2025年高考数学二轮复习专项训练：导数的几何意义及函数的单调性（学生版+解析）

2025二轮复习专项训练6

导数的几何意义及函数的单调

[考情分析]1.此部分内容是高考命题的热点内容.在选择题、填空题中多考查导数的计算、

几何意义，难度较小2应用导数研究函数的单调性多在选择题、填空题靠后的位置考查，难

度中等偏上，属综合性问题.

【练前疑难讲解】

一、导数的计算和几何意义

1.导数的运算法则

⑴阿士ga)r=f(x)±gr(X).

(2)应办g(x)]‘=f(x)g(x)-\-j[x)g'(x).

(3)阁=，'(x)

,Lg(X)」[g(x)r

2.导数的几何意义

(1旷(无0)的几何意义：曲线y=/U)在点。0,犬Xo))处的切线的斜率，该切线的方程为y-Kxo)

=f(尤0)•(尤一尤o).

(2)切点的两大特征：①在曲线>=兀0上；②在切线上.

二、利用导数研究函数的单调性

求可导函数单调区间的一般步骤

(1)求函数的定义域；

(2)求导函数/(尤)；

(3)由/(x)>0的解集确定函数的单调递增区间，由7•'(无)<0的解集确定函数兀0的单调

递减区间.

三、由单调性求参数范围

由函数的单调性求参数的取值范围

(1)若可导函数穴犬)在区间M上单调递增，则/(x)20(xWM)恒成立；若可导函数人X)在区间

M上单调递减，则/Q)W0(xGM)恒成立；

(2)若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，则/(尤)>0(或(尤)<0)在该区间上存在解集；

⑶若己知/(x)在区间/上的单调性，区间/中含有参数时，可先求出汽幻的单调区间，则/是

其单调区间的子集.

一、单选题

L(2024・广东•模拟预测)若函数"x)=ln(e2*+l)-如是偶函数，则曲线y=〃“在

处的切线斜率为()

12

B.0C.一D.

22

2.(24-25高三上•安徽•开学考试)已知函数/(%)=/-Hnx的图象在点(1)⑴)处的切线方

程为y=xf贝！Ia二()

1

A.-2B.-1C.-D.1

2

3.(2023•陕西榆林•模拟预测)若函数/(x)=lnx+炉-⑪在其定义域内单调递增，则实数

〃的取值范围是()

A.B.卜8,C.(—8,2]D.[1,+co)

4.(2024•云南大理模拟预测)若函数/(%)=加+cosx-1在(0,+“)为增函数，则实数〃的

取值范围为()

A.B.[g'+s]C.[1,+co)D.(1,+GO)

二、解答题

5.(2024•浙江金华•一模)已知函数/(犬)=3%2-Qlnx+(1-〃)无，(«>0).

⑴若々=1,求/(%)的单调区间；

2

⑵若小)"e?求〃的取值范围.

6.(2024•江西新余•模拟预测)已知函数/(x)=-alnx+(2〃+l)x—%2.

(1)若。=g，求f(x)在(1，/⑴)处的切线方程.

(2)讨论/(x)的单调性.

⑶求证：若a>0,/Q)有且仅有一个零点.

【基础保分训练】

一、单选题

1.(2023•山东潍坊,模拟预测)设为R上的可导函数，且lim四二^^至。=-2,

—Ax

则曲线y=〃尤)在点(1,〃功处的切线斜率为()

1

A.2B.-1C.1D.——

2

2.(2023•河南郑州•二模)已知曲线y=xln%+Qef在点x=1处的切线方程为2x—y+人=。，

则人()

A.-1B.-2C.—3D.0

3.（2023•山东・二模）已知直线与曲线y=e不相切，则实数a的值为（）

A.-2B.-1C.0D.2

4.（2023・贵州贵阳•模拟预测）若〃x）=alnx+6x2+尤在x=l和x=2处有极值，则函数

外力的单调递增区间是（）

A.（-oo,l）B.（2,+co）C.（1,2）D.Q,1

5.（2023・重庆•一模）已知函数/（无）=；渥+尤2+x+4,贝是"/（尤）在R上单调递

增"的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

6.（2024・重庆•模拟预测）已知函数/。）=/。＞0）,a为实数，/（x）的导函数为了'（x）,

在同一直角坐标系中，/（X）与尸（X）的大致图象不可能是（）

7.（2023・湖南•模拟预测）已知函数/Q）和g（x）分别为奇函数和偶函数，且

/(x)+g(x)=2\则()

A.f(x)-g(x)=2-x

B./(x)在定义域(-8,+8)上单调递增

C./(X)的导函数((幻21

D.gM>1

8.(22-23高三上・江苏南京•阶段练习)已知函数/(x)=3*-2，，xeR,则下列结论正确

的是()

A.函数/■")在(0,内)上单调递增

B.存在aeR,使得函数'=曾为奇函数

a

C.任意xeR,

D.函数g(x)=/(x)+x有且仅有2个零点

三、填空题

9.(2022•全国•高考真题)若曲线y=(x+a)e”有两条过坐标原点的切线，则〃的取值范围

是.

10.(2023•广西•一模)若曲线＞与〉=lnx有一条斜率为2的公切线，则

a=.

11.(2022・全国•模拟预测)曲线〃x)=(x+l)/+lnx在(l,a)处的切线与直线版-y+2=0

平行\贝IJ人.

四、解答题

12.(22-23高二下•四川资阳•期末)已知函数/(x)=e*-M+l.

(1)求曲线＞=/(%)在(0,/(0))处的切线方程；

(2)若xe(0,+8)时，/(x)单调递增，求。的取值范围.

13.(23-24高三上•湖北•期中)己知函数〃无)=#+恭2+(q_])x+i.

⑴若曲线y=〃x)在点(2,"2))处的切线与直线6》+〉+1=。平行，求出这条切线的方程；

⑵讨论函数〃尤)的单调性.

【能力提升训练】

一、单选题

1.(2023•山东潍坊•模拟预测)已知函数"力，g(x)及其导函数/'(x),g'(x)的定义域

均为R,〃2尤+1)为奇函数，g(x—1)关于直线x=l对称，则()

A./(g(T))=-/(g⑴)B,g(/(-l))=-g(/(3))

C./(g.l))=/3⑴)D.g(广(T))=g(〃3))

/、[ox+l,x＜0

2.（2023•北京西城•模拟预测）已知函数〃无）=也尤＞0，若存在无。＞°，使得

/（-x0）=-〃毛）成立，则实数。的取值范围是（）

A.B.（-oo,l]C.[1,+co）D.[-1,1]

3.（2023・广东佛山•二模）若斜率为1的直线/与曲线y=ln（x+a）和圆产+丁=；都相切，

则实数。的值为（）

A.-1B.0C.2D.0或2

4.（2023•陕西宝鸡•二模）若过点（0,2）可作曲线＞=炉+3/+办+”2的三条切线，则。

的取值范围是（）

A.（-3,-1）B.（-2,2）C.（4,5）D.（4,6）

5.（2023・全国•二模）若曲线〃x）=金有三条过点（0,可的切线，则实数。的取值范围为

（）

A.《JB.[oC.时D.心

6.（2024・辽宁•模拟预测）已知/⑺是定义在R上的奇函数，g（x）=y'（x）-2e,+x也是定

义在R上的奇函数，则关于尤的不等式g（l-f）+g（2x+2）＞。的解集为（）

A.（^»,-l）u（3,+＜x＞）B.（F,-3）U（L+°O）

C.（-1,3）D.（-3,1）

7.（2024•北京海淀•一模）函数是定义在（Y,4）上的偶函数，其图象如图所示，

/（3）=0.设尸。）是,3的导函数，则关于尤的不等式/（尤+D•八尤）20的解集是（）

A.[0,2]B.[-3,0]U[3,4)C.(-5,0]U[2,4)D.(-4,0]U[2,3)

二、多选题

8.（2025・四川巴中•模拟预测）已知函数"x）=asinx+cosx的图象关于对称，下列结

论中正确的是（）

A./卜-\是奇函数

B.巾=/

7E

C.右/（X）在［-根,相］上单调递增，贝！

JT

D./（x）的图象与直线y=2x+：有三个交点

9.（2024•河南•模拟预测）已知函数/（x）=sin（3x+3,下列说法正确的是（）

A.〃尤）的最小正周期为市

B.点［,。［为〃x）图象的一个对称中心

C.若/（尤）="（。€1＜）在口］-白父上有两个实数根，则也4.＜1

L189」2

D.若“X）的导函数为（（X）,则函数y=/（x）+r（x）的最大值为M

三、填空题

10.（22-23高二下•浙江杭州•期中）若直线y=%（x+D-l与曲线y=e'相切，直线

y=履（x+1）-1与曲线y=In无相切，则k网的值为1

11.（2023•广东佛山•一模）己知曲线“无）=6与曲线g（x）=alnx（aeR）相交，且在

交点处有相同的切线，则。=.

四、解答题

12.（2020・四川成都•模拟预测）已知函数〃尤）=依-?-111尤（aeR）.

（1）若f（x）是定义域上的增函数，求a的取值范围；

2

（2）若。＞,,若函数/（久）有两个极值点看，%（为＜々），求尤?）的取值范围.

13.（2024•江苏徐州•一模）已知函数/'（x"f+izx-ln尤，aeR.

⑴若函数y=〃x）-在（0,2］上单调递减，求a的取值范围：

⑵若直线y=前与〃x）的图象相切，求a的值.

14.(22-23高二下•天津红桥•阶段练习)已知函数〃x)=lnx-ox(aeR).

⑴若尤=1是/(x)的极值点，求”的值；

⑵求函数〃x)的单调区间；

⑶若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.

2025二轮复习专项训练6

导数的几何意义及函数的单调

[考情分析]1.此部分内容是高考命题的热点内容.在选择题、填空题中多考查导数的计算、

几何意义，难度较小2应用导数研究函数的单调性多在选择题、填空题靠后的位置考查，难

度中等偏上，属综合性问题.

【练前疑难讲解】

一、导数的计算和几何意义

1.导数的运算法则

⑴g)±g(x)r=f(x)±g'(X).

(2)[/U>g(x)]'=f(x)g(x)+ftx)g'(x).

(3)闿(x)/

，Lg(E)」[gWJ-

2.导数的几何意义

(1旷(无0)的几何意义：曲线y=/(x)在点(xo,道劭))处的切线的斜率，该切线的方程为y—/(xo)

=f'(Xo)-(X—尤0).

(2)切点的两大特征：①在曲线y=/(x)上；②在切线上.

二、利用导数研究函数的单调性

求可导函数单调区间的一般步骤

(1)求函数/U)的定义域；

⑵求导函数,(x);

⑶由f(x)>0的解集确定函数兀0的单调递增区间，由f(x)<0的解集确定函数八x)的单调

递减区间.

三、由单调性求参数范围

由函数的单调性求参数的取值范围

(1)若可导函数五尤)在区间M上单调递增，则/(劝20(尤G")恒成立；若可导函数兀v)在区间

M上单调递减，则/7(x)WO(xGM)恒成立；

(2)若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间,则/(无)>0(或/(尤)<0)在该区间上存在解集；

⑶若已知式x)在区间/上的单调性，区间/中含有参数时，可先求出/(X)的单调区间，则/是

其单调区间的子集.

一、单选题

1.(2024广东•模拟预测)若函数"x)=ln(e2，+l)-ox是偶函数，则曲线y=在尤=0

处的切线斜率为()

2.(24-25高三上•安徽•开学考试)已知函数/⑴=必一41nx的图象在点(1"⑴)处的切线方

程为y=%,贝！J〃=()

1

A.-2B.-1C.-D.1

2

3.(2023・陕西榆林•模拟预测)若函数/(犬)=lnx+炉-⑪在其定义域内单调递增，则实数

4的取值范围是()

A.B.卜8,2AC.(-8,2]D.[1,+oo)

4.(2024・云南大理•模拟预测)若函数“力二加+cosx-1在(0,+。)为增函数，则实数〃的

取值范围为()

A.:什001B.[g,+s]C.[1,+co)D.(1,+GO)

二、解答题

5.(2024•浙江金华•一模)已知函数/(x)=g%2一〃1nx+(1一々)%,(〃＞0).

⑴若a=l,求/(%)的单调区间；

2

⑵若"力之-求e〃的取值范围.

6.(2024•江西新余•模拟预测)已知函数/(%)=-alnx+(2〃+l)%-%2.

(1)若。=g，求f(x)在(1"⑴)处的切线方程.

(2)讨论了。)的单调性.

⑶求证：若。＞0,/(尤)有且仅有一个零点.

参考答案:

题号1234

答案BDBA

1.B

【分析】利用偶函数的定义可求得。=1,进而求得＞=/(X)在％=0处的导数，可得结论.

【详解】因为函数“X)是偶函数，所以〃T)=〃x),又易得函数〃%)的定义域是R,

即In(e-"2+1)+ox=In^e2x+l)-or,

(2x.iA

所以2ox=ln(e2"+l)-ln(e-2"+l)=ln———=lne2x=2x,

1e+1J

所以2(Q—l)x=O,XxeR,所以解得a=l,所以dn©'+l)—x,

所以尸(x)=T，所以尸(O)=石上产/。-1=0,

e+1e+1

所以曲线y=〃尤)在x=o处的切线斜率为0.

故选：B.

2.D

【分析】求出函数了。)的导数，再利用导数的几何意义求解即得.

【详解】函数/(%)=Y—Qin%,求导得/(犬)=2]-3,

X

依题意，[⑴=2—0=1,所以4=1.

故选：D

3.B

【分析】将问题转化为:(%)NO在(0,+8)上恒成立，利用基本不等式可得.

【详解】“X)的定义域为(0,+8),f'(x)=^+2x-a,

因为函数/(%)=111犬+/-6在其定义域内单调递增，

所以工+2x-a20在(0,+8)上恒成立，即工+2x2。在(0,+8)上恒成立，

XX

因为L+2X22、1^=2衣，当且仅当彳="时，等号成立，

X\x2

所以=2a,所以2VL

\X7min

故选：B

4.A

【分析】尸W20对xe(0,+8)恒成立，其中((0)=0,令g(%)=f，(x),则g，(O)ZO,

从而得到«>|,验证后得到答案.

【详解】/,(x)=2<xr-sinx,由题意尸(x)20对xe(0,+8)恒成立，

其中/'(0)=0,令贝久)=尸0),

则需g'⑼20,其中g'(x)=2a-cos尤，故2a-120naN：,

当时，g,（x）=2（7-cosx＞l-cosx＞0,故f'（久）在（0,+8）上递增，

回广（x）＞/（。）=。成立.

当时，取易知g＜x）=2a—cosx在上单调递增，

若“W0,则g'（x）=2a-cosx＜0,所以/''（x）在]。，3上递减，

故尸（力＜/'（0）=0,与题意不符,舍去;

若时，g'（0）=2〃—l＜0,g'^=2a＞0,所以存在与（0e],使得

g'伉）=。,

当兀£（0,九0）时，g'（x）=2a—cos尤＜0,所以/'（%）在（0,%）上递减，

故/'（X）＜/（。）=。，与题意不符，舍去；

综上得

故选：A.

5.⑴单调增区间为。,收），减区间为（0,1）

⑵（0,e]

【分析】（1）代入参数值，求导函数，解导函数大于。的不等式，得出增减区间；

（2）求导函数，得到增减区间，求得最小值；由题意建立不等式，构建对应函数，由导函

数求得单调区间得最小值再建立不等关系，得到范围.

【详解】（1）当°=1时，f'（x）=x--=—=^~1^X+1^

XXX

.,.xe（0,l）时，/（x）＜0,xe（l,+8）时，尸（x）＞0；

・••/O）的单调增区间为（1,+8）,单调减区间为（0,1）

（2）r⑺=（A?（x+i）

「.X£（0,Q）时，尸O）＜0,X£（a,+8）时，尸（久）＞0

〃2

?.fGUn=/（〃）=一___〃lna+a

3^f（x）2---,/.-----+a2--------

v7222

令h(a)=-^-—alna+a

则“5)=—a-lna,显然〃⑷单调递减，且(g]>0,1(1)<0

必然存在唯一&e使得/1go)=0

当1£(0,%),力(。)单调递增，

当〃£(%,+8),”(a)<0,力(。)单调递减

由于〃£(0,1]时，/z(〃)=〃(一,一lna+11>0>——,成立

2

当ae(l,+e)时，无⑷单调递减，且/i(e)=-1~,因此a«l,e]成立

综上，。成立的范围为(0,e]

6.(1)x+2y—3=0；

(2)答案见解析；

⑶证明见解析.

【分析】(1)把。=g代入，利用导数的几何意义求出切线方程.

(2)根据给定条件，按aWO,0<a<1,a=g,a>g分类，利用导数求出单调区间.

(3)利用(2)的结论，结合零点存在性定理推理证明即可.

【详解】(1)当。=一时，f(x)=—In尤+2x—尤2,求导得—(%)=-----2x+2,贝!]

222x

-⑴=-;，而/(1)=1,

所以函数/(X)的图象在(1"⑴)处的切线方程为y-l=-g(x-l),即x+2y-3=0.

(2)函数f(x)=-alnx+(2a+l)x-f的定义域为(0,+oo),

求导得f'(x)=--+(2a+1)-2x=-(2%~1)(X-a),

XX

①当aWO时，由尸(无)>0,得xe(O,g),由/(无)<0,得xe(；,+oo),

则函数在(0,；)上单调递增，在。,+8)上单调递减；

②当0<。<5时，由((尤)>。，得xe(a，5),由/''(x)<。，得尤e(0,a)U(5，+°°),

则函数/(x)在(a,g)上单调递增，在(0,。)，(g,+◎上单调递减；

③当a=)时，/(x)<0,函数/(x)在(0,+s)上单调递减；

④当时，由尸(彳)>0,得尤由八尤)<0,得了€(0,3)^1(。,舟)，

则函数/(X)在(；,a)上单调递增，在(0,5，3内)上单调递减，

所以当时，函数/(尤)的递增区间为(0,；),递减区间为(；,+8)；

当。<。<；时，函数/Q)的递增区间为(a,g),递减区间为(0,a),(；,+/)；

当a=g时，函数/(x)的递减区间为(0,+8)；

当时，函数/G)的递增区间为(；,a),递减区间为(0,；),3y).

(3)①当a=g时，函数/(x)在(0,+8)上单调递减，而/⑴=1>0,

1,

/(e)=--+2e-e2<0,

因此存在唯一毛e(l,e)使/(xo)=O,则f(x)有且仅有一个零点；

②当0<a<g时，函数/(x)在x=a处取得极小值/(a)=q(-lna+a+l),

令g(尤)=-lnx+x+l,求导得短。)=-工+1,当xe(0,l)时，g'(x)<0,当xe(L+co)时,

尤

g'(x)>0,

函数g(x)在(0,1)上单调递减，g(x)在(1,+8)上单调递增，g(x)>g(l)=2>0,即

/(«)>0,

/(^)>/(a)>0,当x->+8时，-alm—>-ao,(2。+l)x-尤？一>—co,贝!J/(x)-,

因此存在唯一改eg,+co)使/(占)=0,则/(x)有且仅有一个零点；

③当时，函数/(X)在x=g处取得极小值/(g)=a(ln2+l)+；>0,

/(a)>/(1)>0,

同理存在唯一%e(a,+s)使〃％)=0,则/(x)有且仅有一个零点，

所以/(尤)有且仅有一个零点.

【基础保分训练】

一、单选题

且1〃l）T（+2Ax）

1.(2023•山东潍坊•模拟预测)设/■(*)为R上的可导函数,ml=-2,

△xf0Ax

则曲线y=〃x）在点0"⑴）处的切线斜率为（）

1

A.2B.-1C.1D.

2

2.（2023•河南郑州•二模）已知曲线y=xlnx+〃er在点光=1处的切线方程为2%-y+b=0,

则b=()

A.-1B.-2C.-3D.0

3.（2023・山东•二模）已知直线＞=%-1与曲线y=e'+。相切，则实数4的值为（）

A.-2B.-1C.0D.2

4.（2023・贵州贵阳,模拟预测）若/（x）=alnx+bx2+无在x=l和x=2处有极值，则函数

外力的单调递增区间是（）

A.B.（2,+co）C.（1,2）D.g/

5.（2023・重庆•一模）已知函数/（无）=；依3+/+尤+4,则"°»0"是尤）在R上单调递

增"的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

6.（2024・重庆•模拟预测）已知函数/。）=/。＞0）,a为实数，/（x）的导函数为「（x）,

在同一直角坐标系中，/（X）与尸（X）的大致图象不可能是（）

7.（2023・湖南•模拟预测）己知函数/Q）和g（x）分别为奇函数和偶函数，且

/(x)+g(x)=2X,则()

A.f(x)-g(x)=2-x

B./(X)在定义域(-8,+00)上单调递增

C./(元)的导函数/'(x)21

D.g(x)>1

8.(22-23高三上•江苏南京•阶段练习)已知函数/食)=3工-2',xeR,则下列结论正确

的是()

A.函数f(x)在(0,内)上单调递增

B.存在aeR,使得函数>=与为奇函数

a

C.任意xeR,/(JC)>-1

D.函数g(x)=/(x)+x有且仅有2个零点

三、填空题

9.(2022・全国•高考真题)若曲线y=(x+a)e，有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围

是.

10.(2023・广西・一模)若曲线、=存2与y=lnx有一条斜率为2的公切线，则

CI—.

11.(2022•全国•模拟预测)曲线〃x)=(x+l)e，+lnx在(1⑷处的切线与直线及->+2=0

平行，则6—。=.

四、解答题

12.(22-23高二下•四川资阳•期末)已知函数/。)=1-以2+1.

⑴求曲线y=/(%)在(o,/(o))处的切线方程；

⑵若xw(0,+s)时，/(X)单调递增，求a的取值范围.

13.(23-24高三上,湖北•期中)已知函数"X)=gx，+(a—l)x+1.

(1)若曲线y=/(x)在点(2,〃2))处的切线与直线6x+y+l=0平行，求出这条切线的方程；

(2)讨论函数“X)的单调性.

参考答案:

题号12345678

答案CCACCCBDABC

1.c

【分析】根据导数的定义，计算得到答案.

【详解】f⑴=lim/⑴T0+2人）=」]皿/⑴T0+2AX）=]

故曲线y=在点（1,『⑴）处的切线斜率为1.

故选：c

2.C

【分析】根据导数的几何意义可知切线斜率为1-色=2,可得。=~,计算出切点代入切

e

线方程即可得力=-3.

【详解】由题意可得''=1口X+1-。©-“,

根据导数的几何意义可知，在点龙=1处的切线斜率为1-3=2,解得a=-e；

e

所以切点为（1,-1）,代入切线方程可得2+1+6=0,解得b=-3.

故选：C

3.A

【分析】设切点，利用导数的几何意义计算即可.

【详解】设切点为（毛,%）,易知y'=e"",则。=解之得

故选：A

4.C

【分析】求出函数的导函数，依题意尸（1）=0且/'（2）=0,即可得到方程组，从而求出

。、6的值，再利用导数求出函数的单调递增区间.

【详解】f(x)-a\nx+b^+x,所以/'(x)=@+2Zzx+l,

X

2

a+2b+1=0a=——

3

由已知得＜解得:

-+4b+l=0

12b=——

16

所以/（尤）=一]111X一2/+无，所以r（x）=_：_,x+]=_（x_?（x_D,

363%33x

由f(x)>0,解得1〈尤<2,所以函数的单调递增区间是。,2).

故选：C.

5.C

【分析】求得/(x)在R上单调递增的充要条件即可判断.

【详解】由题/'(九)=办2+2]+1

/\,7X>0

若“X)在R上单调递增，则/V)“恒成立，A=4-4a<0即

故"420"是"〃力在R上单调递增"的必要不充分条件

故选:C.

6.C

【分析】先通过特值代入易得A项符合，对于B,C,D项，通过图象观察分析可得£>1,

结合两函数图象交点的位置舍去C项.

【详解】由“无)=尤\可得了'("=分)

对于A,当c=-1时，在第一象限上〃力=/递减，对应「(切=-尸=-[图象在第四

象限且递增，故A项符合；

对于B,C,D,在第一象限上f(尤)与广。)的图象在(0,内)上都单调递增，故a>0且

cr-l>0,则。>1.

又由“X)=/(X)可得X=a>1,即/(x)=严与尸(x)=e的图象交点横坐标应大于1,

显然C项不符合，B,D项均符合.

故选：C.

7.BD

【分析】根据函数的奇偶性可得/(x)=等二,8(力=等:，结合选项即可逐一求解，

【详解】由f(x)+g(x)=2,得/(-X)+g(-x)=2」，由于函数/(X)和g(无)分别为奇函数和偶

函数，所以-〃x)+g(x)=2r,因此〃x户甘，g(x)=等;，

对于A,7(x)-g(x)=-2T,故A错误，

对于B,由于函数y=2‘在(-8,+◎单调递增，y=2f在(—,+8)单调递减，所以

=2**在(_甩+8)单调递增,故B正确，

对于C,尸(力2,2；2-/2=(，+；)ln2、2也”xjin2=比工当且仅当工=0时取等

号

而ln2<l，所以C错误，

对于D,g(x)=£±2二z复三二=1，当且仅当x=0时取等号，所以D正确，

B')22

故选：BD

8.ABC

【分析】A选项：通过导数判断函数单调性；B选项：取特殊值验证结论的存在；C选项:

通过放缩，得到函数值的范围；D选项：通过函数值的符号，判断零点个数.

【详解】对于A：/''(x)=31n3-21n2=2'In3-ln2,

因为xe(0,+8),所以2*>1，gj>1,因止匕In3>ln3>ln2,

故(㈤>0,所以〃x)在(0,E)上单调递增，故A正确;

对于B：令a=灰,贝1Jy=-，令h(x)=,定义域为R,关于

原点对称,

且h(-x)==-h{x},故力(x)为奇函数，B正确;

3

对于C：x>0时，/(尤)=2,-1>0；x=0时，〃x)=0；

%v0时，f(x)>—2V>—1；C正确；

对于D：x=0时，g(x)=0,x>0时，g(x)>3*-2*=2*停］-1>°，

x<0时，g(x)<3<2*=2*-1<0,所以g(x)只有1个零点，D错误;

故选：ABC

9.(^x>,-4)U(0,-H»)

【分析】设出切点横坐标飞,利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到

关于X。的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得”的取值范围.

[详角军]回y=(x+a)ex,团y'=(x+1+a)ex,

设切点为(毛,％),则%=(x()+a)e均，切线斜率％=(x()+l+a)e&,

切线方程为：y-(x0+a)e^=(%0+l+a)e'°(x-x0),

团切线过原点，0-(%0+«)6^+l+a)e*(f),

整理得：x；+ax0—a=0,

团切线有两条，回A=a2+4a>0,解得a<Y或。>0,

0«的取值范围是(ro,-4)U(0,+<»),

故答案为：(Y°,-4)U(0,+°°)

【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.

【详解】设公切线在曲线y=与>=比尤上的切点分别为4孙5),Bg乃),

,111

由y=lnx可得、=一，所以一=2,解得/=彳，

X^22

所以%=ln%=-ln2,则B(1,-ln2),

所以切线方程为y+In2=2(x-g),

又由y=a、2,可得y'=2av,所以2〃%=2,即〃％=1,

所以％==%，

又因为切点A(%，M),也即A(西，再)在切线y+ln2=2(1-g)上，

所以石+ln2=2(%—g),解得玉=ln2+l,

111

所以。=-=[01=[。•

玉In2+1In2e

1

故答案为:

In2e

11.e+1

【分析】求得尸(x)=(x+2)婷+：,得到/'(l)=3e+lj(l)=2",根据题意得到

b=/'(l),a=/(l),即可求解.

【详解】由题意，函数〃x)=(x+l)e，+lnx,可得尸(X)=(X+2)/+L

X

可得「⑴=3e+l,/⑴=2e,

因为曲线y=在(l,a)处的切线与直线Zzr-y+2=0平行，

可得b=r(l)=3e+l,a=〃l)=2e,所以b-a=e+1.

故答案为：e+1

12.(l)y=x+2

【分析】(1)利用导数公式、导数的几何意义以及直线的点斜式方程求解.

(2)/(x)在xe(O,+◎单调递增时，则((无)2。对尤€(0,y)恒成立，再利用分离参数

法、导数计算求解.

【详解】(1)f(x)=ex-ax2+1,得/(x)=e，-2ax,

贝|/'(0)=1,又“0)=2,

所以曲线，=/(尤)在(0"(0))处的切线方程为>-2=》-0,

即y=x+2.

(2)因为xe(0,+◎时，单调递增，

所以xe(0,+8)时，/'(x)=e*-2axz0恒成立,

即2aWC在xe(0,+s)时恒成立，

X

设g(x)=j,则g'(x)="?e'

则0<%<1时，g'(x)<0,X>1时，g'(%)>。，

可知％=1时，g(%)取极小值g6=e,该极小值也即为(0,+8)上的最小值，

所以2a<e,BPtz<—,

2

所以xe(0,+8),/(x)单调递增时，。的取值范围是[-8,].

13.(l)18%+3y-5=0

⑵答案见解析

【分析】(1)求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出。=-3,从而得到

/(2)=-y,求出切线方程；

(2)求定义域，求导，对导函数因式分解，分1-a<-l,1-a=-L和1-。>-1三种情

况，讨论得到函数的单调性.

【详解】(1)=+以+。一1,/12)=3a+3

由已知/(2)=-6,

团3a+3=-6得&=—3

又“2)*

回曲线〃尤)在点("⑶处的切线方程为工十夫工，)

化简得：18x+3y-5=0

(2)〃尤)=#+#+(。-1)尤+1定义域为R,

/,(x)=(x+«-l)(x+l),令r(x)=O得x=l-a或x=-l

①当l-av—1即〃〉2时，

令/'(X)>0得了>一1或%<1一4,令/'(%)〈。得1一4V九V1,

故〃力在(1-。厂1)单调递减，在(T/-。)，上单调递增；

②当1一a=—1即a=2时，f(x)=(%+1)?20恒成立,

故/(%)在R上单调递增；

③当1—〃>一1即a<2时，

令/'(%)>°得光>1一.或x<一1，令/'(%)<0得一1vxvl-a,

“力在(-1,1-。)上单调递减，在(-8,-1),(1-。,口)上单调递增；

综上，当〃>2时，/(%)在(1-a,—1)单调递减，在(HO』-〃)，(-1,+8)上单调递增；

当4=2时，“X)在R上单调递增；

当a<2时，”X)在(-1.1—a)上单调递减，在(-8,-1),(1-。,+℃)上单调递增；

【能力提升训练】

一、单选题

1.(2023•山东潍坊・模拟预测)已知函数/(X),g(x)及其导函数助⑺,g'(x)的定义域

均为R,〃2x+l)为奇函数，g(x-l)关于直线x=l对称，则()

A./(g(-l))=-/(g(l))B.g(〃T)=-g(〃3))

C./3(—l))=/(g"))D.g(/”(-l))=g(〃3))

/、[ax+\,x<0

2.(2023•北京西城•模拟预测)已知函数〃x)=]2尤>0，若存在无。>°，使得

〃不)成立，则实数。的取值范围是()

A.B.(-oo,l]C.[1,+<»)D.[-1,1]

3.(2023・广东佛山•二模)若斜率为1的直线/与曲线y=ln(x+a)和圆/+丁=；都相切，

则实数。的值为()

A.-1B.0C.2D.0或2

4.(2023•陕西宝鸡•二模)若过点(0,2)可作曲线>=炉+3/+办+。-2的三条切线，则a

的取值范围是()

A.(-3,-1)B.(-2,2)C.(4,5)D.(4,6)

5.(2023・全国•二模)若曲线〃x)=己有三条过点(0⑷的切线，则实数。的取值范围为

()

A•(娟B.(。山C.(0,jD.[of

6.(2024・辽宁•模拟预测)已知/(X)是定义在R上的奇函数，g(x)=/'(x)-2e'+x也是定

义在R上的奇函数，贝U关于x的不等式g(l-/)+g(2x+2)>。的解集为()

A.(^»,-l)u(3,+co)B.(-<30,-3)U(l,+°o)

C.(-1,3)D.(-3,1)

7.（2024•北京海淀•一模）函数/（x）是定义在（7,4）上的偶函数，其图象如图所示，

〃3）=0.设（。）是，。）的导函数，则关于尤的不等式/（尤+D•八元）20的解集是（）

A.[0,2]B.[-3,0]U[3,4)C.(-5,0]U[2,4)D.(-4,0]U[2,3)

二、多选题

8.（2025・四川巴中,模拟预测）已知函数/（x）=asinx+cosx的图象关于x=方对称，下列结

论中正确的是（）

A.fY是奇函数

(兀、A/6+72

7T

C.若/（X）在［fV7H上单调递增，贝!|0＜根4§

D./（x）的图象与直线y=2x+］TT有三个交点

9.（2024・河南•模拟预测）己知函数/（x）=sin（3x+［,下列说法正确的是（）

A.的最小正周期为?

B.点图象的一个对称中心

C.若/（无）=a（aeR）在x上有两个实数根，则且会＜1

L189」2

D.若〃x）的导函数为尸（x）,则函数y=/（x）+/'（x）的最大值为加

10.（22-23高二下•浙江杭州•期中）若直线y=K（x+l）-l与曲线y=e、相切，直线

y=月（尤+1）—1与曲线y=Inx相切，则左色的值为.

11.（2023•广东佛山•一模）已知曲线〃力=石与曲线g（无）=alnx（aeR）相交，且在

交点处有相同的切线，则〃=.

四、解答题

12.(2020•四川成都•模拟预测)已知函数〃x)=ax{Tnx(oeR).

(1)若/(无)是定义域上的增函数，求a的取值范围；

2

(2)若。＞,,若函数/(久)有两个极值点看，%(为＜々)，求尤?)的取值范围.

13.(2024•江苏徐州•一模)已知函数/'(x"f+izx-ln尤，aeR.

⑴若函数y=〃x)-2/在(0,2］上单调递减，求a的取值范围：

⑵若直线y=5与“X)的图象相切，求a的值.

14.(22-23高二下•天津红桥•阶段练习)已知函数f(x)=lnx-ar(aeR).

(1)若x=l是f(x)的极值点，求