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文档简介

2025年高考数学全真模拟卷04(新高考专用)

(考试时间:120分钟;满分:150分)

注意事项:

1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用

橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第U卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要

求的。

1.(5分)(2024•河南周口•模拟预测)已知复数z=(l+B\i为虚数单位,贝吻的虚部为()

A.2iB.-2iC.2D.-2

2.(5分)(2024•天津和平・二模)若xeR,下列选项中,使“/<1”成立的一个必要不充分条件为()

A.-2<%<1B.-1<%<1C.0<%<2D.-1<%<0

3.(5分)(2024.贵州贵阳.二模)已知向量日=(1,一2)范=(2,x),若(3d-司〃@+2%则实数x=()

A.2B.1C.0D.-4

4.(5分)(2024・四川达州.二模)下图是某地区2016-2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图,则下列说法

错误的是()

A.该地区2016-2019年旅游收入逐年递增

B.该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30

C.经历了疫情之后,该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平

D.该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69

5.(5分)(2024・湖北.模拟预测)已知点P是直线x—y—m=0上的动点,由点P向圆0:/+/=1引切

线,切点分别为M,N且NMPN=90。,若满足以上条件的点P有且只有一个,则爪=()

A.V2B.±V2C.2D.±2

6.(5分)(2024•青海西宁•二模)关于函数/'(%)»=4sin(3X+勿)(4>0,3>0,0<w<、,有下列四个

说法:①/(%)的最大值为3;②/(久)的相邻两个零点分别为功,%2>且有%—亚1=0③/(久)的图象上相

邻两个对称中心间的距离为去④/(©的图象关于直线X=g对称,若有且仅有一个说法是错误的,则/(以=

()

A.--B.—C.--D.-

2222

7.(5分)(2024•陕西安康•模拟预测)在四棱锥P-4BCD中,△「/!£»为等边三角形,四边形4BCD为矩形,

且平面PAD1平面力BCD,则直线AC与平面PCD所成角的正弦值为()

A.-B.—C.—D.1

222

8.(5分)(2024•陕西•模拟预测)函数/(汽)满足In%=:+夕,且均>e,x>+,(%2)=1,则f(%i%2)

1-/w2

的最小值为()

51

A.eB.1C.-D.-

7e

二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的

要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得。分。

9.(6分)(2024•黑龙江牡丹江•一模)已知(―20)为函数/O)=asin2x+cos2久的一个对称中心,则()

A.a=gB.函数y=/(%—9为奇函数

C.曲线y=f(久)关于“="对称D.函数y=f(x)在(一■单调递增

10.(6分)(2024•黑龙江大庆.三模)已知点P(l,夜)是双曲线C:3/―f=1上一点,过p向双曲线的两

条渐近线作垂线,垂足分别为4B,则下列说法正确的是()

A.双曲线的浙近线方程为y=±Wx

B.双曲线的焦点到渐近线的距离为1

C.\PA\­\PB\=l

D.APAB的面积为普

16

11.(6分)(2024.河北•二模)已知函数/⑺=x(e,+2),gO)=(x+2)lnx,则下列说法正确的是()

A.函数/(%)在R上单调递增

B.若对任意x>0,不等式/(ax)2/(In久2)恒成立,则实数a的最小值为:

C.函数g(x)在(0,+8)上存在极值点

D.若/■(久1)=。(外)=t(t>0),则丫八的最大值为工

第II卷(非选择题)

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

12.(5分)(2024•陕西榆林•模拟预测)已知在递增的等比数列{斯}中,(1遂2a3=1,-+-+-=L则

a32

数列{即}的通项公式为斯=.

13.(5分)(2024•湖南长沙•二模)已知2cos(2%+Dcos(%—巳)—cos3%=:,贝!Jcos(2%+;)=.

14.(5分)(2024.陕西榆林.模拟预测)已知曲线/(%)=/与g(%)=ln(ax)(a>0)有公共切线,则实数a

的最大值为.

四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)(2024・陕西安康・模拟预测)在△ABC中,角的对边分别是a,仇c,tanC=(a-l)tan8.

(1)求证:bcosC=1;

(2)若Q=2,△ABC面积为1,求边c的长.

16.(15分)(2024•四川雅安•三模)已知函数/(%)=(a—1)%—2sin%.

⑴若函数/(%)有极值,求实数a的取值范围;

(2)若关于%的不等式/(%)+%(1+cosx)<0在冗E[。身上恒成立,求实数a的取值范围.

17.(15分)(2024•河南周口•模拟预测)如图,平行六面体力BCD-A/C/i中,底面48CD与平面4BGA

都是边长为2的菱形,4BCD=NBQDi=120°,侧面BCqB1的面积为咫.

(1)求平行六面体4BCD-&B1C1D1的体积;

(2)求平面BCG2与平面CDDiG的夹角的余弦直

18.(17分)(2024.辽宁锦州•模拟预测)甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛,规定每局比赛胜者得1分,

负者得0分,平局双方均得。分,比赛一直进行到一方比另一方多两分为止,多得两分的一方赢得比赛.已

知每局比赛中,甲获胜的概率为a,乙获胜的概率为0,两人平局的概率为y(a+0+y=l,a>O,£>O,y2

0),且每局比赛结果相互独立.

⑴若a=|,£=|,y=I,求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率;

(2)当y=0时,

(i)若比赛最多进行5局,求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值;

(ii)若比赛不限制局数,求“甲学员赢得比赛”的概率(用a,£表示).

19.(17分)(2024•河南三门峡•模拟预测)设有穷数列4i(九22)的所有项之和为S,所有项的

绝对值之和为T,若数列/满足下列两个条件,则称其为九阶“0-1数列":①S=0;②7=1.

⑴若2023阶"0—1数列"Aalta2,…,。2023是递减的等差数列,求。2023;

⑵若2k(kEN*)阶“0-1数歹!J”4aL%。2式々21)是等比数列,求”的通项公式时(1<n<2k,用几k表

示);

(3)设71阶“0-1数列…,。式九N2)的前m项和为%0nG{1,2,3,…㈤),若加G{1,23…,九},使得

bm=-I,证明:数列&&,62,・“,勾622)不可能为九阶“0—1数列”.

2025年高考数学全真模拟卷04(新高考专用)

(考试时间:120分钟;满分:150分)

注意事项:

1.本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用

橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要

求的。

1.(5分)(2024•河南周口•模拟预测)已知复数z=(1+9、i为虚数单位,贝反的虚部为()

A.2iB.-2iC.2D.-2

【解题思路】根据复数的除法和乘方的运算法则,结合复数虚部的定义进行求解即可.

【解答过程】(1+=(1一=(1一i)3=1+3X1?.(一。+3X1x(―i)2+(―i)3=l-3i-3+i=

-2―2i,

因此复数(1+1)3的虚部为一2.

故选:D.

2.(5分)(2024.天津和平.二模)若xeR,下列选项中,使“%2<1”成立的一个必要不充分条件为()

A.-2<x<lB.-1<%<1C.0<%<2D.-1<%<0

【解题思路】根据题意,*2<1等价于—1<X<L若所求必要条件对应的范围为4,则(-1,1)A,由此

判断即可得到本题的答案.

【解答过程】不等式/<1等价于—1<x<l,

使<1”成立的一个必要不充分条件,对应的集合为4,则(-1,1)是A的真子集,

由此对照各项,可知只有A项符合题意.

故选:A.

3.(5分)(2024.贵州贵阳.二模)已知向量日=(1,—2),3=(2,x),若(32-司〃但+2另),则实数久=()

A.2B.1C.0D.-4

【解题思路】借助向量坐标运算与向量平行的坐标表示计算即可得.

【解答过程】32-3=(1,-6-x),a+2b^(5,2万-2),

由(30一.//5+2石),则有1x(2x-2)-5x(-6-%)=0,

解得x=-4.

故选:D.

4.(5分)(2024・四川达州.二模)下图是某地区2016-2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图,则下列说法

错误的是()

A.该地区2016-2019年旅游收入逐年递增

B.该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30

C.经历了疫情之后,该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平

D.该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69

【解题思路】根据中位数、极差的定义即可判断BD;结合图形,分析数据即可判断AC.

【解答过程】A:由图可知该地区2016-2019年旅游收入逐年递增,故A正确;

B:由图可知,2016-2023年旅游收入的中位数为型产=4.255亿元,故B错误;

C:从图表可知2023年旅游收入为4.91亿元,接近2018年的5.13亿元,故C正确;

D:2016-2023年旅游收入的极差是5.73-2.04=3.69亿元,故D正确.

故选:B.

5.(5分)(2024.湖北.模拟预测)已知点P是直线x—y—m=0上的动点,由点P向圆0:/+V=1引切

线,切点分别为M,N且NMPN=90。,若满足以上条件的点P有且只有一个,则爪=()

A.V2B.±V2C.2D.±2

【解题思路】连接。M,ON,结合圆的切线性质可推得点P在以点。为圆心,夜为半径的圆C上,再由题意可

知该圆与直线x-y-m=0相切,利用点到直线的距离公式,即可求得答案.

【解答过程】连接。M,ON,贝1OM.PN1ON.

又4MPN=90°,OM=ON,所以四边形MPNO为正方形,:|PO|=&|0N|=VI,

于是点P在以点。为圆心,鱼为半径的圆C上.

又由满足条件的点P有且只有一个,则圆C与直线%-y-m=0相切,

所以点。到直线x-y-m=0的距离d=V2,翳=V2,解得m=±2.

故选:D.

6.(5分)(2024•青海西宁•二模)关于函数f(x)=4sin(3x+9)(4>0,3>0,0<9<小,有下列四个

说法:①f(x)的最大值为3;②f(x)的相邻两个零点分别为久1,久2,且有山-久2l=n;③/(久)的图象上相

邻两个对称中心间的距离为次④/(©的图象关于直线x=g对称,若有且仅有一个说法是错误的,则建)=

()

A.--B.—C.--D.-

2222

【解题思路】根据题意,由条件可得②和③相互矛盾,然后分别验证①②④成立时与①③④成立时的结论,

即可得到结果.

【解答过程】说法②可得《=工=71,得到3=1,说法③可得?=工=9则3=2,②和③相互矛盾;

2Cd232

当①②④成立时,由题意/=3,a)=l,]+0=2Mi+;,kEZ.

因为9€(0彳),令k=0,得到0=,

所以/'(%)=3sin(X+J得到/(;)=3sin(^+,)=3siny=

说法①③④成立时,由题意/=3,3=2,y4-=2/CTT+pkEZ,

则0=2/cn—:C(0,9,故不合题意.

故选:B.

7.(5分)(2024•陕西安康•模拟预测)在四棱锥P-4BCD中,△PAD为等边三角形,四边形2BCD为矩形,

且=平面P力。1平面ABC。,则直线AC与平面PCD所成角的正弦值为()

【解题思路】取M为P。的中点,先证明4Ml平面PCD,得乙4cM为所求线面角,由边长间的关系求正弦值.

【解答过程】平面P4D_L平面4BCD,又平面PADC平面2BCD=AD,

CDu平面4BCD,CDLAD,贝。CD_L平面PAD,

又CDu平面PCD,故平面PCD1平面PAD,

取PD的中点M,连接AM,CM,如图所示,

平面PCDCl平面PAD=PD,平面AMu平面PAD,

△PAD为等边三角形,贝!MM1PD,故4M1平面PCD,

则直线AC与平面PCD所成角即为aACM,

令BC=a,贝!]28=缶,AC=V3a,AM=^-a,

故sin/ACM=—=

AC2

故选:A.

8.(5分)(2024.陕西.模拟预测)函数f(%)满足In%=叱咒且%i>e,x>eJOJ+f(x)=1,则/(%i%2)

i-/w22

的最小值为()

5I

A.eB.1C.-D.-

7e

【解题思路】通过解方程可得f(%)的解析式,由/(%i)+/(x2)=1化简可得In%1•ln%2=1noi•汽2)+3,

结合基本不等式可得InQq•*2)26,运用分离常数法化简可得/(右物)=1--2进而可得其最小值.

【解答过程】因为也”=含器,所以Inx-lnx"(x)-l-f(x)=0,即f(%)=黑|,

又因为〃久1)+/。2)=1,

--2

p-rr।InXi-1,lnx2l4口门(ln%Ll)(ln%2+l)+(ln%2-l)(ln%i+l)21nx1lnx24

j/TKAI--1,及~1,

InXi+llnx2+l(lnx1+l)(lnx2+l)(In%1+1)(lnx2+1)

所以In%1•ln%2=In(久i•%2)+3,

因为%i>e,x2>e,所以In%]>1,lnx2>1,

所以In与•Inx2=ln(x「犯)+3W

整理得ln2(%i•x2)—41ri(%i•x2)—12>0,

解得ln(%i•%2)N6或ln(%i•&)<-2(舍),

所以“中2)=,产;=1--2一=当且仅当『户=即的1=工2=e3时取等号.

,',1noi%2)+lln(x1-x2)+l6+17(In(%1-X2)=6”

故/01%2)的最小值为2

故选:C.

二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的

要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得。分。

9.(6分)(2024•黑龙江牡丹江•一模)已知(一,0)为函数/(")=asin2x+cos2久的一个对称中心,则()

A.a=V3B.函数y=f(久一习为奇函数

C.曲线y=/(x)关于x=*j'称D.函数y=/(£)在单调递增

【解题思路】根据对称可得a=手,即可由辅助角公式求解f(x)=^sin9x+f,结合选项,即可逐一代

入求解.

【解答过程】解:因为0)为函数f(久)=asin2久+cos2x的一个对称中心,

所以f(Y)=asin2(-勺+cos2(-力=0,

即一苧a+1=0,解得Q=苧,故A错误;

所以/(汽)=sin2x+cos2x=学sin(2%+三),

y=/(%-J=誓sin(2%-^+三)=^sin2%,显然为奇函数,故B正确;

fU=Vsin(2x+=VsinT=-sinT='是取小值,

所以曲线y=/(x)关于x=^对称,故C正确;

当xe(—监4)时,2%+=e(-p=),所以函数y=/(x)在(―,吟)单调递增,故D正确.

故选:BCD.

10.(6分)(2024.黑龙江大庆.三模)已知点P(l,a)是双曲线C:3——f=1上一点,过p向双曲线的两

条渐近线作垂线,垂足分别为4B,则下列说法正确的是()

A.双曲线的浙近线方程为y=±Wx

B.双曲线的焦点到渐近线的距离为1

C.\PA\­\PB\=l

D.APAB的面积为经

16

【解题思路】首先根据双曲线方程求渐近线方程,判断A,再根据点到直线的距离判断BC,最后根据几何

关系,求乙4PB,再代入面积公式,即可求解.

【解答过程】因为双曲线的方程为C:3/—V=1,所以。=孚,b=i,所以双曲线的渐近线方程为y=

+-x=士百%.故A正确;

a

双曲线的右焦点(言,0)到渐近线y=bx的距离为d=1=1,故B正确;

由点到直线的距离公式可得伊川•\PB\=喀回xM竽=[.故C错误.

如图,因为K(M=百,所以乙4。乂=60。.在和AOBD中,APAD=AOBD=90°,

/.PDA=AODB,所以N4PD=NBOD=60。,所以

SAPAB=1x|P*.|PB|sin60。=5x:x¥=t,故D正确.

zz4Zlo

故选:ABD.

11.(6分)(2024.河北.二模)已知函数f(%)=%(e"+2),g(%)=(%+2)ln%,则下列说法正确的是()

A.函数/(%)在R上单调递增

B.若对任意%>0,不等式/(a%)>/(In/)恒成立,则实数a的最小值为|

C.函数g(%)在(0,+8)上存在极值点

D.若/(%i)=g(%2)=>0),则一餐木的最大值为工

【解题思路】对于A,直接求得单调区间即可;对于BCD,构造函数,研究函数的最值即可.

【解答过程】对于A,f(x)的定义域为R,f'(x)=(x+l)e,+2,令m(x)=尸(x),

则m'(x)=(%+2)e”,,,.当xe(—8,—2)时,mr(x)<0;

当x£(-2,+8)时,m'(x)>0,m(x)即尸(x)在(-8,-2)上单调递减,

在(—2,+8)上单调递增,

・,•/'(%)>尸(-2)=-e—2+2=2-2>0,.・•/(%)在R上单调递增,故A正确;

2

对于B,由A知/(%)在R上单调递增,由/(a%)>/(In/)得Q%>Inx,则当%>0时,a>哈=手,令八(%)=

一^,则加(%)=2a)2;•当%W(0,e)时,h'{x)>0;当%e(e,+8)时,”(%)<0,h(x)在(0,e)上单调递增,

在(e,+8)上单调递减,.•・%(%)max=Me)=:,.•.a之:,即。的最小值为j故B正确;

对于C,g(%)的定义域为(0,+8),g,(%)=In%+平=Inx+|+1,令?i(%)=g'(%),

则4(%)=工一2=二,•.•当%E(。,2)时,"(%)V0;当%6(2,+8)时,

nA(x)>0;几(%)即g'Cr)在(0,2)上单调递减,在(2,+8)上单调递增,

・•・g'(x)之“(2)=ln2+2>0,g(%)在(0,+8)上单调递增,无极值点,故C错误;

对于D,若/(%i)=9(久2)=>0),

则久i(e%i+2)=(x2+2)lnx2=v/(0)=0,^(1)=0,t>0,

由AC知:均为定义域上的增函数,,4>0,x2>1,

X1X1X1

由%i(e*i+2)=(x2+2)ln第2得久i(e*i+2)=(e+2)lne=(x2+2)lnx2,*'-x2=e,%(,+2)=

f

X=T令P(t)=T,则p'(t)=8二•,•当tG(0,e)时,p'(t)>0;

1(e二,十片zjLi-c

当tE(e,+8)时,p,(t)v0,・•・p(t)在(0,e)上单调递增,在(e,+8)上单调递减,

P(t)max=P(e)=即的最大值为《故D正确.

故选:ABD.

第n卷(非选择题)

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

12.(5分)(2024•陕西榆林•模拟预测)已知在递增的等比数列{&J中,a1a2a3=1,-+-+-=J,则

0-10-32

数列{厮}的通项公式为即=2n-2(nEN*).

。1。3=1

{工+2=”解出的值的,。3,

Oia32

即可求出公比,得出通项.

【解答过程】设等比数列{%J的公比为分因为的a2a3=1,所以谒=1,解得。2=1,

(CL-xClo—1

又三+2+工=彳,所以有1,1-5,

由{斯}是递增的等比数列,解得由=|,。3=2,

所以q=£=2,即有a“=[x2nT=27l-2.

故答案为:2n-2(n&N*y

13.(5分)(2024.湖南长沙.二模)已知2cos(2x+①cos—自一cos3x=},贝ijcos(2x+.

【解题思路】由3x=(2x+[)+(x—3结合两角和的余弦公式化简条件可求得cos(x+媒,再利用二

倍角的余弦公式求cos(2x+§即可.

【解答过程】因为2cos(2x+E)cos(x-巳)-cos3x=%

所以2cos(2x+己)cos(x--cos[(2%+自+1一自]=;,

所以cos(2x+gcos(x—已)+sin(2x+Jsin(x—己)=

所以cos(%+])=(

所以cos(2x+])=2cos2(x+:)-1=-.

故答案为:-1

o

14.(5分)(2024•陕西榆林•模拟预测)已知曲线/(x)=/与g(x)=ln(ax)(a>0)有公共切线,则实数a

的最大值为伍.

【解题思路】先设出切点,求导得到切线方程,斜率截距对应相等,得到1-Ina=总+Ing,构造函数Mx)=

A+ln%,转化为存在性问题,最终求最值即可.

nax

【解答过程】设曲线/(X)=/与g(x)=In(ax)(a>0)的切点分别为(%],好),(x2-l(2))»

:/'(x)=2x,g'(%)=:・k1=2%],k2—

Ay—xl=2xr(%—y—ln(a%2)=—x2)

7cl

2%-i-1i

%2,--+ln(d%2)—1=0,即1—Ina=—4-ln%2,

4%2

、好+ln(ax2)—1=0轨2

令h(%)=+In%,则h'(%)=2x-r

当。<x<争寸,》(%)<0,单调递减;当%〉g时,》(汽)>0,h(%)单调递增,

.,•/i(x)>h(y)=^+ln^即1—Ina>|+In即Ina<lnV2e,即0<a4V2e.

故答案为:库.

四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)(2024•陕西安康•模拟预测)在AABC中,角的对边分别是a,b,c,tanC=(a—l)tanB.

(1)求证:bcosC=1;

(2)若a=2,AaBC面积为1,求边c的长.

【解题思路】(1)根据题中等式利用同角三角函数商关系公式,两角和的正弦公式,三角和内角和定理,

正弦定理化简得到结果;

(2)利用(1)的结果计算sinC=,再利用三角形面积公式计算出a,从最后利用余弦定理计算出c;

【解答过程】(1)证明:根据tanC=(a—l)tanB,以及tanC='吧,tanB='世

cosCcosB

得=(0-sinCcosB=(a—l)cosCsinB.

所以acosCsinB=sinCcosB+cosCsinB,即acosCsinB=sin(C+B),

根据8+C=TT—4得sin(C+B)=sin/.

所以acosCsinB=sin/,

由正弦定理,得abcosC=a,因此bcosC=1.

-1

⑵由⑴知,cosC「,sinC=

2

SLABC=(absinC=b=Vfo—1=1,

所以炉=2,得b=yj2,cosC=亨,

又。=2,

所以由余弦定理得c=y/a2+b2—2abcosC=^4+2—2x2xV2Xy=V2.

16.(15分)(2024•四川雅安•三模)已知函数/(%)=(a—1)%—2sin%.

(1)若函数/(%)有极值,求实数a的取值范围;

(2)若关于%的不等式/(%)+x(l+cosx)<0在%E身上恒成立,求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)先对函数求导,分类讨论研究函数的单调性,结合函数单调性与极值的关系即可求解.

(2)由已知变形为2sin%—xcosx—ax>0恒成立,构造函数九(久)=2sinx—xcosx—ax,xG[。身,分类讨

论研究函数的单调性,利用最值列不等式求解即可.

【解答过程】(1)依题意,/A(x)=a—1—2cosx,令尸(第)=0,得a=1+2cos;r,

因为1+2cos%£所以当。4一1时,/'(%)40,/(%)在R上单调递减;

当a>3时,/'(%)>0,故/(%)在R上单调递增;

当一l<aV3时,((%)=0有变号零点,此时函数/(%)存在极值;

综上a6(—1,3).

(2)依题意,由/(汽)+x(l+cosx)<0,

得(a—1)%—2sinx+x(l+cosx)<0,即2sin%—xcosx—ax>0,

设h(%)=2sinx—xcosx-ax,xE[o,1],

贝=2cos%—cosx+xsinx—a=cos%+xsinx—a,

设=cosx+xsinx—a,贝!=xcosx,

当久E[o);]时,mz(x)>0,m(%)单调递增;

所以在%e[o上,"(%)<八'0=]—a,且"(0)=1—a,

当]—a<0,即a>多寸,h/(x)>0,九(汽)在[0/n]上单调递减,

则h(%)</i(0)=0,不符合题意,舍去,

当;一a>0,即时,

(i)若1—a<0,即1VaV

三久0€(04),使得九Go)=0,当OV%V%o时,//(%())V0,%(%)在(O,%。)内单调递减,/i(x)</i(0)=0,

不符合题意,舍去,

(ii)若1—aN0,即a<1,h.'(x)>0恒成立,

h(x)在xe[oj]上单调递增,则h(x)2h(0)=0,符合题意.

综上,实数a的取值范围为(—8,1].

17.(15分)(2024•河南周口•模拟预测)如图,平行六面体力BCD-4送16。1中,底面力BCD与平面ABCi/

都是边长为2的菱形,Z-BCD=N8QD1=120°,侧面BCC/i的面积为/区.

(1)求平行六面体力BCD-4/1的£>1的体积;

(2)求平面BCQBi与平面CDDiG的夹角的余弦值.

【解题思路】(1)连接4C,4的,根据菱形的性质、余弦定理,结合线面垂直的判定定理、三角形面积公

式、棱柱的体积公式进行求解即可;

(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【解答过程】(1)连接4C,AQ,

因为底面4BCD与平面均为菱形,且/BCD=LBCR=120°,

所以△43。与448Q均为等边三角形,

取A8的中点。,连接OC,OQ,贝。。C1AB,0cli48,则。C=。的=百,

因为侧面BCQZ的面积为后,

所以△BCG1的面积为手,则如2x2sinNCBG=?,

所以sin/CBG=乎,则cos/CBCi=i

在ABCCi中,CC^=22+22-2x2x2x=6,贝ijCC1=①,

所以。+。番=ccf,所以。CiOQ.

因为48C0C=0,AB.OCa^^ABCD,

所以。的1平面ABCD,

故平行六面体48CD-4/停1。1的体积^=SABCD•。6=2X2sin60°x次=6.

(2)由(1)可知,4B,0C,0G两两垂直,以。为原点,以。B,OC,OG所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建

立如图所示的空间直角坐标系。-xyz.

贝C(0,A/3,0),Ci(0,0,V3),D(-2,V3,0),

BC=(-l,V3,0),CC;=(0,-V3,V3),C5=(-2,0,0),

设平面BCG4的法向量为沅=Oi,yi,zi),

由伴「U得[若+册L*取以=L则沅=(迎LD

\<CC1-m=0,1―V3yl+V3zi=0,

设平面CDDiC的法向量为日=(x2,y2,z2),,

由[空工=0,得,屋铲取1,则完

2

[CG•元=0,t-V3y2+A/3Z2=0,

设平面BCQB]与平面CDDiG的夹角为

所以cos。=|cos(m,n)|—誓.

18.(17分)(2024.辽宁锦州•模拟预测)甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛,规定每局比赛胜者得1分,

负者得0分,平局双方均得。分,比赛一直进行到一方比另一方多两分为止,多得两分的一方赢得比赛.已

知每局比赛中,甲获胜的概率为a,乙获胜的概率为0,两人平局的概率为y(a+0+y=l,a>O,£>O,y2

0),且每局比赛结果相互独立.

(1)若a=|,S=|,y=3求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率;

(2)当y=。时,

(i)若比赛最多进行5局,求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值;

(ii)若比赛不限制局数,求“甲学员赢得比赛”的概率(用a,£表示).

【解题思路】(1)用事件4B,C分别表示每局比赛“甲获胜”,“乙获胜”,“平局”,记“进行4局比赛后甲学

员赢得比赛”为事件N,则事件N包括事件:力444,4CC4C4C4CC44共5种,即可求解;

(2)(i)由题意得X的所有可能取值为:2,4,5,求出对应的概率,列出分布列及求出数学期望,并求出最

大值;

(ii)由(1)得前两局比赛结果可能有:AA,BB,AB,BA,其中事件A4表示“甲学员赢得比赛”,事件表示

“乙学员赢得比赛“,事件力表示“甲、乙两名学员各得1分”,当甲、乙两名学员得分总数相同时,甲学

员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同,所以P(M)=P(4A)•1+P(BB)•0+PQ4B)•

P(M)+P(B4)•P(M)即可求解.

【解答过程】(1)用事件4B,C分别表示每局比赛“甲获胜”,“乙获胜”,“平局”,

则P(4)=a=|,P(B)=S=I,P(C)=y=p

记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N,

则事件N包括事件:ABAA,BAAA.ACCA,CACA,CCAA^5种,

所以P(N)=P{ABAA)+P(BAAA)+P(ACCA)+P{CACA)+P{CCAA)

=2P(B)PQ4)PG4)PQ4)+3P(C)P(C)P(A)P(A)

(2)(i)因为y=0,所以每局比赛结果仅有“甲获胜''和"乙获胜”,即a+0=l,

由题意得X的所有可能取值为:2,4,5,

P(X=2)=a2+俨,

P(X=4)=(a0+pa)a2+(a。+0a)倍=2a队心+伊),

P(X=5)=(a/?+0a)•(必+Ba)-1=4a?俨,

所以X的分布列为:

X245

pa2+俨2aBice2+仃)4a2严

所以X的期望为:

E(X)=2(a2+r)+8as(a?+>)+20a2/?2

=2(1-2a£)+8as(1-2邓)+20a2s2

=4a2优+4a0+2

因为a+/?=122Ja。,所以

等号成立时,a=8=*所以O<a0w}

所以E(X)=4a2俨+4a/?+2=(2a£+I)2+1<(2xi+l)2+1=y,

故E(X)的最大值为:y.

22

(ii)记“甲学员赢得比赛”为事件M,则P(M)=』=』,

由(1)得前两局比赛结果可能有:AA,BB,AB,BA,

其中事件A4表示,,甲学员赢得比赛,,,事件BB表示“乙学员赢得比赛”,

事件48,84表示“甲、乙两名学员各得1分”,

当甲、乙两名学员得分总数相同时,甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同,

所以P(M)=P(A4)•14-P(BB)-0+PQ4B)•

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