2025年高考数学二轮复习重难点专项突破：三次函数图像与性质（解析版）

专题2-2三次函数图像与性质

近5年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

考查频率：三次函数图像与性质的考查在近五年高考

年甲卷(文),

2024中保持一定频率，尤其在新课标全国卷中较为常见。

第题分

16,5考点内容：主要考查三次函数的图像特征(如中心对(1)理解三次函数的定义

称性、开口方向)、单调性(通过导数分析)、极值域、值域和图像特点。

2024年新高考I点(一阶导数为零的点)以及图像与性质的综合应用。(2)掌握三次函数的导数

卷，第10题,6分题型分布：常以选择题、填空题或解答题的形式出现，与单调性关系。

涉及三次函数的零点、最值、极值、单调区间等具体(3)判断三次函数的极值

问题。点及其个数。

2024年新高考II难度变化：随着高考改革的深入，对三次函数图像与(4)探究三次函数图像与x

卷，第11题,6分性质的考查更加注重学生的综合分析能力和解题技轴的交点个数。

巧，难度可能略有提升。(5)熟练运用三次函数的

备考建议：考生应熟练掌握三次函数的基本性质，灵对称中心性质。

2022年新高考I活运用导数工具进行分析，同时注重题目类型的多样

卷，第10题,5分性和综合应用能力的培养。

模块一a热点题型解读(目录)

【题型1】求三次函数的解析式

【题型2】三次函数的单调性问题

【题型3】三次函数的图像

【题型4】三次函数的最值、极值问题

【题型5】三次函数的零点问题

【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题

【题型7】三次函数对称中心

【题型8】三次函数的切线问题

【题型9】三次函数根与系数的关系

模块二核心题型•举一反三(讲与练)

【题型1]求三次函数的解析式

核心•技巧

(1)一般式：/(x)=ax3+/?x2+cx+(i(〃/0)

(2)交点式：/(X)=。(工一%)。一々)(元一天)(4于0)

1.若三次函数/(%)满足/(。)=0,/⑴=1,。(。)=34")=9,则〃3)=()

A.38B.171C.460D.965

【解析】待定系数法，求函数解析式

设/(x)=G^+bx2+cx+d,则/r(x)=3ov2+2Z?x+c,

〃。)="=0”10

f(\)=a-\-b+c+d=\b=-\2

由题意可得：・/(0)=c=3，解付,

c=3

[⑴=3a+2b+c=9d=0

贝1/(%)=10%3—12%2+3%,所以/(3)=10x33—12x32+3x3=171.

【题型2】三次函数的单调性问题

心•技心

三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、

零点以及与其他函数的综合应用等方面。以下是对三次函数常见考点的详细分析：

i.三次函数的定义与形式

•定义：j[x）=ax3+bx1+cx+d（其中a丰=0）的函数称为三次函数。

•形式：注意系数a,b,c,d的作用，特别是。的正负决定了函数的开口方向（a>0开口向上，

a<0开口向下）。

2.函数的单调性

・导数应用：利用导数了（x）=3ax2+26x+c判断函数的单调性。解不等式/（x）>0和了（尤）<0得到函

数的单调递增和递减区间。

・极值点：导数等于0的点（/（x）=0）可能是极值点，需结合单调性判断是否为极大值或极小

值点。

2024•广东茂名市•一模

2.(多选)若/'(x)=—gx3+gx2+2x+i是区间(机―1,加+4)上的单调函数，则实数m的值可

以是()

A.-4B.-3C.3D.4

【答案】CD

【详解】由题意，+尤+2=—(%—2)(%+1),

令/'(x)>。，解得一lv%v2,令/'(x)v。，解得x<—1或x>2,

所以/(%)在(—1,2)上单调递减，在(一8,—1),(2,+8)上单调递减，

若函数/(X)=—3尤3+g犬2+2尤+1在区间(加一1,加+4)上单调，

rn—12—1_

则根+4<-1或加一122或《，,解得根<—5或机>3或加£0,

m+4<2

即机<—5或切23.

【巩固练习】三次函数/(%)=如3_元在(_00,+00)上是减函数，则加的取值范围是()

A.m<0B.m<\C.m<0D.m£1

【答案】A

【详解】对函数/(%)=如？一无求导，得八%)=3加/_1

因为函数/(%)在(f0-00)上是减函数，则广⑶(。在R上恒成立，

即3mx2-1W0恒成立，

当％2=0,即x=0时，3m：2一1工0恒成立；

当fwo,即xwO时，x2>0,则3根即3根W二,

x1%Jmin

因为二N0,所以3m<0,即mW0;

x

又因为当m=0时，/(x)=r不是三次函数，不满足题意，

所以mv0.

【题型3】三次函数的图像

/核心•技巧/

a>0a<0

A>0A<0A>0A<0

三次函数的定义域和值域均为Ro对于值域，可以借助极限的思想。根据函数的解析式可知，

影响其值域范围的主要是“以3”这一项，因此可得：

当。>0时，X趋近于+co,则/㈤趋近于+co；X趋近于-CO,则/尤）趋近于-CO。

当O<0时，X趋近于+00,则#尤）趋近于-00；尤趋近于-CO,则趋近于+co。

又因为尤尤）是连续的函数，且XGR,所以仆）的值域为R。

由于三次函数的值域为R,则它的函数图像与x轴至少有一个交点，换句话说三次方程至少有一个

根。

3.设。片0,若。为函数/（x）=a（尤-a）2（x-b）的极大值点，则（）

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【解析】数轴穿根法，根据解析式画出图象

若a=6,则/'（x）=为单调函数，无极值点，不符合题意，故〃b.

有。和6两个不同零点，且在x=a左右附近是不变号，在x=6左右附近是变号的.依题意，a

为函数“X）=（x-b）的极大值点，在尤=。左右附近都是小于零的.

由图可知人。，a>Q,故ab>a2.

综上所述，曲>"成立.

4.（2024•全国一卷真题）（多选）设函数〃尤）=（尤-1）2（尤一4）,则（）

A.x=3是了⑴的极小值点B.当0<x<l时，/(x)</(x12)

C.当1cx<2时，-4</(2x-l)<0D.当一l<x<0时，/(2-x)>/(x)

【答案】ACD

【分析】求出函数/(x)的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数

“X)在(1,3)上的值域即可判断C;直接作差可判断D.

【详解】对A,因为函数“X)的定义域为R,而「(%)=2(尤-1)(X-4)+(X-1)2=3(X-1)(X-3),

易知当xe(l,3)时，当或xw(3,+oo)时，/(%)>0

函数在(-8,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增，故x=3是函数“X)的

极小值点，正确；

对B,当Ovxvl时，x-x?=x(l-x)>0,所以1>彳>尤2>0,

而由上可知，函数/⑺在(0,1)上单调递增，所以/(不)>/■(/),错误；

对C,当l<x<2时，l<2x-l<3,而由上可知，函数在(1,3)上单调递减，

所以/。)>/(2%一1)>/(3),即T</(2x_l)<0,正确；

对D,当_]<x<0时，/(2—X)—/(x)=(1—%)2(―2—X)—(%—1)2(%—4)=(x—1)-(2—2%)>0,

所以/(2-无)>/(x),正确

【巩固练习1】(多选题)(2024•湖北武汉•模拟预测)设函数〃龙)=3/一2/+2彳，则下列结论正确

的是()

A.存在实数%使得/(%)=-(玄)B.方程〃力=3有唯一正实数解

C.方程=有唯一负实数解D.〃力=1有负实数解

【答案】ABC

【分析】求导，分析函数/(X)的图象与性质，对个选项逐一验证即可.

13

【详解】因为=—2f+2%,(x)=—x2-4x+2.

13

由一丁—2x2+2x=—x2—4x+2=>x3—7x2+12x—4=0,

22

设九(%)=13一7%2+12%-4,因为函数定义域为(-a?,+8),且/i(0)=-4<0,/z(7)=80>0,

可知方程/z(力=0一定有实数根，故A正确；

由/'(%)>0n(%-2)(3%-2)>0=>x<§或％>2.

所以函数在(2,+8)上单调递增，在[g,2)上单调递减.

且/[1■)=柿为极大值，42)=0为极小值.

做出函数草图如下:

产3

观察图象可知：方程〃x)=3有唯一正实数解，/(力=-1有唯一负实数解，

故BC正确；

又/(。)=。，结合函数的单调性，当x<。时，/(x)<0,所以/(x)=l无负实数解.故D错误.

故选：ABC

【巩固练习2】(2024•全国甲卷(文)真题)曲线y=d-3x与y=-(x-l)~+。在(0,+8)上有两个不同

的交点，则。的取值范围为.

【答案】(一2,1)

【分析】将函数转化为方程，令/一3_¥=-(％-1)2+。，分离参数。，构造新函数g(x)=V+X2-5X+1,

结合导数求得g(尤)单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.

【详解】令尤-3x=—(x—I)?，即a=/+/_5x+i,令g(x)=d-5x+l(x>。)，

贝"g'(x)=3x2+2x—5=(3x+5)(x-l),令g'(x)=0(x>0)得x=l,

当xe(0,l)时，g,(x)<0,g(x)单调递减，

当xe(l,+8)时,g[x)>0,g(x)单调递增，g(O)=l,g⑴=-2,

因为曲线y=丁-3x与y=-(x-l)2+a在(0,+(»)上有两个不同的交点，

所以等价于与g(x)有两个交点，所以a«-2,l).

【题型4】三次函数的最值、极值问题

核心痴

三次函数的极值与最值

极值：通过导数等于0找到可能的极值点，并判断其类型(极大值或极小值)。

・最值：在闭区间上，最值可能出现在端点或极值点处。需比较这些点的函数值来确定全局最

值。

5.已知三次函数/Q)=g"3+。/+尤+。无极值，且满足。+提V8,贝1］〃—〃=.

【答案】12

【解析】由题设/'(九)=奴2+2"+1,则A=4"2—4〃40,即〃

所以4+程2"+能'2』^=8,当且仅当“=^=4时等号成立，

又a+jyW8,故。+3=8,可得。=/=4,

所以八〃=16一4=12.

6.已知三次函数兀0=3工3—(4比一1)%2+(15祖2—2加-7)尤+2在定义域7?上无极值点，则机的取值

范围是()

A.机<2或机>4B.机>2或加44

C.2<m<4D.2<m<4

【答案】C

【详解】f(x)=x2-2(4m-l)x+15m2-2m-7,

由题意得导函数/(%)=/一2(4根一1)%+15病一2加一7无变号零点，

所以九2—2(4%一1)%+15m2-2加一7〉0恒成立，

...A=4(4/71-I)2-4(15m2-2m-7)=64m2-32m+4-60m2+8m+28=4(m2-6m+8)<0,

解得2K%K4

【巩固练习1】已知三次函数〃x)=V+凉+6+2,其导函数为广⑴，存在/£(1,4),满足

〃2v)=/«)=r⑺=0.记/("的极大值为则M的取值范围是.

【答案】(0,32)

［解析］因为/(2_。=/«)=/'«)=0,

所以/是/(%)的零点也是极值点，2T也是“X)的零点，

不妨设/(%)=(x+/-2)(X—/)2,

故f'(x)—(x—方)2+2(x+1-2)(%—/)—(x—/)(X—t+2x+2t-4)=(%—%)(3x+.-4),

因为ZW(1,+8),所以—-—<t,

故当或时，f\x)>0,/(%)单调递增，

当?<x<r时，/'(x)<0,/(x)单调递减,

4-t

可得“X)的极大值/=/*5

32

因为fe(l,4),所以屋(0,32).

【巩固练习2】(2024.全国•模拟预测)已知三次函数/(力=2/+加+6%+1的极小值点为b,极大

值点为北，则a+b等于()

A.4A/2B._4yli

C.±472D.±572

【答案】A

【解析】由题意，得/'(x)=6元?+2依+6,关于x的一元二次方程6%2+2依+6=0的两根为6,2b,

又极小值点为b,极大值点为2b,所以2b<b,即/<0,

由韦达定理得到，3,所以匕=一注，a=-9b,得到4+匕=-助=4应.

2b2=12

【题型5】三次函数的零点问题

核心•技巧

三次方程f(幻=0的实根个数

设三次函数/(x)=ax3+bx2+cx+d{a^0)

其导函数为二次函数:尸(x)=3ax2+2bx+c(a力0),

⑵若加一3公>0,且/(须)"(％)>0,则f(x)=0恰有一个实根;

(3)若廿-3ac>0,且/(%)"(%)=0,则〃x)=0有两个不相等的实根;

(4)若/一3ac>0,且/(占)"(马)<。,则/(x)=0有三个不相等的实根.

说明:⑴（2）f（X）=0含有一个实根的充要条件是曲线y=/（X）与X轴只相交一次，即/（X）在R上为单

调函数（或两极值同号），所以。2-3改＜0（或从-3。。＞0,且〃％）"%）〉。）;

（5）f（x）=0有两个相异实根的充要条件是曲线y=f（x）与x轴有两个公共点且其中之一为切点，所

以廿一3改＞0,且/。）"（%）=0；

（6）/（%）=0有三个不相等的实根的充要条件是曲线y=/（x）与%轴有三个公共点，即/（x）有一个极

大值，一个极小值，且两极值异号.所以62一3"＞0且/（西）"（％）＜0.

7.（2023•全国•高考真题）函数〃了）=三+依+2存在3个零点，则。的取值范围是（）

A.(-℃,-2)B.(^»,-3)C.(<-1)D.(-3,0)

【答案】B

【分析】写出「00=3X2+。，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.

【详解】/（x）=%3+ax+2,贝|广（了）=3x?+a,

若/'（x）要存在3个零点，则/（元）要存在极大值和极小值，则a＜0,

—Cl

故的极大值为,极小值为f

'—+2>0

!—，解得a<-3

若外力要存在3个零点，贝人即

舟<。

8.已知三次函数〃尤）有三个零点4，X”%，且在点（七,以％））处切线的斜率为左。=123）,则

111

——+—+—=

区k2k3，

【答案】0

【解析】令/（x）=〃（x-石）（1一%2）（%-%3），其中awO,花，4，W互不相等.

则—-%3）+（%—%）（了一%3）+（%—玉）（1—々）]-

1111111

——I--------1------=—++

(x1-x2)(x1-x3)(x2-x1)(x2-x3)(x3-x1)(x3-x2)

k[k2k3a

X]—玉+%3一再+再一X?Q

〃（国一兄2）（再一%3）（%2一%3）

9.已知加，"，peR,若三次函数/（力=彳3+侬2+«%+0有三个零点0,b,c,且满足

3则：的取值范围是（

1++’)

abc

AriI

-I"cD.

【答案】D

【解析】V/(-l)^/(l)<|,/(0)=/(2)>2

f-l+m-n+p—l+m+n+p(n+l=0

jp=8+4m+2〃+p'\2m+n+4=0

,3

f/l=3

得<2,代入得f(%)=丁一5%2一%+。，

n=-l~

a

/(O)>2

-1-----F1+p<—

•-22,解得2Vp<3,

p>2

设三次函数的零点式为/(^)=(.x-a)(x-b)(x-c),

比较系数得必+儿+ca=-l,abc=-p,

,111ab+be+ca1fl1

故一+工+―=---------=_£—-

abcabcpI3?2)

【巩固练习1】已知三次函数〃X）的零点从小到大依次为加，0,2,其图象在x=-l处的切线/经过

点（2,0）,贝"加=（）

A.--B.-2C.--D.--

532

【答案】B

【解析】由题意可设-根-2）=。［%3一（m+2）/+2awo,

贝ij/'（%）=〃［3X2—2（机+2）%+2根］,

可得/（-1）=一3。（m+1）J'（-1）=<2（4m+7）,

即切点坐标为,切线斜率左=〃（4根+7）,

则切线方程为^+3^（m+l）=tz（4m+7）（x+l）,

代入点（2,0）得=3〃（4帆+7）,

且〃。0,得？n+l=4n?+7,解得m=—2.

32

【巩固练习2】（2024•全国•一模）已知三次函数“好二力9+伉k+4X+2,^（x）=a2x+b2x+c2x+d

(«1«2N0),且f(x)有三个零点.若三次函数p(x)=3/(x)+g(元)和4(x)=/(x)-g(x)均为R上的单调函

数，且这两个函数的导函数均有零点，则g(x)零点的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.2个或3个

【答案】A

p(x)+式九)

fM=

【解析】由[PQ)=3/(x)+g(x)4

可得,

[q(x)=/(x)-g(x)p(x)-3q(x)

gM=

4

因为三次函数p(x)=3〃x)+g(x)和q(x)=/(x)-g(x)均为R上的单调函数，且这两个函数的导函

数均有零点，

所以这两个函数的导函数必为完全平方式，

设"(％)=叫(%—々J,/(%)="(%一%)2,

•♦•/(X)有三个零点，."(X)不单调,即/'(X)必有两个不相等的实数根,

:.m1m2<0,

==-3加2(x-〃2)1，且叫与-3外同号，二g'(x)不可能有两

个不相等的实数根，故g("单调，

由于当X趋向于正无穷时，y=V趋向于正无穷的增长速率远远大于y=/和y=X趋向于正无穷的增

长速率；当x趋向于负无穷时，y=V趋向于负无穷的增长速率远远大于y=/趋向于正无穷和y=x

趋向于负无穷的增长速率；

故当x趋向于正无穷和负无穷时，三次函数两侧都趋向于无穷，且异号，

所以三次函数g(x)必有零点，故g(x)有唯一零点

12x+l|,x<l

【巩固练习3］已知/。)=g(x)为三次函数，其图象如图所示.若y=/(g(x))-

log2(x-l),x>l

有9个零点，则加的取值范围是.

【答案】0〈机<1

当me(-oo,0),y九与/(x)只有一个交点且xe(l,2)；

当〃?=0,»=利与/(X)有两个交点且x=-g或x=2；

当me(0,3),，=帆与/(x)有三个交点且xe(-2,-g)u(-：,l)u(2,9)；

当me[3,-Foo),y=相与/(%)有两个交点且％£(—OO,—2]D[9,+OO)；

由题图，要使，=g(x),>=/«)-根有9个零点，则根£(0,3),re(m-3,m+2)且/(0=加有

-2<-5<G<1<2<亍3<9,

根据"X)解析式：==一m寸+1冉=m掾—1/=2"'+1,

_m+1.

m-3<-----<m+255

2——<m<—

33

_m-1_

综上，m-3<---<m+2,可得，-5<m<5,故。<用<1

0<m<1

m-3<2w+l<m+2

0<m<3

0<m<3

【巩固练习4］已知三次函数/(力=彳+办2-3〃尤+6(。>0)有两个零点，若方程尸"(创=。有四个

实数根，则实数。的范围为()

D.住啕

【答案】C

【解析】/'(%)=x2+2ax-3a2(a>0)一定有两零点。与一3。,所以只需/(%)=。或/(%)=-3。共有四

个根即可.结合了(%)有两个零点，所以必有/(a)=0或/(-3a)=0.然后分两种情况结合函数图象讨

论即可.由f\x)=x2+lax-3a2(4Z>0),贝"(尤)=。得元=〃或一3a

三次函数/(x)=]+加_3/x+6(“>0)有两个零点，且程/'"(初=。有四个实数根,

所以只需/(尤)=。或f(尤)=-3a共有四个根即可，

/(«)=0/(a)<0

所以或<

/(-3«)>0^[/(-3«)=0-

又方程n/W]=0有四个实数根，则/(x)=。或/(%)=-3a共有四个根.

/(x)在(-oo,-3a),(a,+co)上单调递增，在(-3a,a)单调递减.

当〃〃)=0时，b=^a3,要满足条件，作出函数的大致图像.(如图①)

则0<〃<f(—3〃),即一9dP+9〃3+9/H—/>a,解得〃>.

38

当/(-3。)=0,得6=-9/,要满足条件，作出函数的大致图像.(如图②)

则/(a)<-3a<0,?p-a3+fl3-3a3-9a3<-3a,解得.>逑.

综上所述，当时，方程/'"(x)]=。有四个实数根.

8

故选：C

【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题

10.(24-25高三上•云南•阶段练习)(多选)已知函数/(力=炉—3x+2,则()

A.f(无)有两个极值点

B.点(0,2)是曲线y=/(x)的对称中心

C./(x)有三个零点

D.直线>=。是曲线y=/(x)的一条切线

【答案】ABD

【分析】根据极值点的定义可判断A；由/z(x)=V-3x为奇函数，根据平移变换可判断B；由“力

的单调性和最值可判断C；利用导数的几何意义可判断D.

【详解】由题意，/,(X)=3X2-3,令制x)>0得X>1或*<一1,令/'(力<0得一1<%<1,

所以〃x)在(1,小)上单调递增，(T1)上单调递减，

所以x=±l是极值点，故A正确；

令人(%)=一3无，该函数的定义域为R,/?(-力=(-x)3-(-3X)=-X3+3X=-/J(X),

则立(x)是奇函数,(0,0)是/z(x)的对称中心,

将〃(x)的图象向上移动两个单位得到“X)的图象，

所以点(0,2)是曲线y=/(x)的对称中心，故B正确；

因为八-1)=4>0"(1)=0,/(-2)=。，所以，函数在(一8,—1)上有一个零点，

当尤>1时,/(x)>/(l)=0,即函数〃x)在(1,+8)上无零点，

综上所述，函数/(元)有两个零点，故C错误；

令可得x=±l,又/⑴=0,/(-1)=4,

当切点为(1,0)时，切线方程为y=。，当切点为(一1,4)时，切线方程为y=4,故D正确，

故选：ABD.

11.(多选题)(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x—V+ovZ+bx+c下列结论中正确的是()

A.若尸(5)=0,则不是/⑺的极值点

B.3XO£R,使得/(%)=()

C.若X。是“X)的极小值点，则/(X)在区间(-8,%)上单调递减

D.函数>=/(x)的图象是中心对称图形

【答案】BD

【分析】求出函数的导数，当A=4/-12b>0时，/'(幻=。有两解，列表表示出导数值的正负以及函

数的单调情况，当A=4/_126V0时，f'(x)>0,即可判断A,B,C;证明等式

/(一,T)+/(X)=2/(-?成立即可判断D.

【详解】A：因为/(x)=丁+以2+乐+。，所以/(工)=3/+2av+Z?,

当△=4/一126=0时，f'^>0,尸1_1]=0,则/(刈在R上单调递增，毛=一]不是极值点，故A

错误;

B：由选项A的分析知，函数/(x)的值域为R,所以lXo£R,使得〃%o)=O,故B正确；

C:由选项A的分析知，当A〉0时，/(%)在(-应石)上单调单调递增，在(%,%)上单调递减，

所以若/为/(%)的极小值点时，/(%)在(-8,不)上先递增再递减，故C错误；

D:/(———J;)+/(X)=(-——x)3+«(———%)2+/?(-——x)+c+x3+ov2+Z?x+c=—a3—^^+2c,

3333273

丁人a、.a、3/a、？】/a、2ab

而/(一.)=(-.)'+4(-a)-+6(一2)+°=方。3+C,

JJJJ4/J

贝u(-g-x)+/(x)=2/(-9)，

所以点P(-,,/(-§))为y=/(x)的对称中心，即函数y=/(x)的图象是中心对称图形，故D正确.

【巩固练习1】函数〃尤)=加+/+6+〃(《,),。,〃€1<)的图像如图所示，贝iJa+6+c的取值范围

是.

【答案】(一名0)

【分析】由图可知/'(-1)=0,/'⑶=。，列式求解可得。、b、c的关系，再结合((0)<0可得.

【详解】/z(x)=3ar2+2/zx+c,

由题图可知，r(—i)=o,r(o)<o,八3)=o,

则/,(0)=c<0,/'(-l)=3a-2Z?+c=0...0,⑶=27〃+6Z?+c=0...②，

②-①得24a+8/?=0,即人=一3。.

3x①+②得3/r(-l)+f(3)=36〃+4c=0,贝寸c=-9a,

所以一9,<0,则a>0.

则a+b+c=a-3a-9a=-\1«<0,

所以a+b+c的取值范围为：(一8,0)

故答案为：(-8,。).

【巩固练习2】(23-24高三•广东清远•期末)(多选)已知函数/(%)=/—3X+4,%£[0,2],则下列选

项中正确的是()

A.〃%）的值域为[2,6]

B./(x)在x=l处取得极小值为2

C.在［0,2］上是增函数

D.若方程/(x)=a有2个不同的根，则即［2,4］

【答案】AB

【分析】根据题意，求导可得尸(x),即可得到函数/(x)的单调性以及值域，即可判断ABC,再结

合函数图像即可判断D

【详解】因为函数/(幻=/-3尤+4,xe［0,2］,贝|/'(力=3尤2-3,

令/=即3--3=3(x+l)(x—1)=。，解得无=1或%=一1(舍)，

当xe(O,l)时，/'(x)<0,则函数单调递减，

当xe(l,2)时,r(x)>0,则函数〃尤)单调递增，故C错误；

则x=l时，函数有极小值即最小值，即=1-3+4=2,故B正确；

且〃。)=4,〃2)=8-6+4=6,则函数值域为［2,6］,故A正确；

由函数/(%)的单调性以及值域可得函数的大致图像，如图所示，

结合图像可知，若方程有2个不同的根，则ae(2,4］,故D错误

【巩固练习3】2024•金华联考模拟(多选题)已知函数/(龙)=卜3一4尤+4(;^［0,3］),则()

A.函数/(x)在区间。2］上单调递减

B.函数"X)在区间。3］上的最大值为1

C.函数73在点(1,7(1))处的切线方程为y=-3x+g

D.若关于x的方程/(x)=a在区间。3］上有两解，则ae(一川

【答案】AC

【分析】利用导数分析函数f(x)的单调性，进而判断AB选项；结合导数的几何意义可判断C选项;

画出函数了(无)大致图象，结合图象即可判断D选项.

1,

【详解】因为/(x)=§d-4x+4,xe［0,3］,

所以f'(x)=x2-4=(x+2)(x-2),

令尸(x)>0,即x>2；令/(x)<0,即0Vx<2,

所以函数/(x)在区间。2］上单调递减，在［2,3］上单调递增，故A正确；

因为/'(0)=4,/(3)=1,

所以函数/(X)在区间［0,3］上的最大值为4,故B错误；

因为r(1)=一3,/(1)=1,

所以函数/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程为y-；=-3(尤-1),

即\=-3彳+弓，故C正确；

要使方程f(x)=。在区间［0,3］上有两解,

4

则一故D错误.

【题型7】三次函数对称中心

核心•技巧

二阶导数的零点即为对称中心横坐标，即/"(玉))=0则为函数了(无)的对称中心

bb

设三次函数/'(尤)=公3+6无2+cx+d(。w0),则对称中心是；(---,/(----))

3a3a

三次函数的对称中心为(7,k),则〃r-x)+〃r+x)=2%

12.已知三次函数〃力=2/+加+6X+1的极小值点为6,极大值点为26,贝普+人等于()

A.4>历B.一4应

C.土40D.±50

【答案】A

【详解】由题意，得/'(%)=6/+2奴+6,关于x的一元二次方程6/+2办+6=0的两根为b,2b,

又极小值点为极大值点为助，所以2b<b,即6<0,

31)=-—万

由韦达定理得到，3,所以b=-----,a=-9b,得到a+b=-8Z?=4忘.

2b2=12

13.人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数/(%)都有对称中心，其对称中心为(％,/(%))(其

中尸'(勺))=。).已知函数/(%)=%3一3%2+4%+5.若/(㈤=4J(〃)=10,IJJlJm+n=()

3

A.1B.—C.2D.3

2

【答案】C

【解析】由题意得，/(%)=3%2_6x+4,/"(x)=6x—6,令/”(%)=0,解得：x=l,

所以函数/(%)的对称中心为：(1,7),又/(叫+/(〃)=14,所以根+〃=2.

14.已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点.若/(%)=/_3Y+3X+1,则

A.0B.4C.2-6D.2+血

44

【答案】B

【解析】二级结论：三次函数对称中心的横坐标是其二阶导数的零点。由题，

f\x)=3x2-6x+3,f\x)=6x-6,故二阶导函数的零点为x=l,即对称中心的横坐标为1,

设对称中心为(1,b),则/'(x)=26-/(2—彳)，可解得6=2,

15.(2024•全国2卷・高考真题)(多选)设函数/(x)=2尤3-3办2+1,则()

A.当。>1时，有三个零点

B.当。<0时，x=0是/⑴的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在a,使得点⑴)为曲线y=/(x)的对称中心

【答案】AD

【分析】A选项，先分析出函数的极值点为x=0,x=a,根据零点存在定理和极值的符号判断出/(%)在

(-1,0),(0,a),(a,2a)上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假

设存在这样的a,b,使得x=b为/(x)的对称轴，则/(x)=/(28-x)为恒等式，据此计算判断；D选

项，若存在这样的。，使得(l,3-3a)为/(x)的对称中心，则/(x)+/(2-尤)=6-6"，据此进行计算

判断，亦可利用拐点结论直接求解.

【详解】A选项，f(x)=6x2-6ax=f>x{x-a),由于a>l,

故xe(r»,0)5a,+co)时f'(x)>0,故/(X)在(一8,0),(a,+e)上单调递增，

xe(0,a)时，—(无)<0,/(X)单调递减，

则/(元)在x=0处取到极大值，在尤=。处取到极小值，

由/(0)=1>0,/(a)=l-a3<0,则/(0)/(。)<0,

根据零点存在定理/(X)在(0,。)上有一个零点，

又/(-1)=-l-3a<。，/(2。)=4/+1>0,则/(—1)/(0)<0"(a)/(2a)<0,

则/(X)在(-1,0),(a,2a)上各有一个零点，于是。>1时，/(X)有三个零点，A选项正确；

B选项，/'(x)=6x(x-a),0<0时，%e(t?,0),/,(%)<0,了(无)单调递减，

xe(0,+oo)时/'(尤)>0,/(X)单调递增，

此时/(x)在x=0处取到极小值，B选项错误；

C选项，假设存在这样的a,b,使得x=b为/'(x)的对称轴，

即存在这样的a,b使得f(x)=f(2b-x),

即2x3-3ax2+1=2(26-x)3-3aQb-%)2+l,

根据二项式定理，等式右边(26-4展开式含有d的项为2C；(2b)°(r)3=_2V,

于是等式左右两边V的系数都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的6,使得x=b为了(X)的对称轴，C选项错误；

D选项，

方法一：利用对称中心的表达式化简

/(l)=3-3a,若存在这样的a,使得(1,3-3a)为/(x)的对称中心，

则/(x)+/(2-x)=6-6a,事实上，

/(x)+/(2-x)=2%3-3ax2+1+2(2-%)3-3a(2-x)2+l=(12-6a)%2+(12a-24)%+18-12a,

于是6-6a=(12-6a)x2+(12。-24)x+18-12a

12-6a=0

即112a-24=0,解得a=2,即存在口=2使得(1J⑴)是了。)的对称中心，D选项正确.

18-12〃=6-6a

方法二：直接利用拐点结论

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，

f(x)=2x3-3ax2+1,f\x)=6x2-6ax,fn(x)=12x-6a,

由f"(x)=0OX=/于是该三次函数的对称中心为[,U],

由题意(1J⑴)也是对称中心，故曰=loa=2,

即存在a=2使得(1,/(D)是f(x)的对称中心，D选项正确.

故选：AD

16.对于三次函数/(力=加+凉+s+d("0),给出定义：尸(力是函数y=/(x)的导数,尸(x)

是函数/(无)的导数，若方程/(X)=o有实数解%,贝麻&,/(5))为函数y=f(x)的“拐点”.

某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”

04Q

就是对称中心.若函数〃尤)=彳尤3-尤2_12尤+则下列说法正确的是()

3o

A.的极大值为1号47

O

B./(x)有且仅有2个零点

C.点是〃X)的对称中心

D.羡H〔壶卜［壶卜•/器］=4046

【答案】ACD

【分析】求得/'(x)=2(x-3)(x+2),得出函数单调性，结合极值的概念，可判定A正确；根据极大

值为