2025年高考数学二轮复习易错题：统计

专题13统计

一题型一：频率分布直方图、总体取值规律，、易错点：统计用表中概念不清、识图不准致误

——题型二：频率分布直方图特征数考查易错点：统计中的数字特征的实际意义理解不清楚致误

统计e-------题型三：方差、标准差的求算口、易错点：运用数字特征作评价时考虑不周

——题型四：百分位数的考查外易错点：忽略百分飕两种情况的选取

一题型五：统计案例易错点：忽略相关性检验而出错

易错点一：统计用表中概念不清、识图不准致误（频率分布直方图、总体

取值规律）

频率分布直方图

作频率分布直方图的步骤

①求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的基

②决定组距与组数

将数据分组时，一般取等长组距,并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚

地呈现出来.

③将数据分组

④列频率分布表

小组频数

各小组的频率=样本容量.

⑤画频率分布直方图

频率频率频率

纵轴表示组距,西施实际上就是频率分布直方图中各小长方形的直度，小长方形的面积=组距＞＜1|施=频率.

频率分布直方图的性质

频率

①因为小矩形的面积=组距＞＜丽=频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图

就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.

②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.

频数

③相应的频率=样本容量・

④频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率,

可近似地估计总体在这一范围内的可能性.

易错提醒：频率分布条形图和频率分布直方图是两个完全不同的概念，考生应注意两者之间的区别.虽然它

们的横轴表示的内容是相同的，但是频率分布条形图的纵轴表示频率；频率分布直方图的纵轴表示频率与

组距的比值，其各小组的频率等于该小组上的矩形的面积.

例：如图所示是某公司（共有员工300人）2021年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年

薪在1.4万元~1.6万元之间的共有人.

易错分析：解本题容易出现的错误是审题不细，对所给图形观察不细心，认为员工中年薪在1.4万元~1.6万

元之间的频率为1-（0.02+0.08+0.10）x2=0.60,从而得到员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有

300x0.60=180（人）的错误结论.

正解：由所给图形，可知员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率为

1-（0.02+0.08+0.08+0.10+0.10）x2=0.24,所以员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有300x0.24=72

（人）.故72.

易错警示：考生误认为频率分布直方图中纵轴表示的是频率，这是错误的，而是“频率/组距"，所以频率对

应的是各矩形的面积.

变式1：某大学有男生2000名.为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校100名男生的体重，并将

这100名男生的体重（单位：kg）分成以下六组：［54,58）、［58,62）、［62,66）、［66,70）、［70,74）、［74,78］,

绘制成如下的频率分布直方图:

该校体重(单位：kg)在区间[70,78]上的男生大约有人.

【详解】由频率分布直方图可知，该校体重(单位：kg)在区间[70,78]上的男生的人数为

2000x(0.02+0.01)x4=240.

故答案为：240.

变式2：现对某类文物进行某种物性指标检测，从1000件中随机抽取了200件，测量物性指标值，得到如下

频率分布直方图，据此估计这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为

频率

组距

0.033

0.024

0.022

oo9

oo8

①OO2

0

65758595105115125135物性指标值

【详解】抽取的200件文物中，物性指标值不小于95的频率为(0.033+0.024+0.008+0.002)x10=0.67,

由此估计出1000件文物中，物性指标值不小于95的频率约为Q67,

估计这1000件文物中物性指标值不小于95的有1000x0.67=670件.

故答案为：670.

变式3：如图是根据我国部分城市某年6月份的平均气温数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的

范围是[20,26],样本数据的分组为[20,21),[21,22),[22,23),[23,24),[24,25),[25,26],已

知样本中平均气温低于22℃的城市个数为11,样本中平均气温不低于25℃的城市个数是.

八频率

组距

【详解】由题意可得：平均气温低于22℃的频率为0.10x1+0.12*1=0.22,平均气温不低于25。＜2的频率为

0.18x1=0.18,

样本中平均气温低于22℃的城市个数为H,则样本容量为悬=50,

故样本中平均气温不低于25℃的城市的个数为0.18x50=9.

故答案为：9.

1.已知某班全体学生在某次数学考试中的成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则图中。所代表

【答案】0.015

【分析】根据频率分布直方图结合频率和为1运算求解.

【详解】由频率分布直方图可知每组频率依次为：10a,0.35,0.3.0.1,

贝U0.1+10a+0.35+0.3+0.1=l,解得。=0.015.

故答案为：0.015.

2.某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛(满分：150分)，且每位学生的竞赛成绩均不低于90分.将

这400名学生的竞赛成绩分组如下：[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到的频率

分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为.

【答案】220

【分析】由频率分布直方图的面积和为1求出。，再计算出结果即可.

【详解】由频率分布直方图可知(0.010+0.010+0.025+"+0.015+0.005)xl0=l,解得。=0.035,

这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为400?(0.0350.015+0.005)?10220,

故答案为：220

3.从某小学所有学生中随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如

图)，其中样本数据分组[100,110),口10,120),[120,130),[130,140),[140,150),则。=.

.频率

组距

0.035r--------1-----1

0.030---------—

0.010---------

0.005--

00110120130140150>Wcm

【答案】0.020

【分析】根据频率和为1，结合图表中数据，列式计算即可.

【详解】根据图表数据可得：10X(0.005+0.035+0.030+a+0.010)=1,

即a+0.080=0.1,a=0.020.

故答案为：0.020.

4.某工厂抽取100件产品测其重量(单位：kg).其中每件产品的重量范围是[40,42].数据的分组依次为

[40,40.5),[40.5,41),[41,41.5),[41.5,42],据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40,41)内的产品

件数为.

0.8

0.7

O4040.54141.542由量/kg

【答案】40

【分析】根据直方图确定各组的频率，进而求出［40,41)的频率，最后估算出对应的产品件数.

【详解】由题设［40,40.5),［40.5,41),［41,41.5),［41.5,42］对应频率依次为0.05,0.35,0.4,0.2,

所以［40,41)的频率为0.4,故重量在［40,41)内的产品件数为0.4x100=40.

故答案为：40

5.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得

到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

频率

A频率

组

距

组距

4OO40

O..OO38

36O36

0..034

0..0O34

0.0120.010------------------------------

0.0020.002弋---------------------------।,

O95100105110115120125130指标o707580859095100105指标

患病者未患病者

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值。，将该指标大于。的人判定为阳性，小于或等于c的人判

定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳

性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.设函数

/(c)=0(c)+q(c)，则函数/©在区间［95,105］取得最小值时c=.

【答案】100

【分析】根据题意结合频率分布直方图求出函数/(c)的解析式，然后利用函数的性质求出最小值时的自变

量C的值即可.

【详解】当ce［95,100］时，/(c)=0(c)+q(c)

=(c-95)x0.002+(100-c)x0.01+5x0.002=-0.008c+0.82,

有函数〃c)在ce［95,100］单调递减,

所以/(100)</(c)</(95)n0.02</(c)<0.06,

当ce(00,105］时,f(c)=p(c)+q(c)

=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002=0.01c-0.98,

有函数〃c)在ce(100,105］单调递增，

所以“100)</(c)W/(105)n0.02</(c)<0.07,

..［-0.008c+0.82,95<c<100

所以〃c)在［95,105］上有最小值0.02,

当c=100时取到最小值.

故答案为：100.

6.某大学有男生10000名.为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校100名男生的体重，并将这

100名男生的体重(单位：kg)分成以下六组：［54,58)、［58,62)、［62,66)、［66,70)、［70,74)、［74,78］,

绘制成如图所示的频率分布直方图，该校体重(单位：kg)在区间［70,78］上的男生大约有人.

【答案】1200

【分析】由频率分布直方图求得体重在区间［70,78］上男生的频率，由此求得正确答案.

【详解】体重在区间［70,78］上男生的频率为4x(0.02+0.01)=0.12,

所以在区间［70,78］上的男生大约有10000x0.12=1200人.

故答案为：1200

7.某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩(单位：

秒)，将数据按照［11512),［12,12.5),…，［15.5,16］分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.由直方

图估计本校高三男生100米体能测试成绩大于13.25秒的频率是.

频率

组距

0.52

a

0.30

1

o.s1

。

c

6llu

16100米成绩（秒）

【答案】0.63/—

【分析】根据频率分布直方图中各矩形面积之和为1,可求得。的值，再结合频率分布直方图即可求得答案.

【详解】由频率分布直方图中各矩形面积之和为1,

可得0.5x（0.08x2+0.16+0.30x2+“+0.52+0.12+0.04）=l,

解得a=0.40,

故体能测试成绩大于13.25秒的频率是0.5x（0.40x；+0.52+0.30+0.12+0.08+0.04）=0.63,

故答案为：0.63

8.某工厂对一批产品的长度（单位：mm）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频

率分布直方图如图所示，若长度在20mm以下的产品有30个，则长度在区间［20,30）内的产品个数为.

4频率

T璃

0.08卜---------1~I

4

O..O

。O3

。2

.O

°101520253035长度/mm

【答案】55

【分析】先根据频率分布直方图求出长度在区间［20,30）内的频率，根据频率分布直方图求出长度在20mm以

下的频率，后用比例相等即可得答案.

【详解】由频率分布直方图可知，长度在区间［20,30）内的频率为

5?(0.080.03)=0.55,

长度在20mm以下的频率为5?(0.020.04)=03

on

则长度在区间[20,30)内的产品个数为言x0.55=55,

故答案为：55.

9.某中学为了解学生的数学学习情况，在全体学生中随机抽取200名，统计这200名学生某次数学考试的

成绩，将所得的数据分为7组：[30,40),[40,50),…，[80,90),[90,100],并整理得到如下频率分布直方

图，则在被抽取的学生中，该次数学考试成绩不低于80分的人数为.

【分析】由频率分布直方图求出在被抽取的学生中，该次数学考试成绩不低于80分的频率，再由频率与频

数的关系数学考试成绩不低于80分的人数.

【详解】由频率分布直方图可得在被抽取的学生中，该次数学考试成绩不低于80分的频率为

(0.020+0.008)x10=0.28,

所以在被抽取的学生中，该次数学考试成绩不低于80分的人数为0.28x200=56,

故答案为：56.

10.某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了1000名学生进行体能

测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，这1000名学生

【答案】80.5

【分析】根据所有矩形面积之和为1求出a的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得

这1000名学生平均成绩.

【详解】由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为1,

可得(0.005+0+0.02x2+0.04)x10=1,解得°=0。15,

由频率分布直方图可知，这100。名学生平均成绩的估计值为

55x0.05+65x0.15+75x0.2+85x0.4+95x0.2=80.5分.

故答案为：80.5.

【分析】求出第6组的频数即得解.

【详解】由题得第3组和第6组的频数和为100-10-16-18-15-11-9=21,

2

所以第6组的频数为21x^=14.

14

所以第6组的频率是砺=14%=0.14.

故答案为：0.14

12.节约用水是中华民族的传统美德，某市政府希望在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理

的居民月用水量标准X（吨），用水量不超过X的部分按平价收费，超过X的部分按议价收费.为此希望已

经学习过统计的小明，来给出建议.为了了解全市居民用水量的分布情况，小明通过随机走访，获得了100

位居民某年的月均用水量（单位：吨），将数据按照…,[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的

频率分布直方图.若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准无（吨），如果你是小明，你觉得无

的估计值为（精确到小数点后1位）

0.52

0.40

3544.5月均用

水酷，晚

【答案】2.9

【分析】由频率分布直方图解得。值，估计85%的居民每月的用水量所在区间后可计算x的.

【详解】由频率分布直方图知，（0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）x0.5=l,

解得a=0.34；

计算月均用水量小于2.5吨的居民人数所占的百分比为0.5x（0.16+0.34+0.40+0.52）=0.71,

即71%的居民月均用水量小于2.5吨；

计算月均用水量小于3吨的居民人数所占的百分比为0.5x（0.16+0.34+0.40+0.52+0.34）=0.88,

即88%的居民月均用水量小于3吨；

故2.5<x<3,

假设月均用水量平均分布，则x=2.5+0.5x0.5=29（吨），

0.3

即85%的居民每月用水量不超过标准为2.9吨.

故答案为29.

易错点二：统计中的数字特征的实际意义理解不清楚致误（频率分布直方

图特征数考查）

众数、中位数、平均数

①众数：一组数据中出现次数最多的数.

②中位数：把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处在中间位置的数（或中间两个数的平均数）叫

做这组数据的中位数.

_11n

③平均数：如果几个数XI,%2,…，Xn,那么％=一（%1+Z+…+匕）=—Z玉叫做这几个数的平均数.

〃n；=i

总体集中趋势的估计

①平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.

②一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对

分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数.

频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法

①样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替.

②在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等.

③将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值.

易错提醒：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者.在频率分布直

方图中：

(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；

(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中

点的横坐标之和.

三9

例.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示.根据频率分布直方图，估计该班本次测

试众数为.

解：由题意，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边的中点的横坐标,

...众数为110；30=]20.

故答案为：120.

变式1：为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择自行车，他记录了100次骑车所用时间(单位:

分钟)，得到频率分布直方图，则骑车时间的众数的估计值是一分钟

【详解】由频率分布直方图可知，骑车时间的众数的估计值是失==21分钟.

故答案为：21.

变式2：数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计

结果如下：

甲同学：中位数为3,方差为2.8；乙同学：平均数为3.4,方差为1.04；

丙同学：中位数为3,众数为3；丁同学：平均数为3,中位数为2.

根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是同学.

【详解】对于甲同学，当投掷骰子出现结果为1,2,3,3,6时，满足中位数为3,

平均数为：元=，1+2+3+3+6）=3,方差为S2=g［（l-3/+（2-3）气（3-3）?+（3-3『+（6-3）1=2.8,可以

出现点数6；

对于乙同学，若平均数为3.4,且出现点数6,贝IJ方差［（6-3.4）2=1.352>1.04,

所以当平均数为3.4,方差为1.04时，一定不会出现点数6；

对于丙同学，当掷骰子出现的结果为1,2,3,3,6时，满足中位数为3,众数为3,可以出现点数6；

对于丁同学，当投掷骰子出现的结果为2,2,2,3,6时，满足平均数为3,中位数为2,可以出现点数6.

综上，根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是乙同学.

故答案为：乙

变式3：以下5个命题中真命题的序号有.

①样本数据的数字特征中，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息；

②若数据4，巧，W，…，%的标准差为S,则数据叫+b,ax2+b,ax3+b,依“+6的标准差为aS；

③将二进制数11001000⑵转化成十进制数是200；

3

④x是区间［0,5］内任意一个整数，则满足“x<3”的概率是-.

【详解】对于命题①，平均数与每一个样本的数据有关，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变,

这是众数、中位数都不具有的性质，故与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据

全体的信息，命题①是真命题；

对于命题②，数据玉，巧，凡，…，尤”的平均数X=一S2=—-x)2,

〃I〃/=1

]nan

而数据叼+b,ax2+b,ax3+b,+b的平均数为元'=—£(〃%+/?)=—£%+b=+b,

一〃M〃片

方差为S'?=—Z(ax,+b—x)=—(ax,+〃-ctx可2=。皆，

所以S'=aS,命题②是真命题；

763

对于命题③，H001000(2)=1x2+1x2+1x2=200,命题③是真命题；

对于命题④，x是区间[0,5]内任意一个整数，则x可取0、1、2、3、4、5共6种结果，满足“x<3”的有0、

1、2共3种结果，故概率为3=1=命题④不是真命题.

62

故答案为：①②③.

1.2022年H月卡塔尔世界杯如期举行，这是世界足球的一场盛宴.为了了解全民对足球的热爱程度，组

委会在某场比赛结束后，随机抽取了1000名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分,将得到的分数分成6段：

[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100],得到如图所示的频率分布直方图.图中部分数

【分析】根据中位数之前的矩形面积之和对于。5列方程求解即可.

【详解】由题可知，5(m+0.025+0.03)+(87.5-85)x0.05=0.5,解得〃?=0.02.

故答案为：0.02

2.为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所

示，假设得分值的中位数为~,众数为名,平均数为1，则/的大小关系是.

【答案】mo<me<x

【分析】根据题意求中位数、众数和平均数，进而可对结果.

【详解】由条形统计图可知，30名学生的得分为

得分345678910

频数231063222

因为中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，所以外=5.5,

且5出现次数最多，故？=5,

2x3+3x4+10x5+6x6+3x7+2x8+2x9+2x10179…

平均数x=-------------------------------------------------------------------=—25.97,

3030

因为5<5.5<5.97,HPmo<me<x.

故答案为：乙<me<x.

3.《中国居民膳食指南(2022)》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%.为了解某地中

学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重(单位：千克)，根据测量

数据,按[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65),[65,70]分成六组,得到的频率分布直方图如图

所示.根据调查的数据，估计该地中学生体重的中位数是

【答案】53.75

【分析】根据频率分布直方图估计中位数的方法直接计算即可.

【详解】(0.01+0.03)x5=0.2<0.5,0.2+0.08x5=0.6>0.5,

.•.该地中学生体重的中位数位于［50,55)内，

设中位数为加，则0.2+(m—50)x0.08=0.5,解得：m=53.15.

故答案为：53.75.

4.为了解某校高三学生的数学成绩，随机地抽查了该校100名高三学生的期中考试数学成绩，得到频率分

布直方图如图所示.请根据以上信息，估计该校高三学生数学成绩的中位数为.(结果保留到小数点后两

位)

【分析】依据频率分布直方图，计算。=0$时对应的数值，即为中位数.

【详解】解：(0.005+0.04)x10=0.45<0.5,(0.005+0.04+0.03)x10=0.75>0.5,所以中位数在［70,80)

之间，

YYI—70

设中位数为机，则有一^—x0.03xl0=0.5-0.45,

所以根=70+ga71.67

故答案为:71.67.

5.2021年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于12秒与18秒之间，抽取其中100个样本，将测试结果

按如下方式分成六组：第一组［12,13),第二组［13,14),…，第六组［17,18］,得到如下频率分布直方图.则

该100名考生的成绩的中位数(保留一位小数)是.

【答案】15.3

【分析】由频率分布直方图估计样本的中位数时，可知中位数出现在概率为0.5的地方，即可求解.

【详解】因为前三组频率直方图面积和为0.10+0.15+0.15=0.4,前四组频率直方图面积和为

0.10+0.15+0.15+0.3=0.7,所以中位数位于第四组内，

设中位数为。，则(4—15)x0.30=0.1,解得

故答案为：15.3.

6.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别

为.

【答案】65,62.5.

【分析】根据矩形的高确定众数，先计算面积确定中位数所在的区间，再利用公式求出中位数.

【详解】解：•••最高的矩形为第三个矩形，

.♦.时速的众数的估计值为竺户=65.

前两个矩形的面积为(0.01+0.03)xl0=0.4<0.5,

前三个矩形的面积为(0.01+0.03+0.04)xl0=0.8>0,5,

所以中位数在区间(60,70),设中位数为x,

由题得0.4+(x-60)*0.04=0.5,解之得x=62.5.

/.中位数的估计值为62.5.

故答案为：65,62.5.

7.某快递驿站统计了近期每天代收快件的数量，并制成如下图所示的频率分布直方图.

则该快递驿站每天代收包裹数量的中位数为.

【答案】260

【分析】先确定中位数在区间(200,300)内，设其为无，解方程0.1+0.1+(%-200)x0.005=0.5即得解.

【详解】解:左边第一个矩形的面积为100x0.001=01，

左边第二个矩形的面积为100x0.001=0.1,

左边第三个矩形的面积为100x0.005=0.5,

因为0.1+0.1<0.5,0.1+0.1+0.5>0.5,

所以中位数在区间(200,300)内，设其为x,

所以0.1+0.1+(尤一200)x0.005=0.5,

所以x=260.

故答案为：260

8.某质检部门对某新产品的质量指标随机抽取100件检测，由检测结果得到如图所示的频率分布直方图.

由频率分布直方图可以认为，该产品的质量指标值Z服从正态分布其中〃近似为样本平均数

元,4近似为样本方差/.设X表示从该种产品中随机抽取10件，其质量指标值位于(11.6,35.4)的件数，则X

的数学期望=.(精确到0.01)

注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得样本标准差sall.9；②若Z~N(〃02),则

尸(〃-cr<Z<//+cr)=0.6826,尸(〃一2cr<Z<〃+2cr)=0.9544.

【答案】6.83

【分析】先求出〃的近似值即样本平均数于，然后结合条件以及注释即可求解.

【详解】计算得元=5x0.15+15x0.25+25x0.3+35x0.2+45x0.1=23.5,

由条件Z~N(23.5,11.92),从而尸(11.6<Z<35.4)=0.6826.

故从该种产品中随机抽取1件，其质量指标值位于(11635.4)的概率是0.6826,

所以抽取10件的期望值为£(X)=10x0.6826=6.826«6.83.

故答案为：6.83

9.由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A地

区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的平均数为加，中位数为小则

m—n=

【解析】先计算第一块小矩形的面积1=03,第二块小矩形的面积邑=04,,面积和超过0.5,所以中位数

在第二块求解，然后再求得平均数作差即可.

【详解】第一块小矩形的面积5=0.3,第二块小矩形的面积邑=0.4,

故”=2000+0-5"03=3000；

0.0002

而机=1000x0.3+3000x0.4+5000x0.18+(7000+9000)x0.06=3360,

故机—〃=360.

故答案为：360.

【点睛】本题考查频率分布直方图、样本的数字特征，考查运算求解能力以及数形结合思想，属于基础题.

10.某大学天文台随机调查了该校100位天文爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图，则估计

【分析】根据频率分布直方图的平均数的计算公式，准确计算，即求解.

【详解】根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得估计该校100名天文爱好者的平均岁数为：

5x0.16+15x0.36+25x0.28+35x0.1+45x0.08+55x0.02=21.4.

故答案为：21.4.

11.众数、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布

形态中，〃£久。分别表示众数、平均数、中位数，则m、n、p中最小值为.

【答案】"

【分析】将所给的直方图近似看作为一个梯形，再根据众数，平均数和中位数的定义求解.

【详解】将所给的直方图近似看作为一个梯形，则众数小出现在最大的矩形（即从左边数第6个矩形）内，

平均数〃出现在从左边数第4个矩形内，中位数。必须保证中位数0两边矩形面积相等，所以出现在从左边

数第5个矩形内，

所以n最小；

故答案为：加

12.如图为某工厂工人生产能力频率分布直方图，则估计此工厂工人生产能力的平均值为.

八频率/组距

0.048..........................

x...................................

0.020...........1—

0.008[--|——||||r

。％10130401，040生卜能力

【答案】133.8/率

【分析】先根据面积之和为1求x,然后根据直方图估计平均值的计算方法求解即可.

【详解】由10（0.008+0.02+0.048+%）=1解得x=0.024,

=115x0.008x10+125x0.02x10+135x0.048x10+145x0.024x10=133.8.

故答案为：133.8

易错点三：运用数字特征作评价时考虑不周（方差、标准差的求算）

方差、标准差

_]]〃

①假设一组数据为七,%，当，…%,则这组数据的平均数X=土&+々+…+七）=±2>,

n»

②若假设一组数据为…它的平均数为最，方差为§2,

则一组数据为“番+仇+仇"X"+少，的平均数为ax+b，方差为a2s?。

③标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离

散程度越小.

易错提醒：方差（标准差）越大，说明数据的离散性越大；方差（标准差）越小，说明数据的离散性越小，数据

越集中、稳定.用样本的数字特征估计总体的数字特征时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映

总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差，这些偏差是由样本的随机性引起的.虽然样本的数字特征并

不是总体真正的数字特征，而是总体的一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本容量很大时，样本

的数字特征稳定于总体的数字特征.

例、若甲、乙两台机床同时加工直径为100mm的零件，为了检验产品的质量，从产品中随机抽取6件进行

测量，测得数据如下：(单位：mm)：甲：99,100,98,100,103；乙：99,100,102,99,100,100.fi

过计算，请你说明哪一台机床加工的零件更符合要求.

[错解]x—网+100”8江(《并1(川；103_]00

用6，

-->'>-HK)+l()2-W4100+100

X/=——-----------------=100,

Zfl

因为两个机床所加工零件的平均数相等，平均数描绘了数据的平均水平，

所以两台机床加工的零件都符合要求.

【错因】平均数反对数据有“取齐”作用，它描述了一组数据的平均水平，定量地反映了数据的集中趋势，因

此平均数是与样本数据最接近、最理想的近似值，但由于样本选取的随机性，有时用平均数衡量总体的特

征会失之偏颇，因此应进一步计算方差或标准差来比较它们的波动大小.

[正解]1—的+3+100*03—100

A

-700+102*994100+HK1

X/=-----------------------------------------=100,

6

si=Jx[(99-100)2+3x(100-100)2+(98-100)2+(103-100)2]=J,

n3

S；=[x[2x(99—100)2+3x(100-100)2+(102-100)2]=1.

A

si>s；,说明甲机床加工的零件波动比较大.

故乙机床加工的零件更符合要求.

变式1:泉州，作为古代海上丝绸之路的起点，具有深厚的历史文化底蕴，是全国同时拥有联合国三大类非

遗项目的唯一城市.为高效统筹整合优质文旅资源，文旅局在“五一”假期精心策划文旅活动，使得来泉旅游

人数突破了305.85万人次.某数学兴趣小组为了解来泉游客的旅游体验满意度，用问卷的方式随机调查了500

名来泉旅游的游客，被抽到的游客根据旅游体验给出满意度分值T(满分100分)，该兴趣小组将收集到的

数据分成五段：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95],处理后绘制了如下频率分布直方图.

(1)求图中。的值并估计500名游客满意度分值T的中位数(结果用分数表示)；

⑵已知T在［45,65)的平均数为57,方差为104,T在［65,95］的平均数为77,方差为564,试求被调查的500

名游客的满意度分值T的平均数及方差.

【详解】(1)由频率分布直方图可得：(0.005+0.025x2+0.01+4)x10=1,解得

a-0.035

由频率分布直方图，(0.005+0.025)xl0=0.3<0.5

(0.005+0.025+0.035)x10=0.65>0.5

因此，中位数落在区间［65,75)内，

可以估计500名游客满意度分值T的中位数为亍

(2)把T在［45,65)的平均数记为"方差记为［；T在［65,95］的平均数记为了，方差记为sj；T在［45,95］的

平均数记为2,方差记为52

由题得，彳=57,=104,y=77,s；=564,

T在［45,65)的频率为(0.005+0.025)x10=0.3,

T在［65,95］的频率为(0.035+0.025+0.1)xl0=0.7

贝I］2=0.3元+0.7J=0.3x57+0.7x77=71

由『=0.3［^+(X-Z)2］+0.7［sj+(y-z)2］

可得s?=0.3X［104+(57-71)2］+0.7X［564+(77-71)2］=510

即被调查的500名游客的满意度分值T的方差为510

变式2：拔尖创新人才是21世纪社会经济发展的巨大动力，培养拔尖创新人才也成为世界各国教育的主要

任务.某市为了解市民对拔尖人才培养理念的关注程度，举办了“拔尖人才素养必备”知识普及竞赛，从所有

答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段:

[40,50),[50,60),,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该市这次竞赛成绩的众数;

⑵已知落在[50,60)的平均成绩£=56,方差s；=9,落在[70,80)的平均成绩乙=76,方差$=5,求这两

组成绩的总平均数三和总方差?.

【详解】(1)由频率分布直方图可知，。=1-1+02+625+0.1)=。「3,

10

该市这次竞赛成绩的众数为75分.

(2)落在[50,60)与[70,80)的人数比为0.01:0.03=1:3.

所以三与+3日=56+3x76=71,

44

2s；+「「z)+3s；+(z2-z)[9+(56-71)〔+3[5+(76-71)2]

,-4一4一

变式3：为了研究网民的上网习惯，某机构随机抽取了年龄在10岁到60岁的网民进行问卷调查，按年龄分

为5组,BP[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60],并绘制出频率分布直方图，如图所示.

(1)若按分层抽样的方法，从上述网民中抽取〃人做采访，其中年龄在[30,40)中被抽取的人数为7,求〃;

(2)若各区间的值以该区间的中点值作代表，求上述网民年龄的方差的估计值.

【详解】(1)由题意得，10(0.020+0.025+4+0.015+0.005)=1,

解得a=0.035,年龄在[30,40)中人数所占比例为0.035xl0=0.35

7

贝ljn=----=20.

0.35

(2)[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]五组的频率分另ij为0.2,0.25,0.35,0.15,0.05,

若各区间的值以该区间的中点值作代表，则上述网民年龄的平均值的估计值为

15x0.2+25x0.25+35x0.35+45x0.15+55x0.05=31(岁)

方差的估计值为02x(15-3琰+0.25x(25-3疔+0.35x(35-31『+0.15x(45-31)2+0.05x(55-3行=124

1.已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数频率分布如图所示:

令X甲，x乙分别表示甲、乙射中环数的均值;s；分别表示甲、乙射中环数的方差，则（）

A.尤甲＜x乙，s第＞52B.御＞尤乙，s,＜

C.无甲=x乙，D.彳甲=x乙,s,<s；

【答案】D

【分析】根据频率分布图分别计算焉占乙，比较大小可得.

【详解】由图可知，焉=7x0.3+8x04+9x0.3=8,工乙=7x0.4+8x0.2+9x0.4=8,

=[（7—8）2x0.3+（8-8）2x0.4+（9-8『义0可=0.6,

4=[（7-8）2x0.4+（8-8）2x0.2+（9-8）\0.4]=0.8,

所以工甲=X乙，5看＜S：.

故选：D.

2.某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为

[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100].若不低于80分的人数是35人，且同一组中的数据用该组区间的中点值代表,

则下列说法中正确的是（)

B.成绩在［80,90)的学生人数是12

C.估计该班成绩的众数是95分

D.估计该班成绩的方差为100

【答案】ACD

【分析】根据频率与总数关系、频率和为1、频率分布直方图估计众数、平均数和方差的方法依次判断各个

选项即可.

【详解】对于A,.•不低于80分对应的频率为1-(0.01+0.02)x10=0.7,

该班的学生人数为3君5=50,A正确；

对于B,(0.01+0.02+a+0.04)x10=1,a=0.03,

•••成绩在［80,90)的学生人数为50axi0=15,B错误;

对于C,,成绩在［90,100］对应的矩形面积最大，.•.估计该班成绩的众数为95分，C正确;

对于D,估计该班成绩的平均数为65x0.01x10+75x0.02x10+85x0.03x10+95x0.04x10=85,

•••方差为0.01*10*(65-85)2+o02x10x(75-85)2+0.03xl0x(85-85)2+0.04xl0x(95-85)2=100,D正确.

故选：ACD.

3.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得频率分布直方

图，则这500件产品质量指标值的样本方差S2是(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).

木频率/组距

【答案】no

【分析】由频率分布直方图可得数据的平均值，再由方差的公式运算即可得解.

【详解】由频率分布直方图得抽取产品的质量指标值的样本平均值为：

(100x0.010+110x0.020+120x0.035+130x0.030+140x0.005)x10=120,

样本方差52=[(100-120)2X0.010+(110-120)2X0.020+(120-120)2X0.035

+(130-120)\0.030+(140-120『x0.005]x10=110.

故答案为：110.

【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求数据的方差，考查了运算求解能力，属于基础题.

4.在一次区域统考中，为了了解各学科的成绩情况，从所有考生成绩中随机抽出20位考生的成绩进行统

计分析，其中数学学科的频率分布直方图如图所示，据此估计，在本次考试中数学成绩的方差为.(同

一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

频率

，碓

0.035

0.030

0.020

0.010

0.005

-----------------------

O5060708090100分数

【答案】110

【解析】根据频率分布直方图，直接利用平均数与方差的公式，即可得到本题答案.

【详解】由题，得

^=55x0.010x10+65x0.020x10+75x0.035x10

+85x0.030x10+95x0.005x10=75,

方差s?=(75-55)2x0.1+(75-65)2x0.2+(75-75)2x0.35

+(75-85)2x0.3+(75-95)2x0.05=110.

故答案为：110

【点睛】本题主要考查利用频率分布图求数据平均数与方差的问题.

5.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的

调查.他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为

S],$2,s3，则它们的大小关系为.

0%电电电纭您消费额/元0%%'电祗诊您消费额/元

（甲）（乙）

(丙)

【答案】名>S3>S]

【解析】第二组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字数据较分散，各个段内分布均匀，第一

组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端最分散，而第三组数据绝大部分数字都在平均数左右，

是集中，由此得到结果.

【详解】解：根据三个频率分步直方图知，

第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远，最分散，其方差最大；

第二组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，故其方差最小，

而第三组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数大，方

差比第一组中数据中的方差小，

点、上可矢口S]>S3>，2，

故答案为：

【点睛】本题考查频率分步直方图，考查三组数据的标准差，考查标准差的意义，是比较几组数据的波动

大小的量，属于基础题.

6.某工厂从生产的一批产品中随机抽出一部分，对这些产品的一项质量