2025年高考数学二轮复习：压轴解答题的深度剖析与策略归纳（讲义）原卷版

新定义题型02压轴解答题的深度剖析与策略归纳

目录

01考情透视•目标导航.................................................2

02知识导图•思维引航.................................................3

03知识梳理•方法技巧................................................4

04真题研析•精准预测................................................5

05核心精讲•题型突破................................................8

题型一：集合新定义8

题型二：函数与导数新定义10

题型三：立体几何新定义12

题型四：三角函数新定义14

题型五：平面向量与解三角形新定义16

题型六：数列新定义18

题型七：圆锥曲线新定义20

题型八：概率与统计新定义22

重难点突破：高等数学背景下新定义24

差情;奏汨•日标旦祐

创新意识与创新应用是新时代的主旋律，也是高中数学教学与学习中需要不断渗透与培养的一种基本

精神与能力！借助“新定义”，可以巧妙进行数学知识中的概念类比、公式设置、性质应用、知识拓展与创

新应用等的交汇与融合，很好地融入创新意识与创新应用.

所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,

要求同学们读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

考点要求目标要求考题统计考情分析

年卷第题，分

2024I1917预测2025年新高考试

2024年北京卷第21题，15分

理解概念，掌握应卷第19题结构考查数列新

数列新定义2023年北京卷第21题，15分

用，提升思维。定义问题，压轴题，难度

2022年北京卷第21题，15分

比较大.

2021年北京卷第21题，15分

〃用识导图•思维引航\\

㈤3

知过回［里・方法拈，

1、代数型新定义问题的常见考查形式

（1）概念中的新定义；

（2）运算中的新定义；

（3）规则的新定义等.

2、解决“新定义”问题的方法

在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确

定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同

点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析

与解决！

0

〃真题班拚精海aN

1.(2024年新课标全国I卷数学真题)设相为正整数，数列4,“+2是公差不为0的等差数列，若从

中删去两项处和%(z<j)后剩余的4m项可被平均分为小组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数

歹I1％,。2,。4,"+2是(V)—可分数列.

⑴写出所有的亿/),l<i<j<6,使数列4,出，…,%，是(，")—可分数列；

(2)当加之3时，证明：数列。1，。2，“”。4,“+2是(2,13)—可分数列；

(3)从L2,...,4M+2中一次任取两个数i和/1</),记数列01M2,…，%»+2是(V)—可分数列的概率为

以，证明：P>1.

O

2.(2024•北京・高考真题)已知集合

k,w)|zF{1,2},je{3,4},%e{5,6},ive{7,8},且i+j+左+w为偶数}.给定数列A:,外,小，和序

列…&其中工=6",如叱)e/(/=l,2,…,s),对数列A进行如下变换：将A的第4，九匕,“项均

加1,其余项不变，得到的数列记作((A)；将［(A)的第八人,给叫项均加1,其余项不变，得到数列记作

砧⑷;……；以此类推,得到(…与二伊)，简记为C(A).

⑴给定数列A:l,3,2,4,6,3,1,9和序列3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),写出。(A)；

⑵是否存在序列。，使得。(A)为％+2,%+6,%+4,4+2,%+8,%+2,%+4,%+4,若存在，写出一个符合

条件的。；若不存在，请说明理由；

(3)若数列A的各项均为正整数，且％+%+%+%为偶数，求证：“存在序列。，使得。(A)的各项都相等”

的充要条件为=%+%=%+/=%+%”.

3.（2023・北京・高考真题）已知数列｛%｝,也｝的项数均为根（，">2）,且见,2e｛l,2,…,加｝,｛%｝,也｝的前〃

项和分别为4,纥，并规定4=1=0.对于丘｛0,1,2,…,机｝,定义〃=max｛z•出44,触｛0,1,2,…,〃小，其

中，max”表示数集M中最大的数.

（1）若4=2,为=1,%=3,4==3,之=3,求为，小公g的值；

⑵若％2白，且2rz<%+%，/=1,2,…，加一1,,求小

（3）证明：存在p,q,sJe｛0,l,2,…,加｝,满足〃>ds使得4+田=A。+及.

4.（2022・北京・高考真题）已知Q:%,生，…，/为有穷整数数列.给定正整数m，若对任意的〃e｛1,2,…,加｝,

在Q中存在许ai+l，4+2，…，ai+j（/2。），使得％+G+1+G+2+…+%）="，则称。为〃?-连续可表数列.

⑴判断Q：2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；

⑵若七为8-连续可表数列，求证：上的最小值为4；

⑶若。：％,%，…，以为20-连续可表数列，且%+%+…+必<20,求证：k>l.

5.（2021.北京.高考真题）设p为实数.若无穷数列｛4｝满足如下三个性质，则称｛%｝为况?数列：

①q+p20,且/+?=0；

②4,t<%”,3=1,2,…）；

③%+“e｛%，+a，，+P，%+a，，+P+l｝，（7%〃=1,2,…）.

（1）如果数列｛%｝的前4项为2,-2,-2,-1,那么｛4｝是否可能为兄数列？说明理由；

（2）若数列｛4｝是现数列，求生；

（3）设数列｛4｝的前"项和为S”.是否存在况，数列｛%｝,使得5,2%恒成立？如果存在，求出所有的0；

如果不存在，说明理由.

6.（2020・北京・高考真题）已知｛%｝是无穷数列.给出两个性质：

2

①对于｛q｝中任意两项%%-«>/）,在｛4｝中都存在一项,使巴~=册；

aj

②对于｛q｝中任意项％（九.3）,在｛4｝中都存在两项处,0（左>/）.使得%=".

（I）若%=如=1,2,…），判断数列｛4｝是否满足性质①，说明理由；

（11）若%=27（"=1,2「-），判断数列｛%｝是否同时满足性质①和性质②，说明理由;

（III）若｛4｝是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：｛4｝为等比数列.

㈤5

孩心精说，题型突破

题型一：集合新定义

【典例1-1】给定平面上一些点的集合D及若干个点勺,…记，月e=1,2,…川,若对于VPeD,J|巨用?

Z=1

为定值，我们就称（。片£,…尺）为一个稳定点集.

⑴判断集合D=｛（尤,y）I尤20,y20,x+y42｝与点片（0,0）,尺（2,0）,月（0,2）构成的0几6,月）是不是稳定点

集，并说明理由；

⑵判断集合U=｛（xj）|尤②+丁=2｝,以及点A（1,1）,B（1,-1）,C（-1,1）,D（-1,-1）构成的（U,A,B,C,D）是不是稳

定点集，并说明理由；

⑶若集合。=｛（和）|/+丁=1｝及单位圆O：d+y2=i中的内接2024边形的顶点《，P2,L,鸟。24构成的

1=1_

（2几2，-23）是一个稳定点集，求E西的值.

2024

【典例1-2】二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，它的

基数为2,进位规则“逢二进一”，借位规则“借一当二”.记十进制下的正整数烧在二进制下的表示为

1

m=<2^2*+4_]2*+■.F42+%（a*=1,qe｛0,1[,z=0,1,■,—1j,若ak+।H------at+a0=3,则称m为“Z20

数”.记/（"）表示集合｛〃+1,力+2,…,2〃｝中“Z20数”的个数.

⑴计算〃3）,〃4）；

⑵求/（2"+2）（〃22）；

（3）求证：V5eN+,3nGN+,有/（〃）=s；并求出所有s,使得〃的取值唯一.

【变式1-1]已知集合加={%,%,%,…<%<%<…<a”,〃eN+)具有性质：对任意

l<z<;<n(z,JGN+),%+6与%-勾至少有一个属于M,则称“为“封闭集”.

⑴若集合手={3,4,5},2={0,3,6),判断产,。是否是“封闭集”?并说明理由；

⑵若集合p={4,%,生}(0<囚<。2<%)是“封闭集”，且生=2024,求集合尸；

⑶设集合4={4，%,生，…，%}(0<4<%<%<…〈见，”24,〃eN+)是“封闭集”，证明：当〃24时,

%”1

[命题预测]

1.已知根为大于。的偶数，集合G"={cda=(%J2,…4Jji+L+…+晨=03€{1,-1},，=1,2「..加}.给定项

数为"2的有限数列A：4,。2,…,4“，对于集合G“中任意元素。=(4W,方“)，记c(a,A)=+12a2+.

(1)若加=4,数列A:4,3,2,1,写出C(a,A)的所有可能值.

⑵对于各项均为正数的数列A：%,…,4“，证明：存在％eC,“，使得

\C(a0,A^<max[al,a2,---,am}-rrnn{al,a2,---,am}.

⑶对于各项均为正数的数列A:a外,和8：么也,…,么"，证明：存在%eC„,,使得

|。(％,4)[411^{(71，。2，一-4},『(4,3)|40^佑也,...,6",}同时成立.

注：maxg],%,…M,J表示％,。2,…，,中最大的数，而或阳如…此/表示4,电，…，。",中最小的数.

题型二：函数与导数新定义

【典例2-1】有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知.由于地形等原因，在

修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率(Curvature)来刻画路线弯曲度.曲线的曲率定义

如下：记y=r(x)为y=的导函数，y=/"(x)为y=r(x)的导函数，则曲线y=在点仕/⑺)处

『㈤

的曲率为K(x)=3

(1+(加)))

⑴已知函数g("=e2，+e3,求曲线y=g(x)在点(O,g(O))处的曲率K(O)；

⑵已知函数/(x)=sinx+cosx,求曲线y=的曲率K(x)的范围.

【典例2-2】牛顿法是17世纪牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法.

具体步骤如下：设/是函数/(x)的一个零点，任取与作为「的初始近似值，过点(尤。,/(5))作曲线y=/(x)

的切线4,设4与X轴交点的横坐标为毛，并称王为r的1次近似值；过点(%,/■(七))作曲线y=/(x)的切

线3设4与X轴交点的横坐标为尤2,称9为r的2次近似值；一直继续下去，得到士,与W，…,天.一般地，

过点))作曲线y=/(x)的切线射，记1„+1与x轴交点的横坐标为x同，并称x„+1为r的〃+1次近似值,

称数列｛%｝为牛顿数列.

⑴若函数/(力=x+lnx的零点为=1.求『的2次近似值；

⑵设/伙a<2)是函数〃x)=f+◎+6,力eR)的两个零点，数列｛%｝为函数/⑺的牛顿数列，数列｛g｝

满足c”=£^(〃€寸)/“>/?.

(i)求证：数歹！J｛Ing｝为等比数列；

rS12

(ii)证明：2J—<-.

z=iqInq

【变式2-1］在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光

滑曲线C：y=/(x)上的曲线段A8,其弧长为心，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线人

也随着转动到B点的切线。，记这两条切线之间的夹角为它等于。的倾斜角与匕的倾斜角之差).显然,

当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以

-ZAC7

定义K=,为曲线段A8的平均曲率；显然当3越接近A,即As越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处

△s

。-A。W

的弯曲程度，因此定义*=£%甚=；(若极限存在)为曲线C在点A处的曲率.(其中y',y〃分

。+竹

别表示y=/(x)在点A处的一阶、二阶导数)

(1)求单位圆上圆心角为60。的圆弧的平均曲率;

⑵求椭圆K

2夜W

(3)定义。(y)=为曲线y=/(尤)的“柯西曲率”.已知在曲线/(x)=xlnx-2x上存在两点P(%，〃%))

F77

和。伍,〃％))，若8占且P,。处的“柯西曲率”相同，求沃+强的最小值.

命题预测］」

-------

1.设函数y=〃x)的定义域为。，其导函数为广(尤)，区间/是。的一个非空子集.若对区间/内的任意

实数X,存在实数1，使得％且使得•广⑺成立，则称函数y=〃x)为区间/上的

⑺函数”.

⑴判断函数/(x)=cosx是否为［0,可上的“Me函数”，并说明理由;

⑵若函数g(x)=/-依是[0,2]上的“M⑵函数”.

(i)求。的取值范围；

(五)证明:VXG[1,2],g(x+2)>6(lnx-l).

题型三：立体几何新定义

【典例3-1】空间直角坐标系。-乎中，任何一个平面的方程都能表示成布+gy+Cz+D=0(其中

A,民C,。eR&+笈+°z片0),且为=(A,aC)为该平面的法向量.

(1)若平面c：x+y+z=2,13-.im+y+z=1,且c_L/?,求实数的值；

(2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点P(x0,%,Zo)到平面4+3y+Cz+r>=0的距离为

“=若记集合。={(尤，*)|闵+3+3=2}所围成的几何体为［/,求U的内切球的表

面积；

(3)记集合T={(x,y,z)\|x|+|小2,|小|z|<2,|z|+|x|<2}中所有点构成的几何体为W.

①求W的体积V的值；

②求W的相邻(有公共棱)两个面所成二面角的大小.

【典例3-2】球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球。的半径为R.A、B、C为

球面上三点，劣弧BC的弧长记为a,设表示以。为圆心，且过8、C的圆，同理，圆C，。2的劣弧AC、

A3的弧长分别记为6、c,曲面ABC(阴影部分)叫做球面三角形.若设二面角A-OB-C,

3-OC—A分另!]为a、夕、/,则球面三角形的面积为S球面5C=(a+/?+z-I)长.

(1)若平面。45、平面。4C、平面OBC两两垂直，求球面三角形A3c的面积；

(2)若平面三角形A8C为直角三角形，AC±BC,设/A0C=4，ZBOC=62,44。8=久.则：

①求证：cos0}+cos02-cos0^=1

,jrrr

②延长4。与球0交于点。.若直线ZM,DC与平面ABC所成的角分别为：，pBE=ABD,2e(0,1],s

为AC中点，T为3C中点，设平面03c与平面EST的夹角为。，求sing的最小值，及此时平面AEC截球。

的面积.

【变式3-1】定义：多面体"在点尸处的离散曲率为

①，=1-+/。/。3+…+/Qk-FQ//2尸2)，其中P为多面体M的一个顶点，。个=12…,k,

左23且左©N*)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面0尸。2、平面QPg、L、平面。一尸以和

平面以PQj为多面体"的所有以P为公共点的面.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD,底面

A3Q)为正方形，CD=2,DP=2A/3.

⑴求四棱锥尸-ABC。在顶点C处的离散曲率;

（2）求四棱锥P-ABCD内切球的表面积；

（3）若。是棱PB上的一个动点，求直线C。与平面ABCD所成角的取值范围.

।命题预测卜

1.在空间直角坐标系。邛z中，这点尸（%,%,Z。）且以力=34c）为方向向量的直线方程可表示为

士包=匕4==⑥即#0）,过点P5,%,z。）且以A=（a,b,c）为法向量的平面方程可表示为

abc

ax+by+cz=ax0+by0+cz0.

（i）已知直线4的方程为F=＞=-（Z-D，直线4的方程为-。-1）=；=丁.请分别写出直线4和直线4的

一个方向向量.

⑵若直线4：F=y=TzT）与/2：一（1）=卜丁都在平面。内，求平面。的方程；

⑶若集合/=｛（x，N，z）||x|+|y|+|z|=2｝中所有的点构成了多面体。的各个面，求。的体积和相邻两个面

所在平面的夹角的余弦值.

题型四：三角函数新定义

【典例4-1］在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三

角函数：定义1-cos。为角夕的正矢（Versine或地灯灯/sine）,记作versin。；定义1-sin。为角。的余矢

（Coversed或coversedsin^）,记作covers。.

（1）设函数/（X）=A/3versinx+coversx-1-^3,求函数〃x）的单调递减区间;

r,7171J2-versin2x,versinx<covers%

⑵当xe时,设函数g(x)=<若关于X的方程g（x）=k的有三个实

2-|covers2.rl,versinx>coversx

根为＜/＜三，贝！I：

①求实数上的取值范围;

②求versing+3Jc°vers(X+%)的取值范围.

【典例4-2】对于定义域为R的函数y=g(x),若存在常数T〉0,使得y=sin(g(x))是以T为周期的周期函

数，则称y=g(x)为“正弦周期函数”，且称T为其“正弦周期”.

(D判断函数y=x+cos5是否为“正弦周期函数”，并说明理由；

⑵已知y=g(x)是定义在R上的严格增函数,值域为口,且〉=8(同是以T为“正弦周期”的“正弦周期函数”，

若g(0)=],g(T)W，且存在x°e(O,T),使得g(x0)=|,求g(2T)的值；

(3)已知＞="尤)是以T为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在。＞0和A＞0,使得对任意xeR,都

有Mx+a)=4z(x),证明：、=人(无)是周期函数.

【变式4-1]如果一个实数是有理数，或是对有理数进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，或是对这

些结果继续进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，则称这个实数为可解数.如果一个角的正弦值和余

弦值都是可解数，则称这个角为可解角.如：30。,45。,120。角都是可解角.

⑴判断2+6，下子，次是否为可解数(无需说明理由)；

⑵证明：72。角是可解角；

(3)已知每个可解数a都是某些整系数多项式函数/(彳)=。0+罕+02*+1+%%"("eN)的零点，这些多

项式中，x的最高次数〃最小，且系数%,出，…，。”的最大公约数为1的多项式函数称为a的最小

多项式函数.任一可解数a的最小多项式函数中x的最高次数“必为2"(meN).例如：&的最小多项式

函数不是g(x)=(x2-2)x=d_2x,而是/(x)=V-2.证明：20。角不是可解角，并求整数度数的锐角中最

小的可解角.

命题预测

1.给定函数/(X),设g(x)=/(x)sinx,若存在实数P<0,4>0,使得g(x)在区问［p,q］上是严格单调函数,

则称［。,司为的“正弦单调区间”，并将4”的最大值称为了⑺的“正弦单调值”.

(D判断/(x)=sinx是否存在“正弦单调区间”，并说明理由；

(2)若〃x)=e『证明：对任意的非零实数〃J“X)的"正弦单调值”为定值；

(3)若〃司=6+6,/+6、。，当。力变化时，求的“正弦单调值”的最大值，以及“X)的"正弦单调值”

取最大值时实数的取值集合.

题型五：平面向量与解三角形新定义

【典例5-1］如图，设3、Qy是平面内相交成矶0<a<兀)的两条射线，［、1分别为Ox、Or同向的单

ULJU

位向量，定义平面坐标系X。伊为仿射坐标系，在a-仿射坐标系中，若QPnxq+y/,则记力

⑴在:-仿射坐标系中，若£=(也1),求口；

(2)在a-仿射坐标系中，若£=(-1,3),5=(-3,1),且Z与B的夹角为T，求cose；

(3)如图所示，在方-仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，园=1,OD=^OC,E、/分

别为3。、BC中点，求砺.丽的最大值.

【典例5-2】定义VA5C三边长分别为。，b,c,则称三元无序数组S，4c）为三角形数.记。为三角形数

的全集，即（a,Ac）e。.

⑴证明：”（《,仇。）€。”是“（后,扬,正卜。”的充分不必要条件；

（2）若锐角VA3C内接于圆。，且x9+y彷+z^=0,设/=（x,y,z）（x,y,z>0）.

①若/=（3,4,5）,求心小L农；

②证明：I&D.

【变式5-1】定义向量=（4]）的“亲密函数”为g（x）=asin2x+bcos2x.设向量AB=—的“亲密函数”

为/（X）.

⑴求“X）的单调递增区间；

⑵若方程/，有三个连续的实数根X],%,W,且占<%<%,，X3+2X1=3X2,求实数4的值；

⑶已知VA2C为锐角三角形，a,6,c为VABC的内角A,B,C的对边，6=2,且/=:，求VABC

面积的取值范围.

命题预测T

_uuin/un、

.对于平面向量为（（左=），定义“生变换”：（）

1=4,yj1,2,…az=4%=(%女cos0-yksin9,xksin0+ykcos6),

（0<^<7l）

⑴若向量q=(2,1),e=］，求。2；

(2)求证：同=|近；

⑶己知方=(',%)，砺=(尤2，%)，且西与砺不平行，次=4(网，两=小(丽)，求证:SAOAB=S40A，B'•

题型六：数列新定义

【典例6-1］已知数列｛4｝的前w项和为S.，若对每一个“eN*,有且仅有一个“zeN*,使得S,“〈a”<S,“M，

则称｛。,｝为“X数列".记"=S,”+「a”,〃eN*,称数列色｝为｛。,｝的“余项数列”.

⑴若｛%｝的前四项依次为0,1,-1,2,试判断｛%｝是否为“X数列”，并说明理由；

⑵若5“=2用，证明｛。“｝为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；

(3)已知q=1的正项数列｛%｝为“X数列”，且｛4,｝的“余项数歹!J”为等差数列，证明S“<1+2-2.

【典例6-2］已知｛%｝是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前〃项和为S“，q=L集合

A=｛Sa|Sn=2k-l,keZ｝,A中元素个数为将A中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列也,｝.若

111.

丁+7+…则称数列｛r%｝为根〜，数列.

⑴若an+2=an+l+%，。2=1,写出一个2~2数列｛%｝；

(2)若应｝是公比为偶数的等比数列，证明：｛4｝为m~2数列：

(3)若m~♦数列｛q｝是等差数列，求才的最小正整数.

【变式6-1]若数列｛X“+%｝是等差数列，则称｛XJ与｛匕｝互为和等差数列.已知S”为数列｛%｝的前〃项

和.

[2^=1

⑴若见=°一4=-2"-/+2,试问电｝与也｝是否互为和等差数列？说明你的理由.

⑵设也｝为等比数列，Sn=2an+n,且｛4｝与也｝互为和等差数列.

①求也｝的通项公式；

②设c“=”，求数列｛c,｝的前〃项和Tn.

命题预测

1.把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为｛力⑺｝.例如：函数列｛%2x,3x,…见…｝可以记为

力⑺二处女^^记力⑺为力⑴的导函数.

⑴若f„⑺=疝况证明：｛方(2024)｝为等差数列.

(2)已知定义在R上的函数列｛力(%)｝满足:力'(尤)>f„(x),且对任意的〃eN*，都有力(0)=n.

(i)设x°20,证明：左(毛)=，的充要条件是x0=0.

(ii)取定正数%,使数列｛力(％)｝是首项和公比均为4的等比数列，证明：q>^.

题型七：圆锥曲线新定义

22

【典例7-1】定义：对椭圆c*+==ig>6>0）及任意一点尸（如%）,称直线竽+若=1为C关于点P

的“极线”.

结论1：若点尸在椭圆C上，则C关于点尸的极线就是C在点尸处的切线.

结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点.

试根据上面的定义和结论解决下列问题：

22

已知68是椭圆C:3+.=l的两个焦点，c关于点尸（T,o）的极线）与C相交于A8两点.

⑴求|明;

（2）设C在点A处的切线为匕，在点5处的切线为过在"上且在C外一点。作C的两条切线，切点分别

为证明：直线MN/,%相交于一点；

⑶若。（机〃）是C上除顶点以外的任意一点,直线QR和。鸟分别与直线/号+号=0相交于点S,T,证明:

磔［》为定值.

22

【典例7-2】已知P（2,l）为椭圆「:乙+乙=1上一点，对于「上任意两点A,B,我们定义A3关于尸的生

82

成点的形成过程：过户作平行于A3的直线交「于异于尸的一个点（若A与8重合，则为:T在A处的切

线；若A3与尸处切线平行，则交点为尸），记为［AB］,,且对V”eN*,记5+1）4=卜公司”称{2A…•…}

为A关于P的生成点列.

⑴已知A（2应,0）,B（O,-V2）,直接写出［A,司「和3A的坐标；

⑵若A,5,Ce：T,且AB,C均在第一象限，证明：

（3）已知。为「上异于尸的一点，且。在第一象限内，若。关于尸的生成点列中至少有一点是尸，求出所有满

足题意的点Q的坐标.

【变式7-1】已知尸为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量向=(x,y),点A绕着点P逆时针旋

转。角后得到点B,则丽=(疣0$6-a11(9,%81116+加05。)，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的

任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换.平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们

称该二次曲线为“反比例曲线”.

(1)证明曲线1-看=1是“反比例曲线”，并求出旋转后的反比例函数图象的表达式.

22

(2)证明：“双曲线工-当=1(。＞0/＞0)是，反比例曲线，”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”.

ab

22

⑶若存在双曲线氏，-2=1伍＞0,。＞0)是“反比例曲线”，过原点。。的直线区-y=0(0〈左＜1)交该双曲

线E于点A，将QA绕点A旋转至能在双曲线E的渐近线上找到点。一点。满足|0。&=|0闺，以此类推，

过点0,1(〃eN)作斜率为k的直线交双曲线E于点4，将。,一4绕点4旋转至能在双曲线E的渐近线上找

到点。“，点。“满足|QT4=|QA|.在中，设底边。,一0“上的高为%求

命题预测

1.现定义：若圆A上一动点圆A外一定点N,满足|闻乂|的最大值为其最小值的两倍，则称N为圆A

的“上进点”.若点G同时是圆A和圆8的“上进点”，则称G为圆“A83”的“牵连点”.已知圆

A:(x+l)2+(y+l)2=1.

⑴若点C为圆A的“上进点”，求点C的轨迹方程并说明轨迹的形状；

(2)已知圆2:(x-2>+(y-2了=1,且P,。均为圆“A区3”的“牵连点”.

(i)求直线P。的方程；

(ii)若圆H是以线段尸。为直径的圆，直线/：了=丘+；与反交于两点，探究当人不断变化时，在>轴

上是否存在一点W,使得>轴平分4WV?若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由.

题型八：概率与统计新定义

【典例8-1］已知数列｛叫的通项公式为%=3〃-2,也｝的通项公式为a=2"-1,设集合

4=｛q,生,。J,4=,也,…,勺｝(。JeN*).

(1)在4u当中任取三个不同的元素，记所取的三个元素中在A4n心中的元素个数为X,求随机变量X的

分布列和数学期望.

/\fl,XGA/

⑵定义在全集U上的子集M的特征函数为(尤)=」尤任出.设U=4oi°U练，记事件R■

心Jx)+源(x)=0,求事件R发生的概率P(R).

【典例8-2】在信息论中，嫡(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息燧、信源

牖.若把信息嫡定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量X的所有取值为

1,2,3广.,〃(“€1<),「(乂=7)=口，定义信息燧：H(X)=H.(PI，P2,…，P")=-SPilog?Pi,乞Pi=1,i=1,2,…,n

i=l«=1

(1)若〃=2,且Pi=必，求随机变量X的信息燧;

⑵若A=g+g，P2=*，Pk+i=2Pk，k=2,3人.,n，求随机变量X的信息燧;

(3)设x和y是两个独立的随机变量，求证：H(xr)="(x)+H(y).

【变式8-1】高血压(也称血压升高)，是血液在流动时对血管壁造成的压力值持续高于正常范围的现象，

典型症状包括头痛、疲倦或不安、心律失常、心悸耳鸣等.最新的调查显示，中国成人高血压的患病率为27.9%,

大概每三位成人中就有一位是高血压患者.改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼

可以使血压水平下降，高血压发病率降低，控制高血压的发展.

(1)某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，健康在

(2)社区将参加徒步走活动的队员分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则：挑战权在任何一组，该组都

可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为若甲组挑战乙组，则下

21

次挑战权在乙组.若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为-；若挑战权在丙组，则挑战甲组、

乙组的概率分别为：，

(i)经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数X的分布列与数学期望；

(ii)定义：己知数列｛%｝,若对于任意给定的正数£(不论它多么小)，总存在正整数N。，使得当〃〉乂

时，(A是一个确定的实数)，则称数列｛。.｝为“聚点数列”，A称为数列｛。“｝的聚点.经过〃次挑

战后，挑战权在甲组的概率为%,证明数列｛《｝为“聚点数列”，并求出聚点A的值.

附:回归方程9=%+&中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为A=

a-y-bx.

\命题预测1

1.错排问题最早由伯努利与欧拉系统研究，历史上称为伯努利―欧拉的装错信封问题.现在定义错排数

/5,，九）为将q,a2,生，L,。“共”个元素排列在伪，b2,b3,L,2共〃个位置上，其中有机个元素

不在其对应位置上的情况数（%的对应位置为4,左©N*,左W〃）.容易得到，尸（1,1）=0,/（2,2）=1,

/（3,3）=2,规定P（0,0）=L

⑴计算：F（4,4）,F（5,5）；

（2）记4=八，｛4｝的前，项和为S“，证明：S,=攻坐（〃eN*）；

F［n,n）+F［n-Y,n-Y）v72、1

⑶定义错排概率P（〃,力。为随机将q,4，的，L,。“共”个元素排列在4，b2,b3,L,2共〃个位置

1m（一1丫

上，其中恰有加个元素不在其对应位置上的概率，证明：尸（耳加）=7——一.

'71M一1!II

重难点突破：高等数学背景下新定义

【典例9-1】帕德逼近是法国数学家亨利・帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法.帕德逼近有“阶”

的概念，如果分子是〃7次多项式，分母是"次多项式，那么得到的就是［〃?,〃］阶的帕德逼近，记作用“”一

般地，函数f（x）在x=0处的四川阶帕德逼近定义为：尺,口）=?+丁+产了…，且满足

〃。）=鼠”（。）/（。）=（0）,f"（0）=<„（0）,…，尸）（0）=蠕"）（0）.

注：尸（X）=［尸（切’"⑶（尤）=（x）=［r"f（x）］.

已知函数/(X)=，在x=0处的［1,1］阶帕德逼近为%(x)=.

(D求(尤)的解析式；

⑵当x<2时，比较，⑺与%(x)的大小；

13

(3)证明：当%>0时，X-<-.

2

【典例9-2)请阅读下列2段材料：

材料1：若函数y=的导数〃力仍是可导函数，则尸⑺的导数［，⑺了称为/⑺的二阶导数，记为

f"(x)：若/”(x)仍是可导函数，则尸'⑺的数［/⑺］'称为/(X)的三阶导数，记为尸”(X);以此类推，我

们可以定义”阶导数：设函数y=〃x)的〃-1阶导数/T(x)(心2,〃eN+)仍是可导函数，则r'T(x)的

导数［产«)］’称为"X)的〃阶导数，记为广(江即数(力=［1尸(明】

材料2：帕德逼近是法国数学家亨利・帕德发现的对任意函数的一种用有理函数逼近的方法.帕德逼近有阶的

vn

概念，如果分子是小次多项式，分母是”次多项式，那么帕德逼近就是一阶的帕德逼近.

n

一般地，函数/(元)在x=0处的上〃,〃］阶帕德逼近函数定义为：R(x)=*++…+?：”1且满足/⑼=R(O),

JL-iiZ|八十,••十Zy人

/(O)=7?'(O),r(O)=7?"(O),/(E)(O)=R(E)(O)(其中e=2.71878…为自然对数的底数).

请根据以上材料回答下列问题：

⑴求函数/(x)=ln(x+l)在x=0处的［1』阶帕德逼近函数R(x),并比较与火⑺的大小;

(2)求证：当xe(0,4<o)时，恒成立.

(3)在⑴条件下,若〃(%)=/(同在(。,+8)上存在极值，求机的取值范围

【变式/1】记S“为有穷数列｛%｝的前"项和，若｛%｝满足下列两个条件则称为凡阶“期待数列"：①