2025年高考数学二轮复习热点题型专项突破：三角恒等变换（16类常考题型）原卷版

专题4-2三角恒等变换16类常考题型汇总

近5年考情（2020-2024）

考题统计考点分析考点要求

已知二倍角余弦值，求角的正

2024年I卷第4题，5分

弦值

2024年n卷第13题，5分根据给定条件，利用和角、差角

2023年新高考二卷，第7题,5分的正弦公式求出sin（a+）），再二重根式化简

利用二倍角的余弦公式计算作二倍角公式

2023年新高考I卷，第8题,5分

答和差公式+二倍角公式

2022年新高考n卷，第6题,5分由两角和差的正余弦公式化简，有和差化积的背景

结合同角三角函数的商数关系和差公式

2021年新高考I卷，第6题,5分根据tand的值，对齐次式化简，正余弦齐次式计算

结合二倍角的平方式二倍角公式

模块一、热点题型解读（目录）

和差公式

【题型1】和差公式的逆用

【题型2】与坐标系中的象限角结合

【题型3】拆角与凑角

【题型4】切化弦

【题型5】统一角度化简

二倍角公式

【题型6】二倍角与诱导公式的配凑

【题型7】扩角降瓶

【题型8】二倍角与平方公式结合

【题型9】化为一元二次方程或二次函数

【题型10】化为半角（缩角升暴）

【题型11］和差公式与二倍角公式结合

综合应用

【题型12］tan与齐次式

【题型13］辅助角公式的综合应用

【题型14］化为同名函数

【题型15］和差化积与积化和差

【题型16］拆角与凑角进阶

模块二1核心题型•举一反三

和差公式

【题型1］和差公式的逆用

基础知识1

运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆

用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.

（T）sin（6Z±J3）=sinacosP±cosasin/3；

（2）cos（6r±y0）=cosacos+sinersin［3；

…।小tana±tan尸

③tan（o±0=^--------------匕；

1+tantanp

1.8580。8535。+8510。8555。的值等于().

A.立B.-立C.1D.--

2222

2.若sin2a=---------------/6分。工+E且aw土far,左£z],则cos(2c-Q)=()

tana-tan(3\2)

A.—B.0C.-D.1

22

3.(汕头市2023-模)已知xj。,，ye[。,"溶3=上手，则下列判断正确的

12/I2Jcosx-sinxsin2y

是（）

【巩固练习1]tan10°+tan50°+也tan10°tan50°=

【巩固练习2】江苏省决胜新高考2023-2024学年高三大联考

已知实数m，〃满足（机+1乂〃+1）=2,则加，〃可能是（）

,713兀一兀3兀

A.m=tan——,n=tan——B.m=tan—,〃=tan——

161688

「兀3兀一兀3兀

C.m=cos——,n-tan——D.m-cos—,n-tan——

161688

.兀71

xsin一+ycos—

且满足一J-=tann黑，则)=________.

【巩固练习3］设苍丫均为非零实数，

兀・兀20x

xcos--ysm—

【题型2】与坐标系中的象限角结合

基础知识

两角和与差正切公式变形

tana±tan尸=tan(cr±/?)(1+tantan/?);

八1tana+tan£tana-tan尸

tana•tan/»=l----------------­-------------------1

tan(cr+p)tan(a-p)

4.已知角。«兀,2兀),6终边上有一点(cosl+sinl,cosl-sinl),则夕=()

.兀71

xsin一+ycos—。

5.设为y均为非零实数，且满足一2----i=tan芸，则1=

20

xcos|-JSin|x

【巩固练习1】已知cosa=g,ae(0,1j,角力的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终

边经过点尸(产,白，且匹(0,兀)，则j=,

【巩固练习2】在平面直角坐标系xOy中，角a与角力均以。尤为始边，它们的终边关于y轴对称.

若sina='，则cos(a-，)=.

【巩固练习3】如图，在平面直角坐标系中，以。4为始边，角a与夕的终边分别与单位圆相交于E,

若直线£F的斜率为:，则sin(a+/?)=(

尸两点，且)

158815

A.B.C.D.

17171717

【题型3】拆角与凑角

基础知识

常用的拆角、酉己角技巧：2a=(a+/7)+(a—4)；a=(a+4)一尸二(二一/7)+£；

=—^^=(a+2/7)—(。+/?)；a-p={a-y)+{y-/3)；15°=45°-30°;

7.(2023・湖北・二模)已知sinasin=3cos6zsina+—贝Ucos12a+m卜(

I6

A.-且B.-1C.；D.也

222

8.(长沙一中校月考)已知角。,方£(0,兀)，且sin(a+/?)+cos(a-/7)=0,sinasin/?-3coscrcos/?=0,

贝(Jtan(a+/7)=

【巩固练习1]2024•浙江省金丽衢十二校第一次联考

9.已知a是第二象限角，尸,0,小,tan(a+：＞-；，现将角a的终边逆时针旋转夕后得到角八

1

若tan/=—,贝ljtan'二

【巩固练习2】2024•山东潍坊•统考

713."，其中ae兀3兀tana

10.已知cos~~a=—.sin，匹则(

513了丁由二

56

A.B.C.-17D.17

63

【巩固练习3】2024届•福建省高三下学期数学适应性练习

11.已知V^tan(a+3cos(。一四)=1,则sin2a=()

44

【巩固练习4】已知a,p都是锐角，tan（a+0=-l,则+

cosacosp

【题型4】切化弦

2024•长沙雅礼中学•月考试卷数学（六）

12.若。［。，个］,tan2a=C°S6Z,贝Utana=________

I2)2-sincz

cos(aH-----)

【巩固练习】若tana=则-------叵

./兀、

sin(a+—)

【题型5】统一角度化简

基础知识

通过和差公式利用特殊角进行拆分，达到化简的目的

2024•湖南雅礼中学•月考（七）

1311()

2tan2002cos10°

A.V2B.BC.V3D.2

2

14.求值：--------------=()

sin80°

A.否B."D%

C.-A/3

33

计算：4^cos800+3tanl01=_________

11‘31]

【巩固练习1]（2023•河南洛阳•模拟预测）=()

cos40°।1.sin220°cos220°J

A.16B.32C.48D.52

【巩固练习2】(2023.江苏.三模)已知cos(40O—e)+cos(40o+e)+cos(80O-e)=0,则由。=()

A.一6B.兰C.f

D.6

【巩固练习3】已知cos(4OO—0)+cos(4(r+e)+cos(8OO—6>)=O,则tanO=

百-4sin20°+8sin320°

【巩固练习4]化简求值（1）(2)

2sin20°sin480°cos210°Jcos20°

二倍角公式

【题型6】二倍角与诱导公式的配凑

基础知识

一般可以通过换元来简化题目结构，关键在于配凑出90°

①sin2a=2sin«cosa;

②cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a;

2tancr

③tan2a=

1-tan2a

(In生-2a

15.已知sin-------FCC=—,则cos

I633

【巩固练习1】已知cos[a+%J=§,贝ljsin[2a—不

【巩固练习2】若cosa+3cos分=&5,。+/?=^,则cos2£=.

二也,6+工71]=逅

【巩固练习3】已知力£（0,兀）,tana+—,贝！Jcos(2a—/7)=()

I3-2(63

A.一侦「5百D.息

L.-----

993

【题型7】扩角降森

基础知识

.1.c.21-cos2a1+cos2a

sinacosa——sin2a\sina=-------------;cos2a=-------------

222

A.1B.1-sin2xC.l-cos2xD.-1

【巩固练习1]r则2cos+=----------------

【巩固练习2】已知6sin2f-+-^=--—则tan(2"/］二()

((84)210I4j

117

A.D7D.13

1331

17.【巩固练习3](难)阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学

定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦定理

是这样描述的：在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为久b、c,则三角形中任意一边的

平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.用公式可描述为:

«2=Z72+c2-2ZJCCOSA，b1—a2+c2-laccosB,c2=a2+b2-labcosC

1

rA3

现已知在AABC中，内角A,B,C所对的边分别。，b,c,且(acos?—+ccos2—)(a+c-Z?)=—ac,

222

则3=_______

【题型8】二倍角与平方公式结合

基础知识

1+sin2x=(sinx+cosx)2

cos2x=(cosx-sinx)(cosx+sinx)

2024•福建龙岩•阶段练习

18.已知5皿0-$足/?二一|>以)52-<：05夕=|',且a,/?£[(),]),则tan(a—夕)的值为()

A2V14R2^4「小NA/5

5522

19.已知sine+cos9=2sina,sin8cos6=sin20,则4cos22cr-cos22/=.

【巩固练习1】2024•浙江省•Z20名校联盟第一次联考

20.已知sina—cosa=L0<a<7i,则sin[2a-()

5I4；

A17aR17A/2-31V2n310

50505050

【巩固练习2】2024•辽宁沈阳•统考

已知0<a<"|,2sin/7-cosar=l,since+2cos£=g,,贝|cos[a+IJ=____

【巩固练习3】2024•江苏南京市、盐城市•一模

已知a,£,且sintz-sin/?=-；,cosa-cos/，=；,则tancr+tan尸=_____.

【题型9】化为一元二次方程或二次函数

21.（2023•深圳中学校考阶段练习）已知a,^2cos26Z+15sincr+2=0,贝tanc二_______

【巩固练习1】已知aee,:，，且3cos2a—4sina=l,贝i]tan2a=()

B.逑（：.-1D.一延

3737

【巩固练习2]函数y=cos;2x+2sin%—2,x£R的值域为_________

【巩固练习3]2024•重庆八中•月考（五）

已知,2sin2a=cos2a+2则cosa=()

1

ABcD.

-f-f-13

【题型10】化为半角（缩角升瓶）

基础知识1

.2a1-cosaa1+cosa

sin—;cos2

22~2~-2-

22.(2023・江门统考练习)已知1.叩；6+Jin」%则1©。=

sin01+cos0

a

1-tan

3

23.若sina=一，a是第三象限角，则-2--=-(-)

a

51+tan

5

A.-2B.2c.--D.§

33

sin3二e/

【巩固练习1]已知=A/3,则tan。一()

1一cos，

A.B

B.C.D.-y/3

33

,1-cosx+sinx-

【巩固练习2]B知------------=-2,则tanx的值为（）

1+cosx+sinx

4433

A.一B.——C.一D.——

3344

【巩固练习3】2024•辽宁丹东•一模

7T(1+sina)(l+cosa)_

已知ae(0,一),4^2+1,贝！Jsin2a=()

2[(1-sina)(l-cosa)

A472+1口40+14拒-1D.组

r\..---------D.---------

816816

【题型11]和差公式与二倍角公式结合

2023•新高考I卷T8

24.已知sin(o—尸)=l,cosasinyff=',贝ijcos(2。+2/7)=(

).

36

17

ABC.——D.

-?-199

2024•湖北•二模

7171cosa,贝usin12a—g

25.若ae,tana二-------)

2,23-sina

A4巫+7B.Gr4二十7百4夜-7b

L•--------------------D.

18181818

【巩固练习1】已知月均为锐角，tana+tan^=2sin（a+4）,且cos（a+〃）=；,则

cos2(a-/)=

日，7i

【巩固练习2]己知ecos(2cr+2y0)=--,sinasm/3=—,则cos(a—〃)=()

1

A•-:B.-cD

6-I-i

已知xe(0,—cosx+sinxl-cos2y2一“一一，r

【巩固练习3],”呜,kLTTF,则下列判断正确的是（）

A.tan(y-x)=lB.tan(y-x)=-lC.tan(y+x)=lD.tan(y+x)=-l

【巩固练习】已知卜71cosx+sinx_1-cos2y

4,则下列判断正确的是（）

2cosx-sinxsin2y

A.tan(y—x)=lB.tan(y-x)=-lC.tan(y+x)=lD.tan(y+x)=-l

33

【巩固练习5]（重庆巴蜀中学适应性月考）（多选）已知0＜。＜兀＜，＜5兀，cos2a=-

5

cos(a+£)=一^^,则()

B.sin(a+尸)=_^^-C3K

A.tana=-2C.0-a=D.cosacos/3=一冬

综合应用

【题型12]tan与齐次式

基础知识

弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值.常见的结构有：

(1)sina,cosa的二次齐次式(如^sin2(z+Z?sin(zcosa+ccos2a)的问题常采用“切”代换法求解;

(zjcino+〃COSi

(2)sina,cosa的齐次分式(如《sina+dcosJ的问题常采用分式的基本性质进行变形♦

常用变式

.小2sinacosa2tana八cos2«-sin2cr1-tan2aasina1-cosa

sinla=--------------=------------；cos2a=--------------=------------；tan—=-----------=一；-------

sincz+cosa1+tanasina+cosa1+tana21+cosasina

2024•浙江宁波•联考

已知，门।cos4A-4cos2A+3

26.tanA=2则----------------

2cos4A+4cos2A+3

A-AB-I

C-iD./

(TTicosa

27.(2021•全国•统考高考真题)若ae0,彳,tanZau7~；—，贝l]tanc=()

k2J2-sina

叵

叵B好>----

IT.53,丁

28.已知角6的大小如图所示，则FT=()

C.-4D.4

33

29.若040,；sin。sincos

则tan8=

2cos之。l-sin28

sin6(1+sin26)

【巩固练习1](2021•全国•统考高考真题)若tan6=-2,则—\)

sin0+cos0

A-4B-4c-1D-I

【巩固练习2】2024•湖北•统考

sin。sin。一cos。

若。e*，，贝!|tan6=

2cos%l-sin26

【巩固练习3】已知角a满足2sinIa-5兀

=tan—cosa,则sin2e+2cos2o■的值为()

12

BD

A-?-1-1

【巩固练习4】2024届•安徽省示范高中皖北协作区高三下学期数学联考

3

已知tan(a—p)="sin(cr-/7)=3cos(cr+/7),则tana—tan/=()

A1BCD

八・2-i-I-i

【题型13]辅助角公式的综合应用

基础知识

bab

(1)6zsincr+Z?cosa=a2+b2sin(cr+cp)(其中sin°=/，COS(p=­p,tan^z?=—

Ja2+b2yla2+b2a

G2J疗+.2n/_n

I//msincoxcoscox+ncoscox=------------sm(2o%+0)+—,tan^=一.

22m

2024届•重庆八中等多校3月适应性月考卷(六)

贝I]sin(2a-的值为()

30.若a

A239近B6「1190n120后

L\.--------------

338338338338

2024•江西省统一调研测试

31.已知圆上两个不同的点A(cosa,sina),5(cos^sin^),若直线A5的斜率为-1,则tan二；分

（）

A.-1B.1C.-2D.2

【巩固练习】已知f（x）=cos（x+e）+2sinx的最大值为3,则tan^=.

【题型14］化为同名函数

2024•江西•联考

2

32.已知a,2（sin^+sin>0）=^^,贝|tan12c+Q+S）=（）

A.一6B.一且C.且D.73

33

2024•江苏扬州•统考

33.已知口，般则tan,+£+?=（）

A.一&B.一乎C.乎D.6

【巩固练习1】（云南师范大学附属中学月考）设ae0彳，匹。4，且tana-cos分=l+sin4,

贝U（）

A.sin（3cr-/?）=lB.sin（3a+/）=-l

C.sin（2a-分）=1D.sin（2a+'）=-l

【巩固练习2】（2023•广州一模T7）若。，，《千万｝且（l—cos2&）（l+si“）=sin2acos4，则下

列结论正确的是（）

A.2a+/?=yB.2a-13~

77TTT

C.a+/3=—D.a-/3=—

sin（2a+£）/、1

【巩固练习3】（2023•重庆市第八中月考）已知0片,—------^—2cos（a+Q）=—,则

sinatana

A.a+/=]B.1+4=日

C.a-p=-^D.a-p=-

【巩固练习4】若且（l-cos2c）（l+sin/?）=sin2ccos/7,则下列结论正确的是（)

37r

A.oc—[3—B.2a-j3=—

-c5兀—cI

C.a+/3=D.2aj3=—

_,,.—一人八,一八「l+cos2crl-cos2/?

【巩固练习5】右两个锐角a,月满足2c°sa+sin2「FF,贝｛]cos|a+2力+—)-

sin/?—cos。

【巩固练习6】（广州市天河区综合测试）若tan2a-5贝Ijl—2cos2(2a—夕)=(

sin/?+cos/'

A-3B-4C-TD--T

【题型15］和差化积与积化和差

基础知识1

\v.nrx-cc/3ex,—B.-ccB.oc—f3

和差化积公式：sina+sinp=2sin-^-cos-,sma-smpn=2cos---sin---

ncCC-\-(3cc—PQc.cc-\-/3.cc—/3

cosa+cosp=2cos------cos-------,cosa—cosp=—2sin-------sm------

2222

积化和差公式：sinacosP=；[sin(a+£)+sin(a-£)],cosasin[3=g[sin(a+p)-sin(a-77)],

cosacosp=g[cos(a+4)+cos(a-；0)],sinasin[3=一;[cos(a+尸)一cos(a-p)].

34.已知cos(i一尸)=一，sin。sin6二----,则cos2a-sin?/?=

35.（2024・湖北•阶段练习）已知函数/（%）=cos2x+cos3x,X£（。,兀），若/（幻有两个零点石,%2（芯＜%2），

则()

A.等｛引闯B.x?=2再

1

C.cos%+cosx2=—D.cosxYcosx2=

【巩固练习1】（全国•高考真题）sin20Ocos70o+sinl0Osin50。的值是（)

AD.

-i4

7元2兀712兀

【巩固练习2】2sin—s