2025年高考数学复习之圆与方程（含解析）

2025年高考数学解密之圆与方程

一.选择题（共10小题）

1.（2024•广西模拟）已知圆的方程为丁+〉2-2尤=o,M（x,y）为圆上任意一点，则匕口的取值范围是（

x-1

）

A.l-y/3,我B.[-1,1]C.（-00,-A/3]|^|[A/3,+oo）D.[1,+oo）U（-oo,-1]

2.（2024•香坊区校级模拟）已知圆G+y=4,圆C2：/+丁-4x-4y+4=0,两圆的公共弦所在直

线方程是（）

A.x+y+2=0B.x+y—2=0C.x+y+1=0D.x+y—1=0

3.（2024•昌平区模拟）若圆x2+8x+y2-6y+〃z=0与无轴，y轴均有公共点，则实数机的取值范围是（

）

A.（-co,9]B.（-co,16]C.[9,25）D.[16,25）

4.（2024•河池模拟）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点

距离的比为常数4（2/1）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点。（0,0）,动点

P（x,y）满足型乂=@,若点p的轨迹与圆C:Y+y2+6x+2y=r2-10（r>0）有且仅有三条公切线，则

|PA\2

「二（）

A.-B.1C.2D.3

2

5.（2024•山东模拟）已知直线/:y=fcc+A-l和曲线。:犬+;/-2彳-2|丫|=0有公共点，则实数左的取值

范围为（）

A.[2-6,2+A/3]B.陷-2,1]C.[-1,2+73]D.[-1,1]

6.（2024•江西模拟）若点（1,1）在圆-彳-。=0的外部，则°的取值范围为（）

A.（-1,1）B.（；,1）C.D.（l,+oo）

7.（2024•全国）圆龙2+（y+2）2=4与圆（尤+2）2+口一1）2=9交于4,B两点，则直线的方程为（）

A.2x—3y+2=0B.3x+2j+2=0C.3x+2y—2=0D.2x—3y—2=0

8.（2024•北京）圆/+/一2尤+6y=0的圆心至lJx-y+2=0的距离为（）

A.0B.2C.3D.3A/2

9.(2024•和平区二模)过直线y=x上的点P作圆C:(x+3)2+(y-5)2=4的两条切线4,4，当直线上

4关于直线y=x对称时，点尸的坐标为()

A.(1,1)B.(|,|)C.(|,|)D.(|,|)

10.(2024•乐山三模)已知圆O:无2+9=16,点尸(_2,g+M),点E是/:2尤-y+16=0上的动点，过E

作圆。的切线，切点分别为A,B,直线钻与EO交于点M,则|"/|的最小值为()

.3R3A/5„5A/5n3M

2222

二.多选题(共5小题)

11.(2024•青岛模拟)已知动点N分别在圆G：(x-l)2+(y-2)2=^DC2：a-3)2+(y-4)2=3上,动

点P在x轴上，贝|()

A.圆C2的半径为3

B.圆G和圆C?相离

C.|PM|+|PN|的最小值为2M

D.过点尸作圆C1的切线，则切线长最短为有

12.(2024•金安区校级模拟)已知圆C:f+y2-4x-5=0,点P(a,6)是圆C上的一点，则下列说法正确

的是()

A.圆C关于直线x-3y-2=0对称

B.已知4(1,一2),8(5,0),贝。|出|2+|28『的最小值为32-12夜

C.2。+6的最小值为2-3百

D.的最大值为一

a+34

13.(2024•洪山区校级模拟)已知A®,y),B(X2,%)是圆O:无?+必=1上两点，则下列结论正确的是

()

A.若点O到直线的距离为工，贝IJ|AB|=G

2

B.若AAO3的面积为则44。8=工

43

C.若石尤?+乂%=g，则点。到直线他的距离为与

D.|玉+%-1|的最大值为拒+1,最小值为0-1

2

14.（2024・江西模拟）设圆。:（犬-1）2+（）;-1）2=3,直线/:3x+4y+3=0,P为/上的动点，过点P作圆C

的两条切线上4、PB,切点为A、B,M、N为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（）

A.|PA|的取值范围为［1,+oo）

B.四边形E4cB面积的最大值为百

C.满足NAPB=60。的点P有两个

D.AC钻的面积最大值为研

4

15.（2024•日照模拟）已知尸（西，K）,。（々，必）是曲线。：7l2-6丁+6y2+|炉+6,_3|=21上不同的两

点，O为坐标原点，贝1（）

A.累+人的最小值为3

B.2张1才+以―1）2+―d+（乂+1）24

C.若直线y=fcc+3与曲线C有公共点，则左c（-oo,-半］U［半，+00）

D.对任意位于y轴左侧且不在x轴上的点P,都存在点Q,使得曲线C在P,。两点处的切线垂直

三.填空题（共5小题）

16.（2024•莲湖区校级三模）己知点4（8,-6）与圆C:/+y2=25,P是圆C上任意一点，贝小4尸|的最小

值是.

17.（2024•抚州模拟）若直线/:y=2尤与圆C:f+y2-2尤-3=0交于A,3两点，贝U|AB|=.

18.（2024•浦东新区二模）已知圆G：/+V—2依+/一1=。（。＞0）,圆C2：f+y2_4y-5=0,若两圆相

交，则实数a的取值范围为一.

19.（2024•武清区校级模拟）已知直线x+y-5=0与圆C:/+y2-4x+2y+〃z=0相交于A,3两点，且

\AB\=4,则实数〃z=.

20.（2024•和平区模拟）已知圆C以点（1,1）为圆心，且与直线如-y-2%=。（机cR）相切，则满足以上条

件的圆C的半径最大时，圆C的标准方程为一.

四.解答题（共5小题）

21.（2024•黑龙江模拟）己知圆C:x2-//u+y2+2（2-〃2）y+m-l=0,m^R.

（1）证明：圆C过定点；

（2）当m=0时，点尸为直线/：±+2=1上的动点，过尸作圆C的两条切线，切点分别为A,B,求四边

63

形PACB面积最小值，并写出此时直线"的方程.

3

22.(2024•自贡二模)已知圆。:必+；/=25与直线/：y=3相交于点A,B.

(1)求点A,3的坐标；

(2)设P是直线/上，圆。外的任意一点，过尸点作圆O的切线PM,PN,切点为M,N,求证：经

过N两点的直线必过定点，并求出该定点的坐标.

23.(2024•苏州三模)己知圆O:*+y2=4,直线=直线4:y=x+匕和圆交于A,B两点,过A,

3分别作直线4的垂线，垂足为C,D.

(1)求实数6的取值范围；

(2)若机=T,求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数6的值；

(3)若直线4)和直线BC交于点E,问是否存在实数加，使得点E在一条平行于x轴的直线上？若存在，

求出实数机的值；若不存在，请说明理由.

24.(2024•徐州模拟)将圆/+丁=2上各点的纵坐标变为原来的字(0＜几＜2)倍(横坐标不变)，所得

曲线为E.记尸(-2,0),2(1,0),过点尸的直线与E交于不同的两点A,B,直线QA,QB与E分别交于

点C,D.

(1)求石的方程；

(2)设直线AB,CD的倾斜角分别为e,p.当0＜a＜工时：

2

⑺求X的值；

tan/7

⑺若夕-a有最大值，求2的取值范围.

25.(2024•重庆模拟)设机为实数，直线y=〃zx+l和圆C:尤②-x+y2=0相交于尸，Q两点.

(1)若尸。=孝，求机的值；

(2)点O在以尸。为直径的圆外(其中O为坐标原点)，求机的取值范围.

4

2025年高考数学解密之圆与方程

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

1.（2024•广西模拟）已知圆的方程为Y+9-2尤=0,M（x,y）为圆上任意一点，则二的取值范围是（

x-1

）

A.[—­\/3,-\/3]B.[―1,1]C.（—00,—\/3]^[\/3,+oo）D.[1,+oo）k（―oo,—1]

【答案】C

【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程

【专题】数学运算；计算题；直线与圆；整体思想；演绎法；逻辑推理

【分析】将原问题转化为斜率的问题，然后考查临界条件和直线与圆的位置关系即可求得取值范围.

【解答】解：圆的方程即：。-1）2+产=1,匕工表示圆上的点与点（1,2）连线的斜率，

x-1

考查临界情况，即直线与圆相切的情况：

设直线方程为：y—2二化—BPkx-y-k+2=0,

圆心到直线的距离等于半径，即：屿。"21=1,

解得：％=±括，则工二送的取值范围是（ro,-6][6”）.

x-\一

故选：C.

【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，数形结合的数学思想等知识，属于中等题.

2.（2024•香坊区校级模拟）已知圆£:丁+y=4,圆C?:炉+9-4x-4y+4=0,两圆的公共弦所在直

线方程是（）

A.x+y+2=0B.x+y—2=0C.x+y+l=0D.x+y—1=0

【答案】B

【考点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定

【专题】方程思想；作差法；直线与圆；数学运算

【分析】利用两圆的方程，作差即可求得公共弦所在直线方程.

【解答】解：由圆£:寸+丁=4,圆。2：尤2+V-4x-4y+4=0,

两式作差得，4尤+4>-4=4,即x+y-2=0,

所以两圆的公共弦所在直线方程是x+y-2=0.

故选：B.

5

【点评】本题考查了由两圆方程求公共弦所在直线方程问题，是基础题.

3.(2024•昌平区模拟)若圆x2+8x+y2-6y+M=0与x轴，y轴均有公共点，则实数机的取值范围是(

)

A.(-co,9]B.(-co,16]C.[9,25)D.[16,25)

【答案】A

【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程

【专题】直线与圆；计算题；转化思想；数学运算；逻辑推理；综合法

【分析】首先把圆的一般式转换为顶点式，进一步求出实数〃7的取值范围.

【解答】解：圆/+8工+;/一6'+加=0,整理得(x+V+(y-3>=25-〃★〃<25),

由于圆与x轴和y轴均有公共点，

所以J25-/W..3且」25-租..4且/<25；

解得九9.

故实数机的取值范围为(-00,9].

故选：A.

【点评】本题考查的知识点：圆的一般式和顶点式的转换，主要考查学生的运算能力，属于基础题.

4.(2024•河池模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点

距离的比为常数4(几21)的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点。(0,0),动点

P(x,y)满足畋^否，若点P的轨迹与圆C:x2+y2+6x+2y=r2—io(r>o)有且仅有三条公切线，则

|PA\2

厂=()

A.-B.1C.2D.3

2

【答案】D

【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算

【分析】设P(x,y),应用两点距离公式和已知条件求得动点P的轨迹是以(1,2)为圆心，2为半径的圆，再

由公切线的条数判断位置关系，结合圆心距与半径的关系即可.

【解答】解：设P(x,y),则也।—y一,整理得(尤-Ip+(y-2)2=4,

|PA\21929

所以动点P的轨迹是以(1,2)为圆心，2为半径的圆,

6

而圆C:d+V+6尤+2)=产-10(r>0)可化为(x+3)2+(y+1)2=r2的圆心为(-3,-1)，半径为r,

，点P的轨迹与圆C:f+/+6尤+2y=/-10(r>0)有且仅有三条公切线，

.,.点P的轨迹与圆。:丁+尸+6；(：+2>=--10”>0)外切，

由于(1,2)和(-3,-1)的距离d=J(l+3)2+(2+l)2=5,

贝Ij5=2+r,

r=3.

故选：D.

【点评】本题考查轨迹问题，考查圆与圆的位置关系，属于基础题.

5.(2024•山东模拟)己知直线/:丫=辰+k-1和曲线C:/+y2-2x-2|y|=0有公共点，则实数我的取值

范围为()

A.[2-退，2+我B.[招-2,1]C.[-1,2+我D.[-1,1]

【答案】C

【考点】直线与圆的位置关系

【分析】将曲线C:尤2+y一2无一21yl=0化为卜一D：+(yT)：=2,”0,若直线与曲线有交点，则由图

1(X-1)2+(J+1)2=2,J<0

可求出直线与曲线相切时切线的斜率，其中用到圆心到直线的距离等于半径求解即可.

【解答】解：因为y=履+上一1=跃%+1)-1,所以直线/恒过定点P(T,T),

曲线52+产_2》-2|丫|=0化简即为卜一7+(〉一”=2,”0,如图所示：

"l)2+(y+l)2=2,y<0

由图可知，若直线/与曲线C有交点，则直线介于乙与4之间即可，

由圆心(1,1)到直线kx-y+k-l=0的距离等于半径得d=仁上曰=&,

“2+1

整理得：k2—4k+1=0j解得左=2+或左=2—(舍)，

7

同理，由圆心到直线区-y+左-1=0的距离等于半径得d=四坐二U=&,

VV+1

整理得％2=1,解得左=1(舍)或左=一1,所以Ze[-1,2+.

故选：C.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查方程思想，考查学生的计算能力，属于中档题.

6.(2024•江西模拟)若点(1,1)在圆d+y2-x_a=0的外部，则a的取值范围为()

A.(-1,1)B.(；,1)C.(-oo,l)D.(l,+oo)

【答案】A

【考点】点与圆的位置关系

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解

【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，列式算出a然后根据点(LD在圆的外部，列式算出。<1，

4

再求交集即可得到本题的答案.

【解答】解：方程尤?+/一行”。表示圆，所以㈠)2+O2_4(F)>O,解得“>」，

4

因为点(1,1)在圆/+/-彳-。=0的外部，

所以将点(LD代入圆方程的左边，^l2+l2-l-a>0,解得a<l.

综上所述，-实数a的取值范围为(-工，1).

44

故选：A.

【点评】本题主要考查二元二次方程表示圆的条件、点与圆的位置关系及其应用、不等式的解法等知识,

属于基础题.

7.(2024•全国)圆龙2+(y+2)2=4与圆(尤+2y+(y-l)2=9交于A,6两点，则直线4i的方程为()

A.2x—3y+2=0B.3x+2j+2=0C.3x+2y—2=0D.2x—3^—2=0

【答案】D

【考点】相交弦所在直线的方程

【专题】数学运算；转化思想；转化法；直线与圆

【分析】将两圆的方程相减，即可求解.

【解答】解：圆一+(,+2)2=4,即f+y2+4y=0①，

圆(x+2)2+(y-1)2=9,即无2+4x+y1-2y=4(2),

②-①可得，化简整理可得，2x-3y-2=0,

8

故直线AB的方程为2x-3y-2=0.

故选：D.

【点评】本题主要考查公共弦直线方程的求解，属于基础题.

8.(2024•北京)圆龙2+9一2尤+6y=0的圆心至IJx-y+2=O的距离为()

A.&B.2C.3D.3亚

【答案】D

【考点】圆的一般方程

【专题】转化思想；直线与圆；数学运算；计算题；综合法

【分析】求解圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可.

【解答】解：圆炉+]-2x+6y=0的圆心(1,—3),

圆尤2+y-2x+6y=0的圆心至！Jx-y+2=0的距离：d=9屋±2^=3忘.

VI+1

故选：D.

【点评】本题考查圆的方程的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题.

9.(2024•和平区二模)过直线y=x上的点尸作圆C:(x+3)2+(y-5)2=4的两条切线4,/?,当直线

4关于直线y="对称时，点尸的坐标为()

A.(1,1)B.(|,|)C.(|,|)D.(|,|)

【答案】A

【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程

【专题】整体思想；直线与圆；计算题；数学运算；综合法

【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案.

【解答】解：圆C:(无+3)2+(y-5)2=4的圆心为C(-3,5),

直线4关于直线y=x对称时，则直线CP与直线y=》垂直，

所以直线CP的方程为y-5=-(尤+3),x+y-2-O,

,\x+V-2=05,=f%=l

由.，解得，所以P(l,l).

口=尤[y=l

故选：A.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.

10.(2024•乐山三模)已知圆。：/+丁=16,点尸(一2,：+晒)，点E是/：2x-y+16=0上的动点，过E

9

作圆。的切线，切点分别为A,B,直线钻与EO交于点M,贝”加F|的最小值为()

.3R3A/5„5A/5n3M

2222

【答案】B

【考点】圆上的点到定点的距离及其最值

【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；直线与圆

【分析】设动点M(x,y),利用三角形相似求出点E的坐标，然后代入直线/的方程，得到点”的轨迹方

程为圆，转化为圆上的点到定点距离的最值进行求解即可.

【解答】解:设M(x,y),

\OA\\OM\

解：设M（无,y）,S^AOE^AMOA,可得

\OE\\OA\

\OE\\OA\21616x16y

故,所以点£(•

\OM\|OM|2Y+/元2+y1x2+y

将点E的坐标代入直线/:2x-y+16=0,

化简可得(x+l)2+(y-；)2=*,y不同时为0),

故点〃的轨迹是以(-1,3为圆心，逐为直径的圆，所以|八3|的最小值即为点到圆心的距离减去半径,

2

故I|的最大值为J(-l+2)2+(----719)2--=2A/5--=—.

V22222

故选：B.

【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，直线与圆位置关系的应用，要掌握常见的求解轨迹的方法：直

接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题.

二.多选题(共5小题)

11.(2024•青岛模拟)已知动点M,N分别在圆0：0-1)2+0-2)2=1和。2：(尤-3)2+0-4)2=3上，动

点尸在x轴上，贝")

A.圆C?的半径为3

B.圆G和圆C2相离

10

C.|PM|+|PN|的最小值为2碗

D.过点P作圆G的切线，则切线长最短为石

【答案】BD

【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数

【专题】转化思想；直线与圆；数学运算；综合法

【分析】A项，根据圆的方程即可得；3项，计算圆心距与半径之间的关系；C项，根据对称性可得；D

项，利用勾股定理可得.

【解答】解：C2的半径为班，A错误；

圆和圆C?圆心距为7（3-1）2+（4-2）2=2&>1+6，则圆G和圆C2相离；

C项，作G关于x轴的对称点G，川-2），贝1」（|尸0|+|/^|）“加=02「|=2函，

所以（|PM|+|PN|）“加=2而一1一6，C错误；

。项，点尸到圆G的切线长最小时，GPLx轴，

・圆心到x轴的距离为2,

，切线长的最小值为："万=退，。正确.

故选：BD.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.

12.（2024•金安区校级模拟）已知圆C:/+>2-4x-5=0,点尸（a,6）是圆C上的一点，则下列说法正确

的是（）

A.圆。关于直线工-3丁-2=0对称

B.已知4（1,一2）,2（5,0）,贝/24『+|产例2的最小值为32-120

C.2a+6的最小值为2-3逐

D.的最大值为一

a+34

【答案】ABD

【考点】直线与圆的位置关系

【专题】计算题；数学运算；综合法；转化思想；直线与圆

【分析】利用圆心在直线上，即可判断选项A,利用三角代换即可判断选项3,C,利用圆上点与定点连

线的斜率的几何意义，即可判断选项。.

11

【解答】解：圆C:d+y2-4x-5=0,可化为(x-2)2+y2=9,圆心(2,0),半径3,

A.显然直线尤-3y-2=0过点(2,0),其为圆C的圆心，因此圆C关于直线x-3y-2=0对称，因此选项

A正确.

B.点尸(a,6)是圆C上的一点，有(。-2)2+〃=9,设a=3cosa+2,Z?=3sin«.

A(l,-2),8(5,0),贝例2=•-1)2+(6+2)2+(4-5)2+3—0)2

=2a2+2b1—12。+4b+30=8a+10—12。+46+30=-4tz+4Z?+40=—4(3cosa+2)+4-(3sina)+40

=12sina-l2cosa+32=12应sina—生+32…-12应+32,因此选项3正确.

4

C.2a+b=3sina+6cosa+4...-打+62+4=4-3君,因此选项C错误.

D.—2/?+9=1+^^=1+2(^),叱理解成点P(a,8)与点(-3,-3)连线的斜率，

a+3a+3a+3a+3

史兰取最大时，即为过点(-3,-3)的直线与圆(龙-2了+产=9相切时，直线的斜率，

4+3

故设过点(一3,—3)的直线为y+3=k(x+3),即依一y+3左一3=0,

圆心至ljAx—y+3左一3=0的距离d='2及；3k31=厂=3,解得左二”,或左=。(舍去)，

即“+2”+9的最大值为I+2X"=I+”=2,因此选项。正确.

a+3844

故选：ABD.

【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了直线与圆位置关系的应用，与圆有关的最值问题，点到直

线距离公式的理解与应用，圆的方程的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

13.(2024•洪山区校级模拟)已知AQ,%),B(X2,%)是圆°：/+/=1上两点，则下列结论正确的是

()

A.若点O到直线的距离为工，则|42|=若

2

B.若AAC®的面积为占，则4408=生

43

C.若占X2+%%=。，则点O到直线AB的距离为个

D.|玉+必-1|的最大值为夜+1,最小值为应-1

【答案】AC

【考点】直线与圆的位置关系

【专题】数学运算；对应思想；定义法；直线与圆

【分析】利用弦长公式判定选项A正确；

12

先利用三角形的面积公式求出sin/AOB=走，再结合角的范围判定选项3错误；

2

利用数量积的计算公式求出cosNAO3=J,进而判定三角形的形状判定选项C正确；

2

设再=cos。，无2=sin。，且喷02乃，利用辅助角公式和三角函数的性质判定选项。错误.

【解答】解：对于A：易知圆0：d+y2=1的半径厂=1,

因为点O到直线AB的距离d=L

2

所以|A8|=2户彳=2，二［=6,即选项A正确；

对于B：因为AAC®的面积为迫，

4

所以』|OA||O3|sinNAOB=@,

24

即^sinNAOB=@,解得sinNAOB=正，

242

因为OcNAOB〈万，

所以408=工或NAO3=二，即选项3错误；

33

对于C：因为占％+所以0402=/,

BPIOAI-IOBIcosZAOB=-,BPcosZAOB=-,

22

TT

因为0<NAOB<万，所以/AOB=—,

3

;.AAOB是边长为1的等边三角形，

所以点O到直线的距离为且，即选项。正确；

2

对于£）：由题意设％=cos。，7i=sin,且掇上2兀,贝！J|石+y_l|=|cose+sine-l|=|0sin（9+g—l|,

因为怎BIn,所以三轰收+工艺，

444

则一瑜瓦n（6>+生）1,一用啦sin（6+工）0,

44

-V2-l^!i/2sin（6>+-）-l应-1,

4

所以澈|应sin（O+4-1|A/2+I,

4

即噫也%+%-1|V2+1,即选项。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，是中档题.

13

14.(2024・江西模拟)设圆。:(犬-1)2+();_1)2=3,直线/:3x+4y+3=0,P为/上的动点，过点P作圆C

的两条切线上4、PB,切点为A、B,M、N为圆上任意两点，则下列说法中正确的有()

A.|PA|的取值范围为［1,+oo)

B.四边形E4cB面积的最大值为百

C.满足NAPS=60。的点P有两个

D.AC钻的面积最大值为研

4

【答案】AC

【考点】直线与圆的位置关系

【专题】综合法；数学运算；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合题

【分析】根据切线长公式即可求解A,B,C,根据三角形的面积公式可求解。.

【解答】解：圆心C(l,l)至I直线/：3x+4y+3=0的距离"=单空扫=2,

V32+42

所以|PC|..d=2,因为圆的半径为r=g,

根据切线长公式可得IPA|=y1\PC|2-r2..1,

当尸C，/时取得等号，所以|PA|的取值范围为口，+oo),故A正确；

因为F4J_AC,所以四边形R4CB的面积等于2*5“公=1尸4卜|47|=班|巳4|..若，

四边形P4cB的最小值为6,故3错误；

因为NAPB=60。，所以NAPC=30。，

在直角三角形APC中，^^=sin30°=-,所以|C尸|=2若，

\CP\2

设P(a,-卫士，因为|CP|=J(a-l)2+(-^^-l)2=2y/3，

4V4

整理得25a2+10。—127=0,

则有△=100+12700>0,所以满足条件的点P有两个，故C正确；

13

因为&CAB=-\CA\\CB\smZACB=-sinZACB,

所以当sinNACB=l,即NACB=90。，面积有最大值为—，

2

此时四边形R4CB为正方形，贝1」|尸口=万万=布>2,满足要求，故。错误，

故选：AC.

【点评】本题考查切线长定理，考查三角形的面积，考查两点间的距离公式，属中档题.

15.(2024•日照模拟)已知尸(西，3),。(尤2，为)是曲线C：7f-6y+6y2+|无2+6y-3|=21上不同的两

14

点，O为坐标原点，贝！1（）

A.尤；+皿的最小值为3

B-2袭yX+（y「l）2+Jd+（x+l）24

C.若直线y=fcc+3与曲线。有公共点，则左e（—oo,-半］［孚，+00）

D.对任意位于y轴左侧且不在无轴上的点尸，都存在点Q,使得曲线C在尸，Q两点处的切线垂直

【答案】BCD

【考点】直线与圆的位置关系

【专题】解题思想；能力层次；综合题；解题方法；高考数学专题；数学运算；方程思想

【分析】根据题中曲线表达式去绝对值化简，根据表达式求值判定A,根据几何意义判断3,根据直线与

椭圆的位置关系判断C,根据图形特征以及切线概念判断。.

【解答】解：因为7炉_6了+6y2+|龙2+6”3|=21,

22

所以①当尤?+6y-3..0时，曲线C的方程为：8尤2+69=24,即土+&=1,

34

此时f=3x（1-匕），所以3-士+6y-3..0,解得噫68,则此时骐62,

44

所以曲线C是上半椭圆；

②当彳2+6>-3<0时，曲线C的方程为：6犬+6/-12>-18=0,

即x2+(y-1)2=4,

将/=4一（>-1）2代入％2+6丫-3<0,解得y>2或y<0,贝U此时一L,y<0,

曲线C是以（0,1）为圆心，2为半径的圆在y轴下侧的部分,

+y；=3+J..3,当％=0时取最小值3,

当y<0时，耳+父=4_（弘_1）2+才=2%+3,当芳=-1时取最小值1,则才+y；的最小值为1,故A错

15

误；

选项5：因为+(%—1)-+4心+(%+1)-表小点(X[,%)与点(0,1)和点(0,-1)的距禺之和，

22

当y..。时，点(0,1)和点(0,-1)为椭圆(+1=1的焦点，

由椭圆定义可知J旬+(%—I)?+商+(%+1)2=4,

当y<0时，点(0,1)为圆炉+(,-1)2=4的圆心，点(0,-1)在圆V+0-1)2=4上，所以

+(J]-I)2+J才+(%+1)2=2+Jk+(%+1)2,

当点P在(-区0)或(省,0)时战+(弘+1)2最大,且为2,所以2轰Wk+(%-1)2+战+(%+1)24,故3

正确；

选项C：直线y=fcc+3过定点(0,3),当直线经过(-3,0)或(6,0)时，直线斜率％=±若，

区+工=1

联立43一，化简得(4+3左2)/+18丘+15=0,因直线>=依+3与曲线C有公共点，即4

y=kx+3

=(18^)2-4(4+3^2)X15..0,解得长..姮或鼠,

33

所以直线>=区+3与曲线C有公共点时左e(-00,-孚1，[乎,+oo),故C正确；

选项。：当点尸在椭圆上时，对任意位于y轴左侧且不在x轴上的点P,则曲线C在点P处的切线斜率可

以取任何非零正实数，

曲线C在y轴右侧椭圆部分切线斜率也可以取到任何非零负实数，使得两切线斜率为负倒数，

同理，当点P在圆上时，对任意位于y轴左侧且不在x轴上的点尸，

则曲线C在点P处的切线斜率可以取任何非零负实数，曲线C在y轴右侧圆部分切线斜率也可以取到任何

非零正实数，使得两切线斜率为负倒数，

所以对任意位于y轴左侧且不在x轴上的点P,都存在点。，使得曲线C在尸，。两点处的切线垂直，故

。正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查解析几何的综合问题，属中档题.

三.填空题(共5小题)

16.(2024•莲湖区校级三模)已知点A(8,-6)与圆C:f+;/=25,尸是圆C上任意一点，贝U|AP|的最小

值是5.

【考点】J5：点与圆的位置关系

16

【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5B：直线与圆

【分析】求出点4（8,-6）与圆C的圆心（0,0）的距离，用此距离减去半径即为所求.

【解答】解：点4（8,-6）与圆C的圆心（0,0）的距离等于7（8-0）2+（-6-0）2=10,

故|AP|的最小值是10减去半径5,等于5,

故答案为：5.

【点评】本题考查点与圆的位置关系，圆外一点与圆上的点间的最小距离等于点与圆心的距离减去半径.

17.（2024•抚州模拟）若直线/:y=2x与圆。:9+/一？尤一3=0交于A,3两点，则|筋|=_半_.

【考点】直线与圆的位置关系

【专题】直线与圆；数学运算；计算题；转化思想；综合法

【分析】首先确定圆心和半径，应用点到直线距离公式求圆心到直线/的距离，再由几何法求弦长即可.

【解答】解:由圆C:（x-1）2+丁=4,故圆心C（l,0）,半径为r=2,直线/:2x-y=0,

故圆心到直线I的距离为八i=-I=2,

#+（-D2小

【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题.

18.（2024•浦东新区二模）已知圆G：尤2+9一2℃+。2-1=0（。>0）,圆C2：f+;/-4y-5=0,若两圆相

交，则实数。的取值范围为_（0,2百）

【答案】（0,26）.

【考点】圆与圆的位置关系及其判定

【专题】数学运算；转化思想；计算题；直线与圆；综合法

【分析】由已知结合两圆位置关系的条件建立关于。的不等式，即可分别求解.

【解答】解：因为圆G'X2+V一2办+/_]=0（〃>0）可化为（九一〃）2+,2=],圆心6（々,0）,半径为1,

圆C2：x2+y2-4y_5=0可化为/+（y-2）2=9,圆心C2Q2）,半径为3,|81=，，+4,

若两圆相交，则3-l<|CC|<1+3,BP0<a<2A/3.

故答案为：（0,26）.

【点评】本题主要考查了两圆位置关系的应用，属于基础题.

17

19.(2024•武清区校级模拟)已知直线x+y-5=0与圆C:x?+y2-4x+2y+〃z=0相交于A,3两点，且

\AB\=4,则实数〃z=_-7_.

【答案】-7.

【考点】直线与圆的位置关系

【专题】综合法；方程思想；数学运算；直线与圆

【分析】利用垂径定理列方程求解即可.

【解答】解：根据题意，圆龙2+;/-4x+2y+/"=0,

即(x-2)2+(y+l)2=5-〃z,其圆心为(2,-1),半径厂=j5-7〃,〃z<5,

若|AB|=4,则圆心到直线I即AB的距离d=一(号ly=75-m-4=,

又由圆心到直线x+y—5=0的距离d==20,

V1+1

则有VT7荷=2应，

解可得：m=-n.

故答案为：-7.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题.

20.(2024•和平区模拟)已知圆C以点(1,1)为圆心，且与直线-丫-2m=0(〃2©氏)相切，则满足以上条

件的圆C的半径最大时，圆C的标准方程为_(x-l)2+(y-l)2=2_.

【答案】(x-l)2+(y-l)2=2.

【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程

【专题】计算题；转化思想；直线与圆；综合法；数学运算

【分析】确定直线过定点，可得最大半径，求出所求圆的标准方程，即可得出结论.

【解答】解：直线mx-y-2〃z=0,可化为租(x-2)-y=0,

x—2=0且—y=0,

x=2,y=0,

直线过定点(2,0),

当圆C半径最大时,半径7(2-1)2+(0-1)2=0,

所求圆的标准方程为(x-Ip+(y-1)?=2.

故答案为：(x-l)2+(y-l)2=2.

18

【点评】本题考查圆的方程，考查直线过定点，考查学生的计算能力，属于中档题.

四.解答题（共5小题）

21.（2024•黑龙江模拟）已知圆C:x?+2（2-相）y+m-1=0,meR.

（1）证明：圆C过定点；

（2）当加=0时，点尸为直线1上的动点，过尸作圆C的两条切线，切点分别为A,B,求四边

63

形PACB面积最小值，并写出此时直线4?的方程.

【答案】（1）证明见解析.

（2）面积最小值为56，2x+4y+3=0.

【考点】切点弦及所在直线的方程

【专题】综合法；数学运算；计算题；直线与圆；转化思想

【分析】（1）依题意改写圆的方程，令参数的系数为0即可；

（2）依题意表示出所求面积，再用点到直线的距离公式即可求解.

【解答】解：（1）依题意，将圆C的方程f-〃zx+y2+2（2-机）y+〃?-l=0化为

x2+y2+4y—1+(1—x—2y)m=0,

令1一元一2y=0,即x=l—2y,贝！I(l—2y)2+/+4y-l=0恒成立,

解得x=l,y=0,即圆C过定点(1,0).

(2)当〃z=0时，圆C:f+(y+2)2=5,

直线

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