2025年高考数学二轮过关测试卷（北京专用）解析版

绝密★本科目考试启用前

2025年高考数学二轮过关测试卷01（北京专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合力=同尤2-2x-3<。},8={x|尤>1},则/口8=（）

A.(—1,3)B.(—3,1)C.(—1/)D.(1,3)

【答案】D

【详解】解不等式/一2x-3<0可得-l<x<3,即/=(-1,3)；

又5={x|x>l}=(l,+e),

因此Zc8=(L3).

故选：D

7-1-1

2.若一；=i,则叵|=()

z-1

51

A.V2B.三C.1D.?

【答案】C

_|_1

【详解】由=7-i，可得z+l=i(z-l),

z—I

所以z=

0-i)(l+i)

故I,0=1,

故选：C

3.在V/3C中，/C=],C4=C3=2逝，点尸满足方=20+(1-/1)而，且屈.羽=4，则4=()

1133

A.—B.-C.—D.—

4444

【答案】B

【详解】由题可知，G4C5-0，

故而•方=[/1瓦+(1-/1).>印一瓦)=一2p|+(一2将j=-82+8\-A.>-162+8,

1/18

故一⑹+8=4,解得八1

故选：B.

4.已知/(x)为定义在R上的函数，/(2)=2,且g(x)=〃2x)+x2为奇函数，则/(-2)=()

A.-4B.-2C.0D.2

【答案】A

【详解】因为g(x)=/(2x)+/为奇函数，

所以g(x)+g(-x)=〃2x)+x2+/62r开6)2=/性卜太)-2X2=0,

令x=l,^/(2)+/(-2)+2xl2=0,所以/(-2)=-2-/(2)=-2-2=T.

故选：A.

5.在(x-±)4展开式中，常数项的二项式系数为()

X

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【详解】二项式(x-J)4展开式的通项&|=C；xj(_gy=(_l)yx""/eN,rW4,

由4-4r=0,得r=l,则。-《尸展开式的常数项是第2项，

X

所以常数项的二项式系数为C；=4.

故选：A

6.已知抛物线/=4x的焦点为R点M在抛物线上，垂直y轴于点N,若|儿历|=6,贝！IAMVF的面积为

()

A.8B.4石C.5A/5D.1075

【答案】C

【详解】

2/18

因为抛物线产=4尤的焦点为尸（1,0）,准线方程为尤=-1,

所以|MF|=XM+1=6,故无时=5,

不妨设M在第一象限，故河3,2君），

所以凡的=:X（5-0）X26=56.

故选：C.

3

7.在V/8C中，/8=4,/C=5,cosC=—,则8c的长为（）

4

3

A.6或一B.6C.3+3后D.3

2

【答案】A

【详解】由余弦定理可得—四谓并52+|C5|2-42_3

10|5C|~-4

3

故21时7-15忸C|+18=0＞忸口=6或习，

故选：A

8.已知直线/：＞=履+1与圆。:（工+咪+/=/什＞0）,则mR,直线/与圆C有公共点”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】易知圆C:（尤+l）2+必=r2（r＞（））的圆心为C（-l,0）,半径为『，

当V左eR,直线/与圆C有公共点时，1一耳，4,恒成立,即（r-1）/+2后+/-120恒成立,

y/1+k

则/l1＞0且A=4-4（F2-1）2WO,解得严—121，即VI或厂4-血（舍去）

所以“V左eR,直线/与圆C有公共点”是“r＞行”的必要不充分条件，

故选：B.

9.风筝又称为“纸莺”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，

研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年级学生制作的一个风筝模型的多面体/3CEHD为

的中点，四边形EFDC为矩形，且。尸_L48,AC=BC=4,ZACB=120°,当/E_L5E时，多面体/3CE产

的体积为（）

3/18

E

A16V68巡旦

D.娓

3亍3

【答案】A

【详解】在V/BC中，因为/C=8C且。为的中点，所以CDLZB,

又因为。尸，48,且。尸1。=。，。尸,CZ>u平面

所以48,平面CDFE,

在VN8C中，因为/C=BC=4且44圆=120°,

所以/8=2/O=2x4cos300=4用且CD=2,

因为四边形CZ»花为矩形，可得。尸，CO,

又因为。尸_L48,480。。=。且/氏。＜=平面48(丁所以。尸人平面4BC,

因为CEHDF,所以CEL平面4BC,

又因为NC,8Cu平面48C,所以CE，NC,CE，5C,

设CE=m,在直角△/(7£中，可得/E2=/C2+/=i6+/,

在直角ABCE中，^^BE2=BC-+m-=\6+m2,

因为N£_L8£,所以/笈=/加+8£2,

即48=16+/+16+加2,解得以=20,

所以多面体N8CE尸的体积

=

V=^A-CDFE+^B-CDFE2%.O)FE=2x§SCDFE-AD=2X—X2X2y[2x2^/3=---

故选：A.

/（X"）

10.给定函数1(x),若数列｛七｝满足则称数列卜0｝为函数/(x)的牛顿数列.已知",｝为

f1^Y

x—2

/(无)=/一工一2的牛顿数列，«„=ln^-且％=l,x“>2(neN+),数列｛%｝的前i项和为S”.则邑出二

尤"+1

()

A.22023-1B.22024-1

4/18

2023

-1

【答案】A

【详解】由/(x)=--x-2可得/'(x)=2x-l,

x“+「22匕-1上：],则两边取对数可得山2In%二

X

n+1+1X”+2+]x„+iJZ+i+1xn+\

2x„-l

即凡用=2《，所以数列｛%｝是以1为首项，2为公比的等比数列.

1x(1-22023

所以邑023=---------22023-l.

1-2

故选：A.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知〃=2一口，6=1。8工：，c=log23,则三者大小关系为________（按从小到大顺序）

43

【答案】a<b<c

【详解】因为。=2-」<2-|=!，

2

Z,=logi|=log43>log42=y,<^=logi|=log43<l,

42a3

c=log23>log22=1,

故a<b<c，

故答案为：a<b<c.

22

12.设双曲线C：=一4=1（。>0,6>0）的右顶点为凡且产是抛物线的焦点.过点尸的直线/与

ab

抛物线r交于a8两点，满足万:=2屈，若点/也在双曲线c上，则双曲线c的离心率为.

【答案】叵/1月

33

【详解】抛物线r：，=4x的焦点厂（1,0）,直线/不垂直于y轴，设其方程为x=）+i,

fx=/y+1./、

由<2:消去x得：/-4Zy-4=0,设/区,弘）,8&2，%），则为为=-4,

[y=4x

5/18

由4尸=2F5，得M=-2%,由对称性不妨令点A在第一象限，解得M=2A/5,项=2,

22Aoo

由点/(2,2夜)在双曲线。:三-彳=1上得，3-白=1,又°=1,解得/=；,

aba-b"3

13.已知函数/。)=5皿0m+0)(0>0,0<0<71),若/(x)是偶函数，则夕=；若圆面/+y2V2恰

好覆盖〃x)图象的最高点或最低点共3个，则。的取值范围是.

【答案】][1,2)

【详解】因为“X)是偶函数，则0=痴+],左eZ,

7T

且0<9工兀，所以左=0#=5；

可得/(%)=sin(即x+|■卜cos师x,设/(%)的最小正周期为T,

因为“X)和炉+/«2均关于y轴对称，

可知圆面在歹轴右侧仅覆盖“X)图象的1个最低点，

—<1

可得彳2,解得1<TW2,

T>1

6/18

且①>0,贝!Jl<——<2,解得①<2,

所以。的取值范围是[1,2）,

故答案为：p[1,2）.

14.已知数列｛0｝为等比数列，q=1,%=3%，贝U%=；数歹I]｛。“+2｝的前4项和为.

【答案】8148

【详解】等比数列｛氏｝中，由。3=3?，得数列｛%｝的公比4=3,通项%=//I=3"T,

所以%=34=81；

数歹！1+2｝的前4项和为（％+2）+Q+2）+（%+2）+（%+2）=1+3+9+27+4x2=48.

故答案为：81；48

15.数学上的符号函数可以返回一个整型变量，用来指出参数的正负号，一般用sgn（x）来表示，其解析式为

-l,x<0

sgnx=<0,x=0.已知函数/(x)=2sinx-sgn(cosx),给出下列结论:

l,x>0

①函数/（无）的最小正周期为兀；

②函数/（X）的单调递增区间为-]+析（+析（aeZ）；

③函数/（力的对称中心为（痴⑼（左eZ）；

④在[-2兀,2可上函数的零点个数为4.

其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）

【答案】①④

-2sinx,cosx<0

【详解】函数/1(x)=2sinx-sgn(cosx)=,0,cosx=0,画出函数的部分图象，如图所示:

2sinx,cosx>0

/(x+兀)=2sin(x+7i)sgn(cos(x+兀))=-2sinx(-sgn(cos=2sinxsgn(cos*=f],

7/18

结合函数图象可知，函数/（X）的最小正周期为兀，结论①正确；

由/生T=（UeZ,结合函数图象可知，函数的单调递增区间为1-＞而争也］（左eZ）,结论②错

误；

结合函数图象可知，函数/（"的对称中心为（左eZ）,结论③错误；

函数g（x）=M*（x）T的零点，即方程好'（力-1=0的根，x=0时方程不成立，

方程等价于/（x）=J,

V2y=f（x）

函数/'（X）与函数y的图象在［-2元,2可上有4个交点，

所以在［-2兀,2可上函数g（x）=/（x）-1的零点个数为4.结论④正确.

故答案为：①④

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.（13分）如图所示，在四棱锥P-/BCD中，PA=AC=2,BC=1,AB=6

P

⑴若N。，平面尸/B,证明：40〃平面尸3C；

⑵若尸底面/BCD,ADYCD,二面角/-CP-D的正弦值为逅，求40的长.

3

【答案】（1）证明见解析（2）40=收

【详解】（1）证明：；ZC=2,BC=\,AB=y/3,BC2+AB2=AC2,

：.ZABC=9Q°,即3C_LN瓦

：NO_L平面尸45,NBu平面

AD1AB,

8/18

ADIIBC,又BCu平面尸8C,4。0平面尸8。，

ADU平面PBC；

(2),：PAV&ABCD,CD,NDu底面/BCD,

PAVCD,PALAD,又ADLCD,

以点。为原点，以£>4DC所在的直线为XJ轴，过点。作村的平行线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示:

令AD=t,则/&0,0）,尸,0,2）,。（0,0,0）,

示?=卜/,,4_/,0）,万=（0,0,2）,

设平面ACP的法向量为4=（xl,yl,z1）,

,=+,4_产弘=0

•[履后=0pz,=0

令演=A/4-Z2,则弘==0,

4=（，4—4,/,（））,

设平面CPD的法向量为%=（工2，%/2），

n2-DP-0+2Z[=0

"l^-Z）C=0=0，

令Z[=t,则X2=-2,%=0,

-

«2=（2,0,t）,

・・•二面角4-CP-。的正弦值为1,则余弦值为理,

33

6_一々•"2_2AM-产

又二面角为锐角，.•.q-=卜。$〃1,元

卜小％|214+/2

9/18

解得看=拒，所以=

17.(14分)已知函数/(x)=2A/3sincoxcoso)x+2cos2cox,(o)>0)的最小正周期为兀.

(1)求G的值；

(2)在锐角V/5c中，角4,B,。所对的边分别为〃，b,c.c为在0看上的最大值，再从条件①、条件②、

条件③这三个条件中选择一个作为已知，求。-6的取值范围.条件①：acosB+bcosA=2ccosC；条件②：

2asin/cosB+6sin24=6。；条件③：V45。的面积为S,且5=十"——注：如果选择多个条件分

4

别解答，按第一个条件计分.

【答案】(1)1⑵卜

【详解】(1)由题意可知：/(%)=2^/3sincoxcoscox+2cos2cox=43sin2cox+cos2cox+1=2sin+^+1,

兀

因为函数〃无)的最小正周期为兀，且。>0,所以。=d2=L

2兀

(2)由(1)可知：/(x)=2sin^2x+^+l,

因为xe0,g,则2x+?e,

L2j6166」

可知当2x+1=J,即苫=四时，/(x)取到最大值3,即c=3.

626

若条件①：因为acosB+6cos4=2。cosC,

由正弦定理可得sin4cos5+sin2cos4=2sinCcosC,

又因为sin4cosB+sinBcosA=sin(/+5)=sinC,

可得sinC=2sinCcosC,且C£，则,由。。。，

1TT

可得cosC=—,所以C=—,

23

之=上=^」=26

由正弦定理可得sin/sin5sinC，可得a=2百sin4,6=26sinB，

T

则a—6=2百sinA-243sinB=2百sinA-26sin14+

/i—\

=2A/3sin24-2A/3—sind———COST4

(22J

=5/3sin/-3cosA=2百sinf74--|,

10/18

„.71

0<A<—

因为V48C锐角三角形，贝I]。2,解得[</<?

八2兀，兀62

0<------A<—

I32

可得贝！sin可得一百<6—Q〈百

636213/2

所以“-6的取值范围为卜后G）；

若条件②；因为2asin/cos5+bsin2/=也a，

由正弦定理可得：Zsin?/cosB+sin5sin2/=JJsin/,

则2sin24cos8+2sinBsin4cos/=@sinZ，

因为则sin/wO,

可得2sin力cosB+2sin5cos4=2sin(A+@=2sinC=V"^,

即sinC=与，且Ce(0，Wj,所以C=；,

^=上=，-=26

由正弦定理可得sin/sin5sinCG，可得a=2百sinZ/=26sinB，

T

则a—6=2GsinA-2Gsin5=2^3sinA-2Gsin14+

=2A/3sinA-2百f—sinA+cosA

(22J

=GsinZ_3cos/=2VJsin(4一11,

„.71

0<A<—

因为VN8C锐角三角形，贝1］°2,解得

八2兀，兀62

0<------A<—

132

可得贝卜彳<sin(/一屋］<］，可得<b-a

63625JZ

所以"6的取值范围为卜后百)；

若选③：因为5=百.+62一1),则工血由八一以cosC,

424

整理得tanC=百，MCek^J,所以C=1,

11/18

，=上=，」=26

由正弦定理可得sin/sinBsinC，可得q=2Gsin46=26sinB,

T

则Q—6=2V^sin4—2GsinB=20sin/—2Visinf4-y

=2瓜in/-2百4n/+与。sj

22J

=VJsin/-3cosA=2百sin1/一1J,

„.71

0<A<—

因为VN8C锐角三角形，则、2,解得[</<?

八2兀，兀62

0<-----A<—

132

可得贝I_彳<sin1%一不]<不，可得</?_〃<百

63625)1

所以"6的取值范围为卜后百).

18.（13分）习近平总书记高度重视体育运动的发展，将体育与国家发展、民族振兴紧密联系在一起，多次强

调体育”是实现中国梦的重要内容”“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为了响应总书记的号召，某中学组织

全体学生开展了丰富多彩的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本,

统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表:

时间人数类

[0,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

别

男51213898

性别

女69101064

初中10

学段

高中41312754

（1）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在［60,70）的概率;

（2）从该校参加体育实践活动时间在［80,90）学生中随机抽取2人，在［90,100）的学生中随机抽取1人，求其中

至少有1名初中学生的概率;

（3）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为4,

12/18

初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为从，〃2,试比较〃。与必产的大小关系.（结论不要

求证明）

【答案】（1）］（2）萼（3）〃。＞，

【详解】（1）女生共有6+9+10+10+6+4=45人，

记事件/为“从所有调查学生中随机抽取1人，女生被抽到”,

事件3为“从所有调查学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在［60,70），，,

1

100

2

9

所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，

估计该学生参加体育活动时间在［60,70）的概率为§.

（2）时间在［80,90）的学生有10+5=15人，

活动时间在［90,100］的初中学生有8+4-4=8人，

记事件C为“从参加体育活动时间在［80,90）的学生中随机抽取2人，抽到初中学生”，

事件。为“从参加体育活动时间在［90,100］的学生中随机抽取1人,抽到的是初中学生”,

由题意知，事件C,。相互独立，

且尸©=

所以至少有1名初中学生的概率E=l-P（丽）=1-尸（0P（万）=1-=

（3）根据男女生人数先补全初中学生各区间人数：

时间人数类别[0,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

男51213898

性别

女69101064

13/18

初中781111108

学段

高中41312754

初中生的总运动时间％=25x7+8x55+11x65+11x75+10x85+8x95=3765,

高中生的总运动时间%2=4x25+13x55+12x65+7x75+5x85+4x95=2925,

1a7Aqnnnc

又“。=766^3765+2925)=66.9,«68.45,//2==65,

可得由%>匕受.

19.(15分)已知椭圆C:1+《=l(“>6>0),C的下顶点为8,左、右焦点分别为片和耳，离心率为;,

过月的直线/与椭圆C相交于。，E两点.若直线/垂直于BG，则V2DE的周长为8.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线/与坐标轴不垂直，点E关于x轴的对称点为G,试判断直线。G是否过定点，并说明理由.

22

【答案】⑴?+?=1⑵(4,0),理由见详解.

【详解】(1)由题意可知|明|=。,|。周=。,

因为离心率为

若直线明，则直线/垂直平分线段2片,

所以*FQE,

由于VB0E的周长为8,故△片的周长为8,

14/18

由定义可知：|郎|+快闯=2。,|必|+|跋|=2%

所以△耳的周长为4。=8,故。=2,

所以。=1,故b=G，

所以椭圆。的方程：—+^=1.

43

（2）由题意可设直线/的方程为》=啊+1,必）,£（了2，%），则Gfx2,-%），如图所示:

因为玉=町+L&=啰+1,

将其代入直线DG方程，可得>=（jc-mvj-1）+^,

加（%一%）

」的工巾，曰（必+%"一2"%％一（弘+力）小

可整理得：y=-----------7------「-------（*）

见%一%）

x=my+1

22

联立方程xyi得（3/«2+4）/+6my-9=0,

I43

6m9

贝lj必+%=一

-3m25+4，%％12=--3-m-25-+--4，

所以"为号，gp2myly2=3（yl+y2）,

（必+%卜一4（乂+%1-6）一4）

将其代入（*）式中，可得直线DG方程为：了=

〃心-力）

可见直线DG过定点（4,0）,

所以直线DG过定点，坐标为（4,0）.

20.（15分）已知函数/'（x）=xe©（a>0）.

⑴求曲线y=〃x）在点（oj⑼）处的切线方程;

15/18

(2)求/(无)在区间［-U］上的最大值与最小值；

(3)当a=1时，求证：［(X)2lnr+x+1.

【答案】(i)y=x(2)见解析⑶证明见解析

【详解】⑴/(力=(1+词巴r(o)=i,/(o)=o,

所以曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为了=壬

(2)/,(x)=(l+ax)ettI,a>0

当0<aVl时,/'(x)20在区间上恒成立，〃x)在区间［-1,1］上单调递增,

所以函数/(x)的最小值为/(-!)=-e”,最大值为〃l)=e",

当a>l时，/，(x)=0,得x=—e(—1,0),

/'(X)在区间-1,-\小于0,函数/'(x)单调递减，

/'(x)在区间大于0,函数〃尤)单调递增，

所以函数/⑺的最小值为/卜；|=-：，

=〃l)=e“，显然所以函数/(x)的最大值为〃l)=e“,

综上可知，当0<aWl时，函数/(无)的最小值为=