2025年高考数学模拟题

1.设集合a={-4,0,1,6,9},B={x||x|>3},则anB=()

A.{0,1}B.{-4,6,9}C.{6,9}D.0

2.已知命题>—1,\m\>0,命题qTx<0,2025x=%2,则()

A.p和q都是真命题B.「p和q都是真命题

C.p和都是真命题D.-ip和-,q都是真命题

3.圆G：(x-2)2+(y—4)2=9与圆G：(%—5)2+y2=16的位置关系为()

A.相交B.内切C.外切D.相离

4.已知。为△ABC内部一点，AP=^AB,设色？=落OB=b,~OC=c,则而=()

A.+—cB.五+—,3C.+b—D.+—c

5.已知7tan£+1=0,2tan(a—£)—1=0,则tan2a=()

A."2B；2C.73D.-73

3344

6.已知a,尸2分别为抛物线G：y2=2%,0：y2=—4%的焦点，平行于X轴的直线与C1，。2分别交于A,B

两点，且|/0|=留尸2|,则四边形4BF2&为()

A.任意不规则的四边形B.直角梯形

C.等腰梯形D.平行四边形

7.设甲：g<sW2;乙：函数/(%)=sin(3x—以3>0)在区间(一触)上有唯一极值点，则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.已知某圆锥的高为刀，且该圆锥的顶点和底面圆周上的各点均在半径为R的球。的表面上，则当圆锥的

侧面展开图的圆心角与轴截面的顶角之差取得最大值时，)=()

h

A.4B，4C.-D.y

27TZ7T2

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6

分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知z=—(aeR),贝l]()

A.z有可能为实数

B.z不可能为纯虚数

C.|z|的最小值为1

D.若z在复平面内所对应的点在第三象限，则a>0

10.已知函数/(%),g(%)的定义域均为凡且f(%)=g(久一1),/(%-1)=g(2-%),则下列选项一定正确

的是()

A./(%)的图象关于直线1=1对称B./(%)是奇函数

C.g(x)是偶函数D.g(%)的图象关于直线％=1对称

11.已知椭圆Z:^+/=l(a>b>0)的左、右焦点分别为尻，尸2，尸是Z上不同于长轴端点的一点，记4

&PF2的外接圆为S,当N&PF2最大时，为等边三角形，则()

A.Z的离心率为，

B.若S的圆心在4&PF2外，贝肚anNP&Fz<7

C.若NF1PF2=I，则S的面积为兀炉

D.若|丽+厄|=Ca,则S的半径为与

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知递增数列｛即｝的通项公式为即=3n2+mn,则m的取值范围为.

13.已知函数/(X)=恒(2-京)，则2"J(右)=.

14.已知8(%2，丫2)为曲线y=e”上两个不同的点，过A,3分别作y=e”的两条切线，若这两条

切线交于点c(xo，y0>且这两条切线的斜率之积为1，则当汕-彳取得最小值时，乙=.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

记％为首项为4的数列｛a工的前九项和，且国-1｝是以首项为3,公比为-3的等比数列.

(1)求54；

(2)求数列的通项公式；

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(3)求数列｛(—1)"T•等｝的前n项和.

16.(本小题12分)

如图，四棱锥P—4BCD中，△P(?£＞是等边三角形，AD1CD,AB//CD,CD=2AB,£为PC中点，。为

C。中点.

(1)证明：平面E08〃平面PAD;

(2)若2D=PC=2,平面PCD1平面ABCD,求PA与平面尸BC所成的角的正弦值.

17.(本小题12分)

如图，平面四边形ABCD中，AD1AC,AB1BC,AC平分ABCD.

(1)若N4CD=30。，CD=2,求BD;

(2)若BD=CD,

①求cos/BCD;

(ii)求sin/BDC.

18.(本小题12分)

已知函数/'(x)=x+sinx—ax(l+cosx).

⑴当a=1时,求fO)的单调区间；

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(2)当a=0时，求曲线y=f(%)的对称中心；

(3)当OWxW兀时，/(%)>0,求a的取值范围.

19.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:a-3=l(a>0,b>0),4(无1,乃)，^(肛,力)为C上不与左、

右顶点重合的两点，记直线A3的斜率为中点为M.

(1)当直线斜率/COM存在时，求k'/oM(用a，6表示)；

(2)记C在点A处切线的斜率为心，在点2处切线的斜率为心，证明：七，k,,矽依次构成等差数列的充

要条件为。M1AB.

参考公式：若点。o，y°)在双曲线C4—，=1(。>0/>0)上，则。在即yO)处的切线方程为簧—爷=

1.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由题意可得B={x\x<-3或x>3],故4nB={-4,6,9},故选5

2.【答案】B

【解析】解：取爪=0易得命题p为假命题，故命题「p为真命题；

数形结合可知指数函数y=2025*与二次函数y=/在x<0时有一个交点，

故命题q为真命题，命题「q为假命题，

综上「p和q都是真命题.

故选B.

3.【答案】A

【解析】解：由题意可得Q的半径R=3,。2的半径「2=4,且「2-q=1，「2+G=7，IC1C2I=

V32+42=5£(1,7),故两圆相交.故选4

4.【答案】D

【解析】解：由题意可得加=衣一前/通一前=*加一两一画一四

1-,1__.—>__,2_.1—,—，2一1一

=aOB—弓OA-OC+OA—弓OA+弓。B—OC=q。+qb—c.

KJKJKJJJ

故选o.

5.【答案】C

1_1

【解析】解：由题意可得tana=tan[(a-0)+0]=黑管黑2-71

3,

1+溺

2tana3

故tan2a=

1—tan2a41

故选c.

6.【答案】D

【解析】解：设4(%i，yi)，以%2必)，

根据题意可知yi=丫2，故2%=-4%2，即％1=-2x?,

又由抛物线的定义可知|明|=%】+g,\BF2\=-x2+1,

1

当=IBF2I时,X1+^=-x2+l,

1_

f

故％】=1,%2=-2\yi\=

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•2

所以I&F2I=\AB\=^,

即四边形ABF2F1是平行四边形.

故选D

【解析】解：由久e（—徐）且3>0,得皿一旨（—詈―也詈一》显然|—詈—？>用Y

3"v710）71<71

一彳，】可一可—2,解得1<332,

<V-

{2-3---6-2

故甲是乙的必要不充分条件.

故选B.

8.【答案】A

【解析】解：设圆锥的母线长为/,轴截面的顶角为a,

侧面展开图的圆心角为6，底面圆半径为r,则r=lsina

侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长。=邛，

因止匕牛=2n7sin热°=27rsin],°-a=2兀sin]—a.

、Cf

1己/(a)=27rsin--a,aG(O,TT),

则((a)=TTCOS^-1,

因为尸(a)在(0,兀)上单调递减，

且f'(°)=TTCOSO-1=7T—l>0,—TTCOS^—1=—1<0,

所以存在唯一的劭6(0,兀)满足/'(劭)=0,BpCOSy=

且当Qe(0,劭)时，/'(a)>0,则f(a)在(0,%)上单调递增;

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当a6(他,兀)时，/'(a)<0,则/(a)在(他,兀)上单调递减，

于是劭是/(a)的极大值点，也是最大值点，此时cos£=，

贝bin±=生二，所以tanS=A/^=①.

27r乙

在RgPOB中，tan尹"②，

联立①②，得r=hV兀2_1③,

如图，在圆锥中，高PO'=h,轴截面的顶角N4PB=a,

则|。口=|0B|=R,\OO'\=R-h,

在RtZsOO'B中，由勾股定理得改=(R—h)2+N,

化简得F—2hR+r2=0@,

联立③④，得九2—2hR+h2(/—1)=o,化简得，

故选4

9.【答案】ABD

【解析】解：由题意知z=—=写二=等=—2—山，

\z\=7(-2)2+(-a)2=Va2+4,其中aeR.若z为实数，则a=0,符合题意，故A正确;

z不可能纯虚数，故B正确；

当a=0时，|z|取得最小值，且最小值为2,故C错误；

若z在复平面内所对应的点在第三象限，则-a<0,解得a>0,故D正确.

故选4BD

10.【答案】AC

【解析】解：因为/(%—1)=g(2—x),f(x)=g(x-V),

所以f(-x+1-1)=g(2-(-x+1)),BPf(-x)=g(l+x)=g(x+2-1)=f(x+2),

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所以/'(x)关于直线％=1对称，故A正确；

因为f(x)=g(x-1)，所以g(x)关于％=0对称,即g(x)为偶函数.故C正确.

故选4c.

11.【答案】ABD

【解析】解：当点P位于椭圆Z的短轴端点时，N&PFz最大，若此时△出「「?为等边三角形，

贝U|PFi|=\PF2\=I&F2I=2c,由椭圆的定义知|P0|+\PF2\=2a,故椭圆的离心率为?=全故A正确;

若S的圆心在△6PF2外，可以先考虑S的圆心在△BPF?上的情况，此时为直角三角形，

b2

不妨设P在第一象限，则tanNPF]F2=粤=手='，

仍1白2l2c4

故若S的圆心在4&PF2外，此时NP&B小于S的圆心在4^PF2上的情况，

•2

故tanZ_PFiF?<“故3正确；

若上F]PF2=g则S的半径由正弦定理可知2R=.3=4c，故s的面积为:兀〃，故C错误；

设坐标原点为O,则I西+耐I=2|同I=V7a=2b,故I同|=b,此时尸位于Z的短轴端点，

故乙F1PF2=g故2R=.=2,R=事故O正确.

1z

3smZ.F1PF2333

故选ABD.

12.【答案】(—9,+8)

【解析】解：由数列是递增数列，可得%i+i-。九=3(n+I)2+m(n+1)-3n2-mn>0,

即6几+3+TH>0,

可转化为zn>—6n—3对于\/九GN*恒成立，

故771>—9.

故答案为(-9,+oo).

13.【答案】-1

【解析】解：由题意可得驾="(右)=f(^)+f(^)+…+f扁)=lg©x|x(x…X，)=1g=-1.

故答案为-1.

14.【答案】一竽

【解析】解：易得y'=〃,

X1X1X2X2

依题意可知两条切线的方程分别为y=e(x-、i)+e,y=e(%-x2)+e,

联立两条切线的方程『=-%i)+e：；,

X2

(y=e(x—x2)+e2

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徂_—(1—%])/1_%遇%1_%20%2

1可“°-e%i—e%2-e%i—e%2

x+x

(xi-%2)el2

xx

"0-el-e2

因为两条切线的斜率之积为1,所以6%〃2=1,也即/+盯=0,

代入上式得X。=笔手手-1=喷等-1，%=沿，

所以2_上=/"盯一/1=%曰I3.曰

7/1

y042424-\242

当且仅当畔=中，即/=-殍时取得最小值.

N4Z

故答案为-竽.

15.【答案】解：Q)由题意可得%—1=3•(―3)"T,则%=3•(―3尸-1+1=l-(-3)n,则S4=1-

(—3)4=-80.

(2)S“_1=1—(―3)"T,当几>2时，厮=Sn—Snr=4•(―3)"T,经检验几=1时，同样成立，

故斯=4­(-3)"-1.

⑶由⑴可得(―1尸T华=n-3"T,记｛展3"T｝的前”项和为心,

4

所以Rn=1+2・31+3・32+…+(n—1)•3n-2+n-3rlT①.

则33=1•3+2•32+…+(n—2)•3n-2+(n-1)-3n-1+n-3"②.

①-②得，-2&=1+3+32+•••+371T-n-3n=「丁？)-n-3n=(―里。,

1-3L

则&=也半

4

故数列｛(-1)"T•等｝的前〃项和为(21产+1.

44

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

16.【答案】证明：(1)因为在△「＜:£)中，E为PC的中点，。为CO中点，所以EO〃PD,而E。C平面

PAD,PDu平面PAD,

所以£。〃平面P2D.因为48〃C。，CD=2AB,所以28=。。，AB//DO,所以四边形480。是平行四边

形，

所以8。〃2。，而B0U平面尸4。，2。u平面PAD,所以B0〃平面PAD,又E0CB0=0,EO,8。u平

面EOB,

所以平面£08〃平面P2D

(2)如图，连接P0.易得P。1CD.因为平面PCD1平面ABCD,平面PCDn平面ABCD=CD,P0u平面

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PCD,

所以P。1平面ABCD,5LB0//AD,AD1CD,所以8。_LCD

故以O为坐标原点，。8,OD,。尸所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,

则P(0,0,C)，4(2,1,0),B(2,0,0),C(0,-l,0),所以刀=(2,1,—6)，PB=(2,0,-/3),PC=

(0,-1,-73).

设平面P8C的一个法向量为元=®y,z),所以竹上=2"一个=°,令z=i,则元=(苧厂门»

(n,PC=—y—V3z=0)

设直线PA与平面P3C所成的角为e,贝Using=|cos<元，刀>1=1就篙I=_V3_

^2x2/2一38

故PA与平面PBC所成的角的正弦值为雪.

38

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

17.【答案】解:(1)由题意可知AC平分NBCD,因此NACB="CD=30。.

则AC=CDcos/LACD=门，BC=ACcos^ACB=|,

而/BCD=2AACD=60°,

故在△BCD中，由余弦定理可得BD=VBC2+CD2-2BC-CDcosABCD=乎.

(2)(i)设乙4CD=氏贝ijNBCD=2仍设CD=80=a,则AC=acos。，BC=acos20.

2

由余弦定理可得cos2。=":a8S窘"=1cose,解得cos?。=I，cos2。=

2a-acos£U233

(ii)由于在直角三角形AC£)中6为锐角，则cos。=苧，sin。=等，sin2。=2sin6cos6=?空，

i^sinZ-BDC=sin46=2sin20cos20=

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

18.【答案】解：(1)当a=1时,/(%)=sinx—xcosx,//(x)=xsinx,

令f'(x)>0,得2k7i<x<7i+2km—n—2/CTT<x<—2k7i(J<.6N),

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令/'(%)<0,得7i+2kn<%<2TT+2kli,-2兀—2Mr<%<—n—2kn(keN),

所以/(%)的单调递增区间为[2攵兀,兀+2/CTT],[—71—2kji,—2kn](kGN),

单调递减区间为[7+2kn,2n+2kn],[—2n—2kn,—TT—2kn\(kEN).

(2)当Q=0时，f(x)=x+sinx,设曲线y=/(%)的对称中心为(加九)，

则f(%)+/(2m—%)=%+sin%+2m—x+sin(2m—x)=2m+2sinmcos(x—rri)=2n,

所以｛:置？二;'解得771=n=kn(keZ),所以曲线y=/(%)的对称中心为(ATT,左兀)(左eZ).

(3)当a<0时，f(x)=%+sinx—ax(l+cos%)>0在[0,兀]上恒成立，满足题意；

当a>0时，/'(%)=1+cosx—a(l+cos%—xsinx)=(1—a)(l+cosx)+axsinx,

当0<a<1时,/'(%)=(1—a)(l+cosx)+axsinx>0,所以/(%)在上单调递增，/(%)>/(0)=

0,满足题意；

当a>1,%e[0,刍时，令九(%)=/'(%),//(%)=—sin%+a(2sinx+xcosx)>sinx+xcosx>0,所以

广⑴在[0弓]上单调递增,

又因为r(0)=2—2a<0,r6)=1—a(l—$>0,

所以存在尤o£(0,方，使得/(无0)=0，

当xG(0,久0)时,f'(x)<0,/Q)单调递减，所以/(x)</(0)=0,不符合题意.

综上所述：a的取值范围为(-8,1].

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

19.【答案】解：(1)显然丫24。«'存在，显然打力叼，又直线OM斜率存在，故%1+尤24。，

则A,8不关于y轴对称即%不力,直线O/斜率存在，故AB不过坐标原点O,则A,8不关于原点对称,

即月+火力0•由题可知上'=合，M(空，空)，故k°M=霍，

由A,B在双曲线上，故最一?=1,1-