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文档简介
绝密★本科目考试启用前
2025年高考数学二轮过关测试卷01(北京专用)
(考试时间:120分钟试卷满分:150分)
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合力=同尤2-2x-3<。},8={x|尤>1},则/口8=()
A.(—1,3)B.(—3,1)C.(—1/)D.(1,3)
【答案】D
【详解】解不等式/一2x-3<0可得-l<x<3,即/=(-1,3);
又5={x|x>l}=(l,+e),
因此Zc8=(L3).
故选:D
7-1-1
2.若一;=i,则叵|=()
z-1
51
A.V2B.三C.1D.?
【答案】C
_|_1
【详解】由=7-i,可得z+l=i(z-l),
z—I
所以z=
0-i)(l+i)
故I,0=1,
故选:C
3.在V/3C中,/C=],C4=C3=2逝,点尸满足方=20+(1-/1)而,且屈.羽=4,则4=()
1133
A.—B.-C.—D.—
4444
【答案】B
【详解】由题可知,G4C5-0,
故而•方=[/1瓦+(1-/1).>印一瓦)=一2p|+(一2将j=-82+8\-A.>-162+8,
1/18
故一⑹+8=4,解得八1
故选:B.
4.已知/(x)为定义在R上的函数,/(2)=2,且g(x)=〃2x)+x2为奇函数,则/(-2)=()
A.-4B.-2C.0D.2
【答案】A
【详解】因为g(x)=/(2x)+/为奇函数,
所以g(x)+g(-x)=〃2x)+x2+/62r开6)2=/性卜太)-2X2=0,
令x=l,^/(2)+/(-2)+2xl2=0,所以/(-2)=-2-/(2)=-2-2=T.
故选:A.
5.在(x-±)4展开式中,常数项的二项式系数为()
X
A.4B.3C.2D.1
【答案】A
【详解】二项式(x-J)4展开式的通项&|=C;xj(_gy=(_l)yx""/eN,rW4,
由4-4r=0,得r=l,则。-《尸展开式的常数项是第2项,
X
所以常数项的二项式系数为C;=4.
故选:A
6.已知抛物线/=4x的焦点为R点M在抛物线上,垂直y轴于点N,若|儿历|=6,贝!IAMVF的面积为
()
A.8B.4石C.5A/5D.1075
【答案】C
【详解】
2/18
因为抛物线产=4尤的焦点为尸(1,0),准线方程为尤=-1,
所以|MF|=XM+1=6,故无时=5,
不妨设M在第一象限,故河3,2君),
所以凡的=:X(5-0)X26=56.
故选:C.
3
7.在V/8C中,/8=4,/C=5,cosC=—,则8c的长为()
4
3
A.6或一B.6C.3+3后D.3
2
【答案】A
【详解】由余弦定理可得—四谓并52+|C5|2-42_3
10|5C|~-4
3
故21时7-15忸C|+18=0>忸口=6或习,
故选:A
8.已知直线/:>=履+1与圆。:(工+咪+/=/什>0),则mR,直线/与圆C有公共点”是的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】易知圆C:(尤+l)2+必=r2(r>())的圆心为C(-l,0),半径为『,
当V左eR,直线/与圆C有公共点时,1一耳,4,恒成立,即(r-1)/+2后+/-120恒成立,
y/1+k
则/l1>0且A=4-4(F2-1)2WO,解得严—121,即VI或厂4-血(舍去)
所以“V左eR,直线/与圆C有公共点”是“r>行”的必要不充分条件,
故选:B.
9.风筝又称为“纸莺”,由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期,相传墨翟以木头制成木鸟,
研制三年而成,是人类最早的风筝起源.如图,是某高一年级学生制作的一个风筝模型的多面体/3CEHD为
的中点,四边形EFDC为矩形,且。尸_L48,AC=BC=4,ZACB=120°,当/E_L5E时,多面体/3CE产
的体积为()
3/18
E
A16V68巡旦
D.娓
3亍3
【答案】A
【详解】在V/BC中,因为/C=8C且。为的中点,所以CDLZB,
又因为。尸,48,且。尸1。=。,。尸,CZ>u平面
所以48,平面CDFE,
在VN8C中,因为/C=BC=4且44圆=120°,
所以/8=2/O=2x4cos300=4用且CD=2,
因为四边形CZ»花为矩形,可得。尸,CO,
又因为。尸_L48,480。。=。且/氏。<=平面48(丁所以。尸人平面4BC,
因为CEHDF,所以CEL平面4BC,
又因为NC,8Cu平面48C,所以CE,NC,CE,5C,
设CE=m,在直角△/(7£中,可得/E2=/C2+/=i6+/,
在直角ABCE中,^^BE2=BC-+m-=\6+m2,
因为N£_L8£,所以/笈=/加+8£2,
即48=16+/+16+加2,解得以=20,
所以多面体N8CE尸的体积
=
V=^A-CDFE+^B-CDFE2%.O)FE=2x§SCDFE-AD=2X—X2X2y[2x2^/3=---
故选:A.
/(X")
10.给定函数1(x),若数列{七}满足则称数列卜0}为函数/(x)的牛顿数列.已知",}为
f1^Y
x—2
/(无)=/一工一2的牛顿数列,«„=ln^-且%=l,x“>2(neN+),数列{%}的前i项和为S”.则邑出二
尤"+1
()
A.22023-1B.22024-1
4/18
2023
-1
【答案】A
【详解】由/(x)=--x-2可得/'(x)=2x-l,
x“+「22匕-1上:],则两边取对数可得山2In%二
X
n+1+1X”+2+]x„+iJZ+i+1xn+\
2x„-l
即凡用=2《,所以数列{%}是以1为首项,2为公比的等比数列.
1x(1-22023
所以邑023=---------22023-l.
1-2
故选:A.
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.
11.已知〃=2一口,6=1。8工:,c=log23,则三者大小关系为________(按从小到大顺序)
43
【答案】a<b<c
【详解】因为。=2-」<2-|=!,
2
Z,=logi|=log43>log42=y,<^=logi|=log43<l,
42a3
c=log23>log22=1,
故a<b<c,
故答案为:a<b<c.
22
12.设双曲线C:=一4=1(。>0,6>0)的右顶点为凡且产是抛物线的焦点.过点尸的直线/与
ab
抛物线r交于a8两点,满足万:=2屈,若点/也在双曲线c上,则双曲线c的离心率为.
【答案】叵/1月
33
【详解】抛物线r:,=4x的焦点厂(1,0),直线/不垂直于y轴,设其方程为x=)+i,
fx=/y+1./、
由<2:消去x得:/-4Zy-4=0,设/区,弘),8&2,%),则为为=-4,
[y=4x
5/18
由4尸=2F5,得M=-2%,由对称性不妨令点A在第一象限,解得M=2A/5,项=2,
22Aoo
由点/(2,2夜)在双曲线。:三-彳=1上得,3-白=1,又°=1,解得/=;,
aba-b"3
13.已知函数/。)=5皿0m+0)(0>0,0<0<71),若/(x)是偶函数,则夕=;若圆面/+y2V2恰
好覆盖〃x)图象的最高点或最低点共3个,则。的取值范围是.
【答案】][1,2)
【详解】因为“X)是偶函数,则0=痴+],左eZ,
7T
且0<9工兀,所以左=0#=5;
可得/(%)=sin(即x+|■卜cos师x,设/(%)的最小正周期为T,
因为“X)和炉+/«2均关于y轴对称,
可知圆面在歹轴右侧仅覆盖“X)图象的1个最低点,
—<1
可得彳2,解得1<TW2,
T>1
6/18
且①>0,贝!Jl<——<2,解得①<2,
所以。的取值范围是[1,2),
故答案为:p[1,2).
14.已知数列{0}为等比数列,q=1,%=3%,贝U%=;数歹I]{。“+2}的前4项和为.
【答案】8148
【详解】等比数列{氏}中,由。3=3?,得数列{%}的公比4=3,通项%=//I=3"T,
所以%=34=81;
数歹!1+2}的前4项和为(%+2)+Q+2)+(%+2)+(%+2)=1+3+9+27+4x2=48.
故答案为:81;48
15.数学上的符号函数可以返回一个整型变量,用来指出参数的正负号,一般用sgn(x)来表示,其解析式为
-l,x<0
sgnx=<0,x=0.已知函数/(x)=2sinx-sgn(cosx),给出下列结论:
l,x>0
①函数/(无)的最小正周期为兀;
②函数/(X)的单调递增区间为-]+析(+析(aeZ);
③函数/(力的对称中心为(痴⑼(左eZ);
④在[-2兀,2可上函数的零点个数为4.
其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)
【答案】①④
-2sinx,cosx<0
【详解】函数/1(x)=2sinx-sgn(cosx)=,0,cosx=0,画出函数的部分图象,如图所示:
2sinx,cosx>0
/(x+兀)=2sin(x+7i)sgn(cos(x+兀))=-2sinx(-sgn(cos=2sinxsgn(cos*=f],
7/18
结合函数图象可知,函数/(X)的最小正周期为兀,结论①正确;
由/生T=(UeZ,结合函数图象可知,函数的单调递增区间为1->而争也](左eZ),结论②错
误;
结合函数图象可知,函数/("的对称中心为(左eZ),结论③错误;
函数g(x)=M*(x)T的零点,即方程好'(力-1=0的根,x=0时方程不成立,
方程等价于/(x)=J,
V2y=f(x)
函数/'(X)与函数y的图象在[-2元,2可上有4个交点,
所以在[-2兀,2可上函数g(x)=/(x)-1的零点个数为4.结论④正确.
故答案为:①④
三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16.(13分)如图所示,在四棱锥P-/BCD中,PA=AC=2,BC=1,AB=6
P
⑴若N。,平面尸/B,证明:40〃平面尸3C;
⑵若尸底面/BCD,ADYCD,二面角/-CP-D的正弦值为逅,求40的长.
3
【答案】(1)证明见解析(2)40=收
【详解】(1)证明:;ZC=2,BC=\,AB=y/3,BC2+AB2=AC2,
:.ZABC=9Q°,即3C_LN瓦
:NO_L平面尸45,NBu平面
AD1AB,
8/18
ADIIBC,又BCu平面尸8C,4。0平面尸8。,
ADU平面PBC;
(2),:PAV&ABCD,CD,NDu底面/BCD,
PAVCD,PALAD,又ADLCD,
以点。为原点,以£>4DC所在的直线为XJ轴,过点。作村的平行线为z轴,建立空间直角坐标系如图所示:
令AD=t,则/&0,0),尸,0,2),。(0,0,0),
示?=卜/,,4_/,0),万=(0,0,2),
设平面ACP的法向量为4=(xl,yl,z1),
,=+,4_产弘=0
•[履后=0pz,=0
令演=A/4-Z2,则弘==0,
4=(,4—4,/,()),
设平面CPD的法向量为%=(工2,%/2),
n2-DP-0+2Z[=0
"l^-Z)C=0=0,
令Z[=t,则X2=-2,%=0,
-
«2=(2,0,t),
・・•二面角4-CP-。的正弦值为1,则余弦值为理,
33
6_一々•"2_2AM-产
又二面角为锐角,.•.q-=卜。$〃1,元
卜小%|214+/2
9/18
解得看=拒,所以=
17.(14分)已知函数/(x)=2A/3sincoxcoso)x+2cos2cox,(o)>0)的最小正周期为兀.
(1)求G的值;
(2)在锐角V/5c中,角4,B,。所对的边分别为〃,b,c.c为在0看上的最大值,再从条件①、条件②、
条件③这三个条件中选择一个作为已知,求。-6的取值范围.条件①:acosB+bcosA=2ccosC;条件②:
2asin/cosB+6sin24=6。;条件③:V45。的面积为S,且5=十"——注:如果选择多个条件分
4
别解答,按第一个条件计分.
【答案】(1)1⑵卜
【详解】(1)由题意可知:/(%)=2^/3sincoxcoscox+2cos2cox=43sin2cox+cos2cox+1=2sin+^+1,
兀
因为函数〃无)的最小正周期为兀,且。>0,所以。=d2=L
2兀
(2)由(1)可知:/(x)=2sin^2x+^+l,
因为xe0,g,则2x+?e,
L2j6166」
可知当2x+1=J,即苫=四时,/(x)取到最大值3,即c=3.
626
若条件①:因为acosB+6cos4=2。cosC,
由正弦定理可得sin4cos5+sin2cos4=2sinCcosC,
又因为sin4cosB+sinBcosA=sin(/+5)=sinC,
可得sinC=2sinCcosC,且C£,则,由。。。,
1TT
可得cosC=—,所以C=—,
23
之=上=^」=26
由正弦定理可得sin/sin5sinC,可得a=2百sin4,6=26sinB,
T
则a—6=2百sinA-243sinB=2百sinA-26sin14+
/i—\
=2A/3sin24-2A/3—sind———COST4
(22J
=5/3sin/-3cosA=2百sinf74--|,
10/18
„.71
0<A<—
因为V48C锐角三角形,贝I]。2,解得[</<?
八2兀,兀62
0<------A<—
I32
可得贝!sin可得一百<6—Q〈百
636213/2
所以“-6的取值范围为卜后G);
若条件②;因为2asin/cos5+bsin2/=也a,
由正弦定理可得:Zsin?/cosB+sin5sin2/=JJsin/,
则2sin24cos8+2sinBsin4cos/=@sinZ,
因为则sin/wO,
可得2sin力cosB+2sin5cos4=2sin(A+@=2sinC=V"^,
即sinC=与,且Ce(0,Wj,所以C=;,
^=上=,-=26
由正弦定理可得sin/sin5sinCG,可得a=2百sinZ/=26sinB,
T
则a—6=2GsinA-2Gsin5=2^3sinA-2Gsin14+
=2A/3sinA-2百f—sinA+cosA
(22J
=GsinZ_3cos/=2VJsin(4一11,
„.71
0<A<—
因为VN8C锐角三角形,贝1]°2,解得
八2兀,兀62
0<------A<—
132
可得贝卜彳<sin(/一屋]<],可得<b-a
63625JZ
所以"6的取值范围为卜后百);
若选③:因为5=百.+62一1),则工血由八一以cosC,
424
整理得tanC=百,MCek^J,所以C=1,
11/18
,=上=,」=26
由正弦定理可得sin/sinBsinC,可得q=2Gsin46=26sinB,
T
则Q—6=2V^sin4—2GsinB=20sin/—2Visinf4-y
=2瓜in/-2百4n/+与。sj
22J
=VJsin/-3cosA=2百sin1/一1J,
„.71
0<A<—
因为VN8C锐角三角形,则、2,解得[</<?
八2兀,兀62
0<-----A<—
132
可得贝I_彳<sin1%一不]<不,可得</?_〃<百
63625)1
所以"6的取值范围为卜后百).
18.(13分)习近平总书记高度重视体育运动的发展,将体育与国家发展、民族振兴紧密联系在一起,多次强
调体育”是实现中国梦的重要内容”“体育强则中国强,国运兴则体育兴”,为了响应总书记的号召,某中学组织
全体学生开展了丰富多彩的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况,随机抽取100名学生作为样本,
统计他们参加体育实践活动时间(单位:分钟),得到下表:
时间人数类
[0,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]
别
男51213898
性别
女69101064
初中10
学段
高中41312754
(1)从该校随机抽取1名学生,若已知抽到的是女生,估计该学生参加体育实践活动时间在[60,70)的概率;
(2)从该校参加体育实践活动时间在[80,90)学生中随机抽取2人,在[90,100)的学生中随机抽取1人,求其中
至少有1名初中学生的概率;
(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替,样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为4,
12/18
初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为从,〃2,试比较〃。与必产的大小关系.(结论不要
求证明)
【答案】(1)](2)萼(3)〃。>,
【详解】(1)女生共有6+9+10+10+6+4=45人,
记事件/为“从所有调查学生中随机抽取1人,女生被抽到”,
事件3为“从所有调查学生中随机抽取1人,参加体育活动时间在[60,70),,,
1
100
2
9
所以从该校随机抽取1名学生,若已知抽到的是女生,
估计该学生参加体育活动时间在[60,70)的概率为§.
(2)时间在[80,90)的学生有10+5=15人,
活动时间在[90,100]的初中学生有8+4-4=8人,
记事件C为“从参加体育活动时间在[80,90)的学生中随机抽取2人,抽到初中学生”,
事件。为“从参加体育活动时间在[90,100]的学生中随机抽取1人,抽到的是初中学生”,
由题意知,事件C,。相互独立,
且尸©=
所以至少有1名初中学生的概率E=l-P(丽)=1-尸(0P(万)=1-=
(3)根据男女生人数先补全初中学生各区间人数:
时间人数类别[0,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]
男51213898
性别
女69101064
13/18
初中781111108
学段
高中41312754
初中生的总运动时间%=25x7+8x55+11x65+11x75+10x85+8x95=3765,
高中生的总运动时间%2=4x25+13x55+12x65+7x75+5x85+4x95=2925,
1a7Aqnnnc
又“。=766^3765+2925)=66.9,«68.45,//2==65,
可得由%>匕受.
19.(15分)已知椭圆C:1+《=l(“>6>0),C的下顶点为8,左、右焦点分别为片和耳,离心率为;,
过月的直线/与椭圆C相交于。,E两点.若直线/垂直于BG,则V2DE的周长为8.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线/与坐标轴不垂直,点E关于x轴的对称点为G,试判断直线。G是否过定点,并说明理由.
22
【答案】⑴?+?=1⑵(4,0),理由见详解.
【详解】(1)由题意可知|明|=。,|。周=。,
因为离心率为
若直线明,则直线/垂直平分线段2片,
所以*FQE,
由于VB0E的周长为8,故△片的周长为8,
14/18
由定义可知:|郎|+快闯=2。,|必|+|跋|=2%
所以△耳的周长为4。=8,故。=2,
所以。=1,故b=G,
所以椭圆。的方程:—+^=1.
43
(2)由题意可设直线/的方程为》=啊+1,必),£(了2,%),则Gfx2,-%),如图所示:
因为玉=町+L&=啰+1,
将其代入直线DG方程,可得>=(jc-mvj-1)+^,
加(%一%)
」的工巾,曰(必+%"一2"%%一(弘+力)小
可整理得:y=-----------7------「-------(*)
见%一%)
x=my+1
22
联立方程xyi得(3/«2+4)/+6my-9=0,
I43
6m9
贝lj必+%=一
-3m25+4,%%12=--3-m-25-+--4,
所以"为号,gp2myly2=3(yl+y2),
(必+%卜一4(乂+%1-6)一4)
将其代入(*)式中,可得直线DG方程为:了=
〃心-力)
可见直线DG过定点(4,0),
所以直线DG过定点,坐标为(4,0).
20.(15分)已知函数/'(x)=xe©(a>0).
⑴求曲线y=〃x)在点(oj⑼)处的切线方程;
15/18
(2)求/(无)在区间[-U]上的最大值与最小值;
(3)当a=1时,求证:[(X)2lnr+x+1.
【答案】(i)y=x(2)见解析⑶证明见解析
【详解】⑴/(力=(1+词巴r(o)=i,/(o)=o,
所以曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为了=壬
(2)/,(x)=(l+ax)ettI,a>0
当0<aVl时,/'(x)20在区间上恒成立,〃x)在区间[-1,1]上单调递增,
所以函数/(x)的最小值为/(-!)=-e”,最大值为〃l)=e",
当a>l时,/,(x)=0,得x=—e(—1,0),
/'(X)在区间-1,-\小于0,函数/'(x)单调递减,
/'(x)在区间大于0,函数〃尤)单调递增,
所以函数/⑺的最小值为/卜;|=-:,
=〃l)=e“,显然所以函数/(x)的最大值为〃l)=e“,
综上可知,当0<aWl时,函数/(无)的最小值为=
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