




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
2025年高考数学全真模拟卷04(新高考专用)
(考试时间:120分钟;满分:150分)
注意事项:
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写
在答题卡上。
2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用
橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第U卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(选择题)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要
求的。
1.(5分)(2024•河南周口•模拟预测)已知复数z=(l+B\i为虚数单位,贝吻的虚部为()
A.2iB.-2iC.2D.-2
2.(5分)(2024•天津和平・二模)若xeR,下列选项中,使“/<1”成立的一个必要不充分条件为()
A.-2<%<1B.-1<%<1C.0<%<2D.-1<%<0
3.(5分)(2024.贵州贵阳.二模)已知向量日=(1,一2)范=(2,x),若(3d-司〃@+2%则实数x=()
A.2B.1C.0D.-4
4.(5分)(2024・四川达州.二模)下图是某地区2016-2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图,则下列说法
错误的是()
A.该地区2016-2019年旅游收入逐年递增
B.该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30
C.经历了疫情之后,该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平
D.该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69
5.(5分)(2024・湖北.模拟预测)已知点P是直线x—y—m=0上的动点,由点P向圆0:/+/=1引切
线,切点分别为M,N且NMPN=90。,若满足以上条件的点P有且只有一个,则爪=()
A.V2B.±V2C.2D.±2
6.(5分)(2024•青海西宁•二模)关于函数/'(%)»=4sin(3X+勿)(4>0,3>0,0<w<、,有下列四个
说法:①/(%)的最大值为3;②/(久)的相邻两个零点分别为功,%2>且有%—亚1=0③/(久)的图象上相
邻两个对称中心间的距离为去④/(©的图象关于直线X=g对称,若有且仅有一个说法是错误的,则/(以=
()
A.--B.—C.--D.-
2222
7.(5分)(2024•陕西安康•模拟预测)在四棱锥P-4BCD中,△「/!£»为等边三角形,四边形4BCD为矩形,
且平面PAD1平面力BCD,则直线AC与平面PCD所成角的正弦值为()
A.-B.—C.—D.1
222
8.(5分)(2024•陕西•模拟预测)函数/(汽)满足In%=:+夕,且均>e,x>+,(%2)=1,则f(%i%2)
1-/w2
的最小值为()
51
A.eB.1C.-D.-
7e
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的
要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得。分。
9.(6分)(2024•黑龙江牡丹江•一模)已知(―20)为函数/O)=asin2x+cos2久的一个对称中心,则()
A.a=gB.函数y=/(%—9为奇函数
C.曲线y=f(久)关于“="对称D.函数y=f(x)在(一■单调递增
10.(6分)(2024•黑龙江大庆.三模)已知点P(l,夜)是双曲线C:3/―f=1上一点,过p向双曲线的两
条渐近线作垂线,垂足分别为4B,则下列说法正确的是()
A.双曲线的浙近线方程为y=±Wx
B.双曲线的焦点到渐近线的距离为1
C.\PA\\PB\=l
D.APAB的面积为普
16
11.(6分)(2024.河北•二模)已知函数/⑺=x(e,+2),gO)=(x+2)lnx,则下列说法正确的是()
A.函数/(%)在R上单调递增
B.若对任意x>0,不等式/(ax)2/(In久2)恒成立,则实数a的最小值为:
C.函数g(x)在(0,+8)上存在极值点
D.若/■(久1)=。(外)=t(t>0),则丫八的最大值为工
第II卷(非选择题)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.(5分)(2024•陕西榆林•模拟预测)已知在递增的等比数列{斯}中,(1遂2a3=1,-+-+-=L则
a32
数列{即}的通项公式为斯=.
13.(5分)(2024•湖南长沙•二模)已知2cos(2%+Dcos(%—巳)—cos3%=:,贝!Jcos(2%+;)=.
14.(5分)(2024.陕西榆林.模拟预测)已知曲线/(%)=/与g(%)=ln(ax)(a>0)有公共切线,则实数a
的最大值为.
四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15.(13分)(2024・陕西安康・模拟预测)在△ABC中,角的对边分别是a,仇c,tanC=(a-l)tan8.
(1)求证:bcosC=1;
(2)若Q=2,△ABC面积为1,求边c的长.
16.(15分)(2024•四川雅安•三模)已知函数/(%)=(a—1)%—2sin%.
⑴若函数/(%)有极值,求实数a的取值范围;
(2)若关于%的不等式/(%)+%(1+cosx)<0在冗E[。身上恒成立,求实数a的取值范围.
17.(15分)(2024•河南周口•模拟预测)如图,平行六面体力BCD-A/C/i中,底面48CD与平面4BGA
都是边长为2的菱形,4BCD=NBQDi=120°,侧面BCqB1的面积为咫.
(1)求平行六面体4BCD-&B1C1D1的体积;
(2)求平面BCG2与平面CDDiG的夹角的余弦直
18.(17分)(2024.辽宁锦州•模拟预测)甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛,规定每局比赛胜者得1分,
负者得0分,平局双方均得。分,比赛一直进行到一方比另一方多两分为止,多得两分的一方赢得比赛.已
知每局比赛中,甲获胜的概率为a,乙获胜的概率为0,两人平局的概率为y(a+0+y=l,a>O,£>O,y2
0),且每局比赛结果相互独立.
⑴若a=|,£=|,y=I,求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率;
(2)当y=0时,
(i)若比赛最多进行5局,求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值;
(ii)若比赛不限制局数,求“甲学员赢得比赛”的概率(用a,£表示).
19.(17分)(2024•河南三门峡•模拟预测)设有穷数列4i(九22)的所有项之和为S,所有项的
绝对值之和为T,若数列/满足下列两个条件,则称其为九阶“0-1数列":①S=0;②7=1.
⑴若2023阶"0—1数列"Aalta2,…,。2023是递减的等差数列,求。2023;
⑵若2k(kEN*)阶“0-1数歹!J”4aL%。2式々21)是等比数列,求”的通项公式时(1<n<2k,用几k表
示);
(3)设71阶“0-1数列…,。式九N2)的前m项和为%0nG{1,2,3,…㈤),若加G{1,23…,九},使得
bm=-I,证明:数列&&,62,・“,勾622)不可能为九阶“0—1数列”.
2025年高考数学全真模拟卷04(新高考专用)
(考试时间:120分钟;满分:150分)
注意事项:
1.本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写
在答题卡上。
2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用
橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(选择题)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要
求的。
1.(5分)(2024•河南周口•模拟预测)已知复数z=(1+9、i为虚数单位,贝反的虚部为()
A.2iB.-2iC.2D.-2
【解题思路】根据复数的除法和乘方的运算法则,结合复数虚部的定义进行求解即可.
【解答过程】(1+=(1一=(1一i)3=1+3X1?.(一。+3X1x(―i)2+(―i)3=l-3i-3+i=
-2―2i,
因此复数(1+1)3的虚部为一2.
故选:D.
2.(5分)(2024.天津和平.二模)若xeR,下列选项中,使“%2<1”成立的一个必要不充分条件为()
A.-2<x<lB.-1<%<1C.0<%<2D.-1<%<0
【解题思路】根据题意,*2<1等价于—1<X<L若所求必要条件对应的范围为4,则(-1,1)A,由此
判断即可得到本题的答案.
【解答过程】不等式/<1等价于—1<x<l,
使<1”成立的一个必要不充分条件,对应的集合为4,则(-1,1)是A的真子集,
由此对照各项,可知只有A项符合题意.
故选:A.
3.(5分)(2024.贵州贵阳.二模)已知向量日=(1,—2),3=(2,x),若(32-司〃但+2另),则实数久=()
A.2B.1C.0D.-4
【解题思路】借助向量坐标运算与向量平行的坐标表示计算即可得.
【解答过程】32-3=(1,-6-x),a+2b^(5,2万-2),
由(30一.//5+2石),则有1x(2x-2)-5x(-6-%)=0,
解得x=-4.
故选:D.
4.(5分)(2024・四川达州.二模)下图是某地区2016-2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图,则下列说法
错误的是()
A.该地区2016-2019年旅游收入逐年递增
B.该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30
C.经历了疫情之后,该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平
D.该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69
【解题思路】根据中位数、极差的定义即可判断BD;结合图形,分析数据即可判断AC.
【解答过程】A:由图可知该地区2016-2019年旅游收入逐年递增,故A正确;
B:由图可知,2016-2023年旅游收入的中位数为型产=4.255亿元,故B错误;
C:从图表可知2023年旅游收入为4.91亿元,接近2018年的5.13亿元,故C正确;
D:2016-2023年旅游收入的极差是5.73-2.04=3.69亿元,故D正确.
故选:B.
5.(5分)(2024.湖北.模拟预测)已知点P是直线x—y—m=0上的动点,由点P向圆0:/+V=1引切
线,切点分别为M,N且NMPN=90。,若满足以上条件的点P有且只有一个,则爪=()
A.V2B.±V2C.2D.±2
【解题思路】连接。M,ON,结合圆的切线性质可推得点P在以点。为圆心,夜为半径的圆C上,再由题意可
知该圆与直线x-y-m=0相切,利用点到直线的距离公式,即可求得答案.
【解答过程】连接。M,ON,贝1OM.PN1ON.
又4MPN=90°,OM=ON,所以四边形MPNO为正方形,:|PO|=&|0N|=VI,
于是点P在以点。为圆心,鱼为半径的圆C上.
又由满足条件的点P有且只有一个,则圆C与直线%-y-m=0相切,
所以点。到直线x-y-m=0的距离d=V2,翳=V2,解得m=±2.
故选:D.
6.(5分)(2024•青海西宁•二模)关于函数f(x)=4sin(3x+9)(4>0,3>0,0<9<小,有下列四个
说法:①f(x)的最大值为3;②f(x)的相邻两个零点分别为久1,久2,且有山-久2l=n;③/(久)的图象上相
邻两个对称中心间的距离为次④/(©的图象关于直线x=g对称,若有且仅有一个说法是错误的,则建)=
()
A.--B.—C.--D.-
2222
【解题思路】根据题意,由条件可得②和③相互矛盾,然后分别验证①②④成立时与①③④成立时的结论,
即可得到结果.
【解答过程】说法②可得《=工=71,得到3=1,说法③可得?=工=9则3=2,②和③相互矛盾;
2Cd232
当①②④成立时,由题意/=3,a)=l,]+0=2Mi+;,kEZ.
因为9€(0彳),令k=0,得到0=,
所以/'(%)=3sin(X+J得到/(;)=3sin(^+,)=3siny=
说法①③④成立时,由题意/=3,3=2,y4-=2/CTT+pkEZ,
则0=2/cn—:C(0,9,故不合题意.
故选:B.
7.(5分)(2024•陕西安康•模拟预测)在四棱锥P-4BCD中,△PAD为等边三角形,四边形2BCD为矩形,
且=平面P力。1平面ABC。,则直线AC与平面PCD所成角的正弦值为()
【解题思路】取M为P。的中点,先证明4Ml平面PCD,得乙4cM为所求线面角,由边长间的关系求正弦值.
【解答过程】平面P4D_L平面4BCD,又平面PADC平面2BCD=AD,
CDu平面4BCD,CDLAD,贝。CD_L平面PAD,
又CDu平面PCD,故平面PCD1平面PAD,
取PD的中点M,连接AM,CM,如图所示,
平面PCDCl平面PAD=PD,平面AMu平面PAD,
△PAD为等边三角形,贝!MM1PD,故4M1平面PCD,
则直线AC与平面PCD所成角即为aACM,
令BC=a,贝!]28=缶,AC=V3a,AM=^-a,
故sin/ACM=—=
AC2
故选:A.
8.(5分)(2024.陕西.模拟预测)函数f(%)满足In%=叱咒且%i>e,x>eJOJ+f(x)=1,则/(%i%2)
i-/w22
的最小值为()
5I
A.eB.1C.-D.-
7e
【解题思路】通过解方程可得f(%)的解析式,由/(%i)+/(x2)=1化简可得In%1•ln%2=1noi•汽2)+3,
结合基本不等式可得InQq•*2)26,运用分离常数法化简可得/(右物)=1--2进而可得其最小值.
【解答过程】因为也”=含器,所以Inx-lnx"(x)-l-f(x)=0,即f(%)=黑|,
又因为〃久1)+/。2)=1,
--2
p-rr।InXi-1,lnx2l4口门(ln%Ll)(ln%2+l)+(ln%2-l)(ln%i+l)21nx1lnx24
j/TKAI--1,及~1,
InXi+llnx2+l(lnx1+l)(lnx2+l)(In%1+1)(lnx2+1)
所以In%1•ln%2=In(久i•%2)+3,
因为%i>e,x2>e,所以In%]>1,lnx2>1,
所以In与•Inx2=ln(x「犯)+3W
整理得ln2(%i•x2)—41ri(%i•x2)—12>0,
解得ln(%i•%2)N6或ln(%i•&)<-2(舍),
所以“中2)=,产;=1--2一=当且仅当『户=即的1=工2=e3时取等号.
,',1noi%2)+lln(x1-x2)+l6+17(In(%1-X2)=6”
故/01%2)的最小值为2
故选:C.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的
要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得。分。
9.(6分)(2024•黑龙江牡丹江•一模)已知(一,0)为函数/(")=asin2x+cos2久的一个对称中心,则()
A.a=V3B.函数y=f(久一习为奇函数
C.曲线y=/(x)关于x=*j'称D.函数y=/(£)在单调递增
【解题思路】根据对称可得a=手,即可由辅助角公式求解f(x)=^sin9x+f,结合选项,即可逐一代
入求解.
【解答过程】解:因为0)为函数f(久)=asin2久+cos2x的一个对称中心,
所以f(Y)=asin2(-勺+cos2(-力=0,
即一苧a+1=0,解得Q=苧,故A错误;
所以/(汽)=sin2x+cos2x=学sin(2%+三),
y=/(%-J=誓sin(2%-^+三)=^sin2%,显然为奇函数,故B正确;
fU=Vsin(2x+=VsinT=-sinT='是取小值,
所以曲线y=/(x)关于x=^对称,故C正确;
当xe(—监4)时,2%+=e(-p=),所以函数y=/(x)在(―,吟)单调递增,故D正确.
故选:BCD.
10.(6分)(2024.黑龙江大庆.三模)已知点P(l,a)是双曲线C:3——f=1上一点,过p向双曲线的两
条渐近线作垂线,垂足分别为4B,则下列说法正确的是()
A.双曲线的浙近线方程为y=±Wx
B.双曲线的焦点到渐近线的距离为1
C.\PA\\PB\=l
D.APAB的面积为经
16
【解题思路】首先根据双曲线方程求渐近线方程,判断A,再根据点到直线的距离判断BC,最后根据几何
关系,求乙4PB,再代入面积公式,即可求解.
【解答过程】因为双曲线的方程为C:3/—V=1,所以。=孚,b=i,所以双曲线的渐近线方程为y=
+-x=士百%.故A正确;
a
双曲线的右焦点(言,0)到渐近线y=bx的距离为d=1=1,故B正确;
由点到直线的距离公式可得伊川•\PB\=喀回xM竽=[.故C错误.
如图,因为K(M=百,所以乙4。乂=60。.在和AOBD中,APAD=AOBD=90°,
/.PDA=AODB,所以N4PD=NBOD=60。,所以
SAPAB=1x|P*.|PB|sin60。=5x:x¥=t,故D正确.
zz4Zlo
故选:ABD.
11.(6分)(2024.河北.二模)已知函数f(%)=%(e"+2),g(%)=(%+2)ln%,则下列说法正确的是()
A.函数/(%)在R上单调递增
B.若对任意%>0,不等式/(a%)>/(In/)恒成立,则实数a的最小值为|
C.函数g(%)在(0,+8)上存在极值点
D.若/(%i)=g(%2)=>0),则一餐木的最大值为工
【解题思路】对于A,直接求得单调区间即可;对于BCD,构造函数,研究函数的最值即可.
【解答过程】对于A,f(x)的定义域为R,f'(x)=(x+l)e,+2,令m(x)=尸(x),
则m'(x)=(%+2)e”,,,.当xe(—8,—2)时,mr(x)<0;
当x£(-2,+8)时,m'(x)>0,m(x)即尸(x)在(-8,-2)上单调递减,
在(—2,+8)上单调递增,
・,•/'(%)>尸(-2)=-e—2+2=2-2>0,.・•/(%)在R上单调递增,故A正确;
2
对于B,由A知/(%)在R上单调递增,由/(a%)>/(In/)得Q%>Inx,则当%>0时,a>哈=手,令八(%)=
一^,则加(%)=2a)2;•当%W(0,e)时,h'{x)>0;当%e(e,+8)时,”(%)<0,h(x)在(0,e)上单调递增,
在(e,+8)上单调递减,.•・%(%)max=Me)=:,.•.a之:,即。的最小值为j故B正确;
对于C,g(%)的定义域为(0,+8),g,(%)=In%+平=Inx+|+1,令?i(%)=g'(%),
则4(%)=工一2=二,•.•当%E(。,2)时,"(%)V0;当%6(2,+8)时,
nA(x)>0;几(%)即g'Cr)在(0,2)上单调递减,在(2,+8)上单调递增,
・•・g'(x)之“(2)=ln2+2>0,g(%)在(0,+8)上单调递增,无极值点,故C错误;
对于D,若/(%i)=9(久2)=>0),
则久i(e%i+2)=(x2+2)lnx2=v/(0)=0,^(1)=0,t>0,
由AC知:均为定义域上的增函数,,4>0,x2>1,
X1X1X1
由%i(e*i+2)=(x2+2)ln第2得久i(e*i+2)=(e+2)lne=(x2+2)lnx2,*'-x2=e,%(,+2)=
f
X=T令P(t)=T,则p'(t)=8二•,•当tG(0,e)时,p'(t)>0;
1(e二,十片zjLi-c
当tE(e,+8)时,p,(t)v0,・•・p(t)在(0,e)上单调递增,在(e,+8)上单调递减,
P(t)max=P(e)=即的最大值为《故D正确.
故选:ABD.
第n卷(非选择题)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.(5分)(2024•陕西榆林•模拟预测)已知在递增的等比数列{&J中,a1a2a3=1,-+-+-=J,则
0-10-32
数列{厮}的通项公式为即=2n-2(nEN*).
。1。3=1
{工+2=”解出的值的,。3,
Oia32
即可求出公比,得出通项.
【解答过程】设等比数列{%J的公比为分因为的a2a3=1,所以谒=1,解得。2=1,
(CL-xClo—1
又三+2+工=彳,所以有1,1-5,
由{斯}是递增的等比数列,解得由=|,。3=2,
所以q=£=2,即有a“=[x2nT=27l-2.
故答案为:2n-2(n&N*y
13.(5分)(2024.湖南长沙.二模)已知2cos(2x+①cos—自一cos3x=},贝ijcos(2x+.
【解题思路】由3x=(2x+[)+(x—3结合两角和的余弦公式化简条件可求得cos(x+媒,再利用二
倍角的余弦公式求cos(2x+§即可.
【解答过程】因为2cos(2x+E)cos(x-巳)-cos3x=%
所以2cos(2x+己)cos(x--cos[(2%+自+1一自]=;,
所以cos(2x+gcos(x—已)+sin(2x+Jsin(x—己)=
所以cos(%+])=(
所以cos(2x+])=2cos2(x+:)-1=-.
故答案为:-1
o
14.(5分)(2024•陕西榆林•模拟预测)已知曲线/(x)=/与g(x)=ln(ax)(a>0)有公共切线,则实数a
的最大值为伍.
【解题思路】先设出切点,求导得到切线方程,斜率截距对应相等,得到1-Ina=总+Ing,构造函数Mx)=
A+ln%,转化为存在性问题,最终求最值即可.
nax
【解答过程】设曲线/(X)=/与g(x)=In(ax)(a>0)的切点分别为(%],好),(x2-l(2))»
:/'(x)=2x,g'(%)=:・k1=2%],k2—
Ay—xl=2xr(%—y—ln(a%2)=—x2)
7cl
2%-i-1i
%2,--+ln(d%2)—1=0,即1—Ina=—4-ln%2,
4%2
、好+ln(ax2)—1=0轨2
令h(%)=+In%,则h'(%)=2x-r
当。<x<争寸,》(%)<0,单调递减;当%〉g时,》(汽)>0,h(%)单调递增,
.,•/i(x)>h(y)=^+ln^即1—Ina>|+In即Ina<lnV2e,即0<a4V2e.
故答案为:库.
四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15.(13分)(2024•陕西安康•模拟预测)在AABC中,角的对边分别是a,b,c,tanC=(a—l)tanB.
(1)求证:bcosC=1;
(2)若a=2,AaBC面积为1,求边c的长.
【解题思路】(1)根据题中等式利用同角三角函数商关系公式,两角和的正弦公式,三角和内角和定理,
正弦定理化简得到结果;
(2)利用(1)的结果计算sinC=,再利用三角形面积公式计算出a,从最后利用余弦定理计算出c;
【解答过程】(1)证明:根据tanC=(a—l)tanB,以及tanC='吧,tanB='世
cosCcosB
得=(0-sinCcosB=(a—l)cosCsinB.
所以acosCsinB=sinCcosB+cosCsinB,即acosCsinB=sin(C+B),
根据8+C=TT—4得sin(C+B)=sin/.
所以acosCsinB=sin/,
由正弦定理,得abcosC=a,因此bcosC=1.
-1
⑵由⑴知,cosC「,sinC=
2
SLABC=(absinC=b=Vfo—1=1,
所以炉=2,得b=yj2,cosC=亨,
又。=2,
所以由余弦定理得c=y/a2+b2—2abcosC=^4+2—2x2xV2Xy=V2.
16.(15分)(2024•四川雅安•三模)已知函数/(%)=(a—1)%—2sin%.
(1)若函数/(%)有极值,求实数a的取值范围;
(2)若关于%的不等式/(%)+x(l+cosx)<0在%E身上恒成立,求实数a的取值范围.
【解题思路】(1)先对函数求导,分类讨论研究函数的单调性,结合函数单调性与极值的关系即可求解.
(2)由已知变形为2sin%—xcosx—ax>0恒成立,构造函数九(久)=2sinx—xcosx—ax,xG[。身,分类讨
论研究函数的单调性,利用最值列不等式求解即可.
【解答过程】(1)依题意,/A(x)=a—1—2cosx,令尸(第)=0,得a=1+2cos;r,
因为1+2cos%£所以当。4一1时,/'(%)40,/(%)在R上单调递减;
当a>3时,/'(%)>0,故/(%)在R上单调递增;
当一l<aV3时,((%)=0有变号零点,此时函数/(%)存在极值;
综上a6(—1,3).
(2)依题意,由/(汽)+x(l+cosx)<0,
得(a—1)%—2sinx+x(l+cosx)<0,即2sin%—xcosx—ax>0,
设h(%)=2sinx—xcosx-ax,xE[o,1],
贝=2cos%—cosx+xsinx—a=cos%+xsinx—a,
设=cosx+xsinx—a,贝!=xcosx,
当久E[o);]时,mz(x)>0,m(%)单调递增;
所以在%e[o上,"(%)<八'0=]—a,且"(0)=1—a,
当]—a<0,即a>多寸,h/(x)>0,九(汽)在[0/n]上单调递减,
则h(%)</i(0)=0,不符合题意,舍去,
当;一a>0,即时,
(i)若1—a<0,即1VaV
三久0€(04),使得九Go)=0,当OV%V%o时,//(%())V0,%(%)在(O,%。)内单调递减,/i(x)</i(0)=0,
不符合题意,舍去,
(ii)若1—aN0,即a<1,h.'(x)>0恒成立,
h(x)在xe[oj]上单调递增,则h(x)2h(0)=0,符合题意.
综上,实数a的取值范围为(—8,1].
17.(15分)(2024•河南周口•模拟预测)如图,平行六面体力BCD-4送16。1中,底面力BCD与平面ABCi/
都是边长为2的菱形,Z-BCD=N8QD1=120°,侧面BCC/i的面积为/区.
(1)求平行六面体力BCD-4/1的£>1的体积;
(2)求平面BCQBi与平面CDDiG的夹角的余弦值.
【解题思路】(1)连接4C,4的,根据菱形的性质、余弦定理,结合线面垂直的判定定理、三角形面积公
式、棱柱的体积公式进行求解即可;
(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【解答过程】(1)连接4C,AQ,
因为底面4BCD与平面均为菱形,且/BCD=LBCR=120°,
所以△43。与448Q均为等边三角形,
取A8的中点。,连接OC,OQ,贝。。C1AB,0cli48,则。C=。的=百,
因为侧面BCQZ的面积为后,
所以△BCG1的面积为手,则如2x2sinNCBG=?,
所以sin/CBG=乎,则cos/CBCi=i
在ABCCi中,CC^=22+22-2x2x2x=6,贝ijCC1=①,
所以。+。番=ccf,所以。CiOQ.
因为48C0C=0,AB.OCa^^ABCD,
所以。的1平面ABCD,
故平行六面体48CD-4/停1。1的体积^=SABCD•。6=2X2sin60°x次=6.
(2)由(1)可知,4B,0C,0G两两垂直,以。为原点,以。B,OC,OG所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建
立如图所示的空间直角坐标系。-xyz.
贝C(0,A/3,0),Ci(0,0,V3),D(-2,V3,0),
BC=(-l,V3,0),CC;=(0,-V3,V3),C5=(-2,0,0),
设平面BCG4的法向量为沅=Oi,yi,zi),
由伴「U得[若+册L*取以=L则沅=(迎LD
\<CC1-m=0,1―V3yl+V3zi=0,
设平面CDDiC的法向量为日=(x2,y2,z2),,
由[空工=0,得,屋铲取1,则完
2
[CG•元=0,t-V3y2+A/3Z2=0,
设平面BCQB]与平面CDDiG的夹角为
所以cos。=|cos(m,n)|—誓.
18.(17分)(2024.辽宁锦州•模拟预测)甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛,规定每局比赛胜者得1分,
负者得0分,平局双方均得。分,比赛一直进行到一方比另一方多两分为止,多得两分的一方赢得比赛.已
知每局比赛中,甲获胜的概率为a,乙获胜的概率为0,两人平局的概率为y(a+0+y=l,a>O,£>O,y2
0),且每局比赛结果相互独立.
(1)若a=|,S=|,y=3求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率;
(2)当y=。时,
(i)若比赛最多进行5局,求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值;
(ii)若比赛不限制局数,求“甲学员赢得比赛”的概率(用a,£表示).
【解题思路】(1)用事件4B,C分别表示每局比赛“甲获胜”,“乙获胜”,“平局”,记“进行4局比赛后甲学
员赢得比赛”为事件N,则事件N包括事件:力444,4CC4C4C4CC44共5种,即可求解;
(2)(i)由题意得X的所有可能取值为:2,4,5,求出对应的概率,列出分布列及求出数学期望,并求出最
大值;
(ii)由(1)得前两局比赛结果可能有:AA,BB,AB,BA,其中事件A4表示“甲学员赢得比赛”,事件表示
“乙学员赢得比赛“,事件力表示“甲、乙两名学员各得1分”,当甲、乙两名学员得分总数相同时,甲学
员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同,所以P(M)=P(4A)•1+P(BB)•0+PQ4B)•
P(M)+P(B4)•P(M)即可求解.
【解答过程】(1)用事件4B,C分别表示每局比赛“甲获胜”,“乙获胜”,“平局”,
则P(4)=a=|,P(B)=S=I,P(C)=y=p
记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N,
则事件N包括事件:ABAA,BAAA.ACCA,CACA,CCAA^5种,
所以P(N)=P{ABAA)+P(BAAA)+P(ACCA)+P{CACA)+P{CCAA)
=2P(B)PQ4)PG4)PQ4)+3P(C)P(C)P(A)P(A)
(2)(i)因为y=0,所以每局比赛结果仅有“甲获胜''和"乙获胜”,即a+0=l,
由题意得X的所有可能取值为:2,4,5,
P(X=2)=a2+俨,
P(X=4)=(a0+pa)a2+(a。+0a)倍=2a队心+伊),
P(X=5)=(a/?+0a)•(必+Ba)-1=4a?俨,
所以X的分布列为:
X245
pa2+俨2aBice2+仃)4a2严
所以X的期望为:
E(X)=2(a2+r)+8as(a?+>)+20a2/?2
=2(1-2a£)+8as(1-2邓)+20a2s2
=4a2优+4a0+2
因为a+/?=122Ja。,所以
等号成立时,a=8=*所以O<a0w}
所以E(X)=4a2俨+4a/?+2=(2a£+I)2+1<(2xi+l)2+1=y,
故E(X)的最大值为:y.
22
(ii)记“甲学员赢得比赛”为事件M,则P(M)=』=』,
由(1)得前两局比赛结果可能有:AA,BB,AB,BA,
其中事件A4表示,,甲学员赢得比赛,,,事件BB表示“乙学员赢得比赛”,
事件48,84表示“甲、乙两名学员各得1分”,
当甲、乙两名学员得分总数相同时,甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同,
所以P(M)=P(A4)•14-P(BB)-0+PQ4B)•
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 同江网格化管理办法
- 复工后防疫管理办法
- 政府类融资管理办法
- 吴忠市殡葬管理办法
- 新汽车拆解管理办法
- 托管房公司管理办法
- 图文店提成管理办法
- 图书漂流站管理办法
- 木纹纸色彩管理办法
- 沈水湾公园管理办法
- JJG(交通) 072-2024 燃烧法沥青含量测试仪
- 老年人护眼知识课件
- 国际压力性损伤-溃疡预防和治疗临床指南(2025年版)解读课件
- 110kV变电站及110kV输电线路运维投标技术方案
- 民办非企业单位内部管理制度
- 受伤赔偿协议书范本
- 500kV变电站工程主变压器安装
- 妊娠合并泌尿系结石护理
- 行测5000题电子版2025
- 矿山安全监察员聘用合同范本
- 2024危重症患儿管饲喂养护理-中华护理学会团体标准课件
评论
0/150
提交评论