2025年高考数学模拟卷4（新高考专用）学生版+解析

2025年高考数学全真模拟卷04（新高考专用）

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第U卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2024•河南周口•模拟预测）已知复数z=（l+B\i为虚数单位，贝吻的虚部为（）

A.2iB.-2iC.2D.-2

2.（5分）（2024•天津和平・二模）若xeR,下列选项中，使“/<1”成立的一个必要不充分条件为（）

A.-2<%<1B.-1<%<1C.0<%<2D.-1<%<0

3.（5分）（2024.贵州贵阳.二模）已知向量日=（1,一2）范=（2,x）,若（3d-司〃@+2%则实数x=（）

A.2B.1C.0D.-4

4.（5分）（2024・四川达州.二模）下图是某地区2016-2023年旅游收入（单位:亿元）的条形图，则下列说法

错误的是（）

A.该地区2016-2019年旅游收入逐年递增

B.该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30

C.经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平

D.该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69

5.（5分）（2024・湖北.模拟预测）已知点P是直线x—y—m=0上的动点，由点P向圆0:/+/=1引切

线，切点分别为M,N且NMPN=90。，若满足以上条件的点P有且只有一个，则爪=（）

A.V2B.±V2C.2D.±2

6.（5分）（2024•青海西宁•二模）关于函数/'（%）»=4sin（3X+勿）（4>0,3>0,0<w<、,有下列四个

说法：①/（%）的最大值为3;②/（久）的相邻两个零点分别为功,%2>且有％—亚1=0③/（久）的图象上相

邻两个对称中心间的距离为去④/（©的图象关于直线X=g对称，若有且仅有一个说法是错误的，则/（以=

（）

A.--B.—C.--D.-

2222

7.（5分）（2024•陕西安康•模拟预测）在四棱锥P-4BCD中，△「/!£»为等边三角形，四边形4BCD为矩形，

且平面PAD1平面力BCD,则直线AC与平面PCD所成角的正弦值为（）

A.-B.—C.—D.1

222

8.（5分）（2024•陕西•模拟预测）函数/（汽）满足In%=:+夕,且均>e,x>+，（％2）=1，则f（%i%2）

1-/w2

的最小值为（）

51

A.eB.1C.-D.-

7e

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.（6分）（2024•黑龙江牡丹江•一模）已知（―20）为函数/O）=asin2x+cos2久的一个对称中心，则（）

A.a=gB.函数y=/（%—9为奇函数

C.曲线y=f（久）关于“="对称D.函数y=f（x）在（一■单调递增

10.（6分）（2024•黑龙江大庆.三模）已知点P（l,夜）是双曲线C:3/―f=1上一点，过p向双曲线的两

条渐近线作垂线，垂足分别为4B,则下列说法正确的是（）

A.双曲线的浙近线方程为y=±Wx

B.双曲线的焦点到渐近线的距离为1

C.\PA\­\PB\=l

D.APAB的面积为普

16

11.（6分）（2024.河北•二模）已知函数/⑺=x（e，+2）,gO）=（x+2）lnx,则下列说法正确的是（）

A.函数/（%）在R上单调递增

B.若对任意x>0,不等式/（ax）2/（In久2）恒成立，则实数a的最小值为:

C.函数g（x）在（0,+8）上存在极值点

D.若/■（久1）=。（外）=t（t>0）,则丫八的最大值为工

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）（2024•陕西榆林•模拟预测）已知在递增的等比数列｛斯｝中，（1遂2a3=1，-+-+-=L则

a32

数列｛即｝的通项公式为斯=.

13.（5分）（2024•湖南长沙•二模）已知2cos（2%+Dcos（%—巳）—cos3%=：,贝!Jcos（2%+；）=.

14.（5分）（2024.陕西榆林.模拟预测）已知曲线/（%）=/与g（%）=ln（ax）（a>0）有公共切线，则实数a

的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.（13分）（2024・陕西安康・模拟预测）在△ABC中，角的对边分别是a,仇c,tanC=（a-l）tan8.

（1）求证：bcosC=1；

（2）若Q=2,△ABC面积为1,求边c的长.

16.（15分）（2024•四川雅安•三模）已知函数/（%）=（a—1）%—2sin%.

⑴若函数/（%）有极值，求实数a的取值范围；

（2）若关于％的不等式/（%）+%（1+cosx）<0在冗E［。身上恒成立，求实数a的取值范围.

17.(15分)(2024•河南周口•模拟预测)如图，平行六面体力BCD-A/C/i中，底面48CD与平面4BGA

都是边长为2的菱形，4BCD=NBQDi=120°,侧面BCqB1的面积为咫.

(1)求平行六面体4BCD-&B1C1D1的体积；

(2)求平面BCG2与平面CDDiG的夹角的余弦直

18.(17分)(2024.辽宁锦州•模拟预测)甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分,

负者得0分，平局双方均得。分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已

知每局比赛中，甲获胜的概率为a,乙获胜的概率为0,两人平局的概率为y(a+0+y=l,a>O,£>O,y2

0),且每局比赛结果相互独立.

⑴若a=|,£=|,y=I，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；

(2)当y=0时，

(i)若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值；

(ii)若比赛不限制局数，求“甲学员赢得比赛”的概率(用a,£表示).

19.（17分）（2024•河南三门峡•模拟预测）设有穷数列4i（九22）的所有项之和为S,所有项的

绝对值之和为T,若数列/满足下列两个条件，则称其为九阶“0-1数列"：①S=0；②7=1.

⑴若2023阶"0—1数列"Aalta2,…，。2023是递减的等差数列，求。2023；

⑵若2k（kEN*）阶“0-1数歹！J”4aL%。2式々21）是等比数列，求”的通项公式时（1<n<2k,用几k表

示）；

（3）设71阶“0-1数列…，。式九N2）的前m项和为%0nG{1,2,3,…㈤）,若加G{1,23…，九}，使得

bm=-I，证明：数列&&,62，・“,勾622）不可能为九阶“0—1数列”.

2025年高考数学全真模拟卷04（新高考专用）

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2024•河南周口•模拟预测）已知复数z=（1+9、i为虚数单位，贝反的虚部为（）

A.2iB.-2iC.2D.-2

【解题思路】根据复数的除法和乘方的运算法则，结合复数虚部的定义进行求解即可.

【解答过程】（1+=（1一=（1一i）3=1+3X1?.（一。+3X1x（―i）2+（―i）3=l-3i-3+i=

-2―2i,

因此复数（1+1）3的虚部为一2.

故选：D.

2.（5分）（2024.天津和平.二模）若xeR,下列选项中，使“%2<1”成立的一个必要不充分条件为（）

A.-2<x<lB.-1<%<1C.0<%<2D.-1<%<0

【解题思路】根据题意，*2<1等价于—1<X<L若所求必要条件对应的范围为4,则（-1,1）A,由此

判断即可得到本题的答案.

【解答过程】不等式/<1等价于—1<x<l,

使<1”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为4,则（-1,1）是A的真子集，

由此对照各项，可知只有A项符合题意.

故选：A.

3.（5分）（2024.贵州贵阳.二模）已知向量日=（1,—2）,3=（2,x）,若（32-司〃但+2另），则实数久=（）

A.2B.1C.0D.-4

【解题思路】借助向量坐标运算与向量平行的坐标表示计算即可得.

【解答过程】32-3=（1,-6-x）,a+2b^（5,2万-2）,

由（30一.//5+2石）,则有1x（2x-2）-5x（-6-%）=0,

解得x=-4.

故选：D.

4.（5分）（2024・四川达州.二模）下图是某地区2016-2023年旅游收入（单位:亿元）的条形图，则下列说法

错误的是（）

A.该地区2016-2019年旅游收入逐年递增

B.该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30

C.经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平

D.该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69

【解题思路】根据中位数、极差的定义即可判断BD；结合图形，分析数据即可判断AC.

【解答过程】A：由图可知该地区2016-2019年旅游收入逐年递增，故A正确；

B：由图可知，2016-2023年旅游收入的中位数为型产=4.255亿元，故B错误；

C：从图表可知2023年旅游收入为4.91亿元，接近2018年的5.13亿元，故C正确；

D：2016-2023年旅游收入的极差是5.73-2.04=3.69亿元，故D正确.

故选:B.

5.（5分）（2024.湖北.模拟预测）已知点P是直线x—y—m=0上的动点，由点P向圆0:/+V=1引切

线，切点分别为M,N且NMPN=90。，若满足以上条件的点P有且只有一个，则爪=（）

A.V2B.±V2C.2D.±2

【解题思路】连接。M,ON,结合圆的切线性质可推得点P在以点。为圆心，夜为半径的圆C上，再由题意可

知该圆与直线x-y-m=0相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案.

【解答过程】连接。M,ON,贝1OM.PN1ON.

又4MPN=90°,OM=ON,所以四边形MPNO为正方形，:|PO|=&|0N|=VI,

于是点P在以点。为圆心，鱼为半径的圆C上.

又由满足条件的点P有且只有一个，则圆C与直线％-y-m=0相切，

所以点。到直线x-y-m=0的距离d=V2,翳=V2,解得m=±2.

故选：D.

6.（5分）（2024•青海西宁•二模）关于函数f（x）=4sin（3x+9）（4>0,3>0,0<9<小，有下列四个

说法：①f（x）的最大值为3；②f（x）的相邻两个零点分别为久1，久2,且有山-久2l=n；③/（久）的图象上相

邻两个对称中心间的距离为次④/（©的图象关于直线x=g对称，若有且仅有一个说法是错误的,则建）=

（）

A.--B.—C.--D.-

2222

【解题思路】根据题意，由条件可得②和③相互矛盾，然后分别验证①②④成立时与①③④成立时的结论,

即可得到结果.

【解答过程】说法②可得《=工=71,得到3=1,说法③可得?=工=9则3=2,②和③相互矛盾；

2Cd232

当①②④成立时，由题意/=3,a）=l,]+0=2Mi+；,kEZ.

因为9€（0彳），令k=0,得到0=,

所以/'（%）=3sin（X+J得到/（；）=3sin（^+，）=3siny=

说法①③④成立时，由题意/=3,3=2,y4-=2/CTT+pkEZ,

则0=2/cn—：C（0,9,故不合题意.

故选：B.

7.(5分)(2024•陕西安康•模拟预测)在四棱锥P-4BCD中，△PAD为等边三角形，四边形2BCD为矩形,

且=平面P力。1平面ABC。，则直线AC与平面PCD所成角的正弦值为()

【解题思路】取M为P。的中点，先证明4Ml平面PCD,得乙4cM为所求线面角，由边长间的关系求正弦值.

【解答过程】平面P4D_L平面4BCD,又平面PADC平面2BCD=AD,

CDu平面4BCD,CDLAD,贝。CD_L平面PAD,

又CDu平面PCD,故平面PCD1平面PAD,

取PD的中点M,连接AM,CM,如图所示，

平面PCDCl平面PAD=PD,平面AMu平面PAD,

△PAD为等边三角形，贝!MM1PD,故4M1平面PCD,

则直线AC与平面PCD所成角即为aACM,

令BC=a,贝!]28=缶，AC=V3a,AM=^-a,

故sin/ACM=—=

AC2

故选：A.

8.(5分)(2024.陕西.模拟预测)函数f(%)满足In%=叱咒且%i>e,x>eJOJ+f(x)=1，则/(%i%2)

i-/w22

的最小值为()

5I

A.eB.1C.-D.-

7e

【解题思路】通过解方程可得f(%)的解析式,由/(%i)+/(x2)=1化简可得In%1•ln%2=1noi•汽2)+3,

结合基本不等式可得InQq•*2)26,运用分离常数法化简可得/(右物)=1--2进而可得其最小值.

【解答过程】因为也”=含器，所以Inx-lnx"(x)-l-f(x)=0,即f(%)=黑|，

又因为〃久1)+/。2)=1，

--2

p-rr।InXi-1,lnx2l4口门(ln%Ll)(ln%2+l)+(ln%2-l)(ln%i+l)21nx1lnx24

j/TKAI--1,及~1,

InXi+llnx2+l(lnx1+l)(lnx2+l)(In%1+1)(lnx2+1)

所以In%1•ln%2=In(久i•%2)+3,

因为%i>e,x2>e,所以In%]>1,lnx2>1，

所以In与•Inx2=ln(x「犯)+3W

整理得ln2(%i•x2)—41ri(%i•x2)—12>0,

解得ln(%i•%2)N6或ln(%i•&)<-2(舍)，

所以“中2)=，产;=1--2一=当且仅当『户=即的1=工2=e3时取等号.

，'，1noi%2)+lln(x1-x2)+l6+17(In(%1-X2)=6”

故/01%2)的最小值为2

故选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.(6分)(2024•黑龙江牡丹江•一模)已知(一,0)为函数/(")=asin2x+cos2久的一个对称中心，则()

A.a=V3B.函数y=f(久一习为奇函数

C.曲线y=/(x)关于x=*j'称D.函数y=/(£)在单调递增

【解题思路】根据对称可得a=手，即可由辅助角公式求解f(x)=^sin9x+f,结合选项，即可逐一代

入求解.

【解答过程】解：因为0)为函数f(久)=asin2久+cos2x的一个对称中心,

所以f(Y)=asin2(-勺+cos2(-力=0,

即一苧a+1=0,解得Q=苧，故A错误；

所以/(汽)=sin2x+cos2x=学sin(2%+三)，

y=/(%-J=誓sin(2%-^+三)=^sin2%,显然为奇函数，故B正确;

fU=Vsin(2x+=VsinT=-sinT='是取小值，

所以曲线y=/(x)关于x=^对称，故C正确；

当xe（—监4）时，2%+=e（-p=）,所以函数y=/（x）在（―,吟）单调递增，故D正确.

故选：BCD.

10.（6分）（2024.黑龙江大庆.三模）已知点P（l,a）是双曲线C:3——f=1上一点，过p向双曲线的两

条渐近线作垂线，垂足分别为4B,则下列说法正确的是（）

A.双曲线的浙近线方程为y=±Wx

B.双曲线的焦点到渐近线的距离为1

C.\PA\­\PB\=l

D.APAB的面积为经

16

【解题思路】首先根据双曲线方程求渐近线方程，判断A,再根据点到直线的距离判断BC,最后根据几何

关系，求乙4PB,再代入面积公式，即可求解.

【解答过程】因为双曲线的方程为C:3/—V=1,所以。=孚,b=i,所以双曲线的渐近线方程为y=

+-x=士百%.故A正确；

a

双曲线的右焦点（言,0）到渐近线y=bx的距离为d=1=1，故B正确；

由点到直线的距离公式可得伊川•\PB\=喀回xM竽=[.故C错误.

如图，因为K（M=百，所以乙4。乂=60。.在和AOBD中，APAD=AOBD=90°,

/.PDA=AODB,所以N4PD=NBOD=60。，所以

SAPAB=1x|P*.|PB|sin60。=5x：x¥=t，故D正确.

zz4Zlo

故选：ABD.

11.（6分）（2024.河北.二模）已知函数f（%）=%（e"+2）,g（%）=（%+2）ln%,则下列说法正确的是（）

A.函数/（%）在R上单调递增

B.若对任意%>0,不等式/（a%）>/（In/）恒成立，则实数a的最小值为|

C.函数g(%)在(0,+8)上存在极值点

D.若/(%i)=g(%2)=>0),则一餐木的最大值为工

【解题思路】对于A,直接求得单调区间即可；对于BCD,构造函数，研究函数的最值即可.

【解答过程】对于A,f(x)的定义域为R,f'(x)=(x+l)e，+2,令m(x)=尸(x),

则m'(x)=(%+2)e”,,,.当xe(—8,—2)时，mr(x)<0；

当x£(-2,+8)时,m'(x)>0,m(x)即尸(x)在(-8,-2)上单调递减,

在(—2,+8)上单调递增，

・,•/'(%)>尸(-2)=-e—2+2=2-2>0,.・•/(%)在R上单调递增，故A正确；

2

对于B,由A知/(%)在R上单调递增，由/(a%)>/(In/)得Q%>Inx,则当％>0时，a>哈=手，令八(%)=

一^,则加(%)=2a)2;•当％W(0,e)时，h'{x)>0；当％e(e,+8)时，”(%)<0,h(x)在(0,e)上单调递增，

在(e,+8)上单调递减，.•・%(%)max=Me)=：,.•.a之：，即。的最小值为j故B正确；

对于C,g(%)的定义域为(0,+8),g，(%)=In%+平=Inx+|+1,令?i(%)=g'(%),

则4(%)=工一2=二,•.•当％E(。，2)时，"(%)V0；当％6(2,+8)时，

nA(x)>0;几(%)即g'Cr)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

・•・g'(x)之“(2)=ln2+2>0,g(%)在(0,+8)上单调递增，无极值点，故C错误；

对于D,若/(%i)=9(久2)=>0)，

则久i(e%i+2)=(x2+2)lnx2=v/(0)=0,^(1)=0,t>0,

由AC知：均为定义域上的增函数，，4>0,x2>1,

X1X1X1

由％i(e*i+2)=(x2+2)ln第2得久i(e*i+2)=(e+2)lne=(x2+2)lnx2,*'-x2=e,%(，+2)=

f

X=T令P(t)=T,则p'(t)=8二•,•当tG(0,e)时,p'(t)>0；

1(e二，十片zjLi-c

当tE(e,+8)时，p，(t)v0,・•・p(t)在(0,e)上单调递增,在(e,+8)上单调递减，

P(t)max=P(e)=即的最大值为《故D正确.

故选：ABD.

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）（2024•陕西榆林•模拟预测）已知在递增的等比数列｛&J中，a1a2a3=1,-+-+-=J,则

0-10-32

数列｛厮｝的通项公式为即=2n-2（nEN*）.

。1。3=1

｛工+2=”解出的值的,。3,

Oia32

即可求出公比，得出通项.

【解答过程】设等比数列｛%J的公比为分因为的a2a3=1，所以谒=1，解得。2=1，

（CL-xClo—1

又三+2+工=彳，所以有1,1-5,

由｛斯｝是递增的等比数列，解得由=|,。3=2,

所以q=£=2,即有a“=［x2nT=27l-2.

故答案为：2n-2（n&N*y

13.（5分）（2024.湖南长沙.二模）已知2cos（2x+①cos—自一cos3x=｝，贝ijcos（2x+.

【解题思路】由3x=（2x+［）+（x—3结合两角和的余弦公式化简条件可求得cos（x+媒，再利用二

倍角的余弦公式求cos（2x+§即可.

【解答过程】因为2cos（2x+E）cos（x-巳）-cos3x=%

所以2cos（2x+己）cos（x--cos［（2%+自+1一自］=；，

所以cos（2x+gcos（x—已）+sin（2x+Jsin（x—己）=

所以cos（%+］）=（

所以cos（2x+］）=2cos2（x+：）-1=-.

故答案为：-1

o

14.（5分）（2024•陕西榆林•模拟预测）已知曲线/（x）=/与g（x）=ln（ax）（a>0）有公共切线，则实数a

的最大值为伍.

【解题思路】先设出切点，求导得到切线方程，斜率截距对应相等，得到1-Ina=总+Ing,构造函数Mx）=

A+ln%,转化为存在性问题，最终求最值即可.

nax

【解答过程】设曲线/（X）=/与g（x）=In（ax）（a>0）的切点分别为（%],好），（x2-l（2））»

:/'(x)=2x,g'(%)=:・k1=2%],k2—

Ay—xl=2xr(%—y—ln(a%2)=—x2)

7cl

2%-i-1i

%2,--+ln(d%2)—1=0,即1—Ina=—4-ln%2,

4%2

、好+ln(ax2)—1=0轨2

令h(%)=+In%,则h'(%)=2x-r

当。<x<争寸，》（%）<0,单调递减；当%〉g时，》（汽）>0,h（%）单调递增,

.,•/i(x)>h(y)=^+ln^即1—Ina>|+In即Ina<lnV2e,即0<a4V2e.

故答案为：库.

四、解答题：本题共5小题,共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.（13分）（2024•陕西安康•模拟预测）在AABC中，角的对边分别是a,b,c,tanC=（a—l）tanB.

(1)求证:bcosC=1；

（2）若a=2,AaBC面积为1,求边c的长.

【解题思路】（1）根据题中等式利用同角三角函数商关系公式，两角和的正弦公式，三角和内角和定理,

正弦定理化简得到结果;

（2）利用（1）的结果计算sinC=,再利用三角形面积公式计算出a,从最后利用余弦定理计算出c；

【解答过程】（1）证明：根据tanC=（a—l）tanB,以及tanC='吧，tanB='世

cosCcosB

得=(0-sinCcosB=(a—l)cosCsinB.

所以acosCsinB=sinCcosB+cosCsinB,即acosCsinB=sin(C+B),

根据8+C=TT—4得sin(C+B)=sin/.

所以acosCsinB=sin/,

由正弦定理，得abcosC=a,因此bcosC=1.

-1

⑵由⑴知，cosC「，sinC=

2

SLABC=(absinC=b=Vfo—1=1,

所以炉=2,得b=yj2,cosC=亨,

又。=2,

所以由余弦定理得c=y/a2+b2—2abcosC=^4+2—2x2xV2Xy=V2.

16.(15分)(2024•四川雅安•三模)已知函数/(%)=(a—1)%—2sin%.

(1)若函数/(%)有极值，求实数a的取值范围；

(2)若关于％的不等式/(%)+x(l+cosx)<0在％E身上恒成立，求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)先对函数求导，分类讨论研究函数的单调性，结合函数单调性与极值的关系即可求解.

(2)由已知变形为2sin%—xcosx—ax>0恒成立，构造函数九(久)=2sinx—xcosx—ax,xG[。身，分类讨

论研究函数的单调性，利用最值列不等式求解即可.

【解答过程】(1)依题意，/A(x)=a—1—2cosx,令尸(第)=0,得a=1+2cos;r,

因为1+2cos%£所以当。4一1时，/'(%)40,/(%)在R上单调递减；

当a>3时，/'(%)>0,故/(%)在R上单调递增；

当一l<aV3时，((%)=0有变号零点，此时函数/(%)存在极值；

综上a6(—1,3).

(2)依题意，由/(汽)+x(l+cosx)<0,

得(a—1)%—2sinx+x(l+cosx)<0,即2sin%—xcosx—ax>0,

设h(%)=2sinx—xcosx-ax,xE[o,1],

贝=2cos%—cosx+xsinx—a=cos%+xsinx—a,

设=cosx+xsinx—a,贝！=xcosx,

当久E[o)；]时，mz(x)>0,m(%)单调递增；

所以在％e[o上，"(%)<八'0=]—a，且"(0)=1—a,

当]—a<0,即a>多寸，h/(x)>0,九(汽)在[0/n]上单调递减，

则h(%)</i(0)=0,不符合题意，舍去，

当;一a>0,即时，

(i)若1—a<0,即1VaV

三久0€(04)，使得九Go)=0,当OV%V%o时，//(%())V0,%(%)在(O,%。)内单调递减，/i(x)</i(0)=0,

不符合题意，舍去,

(ii)若1—aN0,即a<1,h.'(x)>0恒成立,

h(x)在xe[oj]上单调递增，则h(x)2h(0)=0,符合题意.

综上，实数a的取值范围为(—8,1].

17.(15分)(2024•河南周口•模拟预测)如图，平行六面体力BCD-4送16。1中，底面力BCD与平面ABCi/

都是边长为2的菱形，Z-BCD=N8QD1=120°,侧面BCC/i的面积为/区.

(1)求平行六面体力BCD-4/1的£>1的体积；

(2)求平面BCQBi与平面CDDiG的夹角的余弦值.

【解题思路】(1)连接4C,4的，根据菱形的性质、余弦定理，结合线面垂直的判定定理、三角形面积公

式、棱柱的体积公式进行求解即可；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【解答过程】(1)连接4C,AQ,

因为底面4BCD与平面均为菱形，且/BCD=LBCR=120°,

所以△43。与448Q均为等边三角形，

取A8的中点。，连接OC,OQ,贝。。C1AB,0cli48,则。C=。的=百，

因为侧面BCQZ的面积为后，

所以△BCG1的面积为手，则如2x2sinNCBG=?，

所以sin/CBG=乎，则cos/CBCi=i

在ABCCi中，CC^=22+22-2x2x2x=6,贝ijCC1=①，

所以。+。番=ccf,所以。CiOQ.

因为48C0C=0,AB.OCa^^ABCD,

所以。的1平面ABCD,

故平行六面体48CD-4/停1。1的体积^=SABCD•。6=2X2sin60°x次=6.

(2)由(1)可知，4B,0C,0G两两垂直，以。为原点，以。B,OC,OG所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建

立如图所示的空间直角坐标系。-xyz.

贝C(0,A/3,0),Ci(0,0,V3),D(-2,V3,0),

BC=(-l,V3,0),CC;=(0,-V3,V3),C5=(-2,0,0),

设平面BCG4的法向量为沅=Oi，yi，zi),

由伴「U得［若+册L*取以=L则沅=(迎LD

\<CC1-m=0,1―V3yl+V3zi=0,

设平面CDDiC的法向量为日=(x2,y2,z2),,

由［空工=0,得，屋铲取1,则完

2

［CG•元=0,t-V3y2+A/3Z2=0,

设平面BCQB］与平面CDDiG的夹角为

所以cos。=|cos(m,n)|—誓.

18.(17分)(2024.辽宁锦州•模拟预测)甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分,

负者得0分，平局双方均得。分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已

知每局比赛中，甲获胜的概率为a,乙获胜的概率为0,两人平局的概率为y(a+0+y=l,a>O,£>O,y2

0),且每局比赛结果相互独立.

(1)若a=|，S=|,y=3求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；

(2)当y=。时，

(i)若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值；

(ii)若比赛不限制局数，求“甲学员赢得比赛”的概率(用a,£表示).

【解题思路】(1)用事件4B,C分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，“平局”，记“进行4局比赛后甲学

员赢得比赛”为事件N,则事件N包括事件：力444,4CC4C4C4CC44共5种，即可求解；

(2)(i)由题意得X的所有可能取值为：2,4,5,求出对应的概率，列出分布列及求出数学期望，并求出最

大值；

(ii)由(1)得前两局比赛结果可能有：AA,BB,AB,BA,其中事件A4表示“甲学员赢得比赛”，事件表示

“乙学员赢得比赛“，事件力表示“甲、乙两名学员各得1分”，当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学

员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同，所以P(M)=P(4A)•1+P(BB)•0+PQ4B)•

P(M)+P(B4)•P(M)即可求解.

【解答过程】(1)用事件4B,C分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，“平局”，

则P(4)=a=|,P(B)=S=I，P(C)=y=p

记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N,

则事件N包括事件：ABAA,BAAA.ACCA,CACA,CCAA^5种，

所以P(N)=P{ABAA)+P(BAAA)+P(ACCA)+P{CACA)+P{CCAA)

=2P(B)PQ4)PG4)PQ4)+3P(C)P(C)P(A)P(A)

(2)(i)因为y=0,所以每局比赛结果仅有“甲获胜''和"乙获胜”，即a+0=l,

由题意得X的所有可能取值为：2,4,5,

P(X=2)=a2+俨,

P(X=4)=(a0+pa)a2+(a。+0a)倍=2a队心+伊)，

P(X=5)=(a/?+0a)•(必+Ba)-1=4a?俨，

所以X的分布列为：

X245

pa2+俨2aBice2+仃)4a2严

所以X的期望为：

E(X)=2(a2+r)+8as(a?+>)+20a2/?2

=2(1-2a£)+8as(1-2邓)+20a2s2

=4a2优+4a0+2

因为a+/?=122Ja。,所以

等号成立时，a=8=*所以O<a0w}

所以E(X)=4a2俨+4a/?+2=(2a£+I)2+1<(2xi+l)2+1=y,

故E(X)的最大值为：y.

22

(ii)记“甲学员赢得比赛”为事件M,则P(M)=』=』，

由(1)得前两局比赛结果可能有：AA,BB,AB,BA,

其中事件A4表示，，甲学员赢得比赛，，，事件BB表示“乙学员赢得比赛”，

事件48,84表示“甲、乙两名学员各得1分”，

当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同，

所以P(M)=P(A4)•14-P(BB)-0+PQ4B)•