=（）

S^ABC

BC

【解题思路】直接根据向量的基本运算得到3市+OB+2OC=0,再结合“奔驰定理”即可求解结论.

【解答过程】解：•.・。为三角形4BC内一点，且满足a+2南+3反=3荏+2丽+襦，

•••0A+20B+30C=3(OF-0A)+2(0C-OB)+(04-OC)=>304+0B+20C=0,

,*'SA,0A+SB,OB+S(j,0C=0.

.S—OB_S&AOB_Sc_1

S"BCS—OB+SABOC+S—OCSA+SB+SC3

故选：D.

【变式1-3］（23-24高三上•河南南阳•期中）奔驰定理：已知。是2L4BC内的一点，ABOC,AAOC,440B的

面积分别为%,SB,Sc,则当•耐+SB•砺+Sc•击=6."奔驰定理'是平面向量中一个非常优美的结论,

因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若。是

锐角内的一点，4B,C是A4BC的三个内角，且点。满足市•布=至•灰=瓦•市，则必有（）

A.sinZ-0A+sinB-OB+sinf-0C=0

B.cos/•0A+cosB•OB+cosC•0C=0

C.tanA•0A+tanB-OB+tanC•0C=0

D.sin2i4,0A+sin2B•OB+sin2C•0C=0

【解题思路】利用已知条件得到。为垂心，再根据四边形内角为2兀及对顶角相等，得到N40B=TT-C,再

根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到|a|：|砺|：|瓦|=cosAcosB:cosC,进而求出治:SB：S0的值,

最后再结合“奔驰定理”得到答案.

【解答过程】如图，因为瓦5•亚=4•灰=加・市，

所以赤•07-方）=0=0,同理瓦？・丽=0,OC-AB=0,

所以。为4aBe的垂心。

因为四边形DOEC的对角互补，所以乙4OB=7T-C,

A

|O1||OB|COS（7T-C）=-\OA\\OB\cosC.

同理，--OB-OC=-\OB\\OC\cosAf

••OC-OA=-\OC\\OA\cosB,

\OA\\OB\cosC=\OB\\OC\cosA=\OC\\OA\cosB.

\OA\\OB\cosC_\OB\\OC\cosA_\OC\\OA\cosB

\OA\\OB\\OC\~\OA\\OB\\OC\~~\OA\\OB\\OC\

\0A\\\0B\:\0C\=cosA:cosB-.cosC.

__i>—»i—»—»

又SA=：|0B||0C|sin（7r—a）-j|0B||0C|sin71

11

SB=-|01||0C|sin（7T-B）=-|^4||0C|sinB

11

Sc=-|OF||o7|sin（7r-C）=-\OB\\OA\sinC

cccsinZsinBsinCsinAsinBsinC」.LL「

・••SA：S:SC=^=r：^=^:^=^=-----:-----:-----=tanAtanbtanC.

“"RJ\0A\\0B\\0C\cosylcosBcosC

由奔驰定理得tam4-OA+tanB-OB+tanC-OC=0.

故选C.

【题型2重心问题】

【例2】(2024•贵州六盘水.三模)已知点。为△ABC的重心，AC=AOA+/10B,则；I+〃=()

A.-3B.-2C.1D.6

【解题思路】作出图形，将瓦彳,亦作为基底，先把前用衣，砺，前表示，再将就也用市,而表示，将等式

整理得到推导出前=-2瓦？-赤，结合平面向量基本定理算出尢〃的值，进而算出答案.

【解答过程】根据向量加法三角形运算法知尼=AB+~BC=AO+OB+BC(*)；

厂为中点，则就=2丽=2(50+OF)(**)；

点。为AABC的重心，则而=［而，

代入（**）得至Ij,BC=2（F0+|xo）=2B0+A0,

代入（*）得到，AC-AO+0B+2B0+A0^-20A-0B,

结合4c=AOA+fiOB,可得4=—2,〃=—1,所以％+〃=—3.

故选：A.

【变式2-1］（2024•陕西西安・一模）已知点P是△ABC的重心，则（）

A.AP=-AB+-ACB.AP=-AB+-AC

6644

C.AP='-AC+-BCD.AP='-AB+-BC

3333

【解题思路】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案.

【解答过程】设BC的中点为D,连接40,点P是AZBC的重心，则尸在an上，

S.AP=-AD^-x-（AB+AC）C2.AB+BC）=-AB+-BC

332、73v733

=-（AC+CB）+-^C=-AC--BC,

3'7333

由此可知A,B,C错误，D正确，

故选：D.

【变式2-2］（23-24高一下•四川巴中•阶段练习）已知点G为ATIBC的重心,D,E分别是边上一点，D,G,E

三点共线，F为的中点，若羽=4前+〃族，贝畤+工的最小值为（）

a〃

927

A.6B.7C.-D.—

22

【解题思路】根据重心性质可得方=|而，再由三点共线得出g+一=1（A>O.M>0）,根据“1”的变形技

巧利用均值不等式求最值.

【解答过程】由点G为A/IBC的重心，F为BC的中点知，

AF=^AG=AAD+iiAE.

所以南=«而+空版，

33

因为。G,E三点共线，分别是边上一点，

所以g+与=IQ>。,〃>0），即2+〃=|（兀>。,〃>0），

#,|（4+〃）6+3=|（5+竽+3号（5+2^|^）=6,

当且仅当华=±即4=1,a=；时等号成立，

Ag2

故选：A.

【变式2-3]（2024高一下•上海•专题练习）设点。是△力BC所在平面内一点，则下列说法错误的是（）

A.若反+赤+方=6,则。为△ABC的重心；

B.若01+旗）•屈=（赤+瓦）•近=0,则。为A4BC的垂心；

C•若濡+焉）,阮=。，需翡—则UBC为等边三角形;

D.若瓦？+2而+3沆=6,则ABOC与△ABC的面积之比为SABOC：SAABC=1：6.

【解题思路】利用向量数乘运算和三角形重心定义判断选项A；利用向量数量积运算和三角形垂心定义判

断选项B；利用向量数量积运算和等边三角形定义判断选项C；求得A8OC与△ABC的面积之比判断选项

D.

【解答过程】对于A,如图，取2B边中点D,连接48边上的中线CD,则m+布=2时，

又：市+赤+方=6,20D+0C=0,：.\0C\=2\0D\,

，。为△力BC的重心，故选项A正确；

对于B,如图，取48边中点D,8C边中点E,连接OD,0E,

则市+~0B=20D,~0B+0C=20E,

,/(OX+OB)-ZB=(OB+OC)-BC-0,

20D-AB=20E-~BC=0,

：.0D-AB=0EBC=0,：.0D1AB,OF1BC,

：.0D1AB,OE1BC,

?.OD,OE分别是AB,BC边上的垂直平分线,

...04=0B=0C,。为△ABC的外心，故选项B错误;

对于C,作角4的内角平分线力E与BC边交于点E,

・•.瑞为荏方向的单位向量’襦为前方向的单位向量,

•,扁+禽=，版（4>0），

陶+裔).BC=AAE-BC=0(A>0),

：.AEIBC,：.AE1BC,：.AC=AB,△力BC为等腰三角形,

又.儡・箫=磊=巡=%且8门。力，♦"=：，

...△4BC为等边三角形，故选项C正确;

对于D,设丽7=2OB,OC7=3OC,

由瓦？+2OB+3OC=0,得瓦？+OW+~OC=0,

则由选项A可知，。为的重心，设△人方广的面积SMB，C，=a，

:・S〉AOd~S4AOB，-SOC，=3a,

1-1

^-0B=-0B',0C=-0C,

・0_1z_»_1o_1c10_1c1_1

・・屋/℃==g。，^AAOB=2^^A0Br=LBOC~LB'OC'~i8tt,

.1

•・S—BC=S4AOC+S^AOB+S^BOC=3a,

:-S^BOC'-SLABC==1：6,故选项D正确.

io3

B'

【题型3垂心问题】

【例3】（23-24高一下.上海浦东新•期中）。是平面上一定点，A,B,C平面上不共线的三个点，动点P满

足9=瓦＜+4"，）’4CR，贝1JP的轨迹一定通过△ABC的（）

\\AB\cosZ.ABC\AC\cosz.BCAj

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【解题思路】利用向量的数量积的定义式结合三角函数诱导公式化简已知等式，再由向量的数量积为零推

出向量垂直即可.

【解答过程】如图所示，过点4作垂足为。点.

则说.—I—=叫甲。sgB）=_|因，

\AB\cosZ-ABC\AB\COSZ-ABC11

同理阮.南京行=|园，

.•.动点P满足加=市+乂同—+嬴焉）,AeR-

——+—）,4eR.

\\AB\COSZ.ABC\AC\COSZ.ACDJ

•••AP-BC=A（j八+萼&）=A（-|BC|+|BC|）=0,

\\AB\COS/.ABC\AC\COSZ-ACD）v11117

•••AP1~BC,

因此P的轨迹一定通过42BC的垂心.

故选：D.

【变式3-1］（23-24高一下•广东东莞.期末）已知在中，。是AABC的垂心，点P满足：3加=+

10B+20C,则△4BP的面积与△48C的面积之比是

233