2025年高考数学二轮复习专项训练：空间几何体（学生版+解析）

2025二轮复习专项训练17

空间几何体

［考情分析］高考常考知识，主要考查几何体的表面积与体积、球的组合体问题.常以选择

题、填空题的形式出现，部分题目难度较大.

【练前疑难讲解】

一、空间几何体的截面问题

1.用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性

质确定截面形状是解决截面问题的关键.

2.确定截面的主要依据有

(1)平面的四个基本事实及推论.

(2)直线和平面平行的判定和性质.

(3)两个平面平行的性质.

(4)球的截面的性质.

二、表面积与体积

1.柱体、锥体、台体、球的表面积公式：

⑴圆柱的表面积S=2a(r+Z)；

⑵圆锥的表面积S=u(r+/)；

(3)圆台的表面积S=n(r'2+r2+r/Z+rZ);

⑷球的表面积S=4兀屐

2.柱体、锥体和球的体积公式：

(1W槎体=S/7(S为底面面积，%为高)；

(2)V铢体=§S/7(S为底面面积，h为高)；

(3)V球=g兀R3.

三、多面体与球

多面体的外接球模型：

(1)长方体的外接球直径为体对角线，

Eylcr+^+c2

则-2——；

正方体的外接球半径为R=华；

正方体的内切球半径为r=f.

(2)柱体模型

如图①，在三棱柱PBiG—A3C中，已知B4,平面4BC,设外接球半径为R,球心为0,

△ABC的外接圆圆心为。1，则R=N。。彳+。1屋=4卷）十户,其中r=OiA为△Age外接

圆半径.

（3）锥体模型

如图②，在正三棱锥中，先求出高线长〃=「。1=3出2一户,

2222

在RtZXOOiA中，R=OOl+r=（h-R）+r,解方程求出R,其中R为外接球半径，「=。欣

为△ABC外接圆半径，。1为△ABC的外接圆圆心.

（4）正四面体（构造正方体）、对棱相等的三棱锥（构造长方体）

如图③：正四面体Q—A'BC可构造正方体（所有面对角线相等）；

如图④：对棱相等的三棱锥A—80可构造长方体（对面的对角线相等）.

1.（23-24高三上•山东枣庄•期末）已知正四棱台的上下底面边长分别为1和3,高为2.用

一个平行于底面的截面截棱台，若截得的两部分几何体体积相等，则截面与上底面的距离

为（）

A.|B.呼C.施D.V14-1

2.（2021・天津•高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的

体积为子，两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）

A.3万B.4万C.9兀D.12万

二、多选题

3.（23-24高三上•云南•阶段练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的

圆台002,轴截面A8C。为等腰梯形，且满足CD=2Afi=2AD=28C=4cm.下列说法正

确的是（）

o,)D

A.该圆台轴截面A3C0的面积为3瓜n?

B.该圆台的表面积为Ihicn?

C.该圆台的体积为2百兀cn?

D.该圆台有内切球，且半径为在cm

2

4.（2023・广东深圳•二模）如图，在矩形AEFC中，AE=26,EF=4,B为EF中点,现分

别沿AB、8C将AABE、△8CF翻折，使点E、产重合，记为点P,翻折后得到三棱锥P-

ABC,贝lj（）

A.三棱锥P-ABC的体积为逑B.直线B4与直线BC所成角的余弦值为赵

36

C.直线出与平面P2C所成角的正弦值为gD.三棱锥尸-ABC外接球的半径为

V22

~T

三、填空题

5.（2024・全国•高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为R下底面半径均为4，圆台的

母线长分别为2（弓-4）,3（4-4）,则圆台甲与乙的体积之比为.

6.（2024•浙江宁波•模拟预测）已知圆锥的轴截面面积为3』，则该圆锥的外接球半径的最

小值为.

【基础保分训练】

一、单选题

1.（2024•湖南长沙•二模）蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造

和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐、毡包或毡帐.已知蒙古

包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3

米，底面圆的面积为64兀平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（）

A.（112+16&5平方米B.（80+16而'）无平方米

C.（112+18旧）兀平方米D.（80+18而'）兀平方米

2.（2022•全国•高考真题）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3若和4百，其

顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.100兀B.128兀C.1447tD.19271

3.（2024・湖南•二模）如图，在四面体尸-ABC中，E4_L平面

ABC,ACVCB,PA=AC=2BC^2,则此四面体的外接球表面积为（）

A.3兀B.9TIC.36兀D.48兀

4.（2024•宁夏银川•一模）已知圆锥的底面圆周在球。的球面上，顶点为球心。，圆锥的高

为3,且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球。的表面积为（）

A.1271B.1671C.48KD.96兀

5.（2024•江苏南京•二模）在圆台002中，圆。2的半径是圆。1半径的2倍，且。2恰为该圆

台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（）

A.3:4B.1:2C.3:8D.3:10

6.（23-24高三下•江西•阶段练习）已知某棱长为20的正四面体的各条棱都与同一球面相

切，则该球的表面积为（）

c4兀

A.4兀B.2兀C.—D.兀

3

7.（2023・天津北辰•三模）中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球"，取鬼斧神

工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂.1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺

应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国

玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可

以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各

层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（）

A.4.76B.4A/3C.276D.6

8.（2024・天津・二模）已知正方体的外接球的体积为36兀，点E为棱的

中点，则三棱锥G-AEO的体积为（）.

A.1B.2道C.D.16A/3

9.（2024•河北邢台・一模）如图，正四棱台容器ABCD-ABCA的高为12cm,

A5=10cm,A片=2cm,容器中水的高度为6cm.现将57个大小相同、质地均匀的小铁

球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm,若忽略该容器壁的厚度，则小

铁球的半径为（）

10.（2024・天津滨海新•二模）如图所示，这是古希腊数学家阿基米德最引以为自豪的发

现：圆柱容球定理.圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，在当时并不

知道球的面积和体积公式的情况下，阿基米德用穷竭法解决面积问题，用杠杆法解决体积

问题.我们来重温这个伟大发现，求圆柱的表面积与球的表面积之比和圆柱体积与球体积之

比（）

二、多选题

11.(2024•山西朔州•一模)已知圆锥SO的侧面积为4无，底面圆的周长为2兀，则()

A.圆锥的母线长为4

B.圆锥的母线与底面所成角的正弦值为J

4

C.圆锥的体积为巫兀

3

D.沿着圆锥母线的中点截圆锥所得圆台的体积为△叵兀

24

12.(24-25高三上•广西•阶段练习)刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画

空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2兀与多面体在该点的面角之和的差，其中多

面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有3个面

角，每个面角均为三，故其各个顶点的曲率均为271-3X；=7!.如图，在正方体

ABC。一A耳£2中，A8=而，贝I()

A.在四面体ABC?中，点A的曲率为石~

B.在四面体ABC?中，点A的曲率大于7T:T

C.四面体ABC?外接球的表面积为12兀

D.四面体ABCR内切球半径的倒数为6+4立+3立

6

13.（2023•辽宁,模拟预测）在棱长为2的正方体A8CD-A瓦G2中，尸,召,厂分别为棱

AA-CC,,的中点，。|为侧面A4tB避的中心，贝。（）

A.直线AB//平面PEF

B.直线AC〃平面。出/

C.三棱锥O「PE尸的体积为:

D.三棱锥P-8CE的外接球表面积97t

14.（2024・安徽•一模）如图，正方体48a>-4瓦G2的棱长为1,则下列四个命题中正确

的是（）

A.直线5c与平面A3G2所成的角等于£

4

B.四棱锥C-ABG2的体积为g

7T

C.两条异面直线2c和BG所成的角为:

D.二面角C-8G-D的平面角的余弦值为一走

3

三、填空题

15.（2024・湖北武汉•模拟预测）已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1:2,其内

切球的半径为1,则该正四棱台的体积为.

16.（2024•河南新乡•二模）己知一平面截球。所得截面圆的半径为2,且球心。到截面圆

所在平面的距离为1,则该球的体积为.

17.（2024•全国•二模）已知圆锥SO1的轴截面必为正三角形，球。2与圆锥SO1的底面和

侧面都相切.设圆锥SO1的体积、表面积分别为乂,耳，球。2的体积、表面积分别为则

KH---------

18.（2023•上海徐汇•二模）如图所示，圆锥50的底面圆半径。4=1,侧面的平面展开图

的面积为3无，则此圆锥的体积为.

【能力提升训练】

一、单选题

1.（2024・广东•二模）已知球。与圆台的上、下底面和侧面均相切，且球。与圆台

的体积之比为;，则球。与圆台。。2的表面积之比为（）

1111

A.-B.—C.—D.一

6432

2.（2024•广东广州,一模）已知正四棱台ABCD-A瓦GR的上、下底面边长分别为1和2,

且BBt±DD1,则该棱台的体积为（）

7&7四工口Z

2662

3.（2023•浙江宁波•模拟预测）表面积为4兀的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值

为（）

A.4兀B.8itC.127rD.16n

4.（2024•江西九江・二模）已知一个圆台内接于球。（圆台的上、下底面的圆周均在球面

上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2,且其表面积为（5+3垃）兀，则球。的体积

为（）

32n20后05扃

A.D.57rQ.----------LJ.----------

333

5.（2024・湖南常德・三模）如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分

为正三棱锥A-E尸G,且E,产,G分别为棱4AA”AR靠近A1的四等分点，若将该玉石

打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为（）

D

2

「125石c”3

C.--------7icm33D.7271cm3

2

6.（2024・福建莆田•二模）柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严

格对称，结构等价的特点.六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性.将六氟化硫分子

中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）.若正八面体外接球的体积为半，

A.与B.如C.2A/3D.4A/3

7.（2024・湖北武汉•二模）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂

起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1,某球形灯笼的轮廓由三部分

组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图

2,"球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的

直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为丫=4（3R-〃）/，其中R是球的半

径，力是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm,圆柱的高为4cm,圆柱的底面圆直径为24

cm,则该灯笼的体积为（取兀=3）（）

A.32000cm3B.33664cm3C.33792cm3D.35456cm3

8.（2024•北京丰台•一模）正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗.在2024年元宵

节，小明制作了一个“半正多面体"形状的花灯（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的

正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.图2是一个棱数为24的半正多面体，它的

所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2.关于该半正多面体的四个

结论:

①棱长为近；

②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60。；

③表面积为S=12+4百；

④外接球的体积为V=48.

其中所有正确结论的序号是（）

C.②④D.③④

9.（2024•浙江宁波•二模）在正四棱台中，AB=4，A4=2,A4,=6,若

球。与上底面ABiG，以及棱AB,8C,CD,ZM均相切，则球。的表面积为（）

A.9兀B.1671C.25兀D.36K

10.（2024•黑龙江哈尔滨•二模）已知直三棱柱ABC-AgG的6个顶点都在球。的表面

27t

上，若A3=AC=1,AA=4,ZBAC=y,则球。的表面积为（）

A.16TIB.20KC.28TID.32K

11.（23-24高三下•河南•阶段练习）已知四棱锥尸-ABC。的底面是边长为2的正方形，侧

棱长都等于2,则该四棱锥的内切球的表面积为（）

A.（8-4A国无B.127tC.（8+46）无D.8兀

12.（2024・安徽合肥•一模）已知四面体ABCD的各顶点都在同一球面上，若

AB=BC=CD=DA=BD=2日平面ABD_L平面3a>,则该球的表面积是（）

A.100兀B.40兀C.20KD.16兀

二、多选题

13.（2022・山东•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体耳G2中，M,N,尸分别

是441,CG，G2的中点，。是线段，A上的动点，则下列说法中正确的是（）

A.存在点Q,使瓦N,尸，。四点共面

B.存在点。，使〃平面MSN

C.三棱锥尸-MBN的体积为g

9兀

D.经过C,M,民N四点的球的表面积为亭

14.（2024・山东济宁•一模）如图，在棱长为2的正方体A8CD-A耳GR中，M是棱BC

的中点，N是棱。2上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（）

A.三棱锥A-AMN的体积为定值

B.若N是棱。2的中点，则过A,M,N的平面截正方体ABCD-A与G2所得的截面

图形的周长为述

2

C.若N是棱。2的中点，则四面体A-AMN的外接球的表面积为7兀

D.若CN与平面MC所成的角为巴贝Ijsindeg,手

15.（2022•山东聊城•二模）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是

椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱.这两个截面称为斜圆柱的底

面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高.椭圆的面积等

于长半轴与短半轴长之积的万倍，已知某圆柱的底面半径为2,用与母线成45。角的两个平

行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是

（）

A.底面椭圆的离心率为变

2

B.侧面积为24标

C.在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36%

D.底面积为4夜兀

三、填空题

16.（2024・河南•模拟预测）已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球。的直径相等，则

圆锥的体积与球0的体积的比值是,圆锥的表面积与球O的表面积的

比值是.

17.（2024•浙江温州•一模）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，

若圆台的上下底面半径为*4,且勺弓=1,则它的内切球的体积为.

18.（22-23高一下•湖北武汉•期末）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之

和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则

2025二轮复习专项训练17

空间几何体

［考情分析］高考常考知识，主要考查几何体的表面积与体积、球的组合体问题.常以选择

题、填空题的形式出现，部分题目难度较大.

【练前疑难讲解】

一、空间几何体的截面问题

1.用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性

质确定截面形状是解决截面问题的关键.

2.确定截面的主要依据有

(1)平面的四个基本事实及推论.

(2)直线和平面平行的判定和性质.

(3)两个平面平行的性质.

(4)球的截面的性质.

二、表面积与体积

1.柱体、锥体、台体、球的表面积公式：

⑴圆柱的表面积S=2itr(r+r)；

⑵圆锥的表面积S=nr(r+r)；

(3)圆台的表面积S=7i(r'2+产+/i+rl).

(4)球的表面积5=4兀底

2.柱体、锥体和球的体积公式：

(1)丫柱体=S/z(S为底面面积，〃为高)；

(2)丫链体=gs/?(S为底面面积，%为高)；

(3)丫建昌7岁.

三、多面体与球

多面体的外接球模型：

(1)长方体的外接球直径为体对角线，

则R=7~2------；

正方体的外接球半径为R=华；

正方体的内切球半径为

（2）柱体模型

如图①，在三棱柱PSG—ABC中，已知出，平面ABC,设外接球半径为R,球心为。，

AABC的外接圆圆心为Oi，则彳+。142=＜（竽）+/,其中r=O1A为△ABC外接

圆半径.

⑶锥体模型

如图②，在正三棱锥P—A8C中，先求出高线长/1=「。1=寸出2—户,

在RtZ\00p4中，烂=。0彳+户=（〃一尺）2+户，解方程求出R,其中R为外接球半径，厂=03

为△ABC外接圆半径，。1为△ABC的外接圆圆心.

（4）正四面体（构造正方体）、对棱相等的三棱锥（构造长方体）

如图③：正四面体。一A'BC可构造正方体（所有面对角线相等）；

如图④：对棱相等的三棱锥A—80可构造长方体（对面的对角线相等）.

一、单选题

1.（23-24高三上•山东枣庄•期末）已知正四棱台的上下底面边长分别为1和3,高为2.用

一个平行于底面的截面截棱台，若截得的两部分几何体体积相等，则截面与上底面的距离

为（）

33后

A.-B.mC.^4D.汨一1

2.（2021•天津•高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的

体积为号，两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）

A.3/rB.4%C.9〃D.12万

二、多选题

3.（23-24高三上•云南•阶段练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的

圆台轴截面ABC。为等腰梯形，且满足CD=2AB=2AD=23C=4cm.下列说法正

确的是（）

A.该圆台轴截面ABC。的面积为3瓜n?

B.该圆台的表面积为lEcn?

C.该圆台的体积为2^7101?

D.该圆台有内切球，且半径为*cm

4.（2023・广东深圳•二模）如图，在矩形AEFC中，AE=2*,EF=A,B为EF中点,现分

别沿A3、BC^AABE,"C/翻折，使点E、/重合，记为点P,翻折后得到三棱锥P

ABC,贝U（）

A.三棱锥P-ABC的体积为逑B.直线9与直线BC所成角的余弦值为赵

36

C.直线物与平面P3C所成角的正弦值为;D.三棱锥尸-ABC外接球的半径为

722

~T

三、填空题

5.（2024・全国•高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为切下底面半径均为4，圆台的

母线长分别为2g-4）,3（4-々），则圆台甲与乙的体积之比为.

6.（2024•浙江宁波•模拟预测）已知圆锥的轴截面面积为36，则该圆锥的外接球半径的最

小值为.

参考答案:

题号1234

答案DBABBD

1.D

【分析】延长正四棱台的棱交于一点尸，由三角形相似，求出尸0,再由棱台的体积公式

求出截面截得棱台的上部分几何体的体1积=£13,设截面与上底面的距离为无，正方

形AB'C'D的边长为。，由三角形相似，得到。=1+龙，结合

V,=!(51+5+7^^>00'=；(1+々2+4)7=?即可求出彳

【详解】延长正四棱台-4耳和口的棱交于点尸，

如图所示，截面HB'C'D平行于底面

设上底面ABC。的面积为S1,下底面A4GR的面积为S2，截面AB'C'D的面积为S,

正四棱台的体积为y,平行于底面的截面截棱台，截得的上部分几何体体

积为匕，则

上底面ABC。的中心为。，下底面481GA的中心为01,连结P。1,

则尸上底面ABCD,尸«，下底面4耳GR,正四棱台ABCO-ABC2的高为

OOt=2,

设截面与上底面的距离为X,正方形A'3'C'D的边长为。，

丫=朗+邑+历习3=；(1+9+碎2=g，匕守=g,

PAAB1PAP01

由PABs9耳得，7r市=1,由"Os必&得，^~=3，

又。。=2,所以尸0=1,

pAPCAU11

同理可得育=前=而，得厂17r所以a=l+x,①

，2

又因为h=1(S1+S+7V?)-OO=|(l+<7+fl)-X=y,②

由①②得，4=班1，X=V14-1-所以截面与上底面的距离为我1-1.

故选：D.

2.B

【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆

锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.

【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点

设圆锥4。和圆锥3D的高之比为3:1,即AO=33D,

设球的半径为R，则----=——，可得R=2,所以，AB=AD+BD=4BD=4,

33

所以，BD=1,AD=3,

CDLAB,则/04£>+/48=/8。£>+//1。=90,所以，/CAD=/BCD,

又因为NADC=/3DC,所以，^ACDS^CBD,

匚匚r、IA。CDi-------------------f—

所以，CD=VAD-BD=V3,

DD

因止匕，这两个圆锥的体积之和为:乃xCDL（AO+BD）=g"x3x4=4万.

故选:

【分析】求出圆台的高。。2可判断A；由圆台的表面积和体积公式可判断B,C；由内切圆

的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD不存在内切圆可判断D.

2

【详解】对于A,由CD=2AB=2AD=23C=4cm,可得高的=正-［与习=5

1lc

则圆台轴截面ABC。的面积为/X(2+4)x6=3限m,故A正确；

对于B,圆台的侧面积为S恻=7i-(l+2)x2=67i(cm2),

2222

=7rxl=7T^Cm),ST=71-2=47T(Cm),

所以黑=6兀+兀+4兀=11兀(加2),故B正确；

对于C,圆台的体积为V=；7i.后义(1+4+2)=子兀卜!113),故C错误；

对于D,若圆台存在内切球，则必有轴截面A3C。存在内切圆，

由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABC。不存在内切圆，故D错误，

故选：AB.

4.BD

【分析】证明8尸，平面丛C,再根据K>_ABC=K/C即可判断A;先利用余弦定理求出

cosZAPC,将BC用表示，利用向量法求解即可判断B；利用等体积法求出点A到

平面？8c的距离d,再根据直线B4与平面P2C所成角的正弦值为《即可判断C；利用

PA

正弦定理求出工^4c的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D.

【详解】由题意可得

又APcCP=P,AP,CP=P,AP,CPu平面PAC,

所以3P_L平面PAC,

在4c中，PA=PC=2y/3,AC边上的高为，(2点)2-22=20,

所以VpABC=%PAC='XLX4X2A/^x2=,故A错误；

i-ADCD—I/IC323

,4,/…12+12-161

对于B,在."中‘c"APC=2x26x26：

8C=J12+4=4

,一一、PA-JCPA-CPC-PB)PA-PC-PA-PB

cosP4,BC)=i-I=——、------=-------百-----

P71BC2V3x48A/3

2V3X2V3X|M

・85/3-6

所以直线必与直线BC所成角的余弦值为妇，故B正确；

6

对于c,SPBC=^PBPC=2y/3,

设点A到平面PBC的距离为d,

由匕.PAC=K“BC，得匕2局=晅,解得”=遗，

333

4巫

所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为R_=工=逑，故C错误；

PA-2遥—3

由B选项知，cosZAPC=:，贝l|sinZAPC=其2,

33

]AC3

所以R4C的外接圆的半径1二丁./ADR=F，

2sinZAPC

设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,

又因为3P_L平面尸AC,

则尺2=户+（工尸81=-+1=—,所以R=叵，

（2J222

即三棱锥P-ABC外接球的半径为叵，故D正确.

2

故选：BD.

5.如

4

【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直

接代入计算即可得解.

【详解】由题可得两个圆台的高分别为幅=』2（/;-2）丁一（/一笠y=五一»

h乙=心（4_幻丁_«_j一外，

济z%+牖一膈一上（…）V6

urrlx/------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

彩；（邑+5+同近电2行（「幻4•

故答案为：如.

4

6.2

177

【分析】设圆锥的底面半径为「，高为队可得小35R*，—，设

177

以*=A五,利用导数判断单调性求出最值.

【详解】设圆锥的底面半径为「，高为鼠则加=36，

设圆锥的外接球的半径为R,则无论球心。在圆锥内还是圆锥外，都有4=（尺_〃）2+/,

则T/?4+27」+为尸

2h322

设/伍)=1/?+,於，则=工_迎厂=81=(♦+9)(/7+3)(/L3),

44

212''222h2h

当0＜分＜3时，/㈤＜0,/㈤单调递减，当。＞3时,f（h）＞0,“外单调递增,

故答案为：2.

【基础保分训练】

一、单选题

1.（2024・湖南长沙•二模）蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造

和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐、毡包或毡帐.已知蒙古

包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3

米，底面圆的面积为64兀平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（）

A.(112+16旧,平方米B.（80+16折）兀平方米

C.（112+18J万卜平方米D.（80+18&7）兀平方米

2.（2022•全国•高考真题）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3若和4』，其

顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.IOOTIB.128KC.144KD.192K

3.（2024・湖南•二模）如图，在四面体尸-ABC中，平面

ABC,ACLCB,PA=AC=2BC=2f则此四面体的外接球表面积为（）

A.3兀B.9兀C.36兀D.48兀

4.（2024•宁夏银川一•模）已知圆锥的底面圆周在球。的球面上，顶点为球心。，圆锥的高

为3,且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球。的表面积为（）

A.12兀B.16%C.48兀D.96兀

5.（2024•江苏南京•二模）在圆台。。2中，圆。2的半径是圆。|半径的2倍，且。2恰为该圆

台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（）

A.3:4B.1:2C.3:8D.3:10

6.（23-24高三下•江西•阶段练习）已知某棱长为2近的正四面体的各条棱都与同一球面相

切，则该球的表面积为（）

,■_4兀

A.4兀B.2兀C.—D.兀

3

7.（2023・天津北辰・三模）中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球"，取鬼斧神

工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂.1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺

应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国

玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可

以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各

层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（）

A.4-76B.4拒C.2瓜D.6

8.（2024・天津・二模）已知正方体A8CZ）-A4Ca的外接球的体积为36兀，点E为棱A3的

中点，则三棱锥£-AE£＞的体积为（）.

A.1B.2A/3C.竽D.1673

9.（2024•河北邢台•一模）如图，正四棱台容器ABCD-ABCR的高为12cm,

AB=10cm,A瓦=2cm,容器中水的高度为6cm.现将57个大小相同、质地均匀的小铁

球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm,若忽略该容器壁的厚度，则小

铁球的半径为（）

A.3/—cmB.3/_cmC.}—cmD.}—cm

V71v71V71V71

10.（2024•天津滨海新•二模）如图所示，这是古希腊数学家阿基米德最引以为自豪的发

现：圆柱容球定理.圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，在当时并不

知道球的面积和体积公式的情况下，阿基米德用穷竭法解决面积问题，用杠杆法解决体积

问题.我们来重温这个伟大发现，求圆柱的表面积与球的表面积之比和圆柱体积与球体积之

比（）

二、多选题

11.（2024•山西朔州•一模）己知圆锥SO的侧面积为4兀，底面圆的周长为2无，则（）

A.圆锥的母线长为4

B.圆锥的母线与底面所成角的正弦值为:

C.圆锥的体积为姮兀

3

D.沿着圆锥母线的中点截圆锥所得圆台的体积为△叵兀

24

12.(24-25高三上•广西•阶段练习)刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容用曲率刻画

空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于27r与多面体在该点的面角之和的差，其中多

面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有3个面

角，每个面角均为三，故其各个顶点的曲率均为2兀-3、］=限如图，在正方体

A8C£)—A耳G2中，AB=而，贝U()

A.在四面体ABC，中，点A的曲率为五

7兀

B.在四面体ABCR中，点R的曲率大于?

C.四面体ABC2外接球的表面积为12兀

D.四面体ABCR内切球半径的倒数为1上逋业I

6

13.(2023•辽宁,模拟预测)在棱长为2的正方体42aA瓦GA中，尸,召,厂分别为棱

AA，CC、,的中点，。|为侧面A4tB出的中心，贝|()

A.直线AB//平面尸EF

B.直线AC〃平面。田厂

C.三棱锥Q-PE尸的体积为g

D.三棱锥P-8CE的外接球表面积97t

14.（2024•安徽・一模）如图，正方体A3CZ）-A4GR的棱长为1，则下列四个命题中正确

的是（）

A.直线BC与平面A3G2所成的角等于J

4

B.四棱锥C-ABG2的体积为g

C.两条异面直线2c和BG所成的角为三

D.二面角C-BG-。的平面角的余弦值为一代

3

三、填空题

15.（2024・湖北武汉•模拟预测）已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1:2,其内

切球的半径为1,则该正四棱台的体积为.

16.（2024•河南新乡•二模）己知一平面截球。所得截面圆的半径为2,且球心。到截面圆

所在平面的距离为1,则该球的体积为

17.（2024•全国•二模）已知圆锥SO】的轴截面SAB为正三角形，球。?与圆锥S。1的底面和

侧面都相切.设圆锥SO1的体积、表面积分别为加H，球。2的体积、表面积分别为匕§2,则

%H---------

18.（2023・上海徐汇•二模）如图所示，圆锥SO的底面圆半径。4=1,侧面的平面展开图

的面积为3兀，则此圆锥的体积为.

参考答案:

题号12345678910

答案AABCCAABAc

题号11121314

答案ACDABDBCDABC

1.A

【分析】由题意可求出底面圆的半径，即可求出圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式以

及圆柱的侧面积公式结合圆的面积公式，即可求得答案.

【详解】由题意知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为64兀平方米，

设底面圆的半径为r,则647t=兀上二r=8,

则圆锥的母线长为后*=2后（米），

故该蒙古包（含底面）的表面积为兀x8x2M+27ix8x3+7tx82=112兀+16a兀（平方

米），

故选：A

2.A

【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径、々再根据球心距，圆面半

径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径小4,所以〃=*-,2匕=业"，即

sin60sin60

4=3,4=4,设球心到上下底面的距离分别为4,也，球的半径为火，所以4=JR2一9,

2

d2=y/R-16,故同一4|=1或4+W=l，即擀2_9_收_1611或

正_9+依2_16=1，解得R2=25符合题意，所以球的表面积为S=4兀玄=100兀.

故选：A.

【分析】将四面体P-ABC补形成长方体，长方体的长、宽、高分别为2、1、2,长方体的

外接球即为四面体的外接球，而长方体外接球的直径即为其体对角线，求出外接球的直

径，即可求出外接球的表面积.

【详解】将四面体P-ABC补形成长方体，长方体的长、宽、高分别为2、1、2,

四面体P-ABC的外接球即为长方体的外接球，

而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为R,

222

故2R=A/2+1+2=3，所以外接球表面积为S=4欣2=9兀.

故选：B.

4.C

【分析】设圆锥的底面半径『，母线为/,外接球的半径为R,依题意求出/、「，即可得

R,最后由球的表面积公式计算可得.

【详解】依题意圆锥高〃=3,设圆锥的底面半径「，母线为/,圆锥的外接球的半径为R,

2几厂=Ttl

因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，贝IJ"27227解得/=2厂=2百，

\r=rz+h=r+9

可知R=/=25

所以圆锥的外接球球。的表面积S=4就