2025届新高考数学期末新题汇编：函数与导数解答题（学生版）

2025届新京者裁营期末4HL汇务.，占救易导强新拳做

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题型一已知切线(舒军)求分＜.....................................................1

题型二含参分奏讨论求函数的单调区间.............................................2

题型三利用导致研究函数的极值、最值问题..........................................4

题型四利用导数研究不等式.......................................................6

题型五导数与数列不等式综合问题................................................10

题型六导致中的双变量、多变量问题...............................................11

题型七利用导数研究函数的零点..................................................13

题型八新定义下的函数与导数^合问题............................................15

题型一巳如切线(斜率)求参数

在语数上某点的切线方程：函数沙=/(⑼在点4g。,f(x0))处的切线方程为y—/(0)=(

%)1-3),联立求解(纥，”。

I片—J\^07

过点函数外某点的切线方程:设切点为P(g。，。。加)，则斜率k=r(g),过切点的切线方程

为：J—%=/'(3)(劣一g),又因为切线方程过点人(小。，°°n)，所以有九一g()=r(g)(?n—g),

然后解出g的值。

已知切我(斜率)求)数类问题的常用解题思珞：第一步，设直线与曲线相切的切点坐标为P

(g。。%);第二步，根据导数的几何意义，曲线在切点处的导数等于曲线在该点处切线的斜

率，列出关于参数的方程；第三步，解参数方程，求出参数值O

1.(24—25江苏苏州•期末)已知函数/(力)=ax2+(a—2)rc—Inrr.

(1)若a=1,求/(6)的极小值;

(2)若f(x)的图象与直线y=kx-l切于点瑞,。/(£)),求k的值.

•M

2.(24-25江苏无锡・期末)已知函数/(#=x(x-c)2.

(1)若f(i)在尤=2处有极小值，求/(①)的单调递增区间；

(2)若函数夕=/(1)的图象与直线y=—rr+c相切,求实数c的值.

题型二含参分类讨论求函数的单调区间

在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数,且导函数含有参数，在分析函数

单调性时面临的分类讨论。

1、确定量数的定义城

明确函数的定义域，单调性讨论必须是在定义域内进行的。

2、求导数

对函数求导，得到其导函数。导数的符号决定了函数的单调性。

3、分析导数的符号

找出导数为零的点(即临界点)和导数不存在的点(如分母为零的点)，根据这些点将定义域划

分为若干个区间。

4、分类讨论参数

分析参数取值对导数符号的影响。对参数进行分类讨论，通常根据临界点或导数不存在的点

的位置，以及参数对导数符号的具体影响来划分情况。

5、磷定单调区间

结合导函数图象，总结函数在不同参数取值下的单调区间。

6、绿合皱果，清晰完整，不要遗漏

将所有情况综合起来，写出完整的单调区间结果。

•M

3.（24—25山东潍坊.期末）已知函数/（力）=ex（x2+ax+l）.

（1）当a=0时,求曲线♦=/（力）在点（1,/（1））处的切线方程;

（2）当QWO时,求函数/Q）的单调区间.

4.（24—25山东烟台•期末）已知函数/（为=alnc+」■丁,aCR.

"力+1

⑴若曲线夕=/（力）在N=1处的切线方程为ax—by+1=0,求实数Q,b的值;

（2）讨论函数/（/）的单调性.

题型三利用导数研究函数的极值、最值问题

5.(24-25广东省东莞市、揭阳市、韶关市•期末)已知函数①〉

⑴当a=2时,求曲线“=/(乃在点(1,/(1))处的切线方程;

⑵若函数/(为有极小值，且/(①)的极小值小于1—a2,求实数a的取值范围.

6.(24—25湖南长沙•期末)已知函数/(c)=6。町11刀,其中a>0.

(1)若y=f(x)在点(1,0)处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为5,求a的值;

(2)若;r=g是/(2)的极小值点，证明:/(g)<—e.

•M

7.（24—25河北沧州•期末）已知函数/（力）=ex—^-ax2—ax（aER）.

o

（1）当Q=3时,求曲线在（0J（0））处的切线方程；

（2）求证:当Q41时，F⑺=xf（x）在（0,+8）不存在最小值;

（3）若g（0=以2在（—8,0）存在极值点,求实数a的取值范围.

X

题型四利用导教研究不等式

利用导数证明不等式问题，常用解题思珞及注意事事如下：

1、构造函数

通过构造函数，将原不等式转化为函数的单调性或最值问题；

利用导数的性质研究构造函数的单调性，从而证明原不等式。

【注意事项】

构造函数的技巧性较强，需要根据原不等式的特点进行巧妙构造；

构造函数后，要准确求导并判断其单调性；

注意构造函数的定义域，确保与原不等式的定义域一致。

2、放婚法

利用导数研究函数的性质，如单调性、最值等，对函数进行放缩；

通过放缩后的函数与原函数进行比较，从而证明原不等式。

【注意事项】

放缩时要保持不等式的方向一致，不能改变原不等式的性质；

放缩后的函数要易于处理，能够利用导数的性质进行求解；

注意放缩的适度性，过度放缩可能导致结论不成立。

3、切假法

利用导数求出函数在某点的切线方程：

通过切线方程与原函数进行比较，从而证明原不等式。

【注意事项】

切线法通常适用于证明在某点附近的不等式；

要准确求出切线方程，并判断其与原函数的位置关系；

注意切线法可能只适用于局部范围，不能推广到整个定义域。

4、函数凹凸性的应用

利用导数的二阶性质判断函数的凹凸性；

根据函数的凹凸性证明原不等式。

【注意事项】

要准确求出函数的二阶导数，并判断其符号；

根据二阶导数的符号确定函数的凹凸性；

利用凹凸性证明不等式时，要注意结合函数的单调性、最值等性质进行综合分析。

8.(24—25苏北四市(徐连淮宿)•期末)已知函数/(C)=铲一asincc,aER.

(1)当a=2时，求曲线"=f(x)在点(0J(0))处的切线方程；

(2)当rcC[0,兀]时,/(乃＞0,求a的取值范围.

9.(24—25山东淄博・期末)已知函数/Q)=a\nx-x(a<2),曲线g=/Q)在点(1,-1)处的切线与曲

线"=d+22相切.

⑴求Q；

(2)若函数gQ)=[/(十+1)+9+1](2+m),且曲线g=gQ)关于直线2=也对称，

⑴求力和?2的值；

(u)证明：g(%)>4.

10.(24-25江苏省盐城市、南京市・期末)设函数/㈤=ax+ka~x(kER,a>0,a^l).

(1)当R=4时，求/(cc)的最小值；

(2)讨论函数/Q)的图象是否有对称中心.若有，请求出；若无,请说明理由；

⑶当4=0时，(―8,*)都有/3)&1聂，求实数a的取值集合.

11.(24—25湖南衡阳•期末)已知函数/(a;)=(ea+2e-a)Vs+——泮一,a>0.

y/x

(1)设直线工=4与曲线y=f(x)交于点P,求P点纵坐标的最小值；

(2)a取遍全体正实数时，曲线y=/Q)在坐标平面上扫过一片区域，该区域的下边界为函数gQ),求

g(c)的解析式；

5.

(3)证明：当力>1时,对任意正实数a,—>2\nx+2.(附:e473.49)

题型五导数与数列不等式综合问题

12.（24—25深圳市龙岗区•期末）已知函数/（力）=ex—mx,mGR.

（1）讨论函数/Q）的单调性；

（2）求证：当九＞2时，J+!H----F—＜lnn；

NJTL

（3）当?n=e,力＞0时，/（力）＞ax3—x+2Q恒成立，求实数a的取值范围.

•••

题型六导数中的双变量、多变量问题

对于导数中的双变量、多变量问题，常用解题思路及注意事项如下：

该类问题常见为要求证明二元或多元不等式，可以通过构造函数将其转化为一元不等式问题;

利用导数的性质研究构造函数的单调性、最值等，从而证明原不等式。

【注意事项】

构造函数的难度相对较大，需要根据不等式的特点进行巧妙构造；

在研究多元函数的性质时，要注意各个变量之间的关系和相互影响；

注意推导的逻辑性，每一步推导都要有充分的依据和理由，确保推导过程的逻辑性和严密性。

13.（24—25山东济宁•期末）已知函数/（久）=ex+ax2,aER.

（1）讨论函数/（0零点的个数；

（2）若/（2）一3a尤＞6,求ab的最大值.

14.（24—25江苏常州•期末）已知函数=

（1）若/⑸在区间（Q,+00）上单调，求实数a的取值范围;

（2）若函数gQ）=/（2）一匕砂有两个不同的零点.

⑴求实数b的取值范围；

(ii)若(xlnx—bx2)(x2—cx+d)40恒成立，求证：看<b<-^=-.

12

题型七利用导数研究函数的零点

利用导数研究函数的零点问题常见题型：判断、证明、讨论函数零点个数;根据含参函数零点情况，

求参数的值或取值范围……

利用导数确定由数搴点我方程根个数的常用解题思冷：

1、构建函数gQ)(要求g'Q)易求，g'(x)=0可解)，转化确定gQ)的零点个数问题求解，利用导数研

究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(，)的图象草图，数形结

合求解函数零点的个数；

2、利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调

性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。

与量数零点有关的余数篦国问题常用解题思廉：

该类问题往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，

讨论其图象与出轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象

的交点问题。

【注意事项】

1、解决函数夕=/(c)的零点问题,可通过求导判断函数图象的位置、形状和发展趋势,观察图象与土

轴的位置关系，利用数形结合的思想方法判断函数的零点是否存在及零点的个数等；

2、通过等价变形，可将“函数FQ)=/(x)-g㈤的零点”与“方程/㈤=gQ)的解”问题相互转化。

15.(24—25山东济南•期末)已知/(2)=xlnx,g(x)="+arc,其中aCA.

(1)若fQ)&g(c)恒成立，求a的取值范围；

(2)判断方程4(c+l)=g(x)解的个数,并说明理由.

16.(24—25安徽阜阳•期末)已知函数/(x)=炉+3±2,直线，：y=ka；+b.

(1)已知函数/(乃的图象关于点P(m,n)成中心对称图形的充要条件是函数。=/0+小)一口是奇函

数，利用上述条件,求函数/(⑼的对称中心；

(2)判断“b>-1”是否为“，与/(①)的图象有3个交点，且交点的横坐标依次成等差数列”的必要不充

分条件，并说明理由.

题型八新定义下的函数与导教综合问题

“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义

去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于新

定义题型中阐述的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还

是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好相应的基础知识，以不变应万变才是制胜