2025年高考数学复习：复数【七大题型】

专题5.4复数【七大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1复数的概念】.............................................................................6

【题型2复数的四则运算】........................................................................6

【题型3复数的几何意义】........................................................................7

【题型4复数的相等】.............................................................................7

【题型5复数的模】...............................................................................7

【题型6复数的三角表示】........................................................................8

【题型7复数与方程】.............................................................................9

►考情分析

1、复数

考点要求真题统计考情分析

2022年新高考全国I卷：第2

题，5分、II卷：第2题，5

分

2023年新高考I卷：第2题，

(1)通过方程的解，认识复复数是高考的热点内容，是高考的

5分

数必考内容之一.从近几年的高考情况来

2023年新高考II卷：第1题，

⑵理解复数的代数表示看，高考对复数的考查比较稳定，往往

5分

及其几何意义，理解两个以单选题、填空题的形式考查，考查内

2024年新高考I卷：第2题，

复数相等的含义容、难度变化不大，主要考查复数的概

5分

(3)掌握复数的四则运算，念、运算及其几何意义，属于简单题.

2024年新高考II卷：第1题，

了解复数加、减运算的几预测明年高考复数依旧以单选题、填空

5分

何意义题形式呈现，比较简单.

2024年全国甲卷(文数)：第

1题，5分、(理数)：第1

题，5分

►知识梳理

【知识点1复数的概念】

1.复数的概念

(1)复数的概念

我们把形如。+历(a/CR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+历I。/GR}叫

做复数集.这样，方程x2+l=0在复数集C中就有解x=i了.

(2)复数的表示

复数通常用字母Z表示，即z=a+6i(a,6GR).以后不作特殊说明时，复数z=a+历都有a,6GR,其中的。

与b分别叫做复数z的实部与虚部.

(3)复数的分类

对于复数a+历，当且仅当6=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当厚0时，它叫做虚

数；当a=0且厚0时，它叫做纯虚数.

显然，实数集R是复数集C的真子集，即R殳C.

复数z=a+历可以分类如下：

得和|实数(6=0)

1虚数(6/0)(当。=0时为纯虚数).

2.复数相等

在复数集C={a+bi|a,6GR}中任取两个数q+历，c+di(a,b,c,d^R),我们规定：。+历与c+di相等当且仅当

a=c且nd,即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.

【知识点2复数的几何意义】

1.复数的几何意义

(1)复平面

-■~■对应一■-■对应

根据复数相等的定义，可得复数z="+历^-------＞有序实数对m,b),而有序实数对(/加^-------＞平面

直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.

如图所示，点Z的横坐标是a,纵坐标是6,复数z=a+历可用点Z(a,6)表示，这个建立了直角坐标系来

表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

(虚轴)W

b-------RZ：Q+历

除原点外，虚

轴上的点都仁

表示纯虚数

(实轴)

oux

实轴上的点都表示实数

(2)复数的几何意义——与点对应

由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一

—■—■对应

的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi＜------＞复平面内的

点Z(a,6),这是复数的一种几何意义.

(3)复数的几何意义——与向量对应

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一

对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.

如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+历，连接OZ,显然向量&由点Z唯一确定；反过来，点

Z(相对于原点来说)也可以由向量OZ唯一确定.

因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数。与零向量对应)，即复数z=a+6i

-■-■对应T

<------->平面向量OZ,这是复数的另一种几何意义.

向量OZ的模厂叫做复数Z=a+历的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果6=0,那么z=a+bi是一个实数a,它

的模等于同(就是“的绝对值).由模的定义可知，\z\=\a+bi\=r=Va2+b2(r^0,reR).

3.共飘复数

⑴定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共辗复数.虚部不等于0

的两个共朝复数也复数z的共软复数用工表示，即若z=a+历，则==a-历.特别地，实数。的共辗复数仍是a

本身.

(2)几何意义

互为共轨复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共软复数在复

平面内所对应的点重合，且在实轴上.

(3)性质

①(z)=z.

②实数的共辗复数是它本身，即z=Z—zeR,利用这个性质可证明一个复数为实数.

4.复数的模的几何意义

(1)复数2=a+历(“力6即的模忆|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a力)到坐标原点的距离，这是复数

的模的几何意义.

(2)复数z在复平面内对应的点为Z,7■表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以

原点为圆心，厂为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>厂表示圆的外部.

【知识点3复数的运算】

1.复数的四则运算

(1)复数的加法法则

设Zi=°+历，z2=c+di(a,b,c,d,-R)是任意两个复数，那么Zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(6+t/)i.

(2)复数的减法法则

类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+历的复数

x+yi(x,yGR)叫做复数a+bi(a,6GR)减去复数c+di(c,dGR)的差，记作(a+bi)-(c+di).

根据复数相等的定义，有c+a=a,d+y=b,因此x=a-c,y=b-d,所以x+yi=(a-c)+(b-rf)i,即(a+历)-(c+di)

=(a-c)+(6-4i.这就是复数的减法法则.

(3)复数的乘法法则

设Zi=a+6i,z2=c+di(a,6,c,deR)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+6ci+adi+61i2

=(ac-bd)+(ad-^-bc)i.

可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把产换成-1,并且把实部与

虚部分别合并即可.

(4)复数的除法法则

a+bi_(a+bi)(c—di)_(ac+bd)+(be—ad)i_ac+bdbe—ad

(a+/7i)：(c+di)=i(a,瓦c,d©R,且

c-\-d\(c+t/i)(c—di)c2+d，2c2+d，2c2+d2

c+di#O).

由此可见，两个复数相除(除数不为0),所得的商是一个确定的复数.

2.复数加法、减法的几何意义

(1)复数加法的几何意义

在复平面内，设Zi=〃+bi,22=。+M(。,仇。,"£即对应的向量分别为021，OZ2,则OZi=(〃,b),OZ2=(c,d).

以区，衣对应的线段为邻边作平行四边形OZ1ZZ2(如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得次二酝

+OZ2=(a,b)+(c,d)=(a+c,b-^d),即z=(〃+c)+(Z?+6?)i,即对角线OZ对应的向量就是与复数(〃+c)+3+J)i对应的向

量.

(2)复数减法的几何意义

两个复数为=a+历，Z2=c+di(a,b,c,dGR)在复平面内对应的向量分别是赤，OZ2,那么这两个复数的差

Z|-Z2对应的向量是酝-近，即向量

如果作次=2,那么点Z对应的复数就是Z|-Z2(如图所示).

这说明两个向量厉与近的差方就是与复数Qc)+(b⑷i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向

量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.

2

0X

3.复数运算的常用技巧

(1)复数常见运算小结论

①(1+i)2=2i=]+i；

_7i

②(1—i)2=-2i----r=1—i----r=-1+i;

1—11—1

③(1+i)(1—i)=2--=1-i----r=1+i；

1十i1-i

公1+i.1—i.

---7J—T="I；

1—11+1

⑤i4"+l="i“，+2=_l,j4"+3=-i,i4，=l(〃wZ).

(2)常用公式

(a+Z?i)(a—bi)=a2+b2；

(a±6i)2=a?+62±2abi；

(<?iZ>i)3=a3-3ab2±(3。26—b')i.

【知识点4复数有关问题的解题策略】

1.复数的概念的有关问题的解题策略

(1)复数z=a+6i(a,bGR),其中a,b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部6=0,与实部。无关；

若z为虚数，则虚部bNO,与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a=0且bWO.

(2)复数z=a+8i(a,6GR)的模记作|z|或|a+6i|,即|二|=|a+bi|=y/a2+b2.

(3)复数z=a+6i(a,6GR)的共辗复数为z=a—bi,则z-z=|zf=H,gp|z|=|z|=y]z'z,若zeR,

贝！Jz=z.

2.复数的运算的解题策略

(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；

(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.

3.复数的几何意义的解题策略

由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量

与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.

4.复数的方程的解题策略

(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.

(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.

【方法技巧与总结】

1+i.1—i.

1.(l±i)92=±2i；K=1；kT=-1

2.i4”=l,i4"+i=i,i4”+2=—],i"+3=—i(〃eN*).

3,i4n+i4n+I+i4,,+2+i4n+3=0(〃eN*).

4.复数z的方程在复平面上表示的图形

（l）aW|z|W6表示以原点。为圆心，以。和6为半径的两圆所夹的圆环;

⑵|z-（a+bi）|=r（r>0）表示以（0力）为圆心，r为半径的圆.

►举一反三

【题型1复数的概念】

【例1】（2024・湖北.模拟预测）已知z=i（—l+2i）,则z的虚部为（）

A.2B.-1C.2iD.-i

【变式1-1]（2024•宁夏银川•一模）已知复数2=爪2-1+（瓶+j2）.葭7neR）表示纯虚数，则爪=（）

A.1B.-1C.1或一1D.2

【变式1-2]（2024•吉林白山•一模）复数z=i+2i2+3i3,贝！jz的虚部为（）

A.2iB.-2iC.2D.-2

【变式1-3]（2024•陕西咸阳・模拟预测）己知复数z=爪2一7爪+6+（爪2—36）i是纯虚数，则实数小的值

为（）

A.±6B.1或6C.-6D.1

【题型2复数的四则运算】

【例2】（2024•西藏•模拟预测）已知复数z=2—i,则卫=（）

z—z

1111

A.--+iB.--iC.-+iD.---i

2222

【变式2-1]（2024.河南.三模）已知i为虚数单位，臀=（）

（1-1）2

A.1+iB.1—iC.-1+iD.-1—i

【变式2-2]（2024•陕西西安・三模）已知复数z=3+i,则妇的虚部为（）

Z-1

33

A.-3B.--C.3D.-

55

【变式2-3]（2024・北京•三模）若复数2=£1-1+5（£1+1》为纯虚数，其中a€R,i为虚数单位，则把=

1—ai

（）

A.iB.-iC.1D.-1

【题型3复数的几何意义】

【例3】（2024•江西上饶•模拟预测）在复平面内，复数z=④对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【变式3-1]（2024.重庆.二模）若复数z=（2-a）+（2a-l）i（aGR）为纯虚数，则复数z+a在复平面上的

对应点的位置在（）

A.第一象限内B.第二象限内

C.第三象限内D.第四象限内

【变式3-2]（2024•黑龙江齐齐哈尔•三模）复平面内4B,C三点所对应的复数分别为l-i,2-i,3+i,若四

边形力BCD为平行四边形，则点D对应的复数为（）

A.2B.2+iC.1D.1+i

【变式3-3]（2024•全国•模拟预测）已知Zi=2-i,z2=a-2i（a6R,i为虚数单位）.若z）z?在复平

面内对应的点分别为Z],Z2，点。为原点，且。Z11OZ2，则。=（）

A.1B.-1C.4D.-4

【题型4复数的相等】

【例4】（2023•全国•三模）已知i3=a—bi（a,beR）,贝b+b的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【变式4-1]（2024•辽宁・模拟预测）已知富=2—i,x,yER,则x+y=（）

A.2B.3C.4D.5

【变式4-2]（2023•内蒙古包头•一模）设a（l+i）+b=—i,其中a,b是实数，贝U（）

A.a=-1,b=-1B.a=-l,b=1C.a=1,b=1D.a=1,b=-1

【变式4-3]（2023•湖南岳阳•模拟预测）已知i为虚数单位，式,y为实数,若（％+yi）+2=（3-4i）+2yi,

则久+y=（）

A.2B.3C.4D.5

【题型5复数的模】

【例5】（2024.湖北黄冈.模拟预测）已知复数z=3,，表示z的共轨复数，则因=（）

1—1

A.—B.-C.—D.V2

422

【变式5-1]（2024.河北.模拟预测）若复数z=3-4i,则|z-i一切=（）

A.V2B.5C.5V2D.7V2

【变式5-2](2024•陕西西安.模拟预测)已知aeR,若2=怒为纯虚数，贝U|z|=()

A.V2B.2C.1D.-

2

【变式5-3](2024•山东枣庄•模拟预测)已知复数Zi，Z2，Z]#：z2,若同时满足|z|=1和|z-l|=|z-i|,

则0-22|为()

A.1B.V3C.2D.2V3

【题型6复数的三角表示】

[例6](2024■内蒙古赤峰.一模)棣莫弗公式(cosx+i-sinx)n=cos(nx)+i-sin(nx)(其中i为虚数单位)

是由法国数学家棣莫弗(1667-1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cos^+i-sinf2在复平面内所对

应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【变式6-1](2024•广东•模拟预测)棣莫弗公式(cos%+isinx)n=cosnx+isinnx(i为虚数单位)是由法国

数学家棣莫弗(1667—1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数3=cosg+i-sin^,则d的值是

()

A.—(A)B.-C.(JL)D.(JI)

3

【变式6-2](2024.黑龙江哈尔滨.三模)复数z=a+bi(a,6eR,i是虚数单位)在复平面内对应点为Z,设丁=

|。2|,8是以％轴的非负半轴为始边，以。Z所在的射线为终边的角，则2=a+出=N(：058+151116),把

NcosJ+isin。)叫做复数a+历的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，[r(cos。+

isin6)『=rn(cosn0+isinn^)(n6N*),例如：(一:+手。=(cos+isin=cos2ir+isin2n=1,

(1+i)4=(V^(cos；+isin；))=4(cosn+isinir)=—4,复数z满足：z3=1+i,则z可能取值为()

A.V2^cos+isinB.夜(cos亨+isin亨)

C.迈(cos号+isinD.达(cos等+isin等)

【变式6-3](2023•湖北恩施•模拟预测)任意一个复数z=a+历都可以表示成三角形式，即a+bi=

r(cos6+isin。).棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗(1667—1754年)创立的，指的是：设两个复数z1=

丁i(cos6i+isin%),z2=^i(cos02+isin%)，则zm?=r1r2[cos(01+02)+isin(0i+4)]，已知复数z=|+

yi,贝口。23+z2+2=（）

11,V3.1V3.ci

AA.-BD.-d——iC.--------1D.1

22222

【题型7复数与方程】

【例7】（2024.山西阳泉.三模）已知2+i是实系数方程/+「久一q=o的一个复数根，则p+q=（）

A.-9B.-1C.1D.9

【变式7-1]（2024•黑龙江大庆•模拟预测）在复数范围内方程/-2久+2=0的两个根分别为与，%2,则

\xi+2久21=（）

A.1B.V5C.V7D.V10

【变式7-2]（2024全国・模拟预测）已知1+21是方程/+„1刀+5=0（66/?）的一个根，则爪=（）

A.-2B.2C.iD.-1

【变式7-3]（2024.浙江杭州•模拟预测）已知方程/+改+1=o（其中i为虚数单位）的两根分别为zi，z2,

则有（）

A.z1=z2>QB.zr+z2—ZiZ2C.11+zx|=11+z21D.=i

►过关测试

一、单选题

1.（2024・北京大兴•三模）已知（m-i）2为纯虚数，则实数租=（）

A.0B.1C.-1D.±1

2.（2024.新疆.三模）复数z满足|z+2i|=|z|,则z的虚部为（）

A.-iB.iC.-1D.1

3.（2024•陕西西安•模拟预测）若复数z=^，则|z|=（）

1—v3i

A.V5B.V10C.5D.10

4.（2024•浙江•模拟预测）若复数z满足z+22=3+i（i为虚数单位），贝Uz在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.（2024・浙江.模拟预测）已知2=若③，则怙2—1|=（）

A.1B.V3C.2D.—

2

6.（2024・四川内江•模拟预测）若复数z满足z2—2z+4=0,则|z|=（）

A.V3B.2C.V5D.V2

7.（2024.陕西安康.模拟预测）已知复数z满足（B-i）z-i=B,则复数z的共粗复数，=（）

*1V3,1.V3,V31,V3.1.

A.-----1BD.-4——1C.-----1D.——FT

22222222

8.（2024•四川绵阳•模拟预测）欧拉公式理=cos。+isin。把自然对数的底数e,虚数单位i,cos。和sin。联

系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则em+l=（）

A.-1B.0C.1D.i

二、多选题

9.（2024•江苏无锡・模拟预测）设Zi，Z2为复数，则下列结论正确的是（）

A.|z1z2|=|z1||z2|B.Z1+Z2=57+药

C.若|z/=㈤，则zj=z/D."z】<Z2"是Z-Z2<0"的充分不必要条件

10.（2024・湖北荆州・三模）已知复数2=爪2-1+（机+1》（a€10，则下列命题正确的是（）

A.若z为纯虚数，则m=±1

B.若z为实数，贝（Jz=0

C.若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，则m=-1

D.z在复平面内对应的点不可能在第三象限

11.（2024•浙江舟山•模拟预测）已知复数z1,Z2是关于x的方程/+6久+1=0（-2<b<2,beR）的两根,

下列说法中正确的是（）

A.z7=zB.—GRC.\z^\=\z\=1D.若b=1,则z：=z,=1

2Z22

三、填空题

12.（2024•山东青岛・二模）已知复数z满足（z+2）i=2z-1,则复数2=.

13.（2024・上海.三模）设2=瓶2一1+（小一1》（i为虚数单位）,若z为纯虚数，则实数根的值为.

14.（2024.江苏南通•模拟预测）复数2-3i与-1+i分别表示向量瓦?与方，记表示向量屈的复数为z,则

ZZ=.

四、解答题

15.（2024•甘肃兰州•一模）实数6取什么值时，复数z=ni+3+（爪—3）i是

⑴实数？

⑵虚数？

（3）纯虚数？

16.(2024.河南.模拟预测)己知复数z=学生.

(1)若复数(V^z-m)2-2m在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围；

(2)若z2,&z+z2在复平面内对应的点分别为8,C,求cosNBOC(点O为坐标原点).

17.(2024•黑龙江大庆•模拟预测)已知复数z=m-i(znER),且，•(1+3i)为纯虚数(5是z的共辗复

数).

(1)设复数Z1=炉，求ZI；

1—1

C:2021

(2)复数Z2="一在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.

Z

18.(2024.上海•模拟预测)已知关于%的方程%2-3a%-3a=0(aeR)的虚数根为%1、x2.

(1)求㈤+的取值范围;

(2)若|%1-121=1，求实数。的值.

19.(2024.黑龙江大庆.模拟预测)欧拉(1707-1783),他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明

了欧拉公式=cose+isin。，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的6取作n就得到了欧拉

恒等式2近+1=0,它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然

对数的底数e,圆周率it,两个单位——虚数单位i和自然数单位1,以及被称为人类伟大发现之一的0,数学

家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：eie=cos0+isin0,解决以下问题：

(1)将复数6表示成a+bi(a,b€R,i为虚数单位)的形式；

⑵求岸+e0i|(8eR)的最大值；

(3)若z71=1,贝!Jz=Zk(k=0,1,2,…，71—1)，这里Zk=cos等+isin等(k=0,1,2,…，n-1)，称纵为1的一

个几次单位根，简称单位根.类比立方差公式，我们可以获得/一I=(X—1)(X4+/+/+-+D，复

2Tl.

数Z=数,1H(x)=X2+X+2,求H(Z)H(Z2)H(Z3)H(Z4)的值.

专题5.4复数【七大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1复数的概念】.............................................................................6

【题型2复数的四则运算】........................................................................6

【题型3复数的几何意义】........................................................................7

【题型4复数的相等】.............................................................................7

【题型5复数的模】...............................................................................7

【题型6复数的三角表示】........................................................................8

【题型7复数与方程】.............................................................................9

►考情分析

1、复数

考点要求真题统计考情分析

2022年新高考全国I卷：第2

题，5分、II卷：第2题，5

分

2023年新高考I卷：第2题，

⑴通过方程的解，认识复复数是高考的热点内容，是高考的

5分

数必考内容之一.从近几年的高考情况来

2023年新高考II卷：第1题，

⑵理解复数的代数表示看，高考对复数的考查比较稳定，往往

5分

及其几何意义，理解两个以单选题、填空题的形式考查，考查内

2024年新高考I卷：第2题，

复数相等的含义容、难度变化不大，主要考查复数的概

5分

(3)掌握复数的四则运算，念、运算及其几何意义，属于简单题.

2024年新高考II卷：第1题，

了解复数加、减运算的几预测明年高考复数依旧以单选题、填空

5分

何意义题形式呈现，比较简单.

2024年全国甲卷(文数)：第

1题，5分、(理数)：第1

题，5分

►知识梳理

【知识点1复数的概念】

1.复数的概念

(1)复数的概念

我们把形如〃+历(a,6GR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+历/GR}叫

做复数集.这样，方程—+1=0在复数集c中就有解x=iT.

(2)复数的表示

复数通常用字母z表示，即z=a+历(a,6GR).以后不作特殊说明时，复数z=a+历都有a,6GR,其中的。

与b分别叫做复数z的实部与虚部.

(3)复数的分类

对于复数a+bi,当且仅当6=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当厚0时，它叫做虚

数；当a=0且厚0时，它叫做纯虚数.

显然，实数集R是复数集C的真子集，即R殳C.

复数z=a+历可以分类如下：

复数［实数的=0)

员奴I虚数(6W0)(当。=0时为纯虚数).

2.复数相等

在复数集C={a+历|a,6GR}中任取两个数a+bi,c+di(a力,c,dGR)，我们规定：。+历与c+di相等当且仅当

°=c且匕=力即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.

【知识点2复数的几何意义】

1.复数的几何意义

(1)复平面

-■-•对应一,-•对应

根据复数相等的定义，可得复数z=a+6i^-----------＞有序实数对(。力)，而有序实数对36)^----------＞平面

直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.

如图所示，点Z的横坐标是a,纵坐标是6,复数z=a+历可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来

表示复数的平面叫做复平面，尤轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

(虚轴)y

bRZ：Q+历

除原点外，虚

轴上的点都仁

表示纯虚数

(实轴)

ox

实轴上的点都表示实数

(2)复数的几何意义•与点对应

由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一

---"对应

的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是---对应的，即复数z=a+6i^------------＞复平面内的

点Z(a,b),这是复数的一种几何意义.

(3)复数的几何意义——与向量对应

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一

对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.

如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连接OZ,显然向量OZ由点Z唯一确定；反过来，点

Z（相对于原点来说）也可以由向量OZ唯一确定.

因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的（实数0与零向量对应），即复数z=“+6i

~~■对应T

《------->平面向量OZ,这是复数的另一种几何意义.

向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+历|.如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它

的模等于⑷（就是a的绝对值）.由模的定义可知，\z\=\a+bi\=r=y/a2+b2（r^O,reR）.

3.共朝复数

⑴定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共辗复数.虚部不等于0

的两个共轨复数也复数z的共软复数用W表示，即若z=a+6i,则==a-历.特别地，实数。的共辗复数仍是。

本身.

（2）几何意义

互为共轨复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称（如图）.特别地，实数和它的共辗复数在复

平面内所对应的点重合，且在实轴上.

>"Z.:a+6i

b----•

Q\a~T

I

(3)性质

①(z)=z.

②实数的共辗复数是它本身，即z=』OzdR,利用这个性质可证明一个复数为实数.

4.复数的模的几何意义

⑴复数z=a+6i（a力GR）的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z（a,6）到坐标原点的距离，这是复数

的模的几何意义.

（2）复数z在复平面内对应的点为Z,r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以

原点为圆心，厂为半径的圆，团＜厂表示圆的内部，团＞厂表示圆的外部.

【知识点3复数的运算】

1.复数的四则运算

(1)复数的加法法则

设Zi=q+6i,z2=c+di(a,b,c,d-R)是任意两个复数，那么Zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+S+60i.

(2)复数的减法法则

类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数

x+yi(x,yGR)叫做复数a+历(a,6GR)减去复数c+di(c,dGR)的差，记作(“+历)-(c+di).

根据复数相等的定义，有C+JJ=CZ,d+y=b,因此x=a-c,y=b-d,所以x+yi=(a-c)+(b-＜7)i,即(a+历)-(c+di)

=3c)+(b⑷i.这就是复数的减法法则.

(3)复数的乘法法则

2

设Zi=a+6i,z2=c+di{a,b,c,deR)是任意两个复数，那么它们^]^(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi

二(〃c-她+(〃d+/?c)i.

可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i?换成-1,并且把实部与

虚部分别合并即可.

(4)复数的除法法则

,,..,...a+bi(a+bi)(c—di)(ac+bd)+(be—ad)iac+bdbe—ad,八

(4+Zn)=(c+dl)=―r-yr=，，，且

c+di(c+di)(c—di)-------------------------------=+1("&cdeR

c+di#O).

由此可见，两个复数相除(除数不为0),所得的商是一个确定的复数.

2.复数加法、减法的几何意义

(1)复数加法的几何意义

在复平面内，设Zi=a+bi,Z2=c+di(a,瓦c,dGR)对应的向量分别为OZI,OZ2,则QZ[=(a,6),OZ2-(c,d).

以历，砺对应的线段为邻边作平行四边形OZiZZz(如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得次=酝

+OZ2=(^,/?)+(c,J)=(«+c,/?+J),即z=(〃+c)+S+J)i,即对角线OZ对应的向量就是与复数(〃+c)+3+J)i对应的向

量.

(2)复数减法的几何意义

两个复数Zi=q+0i,Z2=c+di(〃,A,Gd£R)在复平面内对应的向量分别是OZi,OZ2,那么这两个复数的差

Z|-Z2对应的向量是酝-5N,即向量入

如果作次=可，那么点Z对应的复数就是Z|-Z2(如图所示).

这说明两个向量厉与近的差就是与复数3-c)+S0i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向

量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.

2

0X

3.复数运算的常用技巧

(1)复数常见运算小结论

①(1+i)2=2i=]+i；

_7i

②(1—i)2=-2i-----r=1—i-----r=-1+i;

1—11—1

③(1+i)(1—i)=2--=1-i-----r=1+i；

1十i1-i

公1+i.1—i.

----7J—T="I；

1—11+1

⑤i4"+l="i“，+2=_l,j4"+3=-i,i4，=l(〃wZ).

(2)常用公式

(a+Z?i)(a—bi)=a2+b2；

(a±6i)2=a?+62±2abi；

(<?iZ>i)3=a3-3ab2±(