2025年高考数学二轮复习热点题型专项突破：指数与指数函数（解析版）

热点专题2-4指数与指数函数

近3年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新高考I卷，第6题,5分

从近五年的高考情况来看，指数

2024年北京卷，第7题,5分运算与指数函数是高考的一个

年新高考卷第题，分重点也是一个基本点，常与球函

2023I45(1)指数幕的运算性质

数、二次函数、对数函数、三

(2)指数函数的图像与性

2023年乙卷第4题，5分角函数综合，考查数值大小的比

质

较和函数方程问题.在利用指数

2022年甲卷第12题，5分

函数的图像与性质应用上，体现

2020年新高考n卷第11题，5

了逻辑推理与数学运算素养.

分

模块一、热点题型解读(目录)

【题型1】指数森的运算

【题型2】指数函数过定点问题

【题型3】求指数函数的解析式

【题型4】指数函数的图象及应用

【题型5】比较指数幕的大小

【题型6】解指数方程或不等式

【题型7】指数型复合函数单调性

【题型8】指数型函数的值域问题

【题型9】指数函数的实际应用

【题型10］指数型复合函数的奇偶性问题与恒成立综合

【题型11］指数函数的综合性问题

【题型1］指数幕的运算

基础知识］

【方法技巧】

(1)灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数露形式去求解.

(2)运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母.

指数与根式的概念

1、n次方根的定义

(1)定义：一般地，如果x"=a,那么x叫做a的n次方根，其中〃>1,且〃eN*

(2)偶次方根的被开方数要为非负数

2、根式

(1)定义：式子标叫做根式，这里n叫做根指数，。叫做被开方数.

(2)性质：(〃>1,且〃eN*)

,—[ci〃为奇数

而"a；而)"=

同，〃为偶数.

3、分数指数森的意义

(1)分数指数赛的意义

fl

正分数指数森：规定：=Vo™"(>0,m,MeN*,M>1)

m1_1Z*\

负分数指数第：规定：。〃f---1=(d!>O.m.T?GN>1)

m

QGN0'，

(3)性质：0的正分数指数纂等于0,0的负分数指数露没有意义

4、分数指数第的注意事项:

(1)分数指数纂是指数概念的又一推广，分数指数暴〃:不可理解为一个。相乘，它是根式的一种

Qn

新的写法.

在这样的规定下，根式与分数指数氟是表示相同意义的量，只是形式不同而已.

(2)把根式旧7化成分数指数幕的形式时，不要轻易对生进行约分.

n

(3)在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数暴，

如(_5)：=y(-5)2有意义,但(—5]=#(—5)3就没有意义.

5、无理数指数赛

一般地，无理数指数幕小(。>0,&为无理数)是一个确定的实数.

有理数指数氟的运算性质同样适用于无理数指数氟.

【注意】(1)对于无理数指数霹，我们只需要了解两点：

①它是一个确定的实数；②它是有理数指数森无限逼近的结果.

(2)定义了无理数指数露之后，露的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围.

6、实数指数幕的运算性质

①a"=a"""(a〉0,jseR).

②(力”=°枕"(a>0,r,5eR).

mm

③(的=ab(«>0,6>0,reR).

1.⑴卜[]+(o.l)-2+[21y]3-lOOn0;

IJ_

(2)已知x+y=ll,初=9,求三上Zl的值.

x2+y2

2

【解析】⑴原式/竺¥+102+(竺丫_]00=1+]00/^_100=3

(9J127)399

(2)因为尤+了=11,xy=9,

j_2I-------------------------

所以户+户=Jx+y+2,x+y=(x+y)2-2xy=103,

所以x?+俨=后.

x2+y2-103

【巩固练习1】化简或求值:

(1)+8°-25X</2+(V2XV3)6

1_2]

⑵(O.25p-(-2)2x(23p+lO(2--10x3°-5；

1Ii

(3)(7+4行)5_8”+32§-2X

(4)2a3b2^-6a2b3+-3a6b6j(。>0且6>0).

【答案】(1)112;(2)21；(3)4;(4)4a

【解析】(1)原式=213^xl+(23)4x24+23X32-2+244+22x：33=112.

\7k7

<2)(O.25p-(-2)2x(23p+10(2-G)T-10x305=[(；)12-(-2)2x2-2+10x—^-10x32

=2-4X^-+10(2+V3)-10V3=21.

_L_1

【巩固练习2］已知。5+/5=3,求下列各式的值.

3_3

(1)a+/；(2)/+a-2；(3)4+”+2.

+。之+3

2

【答案】(1)7;(2)47;(3)|

【解析】(1)将/+〃彳_3两边平方，得“+/+2=9,

ci।a-J

所以。+小=7.

(2)将。+1=7两边平方，得力+/+2=49,

所以。？+r=47.

(122

3)ai+ai_,a+a=7,a+<7=47,

3_3(J丫/_JA3,1_1A

2

.二a，+〃万=a，+a=a?+Q21〃+苏)=3乂7—l)=18,

\7V7\J

33

•••a_____f____2___1_8_+__2__2•

a2+a~2+3-47+3-5

【巩固练习3】计算（―64）3+［（-3）不一（加一1）。+套=（）

A13

A--TB--Tc-4D-1

【解题思路】利用指数运算及根式运算计算即得.

11n11o1

【解答过程】(-64)3+[(-3)4]?-(V2-1)°+3^=(-43)3+(34)i-l+[(1)3n-4+3-

0L

1+^-1

22,

故选：C.

【题型2】指数函数过定点问题

基础知识1

指数函数图象都经过点（0,1）,了=优+"'+〃恒过定点（—〃1,〃+1）.

2.已知函数y=2°i-3（a>0且awl）的图象恒过定点P,则点P的坐标为.

【答案】（2,-1）

【解析】令x-2=0,得x=2,则y=2“°-3=-l.

所以函数y=2a"2-3（a>0JLa^l）的图象恒过定点P（2,-l）.

【巩固练习1］函数/'（xh/M+Z（稣0且"1）的图象恒过定点（叽〃），则〃?+〃等于.

【答案】2

【解析】由x+l=0,即1=-1,得歹=3,所以加=-1,〃=3,所以加+〃=-1+3=2

【巩固练习2】（2024•山东济宁•一模）已知函数歹=优一|（。＞0且〃。1）的图象过定点4且点4在

Q3

直线+2肛=8（m＞0,〃＞0）上，则-------的最小值是_______.

mn2m

9

【答案】—

16

【解析】函数歹=4（。＞0且的图象过定点/（L1）,

则加+2〃=8,所以2〃二8-冽，

m>0

得0（冽＜8,

2n=S-m>0

则且一工」——亘=32-3"）3m+8

mn2m2m2m（8-m）-2m2+16m

f_Q

令，=3加+8/£（8,32）,则冽

839t

2+80/-512

时，取等号,

839

所以-------的最小值是一.

mn2m16

【题型3】求指数函数的解析式

基础知识

y=ax

0<«<1a>1

图

象

%~o\~1_*X

①定义域尺,值域(0,+8)

②a°=l,即时x=0,J=l,图象都经过(0,1)点

性

③a'=a,即x=l时，V等于底数。

质

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

⑤x<0时，ax>1;x>0时，0<优<1x<0时，0</<1；x>0时，ax>1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

3.已知y=/(x)是指数函数，若/(-向=血，则(-£|=.

【答案】6

【解析】设y=/(x)=a*(a>O,awl),

因为/1|]=下,即/；，解得a=44=：,所以=即/[；)=2：=口.

【巩固练习1】已知函数〃尤)=£'"¥(左eZ)，若〃x)为偶函数，且在(0,+")是增函数，求小)的

解析式

【答案】/(x)=x2

【解析】•・•/(X)在(0,+8)上增函数，+左-5左2>0,解得-1〈左<3.

又•・•左£Z,..・左二0,1,2,

由/W为偶函数知左=1,f(x)=x2;

【巩固练习2】已知函数/(%)是奇函数，且当x〉0时，/(x)-10r+x+l,那么当x<0时，/(x)的

解析式是()

A.-----Fx-1B.--------Fx—1C•-------x+1D.---------x+1

10x10x10x10x

【答案】B

【解析】当x<0时，则—x〉0,所以/(—x)=10'—x+1,

又因为函数/(%)是奇函数，所以-/(-x)=/(x),

所以当尤<0时/(》)=一10-*+改一1=一一^+x-l.

【题型4】指数函数的图象及应用

基础知识

对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称

等变换得到，当a>l时，指数函数^=优的图像呈上升趋势；当0<a<l时，指数函数了=罐的

图像呈下降趋势.

4.(2024•黑龙江•二模)已知函数>+6的图象经过原点，且无限接近直线V=2,但又

不与该直线相交，则ab=()

A.-1B.-2C.-4D.-9

【答案】C

【解析】因为函数y=/(x)=a(1.+6图象过原点，所以a(g)°+b=O,

得。+6=0,又该函数图象无限接近直线y=2,且不与该直线相交，

所以6=2,则a=-2,所以。6=-4.

5.函数①y=a'②y="；③>=/；@y=优的图象如图所示，a,b,c,d分别是下列四个数:

:,6,g中的一个，则a,b,c,d的值分别是()

A.5\B,百’|C.百’；D.百

【答案】C

【解析】直线x=l与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b,而百

所以a,h,c,1的值分别是:，：，百，"I，故选：C.

，34

【巩固练习1］函数〃x)=""的图像如图所示，其中“，6为常数，则下列结论正确的是(

A.a>\,b<0B.a>\,b>0C.0<«<l,b>0D.0<a<l,b<0

【答案】D

［解析】由函数/(x)=ax-b的图像可知，

函数/(无)=aj在定义域上单调递减，

.-.0<a<l,排除AB选项；

函数/(x)=ax-b图像是由y=优向左平移所得,

-b>0,.•.6<0.故口选项正确.

【巩固练习2］若函数/(')=优+6的图象如图所示,且/(-1)=0,则实数。，b的值可能为()

1

C.a=2,6=一；D.a=—,b=-2

2

【答案】C

【解析】由函数/(x)=a，+b的图像，可得函数/(x)为单调递增函数，所以。>1,

又由/(-1)=0,可得.-|+6=0,可得浦=-1,

结合选项，只有C项适合.故选：C.

【巩固练习3】如图，曲线①②③④分别是指数函数>=优，y=bx,y=cx,y=的图像，则实

数a、b、c、d的大小关系满足()

A.a<b<c<dB.b<a<d<cC.d<c<b<a；D.c<d<a<b.

【答案】B

【解析】作出直线x=l,此时与各函数的交点的纵坐标即为对应的底数，如图,

【题型5】比较指数幕的大小

基础知识

比较指数幕的大小

常用方法有：

(1)对于底数相同，指数不同的两个幕的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；

(2)对于底数不同，指数相同的两个森的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；

(3)对于底数不同，且指数也不同的幕的大小比较，可先化为同底的两个幕，或者通过中间值来比

较.

22£

6.若.=人=\：,c=U，则°、Ac的大小关系是()

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

211

【解析】因为y=/在(0,+8)上单调递增，且

22

所以即a>b,

「21

因为yJL—>-

33

2

所以即c>a,

所以c>a>b,即6<a<c,故选：A

7.(2024•四川•模拟预测)设。=0.5°，4,b=0.411,c=1.105,则()

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【解题思路】根据指数函数、幕函数的单调性，结合与特殊值1的比较，即可得到答案.

【解答过程】因为指数函数y=0.5,是单调减函数，所以0.59<0.50-4<0.5°=1,

又由薪函数y=炉,在（0,+8）上单调增函数，所以1=111>0,511>0.411,

又因为指数函数y=I.-是单调增函数，所以>1.10=1,

综上可得：b<a<c

【巩固练习1］（2024•云南•二模）若q=2〜2,6=6，。=21则（）

A.b>a>cB.c>a>bC.a>b>cD.a>c>b

【答案】D

【解析】因为a=2~2>2i=2,c=2；<2，

所以a>c,因为6=67=，<1,c=2I>2°=1>

所以c>6,所以。>c>6.

201920212019

【巩固练习2】设〃=（也产，6=（迎2产，c=（型2严，则a,b,c的大小关系是（）

1^2022）1^2022）<2022）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

2019（901QV

【解析】因为U.Y痂在（0,+8）上单调递增，二上在R上单调递减

y-x（2022）

201920192021

所以［这1产/吗质/型上产，故a>c>b.故选：B

（2022J（2022）{2022J

【巩固练习3］已知。=2。|为=0.33,，=0.3。/，则a,仇c的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【答案】C

【解析】•••y=0.3，是减函数,3>0.1>0,所以O.d<0.3°/<1,

又2°」>1,：.b<c<a.故选：C.

【题型6】解指数方程或不等式

基础知识

简单指数不等式的解法

1、形如/（，）＞qg（x）的不等式，可借助》=优的单调性求解

2、形如＞6的不等式，可将Z?化为以。为底数的指数氟的形式，再借助了=优的单调性求解

3、形如优＞6*的不等式，可借助两函数y=a＞y=Z/的图象求解

8.（2024•河北邯郸•一模）不等式10，-6'-3工21的解集为.

【答案】［1,+s）

【解析】由10工一6，一3,21,可得+用+nJ

因为＞=，＞=（［］=均为R上单调递减函数

则/（x）在R上单调递减,且/。）=1,

:.x＞］

故不等式10、-6工-3工21的解集为［1,+0＞）.

【巩固练习1】若x满足不等式不、4\］：则函数了=2工的值域是（）

A.[-.2)B.[-,2]C.(-<»，-]D.[2,+oo)

88

【答案】B

【解析由可得2yMe|=29-2）,

因为y=2*在R上单调递增，所以犬+14一2》+4即/+2》一3《0,解得：一3W1,

所以2-3=即函数y=2'的值域是1,2,故选：B.

_8

4

【巩固练习2】已知函数y（x）=x3,那么不等式〃2x-3）＜/（5）的解集为.

【答案】（一1,4）

4

【解析】已知函数/@）=/，可知函数是增函数，且是偶函数，不等式〃2x-3）＜/⑸等价于

—5<2x—3<5=>—1<x<4.

【巩固练习3】不等式9*-427WO的解集为.

【答案】[1,2]

【解析】不等式9,-4*3川+27«0,可化为（3»-12x3、'+27V0,

即（3，-3乂3、-9）<0,解得3V3"9,

所以1VXV2,所以不等式9*-4*32+2740的解集为[1,2].

故答案为：[1,2].

【题型7】指数型复合函数单调性

基础知识

判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.

解决步骤

第一步：求函数的定义域.

第二步：将函数分解成内层函数和外层函数.

第三步：判断内层函数和外层函数的单调性.

第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性.

9.函数y=5T'.I的单调递减区间是（）

A.[2,+co）B.（-8,2]C.（-84]D.[1,+«>）

【答案】A

【解析】设〃=-/+4X-3,在（一s,2]单调递增，在[2,+8）单调递减，

>=5"在（-叫+<»）单调递增，

根据“同增异减”可得，函数了=54+g3的单调递减区间是[2,+8）.故选：A.

10.（2024・辽宁一模）若函数/（X）=3-2，+3在区间（1,4）内单调递减，则。的取值范围是（）

A.（-8,4]B.[4,16]C.（16,+co）D.[16,+<»）

【答案】A

【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.

2

【详解】设/（“）=3",u=-2x+ax,贝3"在（-«,+s）上单调递增.

因为/（x）=3—«在区间（1,4）内单调递减，所以函数〃=-2x2+ax在区间（1,4）内单调递减，

结合二次函数的图象和性质，可得：-<1,解得aV4.

4

11.（2024・福建福州•模拟预测）设函数/卜）=小丹在区间（1,2）上单调递减，则a的取值范围是（）

A.（-oo,2]B.（-oo,4]C.[2,+co）D.[4,+oo）

【答案】D

【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.

【详解】函数＞=3,在R上单调递增，而函数[（x）=3*2R在区间（1,2）上单调递减，

所以了=疝-。|在区间（1,2）单调递减，所以解得a»4.

z1、2x2—3x+l

【巩固练习1]函数y=;的单调递减区间为（)

3

A.。,+8)C.(-8,1)D.—,+oo

4

【答案】D

【解析】因为函数y=2/-3x+l在区间,叫上单调递减，在上单调递增,

函数y=在定义域内是单调递减函数，

所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得:

J=flY"的单调递减区间为故选：D

【巩固练习2】已知函数〃力=£心步（左eZ），若在（0,+。）上减函数，求上的取值范围.

【答案】{4|左＜-1或左＞3且左eZ}.

O1

【解析】若/（X）在（0,+8）上减函数，则＞左-3*＜0,

解得太＜-1或左＞3（左©Z）,

即左的取值范围是{左归＜-1或左＞3且无eZ}.

[巩固练习3]（2023.重庆巴蜀中学高一校考）已知函数/&）=0.4'_（（/_2）2工+1在（_2,+00）上单

调递增，则。的取值范围为（）

A.[0,4]B.（0,4]C.[2,+9）D.{0}U[2,+s）

【答案】A

【分析】令方=2"利用复合函数的单调性，结合指数函数与二次函数的单调性求解即可.

【详解】令t=2，，则＞=at?—（〃—2），+1,

当x£（—2,+oo）时，％=2"单调递增，且经一，

4

当。=0时，y=/2一（0-2）f+l=2f+l,当/＞；时单调递增，

则函数〃x）在（-2,+«）上单调递增，符合题意；

当a>0时，y=at2-(a-2)t+\的对称轴为t=――,

2a

a-21

由题意----K—=>0<Q«4,

2a4

当a<0时，y=a/一(.-2)f+l表示开口向下的抛物线，对称轴为/=旦二,

2a

在[与2,+s)上单调递减，不符合题意，综上，04a44.

【题型8】指数型函数的值域问题

基础知识

解决步骤

第一步：求函数的定义域，然后将复合函数分解成两个函数.

第二步：由自变量的范围求内层函数的值域.

第三步：由内层函数的值域求外层函数的值域.

12.函数xe[0,3]的值域是()

A.；,8B.(-«,8]C.3，+°°]D.(0,8]

【答案】A

【解析】令8(。=%2-2居％<0,3],则g(/)e[g⑴,g⑶卜则/(x)e已可]=1,8,

故选：A.

【巩固练习1】函数夕=(；)'+2、+3的值域是.

【答案】(0,白

【解析】依题意，X2+2X+3=(X+1)2+2>2,当且仅当x=-l时取等号，而函数y=(；)、在R上单

调递减，

因此0<(；)/+2X+3《(；)2=上，

4416

所以函数y=(3)42.+3的值域是(0)±]

【巩固练习2】已知函数〃刈=4'-2'+4,%6[-1,1],则函数了=/(x)的值域为().

「、「13】「1?1

A.[3,+oo)B.[3,4]C.3，1D.—,4

【答案】B

【解析】依题意,函数/（x）=（2»-2x2,+4,xe[-l,l],

令2，=/,贝卜=2*在上单调递增，即

于是有y=J—2/+4=（/—1）2+3,当（=1时，Ymin=3,此时X=0,/（x）min=3,

当"2时，ymax=4,此时x=l,/（X）max=4,

所以函数＞=1（力的值域为[3,4].故选：B

【巩固练习3】函数/'⑴=户+仁]+：在[-1,+4上的值域为.

375

【答案】

45T

I解析】…飞"佃卜如:

\*xe[-l,+oo）贝q令,二Ie（0,3]

3375

>=〃+3%+1在（0,3]递增，ye

45T

【题型9】指数函数的实际应用

基础知识

1、在自然科学中，指数函数常常用于描述增长或衰减的过程，比如生物群落的增长、放射性物质的

衰变等。

2、在经济学中，指数函数也可以用来描述复利增长，即资金按比例增长的情况。

指数函数在数学和现实生活中都有重要的应用，对于描述增长和衰减过程有着很好的表现能力。

13.心理学家有时用函数“/）=250（l-ed）来测定人们在时间《min）内能够记忆的单词量工，其中

人表示记忆率.心理学家测定某学生在lOmin内能够记忆50个单词，则该学生在30min从能记忆

的单词个数为（）

A.150B.128C.122D.61

【答案】C

【分析】根据已知可求出再代入f=30即可求出.

【详解】由题可得“10）=250（l-e—°*）=50,则「"=不，

所以£（30）=250（l—e—w）=250[1_（片3）[=250x1H=122,

即该学生在30min从能记忆的单词个数为122.

14.（2024・安徽合肥•二模）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间

被称做半衰期，记为7（单位:天）.铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为7；,%.开

始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的;，则叱满足

的关系式为（）

。512512c512512

A.-2+-=—B-2+丁石

…5121512D.2+log2要「log??

C.-2+log2—=10g2—

612

【答案】B

【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1,可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出

等式即可得答案.

【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1,

512512

则512天后，甲的质量为：§）丁，乙的质量为：g）无，

512512512

由题意可得W）豆=；•（；）不=（；）2+1丁，

c512512

所以2+7工

【巩固练习1】已知某种果蔬的有效保鲜时间了（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）近似满

足函数关系V=（a,b为常数，e为自然对数底数），若该果蔬在4。（2的保鲜时间为216小时,

在16℃的有效保鲜时间为8小时，那么在8（时，该果蔬的有效保鲜时间大约为小时.

【答案】72

【分析】根据已知条件求得e£e”,进而求得正确答案.

(216=3"+"1

【详解】依题意《.+,，两式相除得237=eT2"=(ej),厂"=3©"=鼻，

Io—eJ

则216=e4fl+6=e""•e"=；・e〃，e"=648,

21

所以当x=8°C时，j=e8a+A=e8a-ez)=(e4a)-e6=-x648=72

【巩固练习2】某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，。个这种病毒在/天后将繁殖到个.已知

经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍.且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则%=（）

A.4B.8C.12D.16

【答案】C

【分析】根据指数式的运算求解.

【详解】由题可知，，所以e3=2,

经过〃+z4天，数量变为原来的16倍，即ae，（z）=i6a,

2（m+4）44A41M

则有e=16=2=（e）=e,解得加=12

【巩固练习3】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是年C,空气的温度是嵋C,那么fmin

后物体的温度0(单位：。C)可由公式。=4+(4-4)e*求得，其中左是一个随着物体与空气的接

触情况而定的正常数.现有63℃的物体，放在15℃的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是390.要

使物体的温度变为21℃,还要经过分钟.

【答案】120

【分析】先把现有63℃的物体，放在15℃的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是39℃代入公式

。=4+(4-4)片”，再列出此物体的温度变为21℃时的关系式，联立二式组成方程组，解之即可求

得要使物体的温度变为2VC,还要经过的时间.

【详解】•.,现有63°。的物体，放在15℃的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是3”?,

.,.15+(63-15)片制=39,即=；①，

要使物体的温度变为21℃,则15+48e-M=21,即②，

O

八-60左1

e=—

联立①②，\,解得％=180,

e-kt=—1

18

故还要经过180-60=120分钟.

【题型10］指数型复合函数的奇偶性问题与恒成立综合

基础知识

1、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：

(1)函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；

(2)分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的

图象，再利用数形结合的方法来解决.

2、指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层

是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律

求解.

15.已知函数/(x)=一竺为定义在R上的奇函数，求实数加，〃的值.

2X+n

【答案】m=-l,n=l

【解析】由于/(%)是定义在R上的奇函数，

1+m2X-1

所以/(O)==0,m=-1,所以/(%)=

1+n2x+n

由于/(x)是奇函数，所以/(-%)=-/(%),

2"11—2"2"-1

所以/(f)=

2~x+nl+〃22x+n

1-2X1-2X2X-12x+l-2i2

即〃所以/(%)=-------=-----------=1-------

n=1,XX

1+H-2X2x+n2+12+12、+1

16.(2024・贵州毕节・三模)已知函数/(x)=3二是奇函数，若/(2023)>/(2024),则实数〃的值

QX+a

为()

A.1B.-1C.±1D.0

【答案】B

【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可.

【详解】因为函数/(x)=1^是奇函数，

ex+a

e-x-al-aex

所以〃一月二七=-/w=-

~l+aexex+a

解得Q=±l,

xx

e-ae+a-2a12a

又/(%)==1----------

ex+aex+aex+a

所以当〃〉0时，函数为增函数，当QVO时，函数为减函数,

因为“2023)>“2024),

所以。<0,故Q=-l.

17.已知函数/■(力=^-人「(">())是奇函数，且/⑴

⑴求凡上的值；

⑵若Vx«l,2],不等式外2无)+〃矿(x"0恒成立，求掰的取值范围.

【解析】(1)・・・/(工)=。"一左,。一”是奇函数=>/(0)=0=左=1,

经检验当上=1时，/(x)=ax-a~x,f(<-x)=a~x-ax=-/(x),/(x)是奇函数符合题意，

311

又/(1)=5=Q----=>a=2a=——(舍)，

:.f(x)=2x-2-x；

(2)-f(2x)+mf(x)>0^22x-2-2x+m(2X-2^)>0,

即加(2、—2一12(2一"+2X)(2-X-2X),

又X£[l,2],2]—2一、>0,故加(2、+2一1恒成立，

令”2"，因为xe[l,2],故/e[2,4],由对勾函数性质可得g⑺=-1+；]在te[2,4]上单调递减,

g(x)max=g(2)=-|,/.m>-I，.-.mG5

—+00

2

【巩固练习1】已知定义域为R的函数上是m-V奇函数.

n+Y

（1）求加，〃的值;

（2）若存在止［0,4］,使/（"2产）+/（4"2户）＜0成立，求上的取值范围.

【答案】（1）皿=1,n=l;⑵（-1,+℃）.

【分析】（1）由/（0）=0及”-1）=-/⑴即可求解；

（2）求出函数/（x）的单调性，不等式可转化为左＞4产-4/,根据二次函数的最值即可求解.

【详解】（1）因为函数/（x）是定义在R上的奇函数，所以/（0）=0,

即吟1=0,所以〃?=1,又因为=

1

-3

所以---r=---m-----=1代入，解得〃=1,

,1〃+3

经检验符合题意，所以，m=\,n=\.

%

1—3”-(1+3)+22

（2）由（1）知:函数/(%)=

1+3”―1+?T+?

所以函数/（X）在R上是减函数.

因为存在t£［0,4］,使/（左—2»）+/（4,—2「）＜0成立，

又因为函数/（%）是定义在R上的奇函数，

所以不等式可转化为/（左-2»）＜/（2——期），

又因为函数/（%）在R上是减函数，所以左-2*＞2t2-4t,

所以左＞4』—书，令g«）=4广一由，

题意可知：问题等价转化为左〉g⑺.，

又因为gOminUg-1,所以上＞-1,故左的取值范围为（-1,+8）.

【巩固练习2］已知函数/0）="2-2办+b（a＞0）在区间［0,3］上有最小值2和最大值10.

（1）求。，b的值；

（2）设g（x）=W，若不等式g（2）+h2，20在xe［-l,0］上恒成立，求实数人的取值范围.

【解析】（1）/（%）=。、2一2"+6的对称轴为％=1,因为。＞0,

所以在区间[0,3]上最小值为/⑴，最大值为〃3),

a-2a+b=2,a=2

故解得

9a-6a+b=10,b=4

(2)由⑴可得g(x)=2x+±-4,所以g(2、)+h2、N0可化为h2，N-2-2工一心+4,

XN

化为左2-2-4(工1+4—.令/=!则/N-4—+4/-2,

[2X2*2、

因为xe[-1,0],故fe[l,2],记力(。=一4/+4f-2,

故”(%,*=〃⑴=-2,所以实数上的取值范围是[-2,+8).

【巩固练习3】已知函数〃x)=-x2+3x+5,g(x)=2*+a,若V再e[0,2],天？e[2,3],使得

/(x,)<g(x2),则实数a的取值范围是.

3

【答案】"9

29

【解析】当％曰0,2]时,/(x)

T

当x曰2,3]时，g(x)=2X+a为增函数，

所以x=3时，g(x)取得最大值g(3)=8+a,

•对V再£[0,2]注2£[2,3],使得/(玉)<8(%2),

・•・/(X)max<g(x)max，

293

—<8+a,角不得a>一■-.

44

【巩固练习4】已知定义在R上的函数/