2025年高考数学复习之平面向量及其应用（含解析）

2025年高考数学解密之平面向量及其应用

一.选择题（共10小题）

2万

1.（2024•长沙模拟）在△45C中，D为边BC上一点,NDAC=—，4）=4,AB=2BD,且△ADC的

3

面积为4百，贝！JsinNABD=（）

A/15—y]15+A/3y/5—y/3yf5+y/3

A.------------D.------------L.----------U.-----------

8844

2.(2024•盐湖区一模)已知△ABC所在平面内一点尸，满足PA+PB+PC=0,贝i]AP=()

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

22332332

3.（2024•平谷区模拟）在AABC中，"sinA=cos3”是“C=工”的（）

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

――O■jr

4.（2024•和平区二模）平面四边形ABCD中，43=2,AC=2BAC±AB,ZADC=——，则

3

的最小值为（）

A.-百B.-2百C.-1D.-2

5.（2024•扬州模拟）已知三个单位向量Q,b,c满足a=b+c,则向量b,c的夹角为（）

71n2万571

A.B.C.—D.

633~6

6.（2024•保定三模）已知△ABC是边长为4石的正三角形,点P是△ABC所在平面内的一点，且满足

\AP+BP+CP\=3,贝11Api的最小值是（）

Q

A.1B.2C.3D.-

3

7.（2024•射洪市模拟）在AABC中，点尸为线段BC上任一点（不含端点），若AF=+2yAC（x>0,y>0）f

则1+2的最小值为（）

%y

A.9B.8C.4D.2

8.（2024•江西一模）如图，正六边形的边长为2形，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M

在正六边形的边上运动，动点A,5在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（）

A.[4,5]B.[5,7]C.[4,6]D.[5,8]

9.（2024•浙江一模）设a,。是单位向量，则（。+。）2-Q•。的最小值是（）

3

A.-1B.0C.-D.1

4

10.（2024•重庆模拟）已知|。|=石,|石|=1,ab=0,|C+Q|+|C—Q|=4,J2-4fe-J+3=0,则|--2|

的最大值为（）

A.坦+1B,4C.坦+2D.卫

333

二.多选题（共5小题）

11.（2024•湖北模拟）在AABC中，A,B,C所对的边为a,b,c,设边上的中点为A4BC的

面积为S,其中。=2若，b2+c2=24,下列选项正确的是（）

A.若4=工，贝|S=3百B.S的最大值为3/

3

C.AM=3D.角A的最小值为£

3

12.（2024•荷泽模拟）已知向量a在向量6方向上的投影向量为g,},向量b=（1,㈣，且。与6夹角?

则向量a可以为（）

A.(0,2)B.(2,0)C.Q,6)D.(省,1)

mD

13.(2024•兰陵县模拟)定义运算P=mn-pq.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,

qn

ci+h+c3

若a,b,c满足，=0,则下列结论正确的是（）

a+c-b1

A.sinA+sinC=2sinB

B.A:C=1:2

C.角8的最大值为生

3

D.若asinA=4csinC,则AABC为钝角三角形

14.（2024•博白县模拟）在AA5c中，a=2,A^-,则下列结论正确的是（）

2

A.若6=3,则AABC有两解

B.AABC周长有最大值6

C.若AA5c是钝角三角形，则3c边上的高4）的范围为（0,2g）

D.AABC面积有最大值2+百

15.（2024•肇庆模拟）若AA5C的三个内角A,B,C的正弦值为sinA,sinB,sin。，则（）

A.sinA,sinB,sin。一定能构成三角形的三条边

B.一定能构成三角形的三条边

sinAsin5sinC

C.sin2A,sin2B,sin2c一定能构成三角形的三条边

D.VsinA,JsinB,JsinC一定能构成三角形的三条边

三.填空题（共5小题）

16.（2024•河南模拟）已知△ABC的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,C=60。，c=7,若a—b=3,

。为AB中点，则8=.

17.（2024•泸州模拟）已知向量4,6满足|。|=1,|。|=退，\a-2b|=3,则小5=.

18.（2024•江西二模）在AABC中，已知OC=32。，P为线段A£）的中点，若BP=4BA+幺BC,则

11

-1-=.

19.（2024•静安区二模）若单位向量。、b满足则|o-6b|=.

20.（2024•重庆模拟）已知正三角形ABC的边长为2,点。满足a>=〃zC4+〃CB,且m>0,n>0,

2m+n=l,贝UlCDI的取值范围是.

四.解答题（共5小题）

21.（2024•长安区一模）A4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设J%sin4=a（2+cos8）.

（1）求3；

（2）若AABC的面积等于6，求A4BC的周长的最小值.

22.（2024•一模拟）己知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且短）是3c边上的

高.（sinA-sinB）（a+b）=（c-叵b）sinC.

（1）求角A；

（2）若sin（B-C）=受，a=5,求

10

3

23.(2024•大通县二模)在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

2'S/3acsinB=(b+c+a)(b+c—a).

(1)求角A的大小；

(2)若sinC=4sinB,a=y/13,求AABC的面积.

24.(2024•江西一模)在AABC中，已知内角A、B、C的对边分别为。、b、c,且AABC的面积为6，

点。是线段3c上靠近点3的一个三等分点，AD=1.

(1)若ZADC=—,求c；

3

(2)若廿+402=11,求sinNB4c的值.

25.(2024•曲靖模拟)在AABC中，内角A,B,C的对边分别为0，b,c,且c=2acosC-2》.

(1)求A；

(2)线段BC上一点。满足BO=^8C,|AO|=|8O|=1,求他的长度.

4

2025年高考数学解密之平面向量及其应用

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2024•长沙模拟）在△ABC中，。为边5。上一点，ZDAC=—,AD=4,AB=2BD,且△4X7的

3

面积为4石，则sinNABD=（）

A/15—^/1^+百布-布n百十6

A.------------LJ.------------L.----------LJ.-----------

8844

【答案】A

【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算

【专题】数学运算；方程思想；数形结合法；解三角形

【分析】由已知，解得AC=4,得△"心为等腰三角形，在△ABD中，由正弦定理得sin/BAO=」，从

4

而得cos/A4£>=巫，再由两角差的正弦公式即可求得结论.

4

［解答］解：由题意，SADxACxsinZDAC

=ix4xACx—=4>/3,解得AC=4,

22

所以△4X7为等腰三角形，

则乙M)C=工，故NAD3=3,

66

40BD

在△ABD中，由正弦定理得———=

sinZADBsinZBAD

2BDBD

Pnnj_______________________得sinNHAZ)」,

、1~sinZBAD4

2

5TT

因为ZAP3=—,所以NR4D为锐角,

6

=-cos/BAD--sinZBAD=岳一6.

228

故选：A.

【点评】本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理的应用，属中档题.

2.(2024•盐湖区一模)已知△ABC所在平面内一点尸，满足PA+P8+PC=0,贝|AP=()

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

22332332

5

【答案】B

【考点】平面向量的基本定理

【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解

【分析】由已知条件结合平面向量的加法可得出"关于AB、AC的表达式.

【解答】解：因为R4+P8+PC=0,

即-AP+AB-AP+AC-AP=O,

即3AP=AB+AC,

AP=-AB+-AC.

33

故选：B.

【点评】本题考查平面向量的线性运算，属基础题.

3.(2024•平谷区模拟)在AABC中，"sinA=cosB”是“C=工”的()

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件

【专题】11：计算题；35：转化思想；47?：转化法；56：三角函数的求值；5L：简易逻辑；62：逻辑推

理；65：数学运算

【分析】在AABC中，由“sinA=cos3"A+B=-^A-B=-,即C=工或A-B=工；由“C=工”

22222

nA+3=W，则sinA=sin(^-8)=cos3,根据充分必要条件的定义判断即可.

【解答】解：在AABC中，若sinA=cosB,则A+B=工或4一B=工，即C=生或A-8=工，

2222

故在AABC中，“sin4=cos3”推不出“C=工”；

2

若C=3,则A+3=则sinA=sin(9-5)=cos5,

故在AABC中，“C=工”=>"sinA=cosB”；

2

故在AABC中，"sinA=cos3”是“C=工”必要不充分条件.

2

故选：B.

【点评】本题考查了三角函数在三角形中应用，及充分必要条件的定义，属于中档题.

6

4.（2024•和平区二模）平面四边形ABCD中，AB=2,AC=2』,ACVAB,ZADC=—,贝！

3

的最小值为（）

A.-73B.-2拒C.-1D.-2

【答案】D

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【专题】综合法；数学运算；转化思想；平面向量及应用

【分析】由已知，得A,B,C,。四点共圆，从而判断点。的轨迹是以AC为弦，圆周角为名的劣弧

3

（不含A,C两点），根据数量积的几何意义，得出结论.

【解答】解：由AB=2,AC=2A/3,AC±AB,

可得tanZABC=4£=g,故/ABC=工，

AB3

27r

又NAZ）C=—,所以NADC+/4BC=万，

3

以BC为直径作圆，则A,B,C,。四点共圆，

如图所示，故点。的轨迹是以AC为弦，圆周角为女的劣弧（不含A,。两点），

3

则AD-AB=\AD\-\AB\cos,ABAD=2\AD\cosZBAD,

又|AD|•cosZBAD表示A£＞在AB上的投影数量，

由图可知，|AD|-cosN54£）e|-l,0）,

故AD•AB.2（此时点D在劣弧AC的中点位置），

即AB的最小值为-2.

故选：D.

D

【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题.

5.（2024•扬州模拟）已知三个单位向量&,b,C满足a=6+c,则向量b,c的夹角为（）

7

【答案】C

【考点】数量积表示两个平面向量的夹角

【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算

【分析】将a=6+c两边同时平方，再结合平面向量的数量积运算，即可求解.

【解答】解：设向量b,c的夹角为。，6»e[0,yr],

由题意可知，I。1=181=1C1=1,

a=b+c，

贝!Ja2=(b+c)2=b2+c2+2b-c=2+2xlxlxcos0-\,解得cose=-',

2

故。=军.

3

故选：C.

【点评】本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题.

6.(2024•保定三模)已知△ABC是边长为4折的正三角形，点尸是△ABC所在平面内的一点，且满足

\AP+BP+CP\=3,则|API的最小值是()

Q

A.1B.2C.3D.-

3

【答案】C

【考点】两个平面向量的和或差的模的最值；平面向量数量积的性质及其运算

【专题】数形结合；综合法；平面向量及应用；数学运算

【分析】建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解.

【解答】解：以AC所在直线为x轴，以AC中垂线为y轴建立直角坐标系，

则4(-24,0),8(0,6),(7(20,0),

设P(尤,y),因为|AP+5P+CP|=3,所以J(3x+24_0_26)2+(3y_6)2=3,

化简得：V+(y-2)2=1,所以点P的轨迹方程为Y+(y-2)2=1,

设圆心为G,则G(0,2),由圆的性质可知当"过圆心时，|AP|最小，

又因为|AG|=^22+(2百＞=4,所以|AP|得最小值为|AG|-1=4—1=3.

故选：C.

8

【点评】本题考查平面向量的坐标运算和圆的相关知识，属于中档题.

7.（2024•射洪市模拟）在AABC中，点P为线段BC上任一点（不含端点）,^AF=xAB+2yAC（x>0,y>0）,

17

则—+—的最小值为（）

xy

A.9B.8C.4D.2

【答案】A

【考点】平面向量的基本定理

【专题】计算题；对应思想；综合法；平面向量及应用；数学运算

【分析】利用尸，B,C三点共线，得到x+2y=l,再利用基本不等式求最值即可.

【解答】解：F,B,C三点共线，AF=xAB+2yAC（x>0,y>0）,

:.x+2y=\,

：.-+-=（-+-）（x+2y）=^+—+5..2V4+5=9,

xyxyxy

当且仅当生=%，即x=y=」时取等号，

xy3

19

.•.上+4的最小值为9,

故选：A.

【点评】本题考查平面向量共线定理，基本不等式的应用，属于中档题.

8.（2024•江西一模）如图，正六边形的边长为2&,半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M

在正六边形的边上运动，动点A,3在圆。上运动且关于圆心O对称，则舷的取值范围为（）

A.[4,5]B.[5,7]C.[4,6]D.[5,8]

9

【答案】B

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【专题】数学运算；整体思想；平面向量及应用；综合法

【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得朋再由|M0|的范围，即可得

到结果.

【解答】解：由题意可得：MA-MB=(MO+OA)-(MO+OB)=(MO+OA)\MO-OA)

=|MO|2-|OA|2=|MO|2-1,

当OM与正六边形的边垂直时，IMO\min=A/6,

当点V运动到正六边形的顶点时，|MO|g=2夜，

所以[瓜2叵,

即•MB=(|MO|2-1)e[5,7].

故选：B.

【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属中档题.

9.(2024•浙江一模)设a,b是单位向量，则(a+b)?-。包的最小值是()

3

A.-1B.0C.-D.1

4

【答案】D

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【专题】综合法；数学运算；对应思想；平面向量及应用

【分析】由向量的数量积运算及三角函数的有界性计算即可.

【解答】解：因为a,b是单位向量，

所以(a+b)~—ci,b=|a「+2al6+1b|~—a1b=2+a-b,

又因为。=1aITbI,cos<>,且一啜如s<d,，>1,

所以—啜女-b1,

所以(a+6)2-a・6的最小值为2-1=1.

故选：D.

10

【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题.

10.（2024•重庆模拟）已知|才|=有，a-b=0,|c+a|+|c-a|=4,d2-4bd+3=O,则|C-2|

的最大值为（）

A,坦+1B,4C.坦+2D,卫

333

【答案】A

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算

【分析】由题意首先得出|C-d|为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换

为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可.

【解答】解：如图所示：

不妨设a==(也,0),6=08=(0,1),OC=(m,九),=他g),人(一6,0),

满足|。|=唐，\b\=\,a-b=0,

又|c+a|+|c—a|=4,即-^(m+y/3')2+rr+-^(m--\/3)2+n2=4=2a>2c=2-73=|\A\,

由椭圆的定义可知点C在以4，A为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，

a=2,c=也,b=\la2—c2=44-3=1,

所以该椭圆方程为工+/=1,

4

而*2—46.1+3=0,即p2+g2_4q+3=0,gpp2+(q-2)2=1,

这表明了点。在圆储+(y-2)2=l上面运动，其中点E(0,2)为圆心，厂=1为半径，

11

又|c-d|=|OC-。D|=|CD|,,|CE|+|ED|=|CE|+l,等号成立当且仅当C,D,E三点共线，

故只需求|CE|的最大值即可，

因为点C,+y2=1在椭圆上面运动，所以不妨设C(2cos6,sin。)，

所以|CE|=小4cos28+(sin0-2。=^4(1-sin10)+sin20-4sin6*+4=J-3s加?，-4sine+8,

-49

所以当sin6=------------=-—且C,D,E三点共线时，

2x(-3)3

Ic-dI有最大值ICE\max+1=J-3x-4x(_g)+8=2''^+1.

故选：A.

【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题.

二.多选题(共5小题)

11.(2024•湖北模拟)在AABC中，A,B,C所对的边为a,b,c,设3c边上的中点为A/,AABC的

面积为S,其中。=2括，Z?2+c2=24,下列选项正确的是()

A.若4=工，贝”=3gB.S的最大值为

3

C.AM=3D.角A的最小值为巳

3

【答案】ABC

【考点】正弦定理

【专题】转化思想；计算题；数学运算；解三角形；综合法

【分析】对于A，由余弦定理可求6c的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.

对于5,由已知利用基本不等式可求得比,12,进而根据三角形的面积公式即可求解.

对于C,由题意可得2AA/=4B+4C,两边平方，利用平面向量数量积的运算，余弦定理即可求解.

对于D,利用基本不等式可求得公,,12,利用余弦定理可求cosA」，结合范围Ae(0,万)，利用余弦函数

2

的性质即可求解.

【解答】解：对于A,若4=工，。=26，&2+C2=24,

3

由余弦定理片=^+C2—26CCOSA,可得12=62+。2一儿=24-6。，可得6c=12,

所以AABC的面积为S=』6csinA=Lxl2x且=3若，故A正确；

222

对于3,24=Z?2+c2..2bc,Rjbe,,12,当且仅当6=c=2退时等号成立，止匕时a=6=c，可得A=工，

3

所以AABC的面积为S=U6csinA,xl2x3=34，故3正确；

222

12

对于C,因为3c边上的中点为可得2AM=A3+AC,

,2,2.2,,

所以两边平方，可得4AM=AB+AC+2ABACf

力2%M_〃2

可得41AM|2=c2+Z?2+2Z?ccosA=c2+b2+2bc-............-=2(Z?2+c2)-^2=2x24-12=36，解得

2bc

IAM|=3,故C正确；

对于。，因为24=Z??+c?..2/?c,可得be,,12,当且仅当Z?=c=2^/5时等号成立,

因为Ac（O,）），可得Ae（O,-],

3

所以A的最大值为工，故。错误.

3

故选：ABC.

【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，平面向量数量积的运算以及余弦函

数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

12.（2024•荷泽模拟）已知向量。在向量b方向上的投影向量为（亭：），向量b=（1,W），且。与b夹角,

则向量。可以为（）

A.（0,2）B.（2,0）C.（1,拘D.（A/3,1）

【答案】AD

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量的投影向量

【专题】平面向量及应用；转化法；转化思想；数学运算

【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，以及向量的数量积运算，即可求解.

【解答】解：向量6=（1,如），

贝U|6|=J12+（港）2=2,

向量，在向量。方向上的投影向量为（母1），a与b夹角,

则|a|cos—•-^―=^-b，解得|Q|=2,

6\b\2

13

故a•Z?=|〃。Icos—=24，

6

对于A,满足=2百，|a|=2,符合题意，故A正确；

对于5,a-b=2,不符合题意，故5错误；

对于。，。⑦=4,不符合题意，故。错误；

对于O,满足a/=2百，|。|=2,符合题意，故。正确.

故选：AD.

【点评】本题主要考查向量的投影公式，以及向量的数量积运算，是基础题.

YYlD

13.（2024•兰陵县模拟）定义运算P=mn-pq.在AABC中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,

qn

〃+3

若a,6,c满足=0,则下列结论正确的是（）

a+c-b1

A.sinA+sinC=2sinB

B.A:C=1:2

C.角3的最大值为工

3

D.若asinA=4csinC,则AABC为钝角三角形

【答案】ACD

【考点】行列式；正弦定理；解三角形

【专题】解三角形；整体思想；数学运算；综合法

【分析】由新定义运算得a+c=2£>,对于选项A：由正弦定理边化角后知sinA+sinC=2sin3正确；对于

选项区：可举反例进行判断；对于选项C：结合余弦定理及基本不等式，可求得COSB.!,可知。正确;

2

对于选项O：结合条件可得c=24Q=d。，计算cosA即可判断出A为钝角.

33

a+Z?+c3

【解答】解：由=0可知（a+b+c）-3（a+c-Z?）=0,

a+c-b1

整理可知。+。=2），

由正弦定理可知：sinA+sinC=2sin6,

即选项A正确；

因为A=5=C=—满足Q+C=2Z?,

3

但不满足A:C=1:2,

即选项6不正确；

14

22〃、2

a2+c2-(/-^+-C)2

a2+c2-b23(4十0?)—2ac6ac-lac__1

由cosB=(当且仅当Q=C时取”=)，

laclacSacSac2

又0v5〈%,

所以区的最大值为工，

3

即选项。正确；

由asinA=4csinC可得储=4,，

解得a=2c9

又a+c=2b,

94

从而可得。=—〃,〃=—仇。为最大边,

33

/十/一/。十I.切一。/]

贝UcosA=--------------=----------——=——<0,A£(0,4),

2庆2bx(|加4

即角A为钝角，

即选项O正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查了正弦定理，重点考查了余弦定理及基本不等式的应用，属中档题.

14.(2024•博白县模拟)在AABC中，a=2,"%,则下列结论正确的是()

A.若6=3,则AABC有两解

B.AABC周长有最大值6

C.若AABC是钝角三角形，则3c边上的高AD的范围为(0,24)

D.AABC面积有最大值2+若

【答案】ACD

【考点】正弦定理；三角形中的几何计算；解三角形

【专题】分类讨论；解三角形；数学运算；综合法

【分析】A选项，根据6sinA<a</得至IJ结论，判断出A的真假；3选项，由余弦定理和基本不等式求出

周长的最大值，判断出8的真假；C选项，求出三角形的外接圆半径，画出图形，数形结合得A在CD或

CE上，边上的高加的范围为(0,26)；。选项，在C选项的基础上求出面积最大值.

【解答】解：A选项，Z>sinA=3sin—=—,^LbsinA<a<b,故AABC有两解，A正确；

62

5选项，由余弦定理得+c2-tz2=2bccosA,

15

即（b+c）2—2bc—4=2bccos—,化简得S+c）?-4=（2+y/3）bc,

6

由基本不等式得bc„上互，故S+c）2-4,,（2+、）3+c）2,

44

当且仅当6=c时，等号成立，

解得b+G,2#+2近，故A4BC的周长最大值为2遥+2应+2,3错误；

C选项，由正弦定理得4=」一=4,故AABC的外接圆半径为2,

sinA,冗

sin—

6

如图所示，将AABC放入半径为2的圆中，其中3c=£>E=2,ZBDC=~,

6

WBE=CD=26,

AABC是钝角三角形，故A在CD或CE上,

故3c边上的高AD的范围为（0,2百），C正确;

。选项，由C选项可知，当A落在。E的中点时，AABC边3c上的高A/最大,

其中OF=O3sinK=若，

3

此时高A/为2+6，面积最大值为工3c•女尸=2+若，。正确.

2

故选：ACD.

【点评】本题考查余弦定理及基本不等式的性质的应用，属于中档题.

15.（2024•肇庆模拟）若AA5c的三个内角A,B,C的正弦值为sinA,sinB,sinC,则（）

A.sinA,sinB,sinC一定能构成三角形的三条边

B.一定能构成三角形的三条边

sinAsinBsinC

C.sin2A,sin2B,sin2c一定能构成三角形的三条边

D.JsinA,JsinB,JsinC一定能构成三角形的三条边

【答案】AD

【考点】正弦定理；解三角形；余弦定理

16

【专题】逻辑推理；转化思想；计算题；解三角形；综合法；三角函数的求值；数学运算

【分析】根据正弦定理边化角，结合三角形三边满足的关系即可根据选项逐一求解.

【解答】解：对于A,由正弦定理得sinA:sin6:sinC=a:Z?:c,

所以sinA,sinB,sin。作为三条线段的长一定能构成三角形，故A正确，

对于3,由正弦定理得‘：'；一

sinAsinBsinCabc

例如<7=5,b=n,c=13,贝==

a5b12c13

由于，=至,1+』=至，-+故不能构成三角形的三条边长，故3错误，

a125cb156cba

对于C,由正弦定理得sin2A:sin2B:sin2C=a2:b2:c2,

例如：a=3、b=4、c=5f则a?=9、Z?2=16>c2—25

贝|/+/=25=。2,si/A,sin2B,sin2c作为三条线段的长不能构成三角形，故。不正确；

对于£),由正弦定理可得JsinA:JsinB:[sinC=6:而:8,不妨设avbvc,则a+b>c,故

y/u<y[b<yfc,+A/^)2--(A/C)2=Q+Z?-c+2jab>2<ab>0,

所以(6+4b)>Jc,故Z)正确.

故选：AD.

【点评】本题考查的知识要点：正弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

三.填空题(共5小题)

16.(2024•河南模拟)已知△ABC的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,C=60。，c=7,若a—b=3,

。为AB中点，则CD='画.

~2~

【考点】余弦定理；解三角形

【专题】整体思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；数学运算

【分析】由已知结合余弦定理先求出ab,然后结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解.

【解答】解：因为△ABC中，C=60°,c=7,a-b=3,

2

由余弦定理得，o'-a+/?-2。6cos60。=(a-/?)?+ab,

即49=9+",

所以曲=40,

。为AB中点，则CD=；(C4+CB),

1221

所以|C£>『=—(C4+CB+2CA-CB)=-(b2+<r+aV)

44

17

111?Q

=一[（。-6）2+3a团=一（9+120）=一,

444

所以co=辿型.

2

故答案为：叵.

2

【点评】本题主要考查了余弦定理，向量数量积的性质在求解三角形中的应用，属于中档题.

17.（2024•泸州模拟）已知向量々，6满足|刈=1,|6|=百，|a-2bl=3,^]a-b=1.

【答案】L

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【专题】整体思想；转化法；平面向量及应用；数学运算

【分析】对I〃-2切=3两边平方结合已知化简可求出a包的值.

【解答】解：因为|a|=l,|。|=若，|。-2bl=3,

所以|。-2加2=。2-4。1+462=9,

所以1一4a-6+4x3=9,解得a-6=l,

故答案为：L

【点评】本题考查平面向量的数量积及其运用，考查运算求解能力，属于基础题.

18.（2024•江西二模）在AABC中，已知0c=3的，尸为线段4）的中点，若BP=254+,则l+,=

10.

【考点】平面向量的数乘与线性运算；平面向量的基本定理

【专题】转化思想；方程思想；计算题；数学运算；平面向量及应用；综合法

【分析】根据题意，由向量的线性运算公式可得8P=」助+工8。，由平面向量基本定理可得2、〃的值，

28

进而计算可得答案.

【解答】解：根据题意，在AABC中，已知。。=3血，则

4

由于尸为线段AD的中点，贝ljBP=BD+DP=BD+-DA=BD+-（BA-BD）=-BA+-BD=-BA+-BD,

222228

故4=工，//=—,

28

贝IJ有‘+,=2+8=10.

2/j

故答案为：10.

18

A

【点评】本题考查平面向量基本定理，涉及向量的线性运算，属于基础题.

19.（2024•静安区二模）若单位向量。、匕满足a，。，则la-&2.

【答案】2.

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【专题】综合法；数学运算；平面向量及应用；整体思想

【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解.

【解答】解：单位向量4、6满足

则a•8=0,

贝!11a_屏|=^a2-2y/3a-b+3b2=Jl-0+3=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题.

20.（2024•重庆模拟）已知正三角形ABC的边长为2,点。满足C£>=wC4+〃C3,且%>0,n>0,

2m+«=l,贝i」|C0的取值范围是_（1,2）_.

【答案】（1,2）.

【考点】平面向量的基本定理

【专题】数学运算；转化思想；平面向量及应用；向量法

【分析】取AC的中点E，由题意得CD=2m+,从而推得3,D,E三点共线，进而得出

\CE\<^CD\<\CB\,即可求得结论.

【解答】解：取