2025年高考数学模拟试卷及答案 （一）

1.设全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合/={-1,2},5={1,3},则()

A.{1,3}B.{053}c.{-2,1}D.{-2,0}

2.若复数z=9,则|z|=()

1—

A1RV2j_

。c.D.72

A422

3.在“3c中，D是AB边上的中点，则怎=（)

A.2CD+CAB.CD-2CAc.2CD-CAD.CD+2CA

“71371,V3-1

4.设一<a<—，sma+cosa=--------，则cos2a=()

442

1c1V3

A.——B.—C.D.--

2222

5.以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（）

A.18KB.36兀C.54KD.72兀

6.下列说法正确的是（）

A.若函数/（x）为奇函数，则/（0）=0

B.函数/（"=」：在（-8,1）。（1,+8）上是减函数

C.若函数了=/（2》+1）的定义域为[2,3],则函数/（x）的定义域为1,1

D.若函数"X）为偶函数，且在（0,+oo）上是单调递增，则/（无）在（-叫0）上是单调递减

7.已知函数〃x）=sinox+2cos2m（。>0）在区间日常上单调递增，则。的取值范围是（）

A.（0,4]B.^0,ju1,4C.（0,；口D.|>3

8.已知数列｛%｝满足q=1,。用=/£（"€加）.记数列｛%｝的前〃项和为J,则（）

199

A.§（doo<3B.3<S100<4C.4<<—D.—<5100<5

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的

得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育

测试，其中甲班女生的成绩X与乙班女生的成绩y均服从正态分布，且X〜N（160,900）,y〜N（160,400）,贝U（）.

A.£（X）=160B.D（y）=20

c.P^x<120）+P（X<200）=1D.P（JT<180）<P（y<180）

试卷第1页，共9页

10.已知函数〃x）T°g〃f+2）-log?（x+4）,下列说法正确的是（）

2

A.函数〃x）的定义域为（-4,2]B.函数〃x-l）为偶函数

C.函数的单调递增区间为（-1,2]D.函数“X）的图像关于直线x=-l对称

11.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为（犬+/）3=//,则下

列说法正确的是（）

A.四叶草曲线有四条对称轴

B.设尸为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过P作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积

的最大值为:

O

C.四叶草曲线上的点到原点的最大距离为:

D.四叶草曲线的面积小于:

4

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若直线>=3x+。与曲线y=lnx+2x相切，则实数4的值为.

13.已知双曲线C：5—《=l（a>0,b>0）的左焦点为尸，过尸的直线/交圆于人，8两点，交C的右支

于点0,若|足4|=|/同=忸。|,则C的离心率为.

14.数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首

次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于

正整数a,"（"开2）,若存在一个整数x,使得〃整除/-a,则称。是〃的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到

20这20个整数中随机抽取一个整数。，记事件/="a与12互质"，8="a是12的二次非剩余”，贝!]

//）=；.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）记V4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点。在边/C上，且满足:D4:OC=2:3:4,

试卷第2页，共9页

VN8C的面积sm'

2

⑴证明：=7ac

⑵求cosN/BC.

16.（15分）新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取若干居民

进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在［70,90］的居民有2200人.

（1）求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；

（2）从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确到0.1）；

（3）设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85分以上的人数.

一x2V2BF

17.（15分）椭圆二+#=1（。>6>0）的右焦点为尸、右顶点为N,上顶点为3,且满足行V3

2

（1）求椭圆的离心率e；

⑵直线/与椭圆有唯一公共点与〉轴相交于N（N异于M）.记。为坐标原点，若|（W|=|0N|,且的面

积为由，求椭圆的标准方程.

18.（17分）已知四棱锥尸一A8CD的底面/2CO是直角梯形，ADUBC,ABLBC,BC=2AD=2,=

E为CZ）的中点，PBLAE.

试卷第3页，共9页

p

⑴证明：平面尸平面48C。；

JT

(2)若PB=PD,PC与平面4BC。所成的角为7,试问在侧面PCD内是否存在一点N,使得

8N,平面PCD?若存在，求出点N到直线尸。的距离；若不存在，请说明理由.

19.(17分)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯

曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若/'(X)是"X)的导函数，/"(X)是/'(X)的导函数，则曲线

|小）|

V=/(X)在点(无,/(尤))处的曲率"

⑴求曲线"X)=lnr+x在(1,1)处的曲率%的平方;

⑵求正弦曲线〃(x)=sinx(xeR)曲率的平方KZ的最大值.

⑶正弦曲线〃(x)=sinx(xeR),若g(x)=e*-2x-〃(x),判断g(x)在区间(一^5上零点的个数，并写出证明过

程.

试卷第4页，共9页

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

12345678

DBCADDCA

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的

得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

91011

ACDBDABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.-1

13.叵

5

一75

14.——

207

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

19

15.(13分【答案】⑴证明见解析;(2)-万或-§

【解析】(1)点。在边4。上，且满足。氏。/:。。=2:3:4,

234

所以DA=—b,DC=—b3分

777

BD-b•siaS

S=—acsinB=,4分

22

2

故皿二甲,BP2b2=lac;6分

(2)由图可知cos/ADB+cosZCDB=....................7分

23

2x-bx-b

77

、2

可得3/一8〃。+4。2=o,解得。=2c或。=..........9分

1。当a=2c时，b2=^-ac=lc2,cosa43c=3上二&t=；...............11分

22x2cxc2

f2cV27

277Hr+c~2C27

2°当。时，b2=-ac=-c2,cosZABC=13J。——2_=——；.........地分

323.2c3

2x——xc

3

12

综上所述cos/NBCu-j或一百................................................13分

试卷第5页，共9页

A

16.【答案】(1)0.025,4000人;(2)众数为85.0,平均数80.7;(3)212500

【解析】(1)有频率分布直方图矢口(0.002+0.004+0.014+0.020+0.035+。)>10=1

BP10x(0.075+a)=\,解得Q=0.025...................................................................................2分

2200

设总共调查了〃人，则—=(0.020+0.035)x10,

n

解得"=4000,即调查的总人数为4000人；...................................5分

(2)最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为双了=85.0,...................7分

由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02,0.04s0.14,0.20,0.35s0.25,

所以设平均数为工

则元=45x0.02+55x0.04+65x0.14+75x0.2+85x0.35+95x0.25=80.7....................11分

035

(3)由频率分布直方图知评分在85分以上的频率为一「+0.25=0.42513分

2

所以估计该市居民评分在85分以上的人数为:500000x0.425=21250015分

17.【答案】⑴。：逅⑵工+片=1

362

a

【角军析】(1)n4a2—3仅2+/0a2=3b?,

+a22

离心率为5分

(2)由(1)可知椭圆的方程为V+3/=/,

易知直线/的斜率存在，设直线/的方程为>=丘+加，..........................6分

22得0+3左2卜2+66X+(3加2_Q2

联立=0,8分

X+3V—Cl

2=0=>3加2=(]+3左2),①

由A=36左2冽2—4(1+3k2)(3m-/9分

3km7m

“=一素口'%=跖+加=由，11分

m2(%2+l)

由|。叫=|。叫可得//一不，②12分

(3尸+1)

试卷第6页，共9页

由Jaw=6可得JR•=石'③.......................................13分

2,'1J+?3无z!

联立①②③可得/="/=4,“2=6,故椭圆的标准方程为《+二=1...............15分

362

18.【答案】(1)见解析;(2)率

【解析】(1)由四边形N8CD是直角梯形，AB地,BC=2AD=2,ABVBC,

TT

可得。C=2,ABCD=j,从而ABCD是等边三角形，BD=2,BD平济NADC.

・.・£为CD的中点，:.DE=AD=\,BDLAE,.................................................3分

又•：PBLAE,PBcBD=B,BOu平面尸20,P5u平面PAD.......................4分

.•./£_L平面尸8。，............................................................................................................5分

/Eu平面48CA,所以平面尸3D_L平面...........................6分

(2)在平面PBD内作于O,连接OC,Q/E'平面尸2。，

又•；AEu平面ABCD,J.平面PSD_L平面ABCD.

因为平面尸BDPl平面48c7)=2。，POu平面尸80,PO_L平面48CD

7T

・•.ZPCO为PC与平面4BCD所成的角，贝!]/PCO=:，

J.由题意得OP=OC=J^

■：PB=PD,POLAD,为助的中点,:.OCVBD..........................................8分

以。8,OC,0P所在的直线分别为x,V,z轴建立空间直角坐标系，

则80,0,0),C(0,百,0),2)(-1,0,0),网0,0,百)，......................9分

假设在侧面PCD内存在点N,使得8NL平面PCD成立，

设丽=2而+〃无(4,〃20"+〃VI),

由题意得N(—A,sf3jU,―+〃—1)),......................................................................10分

W=(-2-1,V3/7,-A/3(2+Z/-1)),FC=(0,V3,-V3),TO=(-1,0,-^),

BN-PC=Q3"+3(%+4-1)=0

rhJ.........................................................11分

\BNPD=04+1+3(丸+4—1)=0'

试卷第7页，共9页

1?J12g2M

解得彳=3〃=’,满足题意，.1N一，£>(-1,0,0),12分

7

取1=加=*¥2"

P5=(-I,O,-^),I=2,

5

、

2(26丫

一PDo1"28

,a2=DN++

5J55

7J

一一4X—1,

a-u=—x15分

52

求出点N到直线PD的距离为：yja2-(a-u)2=16分

所以N点直线9的距离为姮

17分

5

19.【答案】(1)圭;(2)1;(3)零点个数为2,证明见解析

【解析】(1)因为/(x)=lnx+x,所以r(x)=：+i,/"(可=-3

1分

『(1)111

所以4

3333分

(1+"'⑴疗(1+吁5?

/、2

11

(舄)2=[5分

125

52J

sinx

(2)由〃(x)=cosx,〃"(x)=-sinx,则*=36分

1+cos2x2

K2=—SIN2%sin2x